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第五章 万有引力
第3讲 卫星变轨问题　双星模型
2026届高三物理一轮复习
1.会处理人造卫星的变轨和对接问题。
2.掌握双星、多星系统，会解决相关问题。
3.会应用万有引力定律解决星球“瓦解”和黑洞问题。
第3讲 卫星变轨问题　
双星模型
【目标要求】
02
01
目录
CONTENTS
03
04
卫星的变轨和对接问题
双星或多星模型
星球“瓦解”问题　黑洞问题
第3讲 卫星变轨问题　双星模型
主题一、卫星的变轨和对接问题
一、卫星的变轨和对接问题
地球
Ⅰ
转移轨道Ⅱ
8.9km/s
7.9km/s
2km/s
3km/s
思考2:卫星在经过轨道Ⅱ的A点和轨道Ⅰ的A点时速度v哪个大？
思考1：卫星在经过轨道Ⅲ的B点和轨道Ⅱ的B点时速度v哪个大？
思考3:卫星在经过轨道Ⅲ的B点和轨道Ⅱ的B点时加速度a哪个大？
VⅢB>VⅡB
VⅡA>VⅠA
Ⅲ
A
B
aⅢB=aⅡB
思考4:卫星在经过轨道Ⅱ的A点和轨道Ⅰ的A点时加速度a哪个大？
aⅡA=aⅠA
VⅢB>VⅡB
VⅡA>VⅠA
>
aⅢB=aⅡB
aⅡA=aⅠA
>
地球
Ⅰ
转移轨道Ⅱ
8.9km/s
7.9km/s
2km/s
3km/s
思考6:同一卫星在轨道Ⅲ、轨道Ⅱ、轨道Ⅰ上的机械能E哪个大？
思考5：卫星在轨道Ⅲ、轨道Ⅱ、轨道Ⅰ上的周期T哪个大？
Ⅲ
A
B
TⅠ TⅡ TⅢ
< <
EⅠ EⅡ EⅢ
< <
一、卫星的变轨和对接问题
r1
r3
r2
一、卫星的变轨和对接问题
VⅡA>VⅠA>VⅢB>VⅡB
aⅡA=aⅠA>aⅢB=aⅡB
1.线速度
2.加速度
Ⅰ轨道:
=maA=ma向A
Ⅱ轨道A:
=maⅡA=ma向ⅡA
rx为的曲率半径。
Ⅱ轨道B:
=maⅡB=ma向ⅡB
=
=
=
vⅡAr1=vⅡBr2
A
B
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
r1
r2
一、卫星的变轨和对接问题
VⅡA>VⅠA>VⅢB>VⅡB
aⅡA=aⅠA>aⅢB=aⅡB
1.线速度:
2.加速度:
A
B
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
注意：①圆轨道:a向=a
②椭圆轨道：在近地点和远地点， a向=a
③椭圆轨道的其它地方， a向≠a
3.周期:
TⅠ TⅡ TⅢ
< <
4.机械能:
EⅠ EⅡ EⅢ
< <
注意：同一卫星才能比较机械能
r2
r1
r3
1.卫星发射模型
人造卫星的发射过程一般要经过多次　　　方
可到达预定轨道，如图所示。
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向
先发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上做匀
速圆周运动，有_______________。
(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，
G(3)在椭圆轨道B点(　　　点)，G>m，将做近心
运动，再次点火加速，使G＝m，进入圆轨道Ⅲ。
一、卫星的变轨和对接问题
变轨
离心运动
＝m
G
远地
r1
r2
【讨论交流】若使在轨道Ⅲ运行的宇宙飞船返回地面，应如何操作？
答案　使飞船先减速进入椭圆轨道Ⅱ，到达近地点时，使飞船再减速进入近地圆轨道Ⅰ，之后再减速做近心运动着陆。
一、卫星的变轨和对接问题
r1
r2
2.变轨过程中几个物理量的大小比较
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率
分别v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点速率分别为
vA、vB，在A点加速，则vA　　v1，在B点加速，
则v3　　vB，又因为v1　　v3，故有vA>v1>v3>vB。
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到　　　　　作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都　　　。同理，经过B点加速度也
