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(共50张PPT)
“几何圆模型”在磁场中的应用
2026届高考物理人教版一轮复习
题型一 放缩圆:入射点相同,粒子速度大小不等、方向相同
模型 界定 以入射点为定点，圆心位于 直线上，将半径放缩作轨迹圆，
从而探索出粒子运动的临界条件，即为“放缩圆”法
模型 条件 粒子源发射速度方向一定、大小不同的同种带电粒子进入匀强磁
场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度
的变化而变化
模型 特点 轨迹圆的圆心共线：如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速
度 越大，运动半径也越大.可以发现这些带电粒子射入磁场后，它
们运动轨迹的圆心在垂直于初速度方向的直线 上
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续表
例1 如图所示，磁感应强度为 的匀强磁场方向垂直纸面向里，图中虚线为磁场的边界，其中段是半径为的四分之一圆弧，、 的延长线通过圆弧的圆心，长为.一束质量为、电荷量为 的粒子，在纸面内以不同的速率从点垂直射入磁场，已知所有粒子均从圆弧边界射出，其中、 是圆弧边界上的两点，不计粒子间的相互作用
和重力.则下列分析中正确的是( )
A.粒子带负电
B.从点射出粒子的速率一定大于从 点射出粒子的速率
C.从点射出粒子在磁场中运动时间一定小于从 点
射出粒子在磁场中运动时间
D.所有粒子在磁场中运动最短时间为
√
[解析] 粒子做逆时针的匀速圆周运动，根据左
手定则，可知粒子带正电，A错误；根据
得，从 点射出粒子的圆周
半径更小，则速度更小，B错误；由
，粒子周期不变，圆周运动
的圆心角越大，运动时间越长，由几何关系可知，弦切角等于圆心角的一
半，弦切角越小，运动时间越短，如图所示，当弦与 圆弧边界相切时，
弦切角最小，等于，由几何关系知，此时圆周运动的圆心角为 ，
则最短时间为，、
两点具体位置未知，则无法判断从 点射出
粒子所用时间和从 点射出粒子所用时间的
大小关系，C错误，D正确.
变式1 (多选)[2024·四川成都模拟] 如图所示，边长为
的等边三角形 内有垂直纸面向里、磁感应强度大小为
的匀强磁场，是边的中点，一质量为 、电荷量为
的带电粒子从点以不同的速率平行于 边方向射入
磁