　　　。
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道
半径为r1、r2(半长轴)、r3。由开普勒第三定律＝k，可知有T1　　T2r2
>
>
>
万有引力
相同
相同
<
一、卫星的变轨和对接问题
r3
r1
(4)机械能：卫星在一个确定的圆(椭圆)轨道上运行时
机械能　　　。若在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为
E1、E2、E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ、从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ，
都需要点火加速，则E1　　E2　　E3。
(5)引力势能：物体在万有引力场中具有的势能叫作
引力势能，若取两物体相距无穷远时的引力势能为零，一个质量为m的质点距质量为M的引力源中心为r时，其引力势能为Ep＝－(G为引力常量)。设卫星在A点、B点的引力势能分别为EpA、EpB，则EpA　　EpB。
守恒
<
<
<
一、卫星的变轨和对接问题
r
Epr=
Wr
=-G
=-
=-
【典例1】2022年11月，“天舟五号”货运飞船仅用2小时就与“天宫”空间站快速交会对接。飞船从预定轨道Ⅰ的A点第一次变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达椭圆轨道的远地点B时，再次变轨进入空间站的运行轨道Ⅲ，与空间站实现对接，假设轨道Ⅰ和Ⅲ都近似为圆轨道，不计飞船质量的变化，则飞船( )
A.在轨道Ⅰ上的线速度大于第一宇宙速度
B.在轨道Ⅰ上的运行周期小于空间站的运行周期
C.第一次变轨需加速，第二次变轨需减速
D.在圆轨道Ⅰ与椭圆轨道Ⅱ上A点的加速度不同
B
一、卫星的变轨和对接问题
【典例2】北京时间2024年4月26日神舟十八号载人飞船与在轨飞行的天和核心舱顺利实现径向自主交会对接，整个交会对接过程历时约6.5小时。为实现神舟十八号载人飞船与空间站顺利对接，飞船安装有几十台微动力发动机，负责精确地控制它的各种转动和平动。对接前飞船要先到达和空间站很近的相对静止的某个停泊位置。为到达这个位置，飞船由惯性飞行状态转入发动机调控状态，下列说法正确的是( )
A.飞船先到空间站同一圆周轨道上同方向运动，在合适位置减速靠近即可
B.飞船先到与空间站圆周轨道垂直的同
半径轨道上运动，在合适位置减速靠近即可
C.飞船先到空间站轨道下方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可
D.飞船先到空间站轨道上方圆周轨道上同方向运动，在合适的位置减速即可
D
一、卫星的变轨和对接问题
【典例3】2024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于预定区域，实现世速度界首次月球背面采样返回。嫦娥六号返回器从月球归来初入大气层时的可以接近第二宇宙速度，为避免高速带来的高温过载风险，采用了“半弹道跳跃式返回”减速技术。如图所示，返回器从a点第一次进入大气层，调整返回器姿态，使其经b点升高，再从c点“跳”出大气层，在太空中潇洒地打个“水漂”，升高到距地面高度为h的d点后，再次从e点进入大气层返回地球。假设返回器从c点到e点的过程为无动力飞行。已知地球表面重力加速度为g，地球的半径为R，引力常量为G。结合以上信息，下列说法正确的是( )
A.从a点到c点的过程中，返回器机械能守恒
B.在d点，返回器的速度大于第一宇宙速度
C.在d点，返回器的加速度大小为
D.在e点返回器处于超重状态
一、卫星的变轨和对接问题
C
主题二、双星或多星模型
m1
m2
0
r1
r2
周期及角速度都相同
1.特点：
T及ω相同
2.规律：
m1ω2r1
m2ω2r2
①r1:r2=m2:m1
②v1:v2=r1:r2
v=ωr
=m2:m1
a=ω2r
③a1:a2=r1:r2
=m2:m1
=
=
④m1+m2=
⑤V2+V1=
二、双星或多星模型
=
3.三星模型：
mω2R
+=
F万
F万
R
=
mω2R
二、双星或多星模型
图5
4.四星模型：
mω2R
+=
R
+=
mω2R
F万
F万
R
F万
F万
3.三星模型：
二、双星或多星模型
【讨论交流】(1)若两星运行的线速度大小分别为v1、v2，加速度大小分别为a1、a2，质量分别为m1、m2，则v、a与轨道半径r、两星质量的关系怎样？
(2)两星之间的距离L、周期T与总质量(m1＋m2)的关系怎样？
（1）由v＝ωr，m1ω2r1＝m2ω2r2，得，
由a＝ω2r及m1ω2r1＝m2ω2r2 得。
（2）由＝m1r1＝m2r2及r1＋r2＝L，
得或m1＋m2＝。
二、双星或多星模型
【典例4】(多选)“双星系统”由相距较近的两颗恒星组成，每颗恒星的半径远小于两颗恒星之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体，它们在相互间的万有引力作用下绕某一点做匀速圆周运动。某一双星系统如图所示，A恒星的质量为m1，B恒星的质量为m2，A恒星的轨道半径为r1，B恒星的轨道半径为r2，A恒星的线速度大小为v1，B恒星的线速度大小为v2，它们中心之间的距离为L，引力常量为G。则下列说法正确的是( )
A.A恒星与B恒星轨道半径大小之比为
B.双星系统的运行周期为2πL
C.A恒星的轨道半径为L
D.A恒星与B恒星线速度大小之比为
BD
二、双星或多星模型
【典例5】(多选)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可以忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式(如图所示)：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三颗星的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，则( )
A.直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同
B.直线三星系统的运动周期T＝4πR
C.三角形三星系统中星体间的距离L＝R
D.三角形三星系统的线速度大小为
BC
二、双星或多星模型
＝MR
G
得T＝4πR
＝M
2Gcos 30°
得L＝R
v＝
··
主题三、星球“瓦解”　黑洞问题
三、星球“瓦解”问题　黑洞问题
1.星球的瓦解问题：当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件：是“赤道”上的物体所受星球的引力恰好提供向心力
2.黑洞:黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于
光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体
的运动规律间接研究黑洞。当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)超过光速时，该天体就是黑洞。
当ω<时，星球稳定运行。
即＝mω2R
得ω＝
当ω>时，星球瓦解，
【典例6】2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体，已知引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A.5×109 kg/m3
B.5×1012 kg/m3
C.5×1015 kg/m3
D.5×1018 kg/m3
C
三、星球“瓦解”问题　黑洞问题
=m
G
ρ0=
M＝ρ0·πR3
kg/m3
≈5.2×1015 kg/m3
【典例7】科学研究表明，当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)大于光速时，该天体就是黑洞。已知某天体与地球的质量之比为k，地球的半径为R，地球的环绕速度(第一宇宙速度)为v1， 光速为c，则要使该天体成为黑洞，其半径应小于( )
A.
B.
C.
D.
D
三、星球“瓦解”问题　黑洞问题
地球：v1＝
黑洞：v1/＝
v1/>C
>C
R黑<
＝
＝
【练习1】2024年1月18日，天舟七号与空间站天和核心舱成功对接。在交会对接的最后阶段，天舟七号与空间站处于同一轨道上同向运动，两者的运行轨道均视为圆周。要使天舟七号在同一轨道上追上空间站实现对接，天舟七号喷射燃气的方向可能正确的是( )
A
课堂练习
【练习2】天问一号火星探测器搭乘长征五号遥四运载火箭成功发射意味着中国航天开启了走向深空的新旅程。由着陆巡视器和环绕器组成的天问一号经过如图所示的发射、地火转移、火星捕获、火星停泊和离轨着陆等阶段，则( )
A.天问一号发射速度大于第一宇宙速度，
小于第二宇宙速度
B.天问一号在“火星捕获段”运行的周期
小于它在“火星停泊段”运行的周期
C.天问一号从图示“火星捕获段”需在合适位置减速才能运动到“火星停泊段”
D.着陆巡视器从图示“离轨着陆段”至着陆到火星表面的全过程中，机械能守恒
C
课堂练习
【练习3】(2024·湖北卷·4)太空碎片会对航天器带来危害。设空间站在地球附近沿逆时针方向做匀速圆周运动，如图中实线所示。为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头所指径向方向极短时间喷射气体，使空间站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴大于原轨道半径。则( )
A.空间站变轨前、后在P点的加速度相同
B.空间站变轨后的运动周期比变轨前的小
C.空间站变轨后在P点的速度比变轨前的小
D.空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的大
A
课堂练习
【练习4】在发射一颗质量为m的人造地球同步卫星时，先将其发射到贴近地球表面运行的圆轨道Ⅰ上(离地面高度忽略不计)，再通过一椭圆轨道Ⅱ变轨后到达距地面高为h的预定圆轨道Ⅲ上。已知它在圆轨道Ⅰ上运行的加速度大小为g，地球半径为R，卫星在变轨过程中质量不变，则( )
A.卫星在轨道Ⅲ上运行的加速度大小为()2g
B.卫星在轨道Ⅲ上运行的线速度大小为
C.卫星在轨道Ⅲ上的动能大于在轨道Ⅰ上的动能
D.卫星在轨道Ⅲ上的机械能小于在轨道Ⅰ上的机械能
B
课堂练习
G＝ma
＝m
a=G
=
v=
=
【练习5】(多选)在宇宙中当一颗恒星靠近黑洞时，黑洞和恒星可以相互绕行，从而组成双星系统。在相互绕行的过程中，质量较大的恒星上的物质会逐渐被吸入到质量较小的黑洞中，从而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的过程也被称为“潮汐瓦解事件”。天鹅座X－1就是一个由黑洞和恒星组成的双星系统，黑洞和恒星以它们连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，如图所示。在刚开始吞噬的较短时间内，恒星和黑洞之间的距离不变，则在这段时间内，下列说法正确的是( )
A.黑洞和恒星之间的万有引力变大
B.黑洞的角速度变大
C.恒星的线速度变大
D.黑洞的线速度变大
AC
课堂练习
F万＝G
=ω2r＝M黑ω2r黑
得:ω＝
r+r黑=L
V=ωr
【练习6】一近地卫星的运行周期为T0，地球的自转周期为T，则地球的平均密度与地球不因自转而瓦解的最小密度之比为( )
A.B.
C.D.
D
课堂练习
＝m()2R
G
M1＝ρ1·πR3
得ρ1＝
G＝m0()2R
M2＝ρ2·πR3
得ρ2＝
【练习7】夜空中我们观测到的亮点，其实大部分并不是单一的恒星，而是多星系统。在多星系统中，双星系统又是最常见的，绕连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的两颗中子星组成的双星系统的示意图如图所示，若两中子星的质量之比mP∶mQ＝k∶1，该双星系统远离其他天体。则( )
A.根据图像可以判断出k>1
B.若P、Q的角速度和它们之间的距离一定，
则P、Q做圆周运动的线速度大小之和一定
C.P的线速度大小与P、Q之间的距离成正比
D.仅增大P、Q之间的距离，P、Q运行的周期变小
B
课堂练习
G＝mPω2r1＝mQω2r2
得
vP＋vQ＝ω(r1＋r2)＝ωL
＝mP
G
得vP＝
ω=
=
【练习8】(多选)如图所示是宇宙中存在的某三星系统，忽略其他星体的万有引力，三个星体A、B、C在边长为d的等边三角形的三个顶点上绕同一圆心O做匀速圆周运动。已知A、B、C的质量分别为2m、3m、3m，引力常量为G，则下列说法正确的是( )
A.三个星体组成的系统动量守恒
B.A的周期小于B、C的周期
C.A所受万有引力的大小为
D.若B的角速度为ω，则A与圆心O的距离为
AD
课堂练习
FA＝2Gcos 30°
＝
＝2mω2r
得:r＝
【练习9】如图为一种四颗星体组成的稳定系统，四颗质量均为m的星体位于边长为L的正方形四个顶点，四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作用，引力常量为G。下列说法中正确的是( )
A.星体做匀速圆周运动的圆心不一定是正方形中心
B.每颗星体做匀速圆周运动的角速度均为
C.若边长L和星体质量m均是原来的两倍，
星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的两倍
D.若边长L和星体质量m均是原来的两倍，
星体做匀速圆周运动的线速度大小变为原来的4倍
B
课堂练习
G
＝mω2·L
＋
得：ω＝
=ma
a=()G
＋G＝m
得：v＝
【练习10】如图所示，一宇宙飞船绕地球中心做匀速圆周运动，已知地球半径为R，轨道A半径是2R，将飞船转移到另一个半径为4R的圆轨道B上去，已知地球质量为M，飞船质量为m，引力常量为G。(1)求飞船在轨道A上的环绕速度vA、飞船在轨道B上的环绕加速度aB；
课堂练习
解：(1)
G＝m
得vA＝
G＝maB
得aB＝
【练习10】如图所示，一宇宙飞船绕地球中心做匀速圆周运动，已知地球半径为R，轨道A半径是2R，将飞船转移到另一个半径为4R的圆轨道B上去，已知地球质量为M，飞船质量为m，引力常量为G。(2)理论上，若规定距地心无限远处为引力势能零势能点，飞船和地球组成的系统之间的引力势能表达式为Ep＝－(其中r为飞船到地心的距离)，请根据理论，计算这次轨道转移点火需要的能量。
课堂练习
EA=EkA＋EpA＝
(2)
m+(－
EB=EkB＋EpB＝
m+(－
得:mv2=
EA=
－
EB=
－
ΔE＝EB－EA
【练习11】(多选)(2023·福建卷·8)人类为探索宇宙起源发射的韦伯太空望远镜运行在日地延长线上的拉格朗日L2点附近，L2点的位置如图所示。在L2点的航天器受太阳和地球引力共同作用，始终与太阳、地球保持相对静止。考虑到太阳系内其他天体的影响很小，太阳和地球可视为以相同角速度围绕日心和地心连线中的一点O(图中未标出)转动的双星系统。若太阳和地球的质量分别为M和m，航天器的质量远小于太阳、地球的质量，日心与地心的距离为R，引力常量为G，L2点到地心的距离记为r(r R)，在L2点的航天器绕O点转动的角速度大小记为ω。下列关系式正确的是( )[可能用到的近似≈(1－2)]
课堂练习
A.ω＝[B.ω＝[
C.r＝[R D.r＝[R
G＝mω2r2
G＝Mω2r1
得ω＝[
BD
【练习11】若太阳和地球的质量分别为M和m，航天器的质量远小于太阳、地球的质量，日心与地心的距离为R，引力常量为G，L2点到地心的距离记为r(r R)，在L2点的航天器绕O点转动的角速度大小记为ω。下列关系式正确的是( )[可能用到的近似≈(1－2)]
课堂练习
A.ω＝[B.ω＝[
C.r＝[R D.r＝[R
BD
＝m0ω2(r＋r2)
G
G＋
G＝mω2r2
G＝Mω2r1
得ω＝[
航天器m0:
Mr1＝mr2
r1＋r2＝R
联立得r＝[R

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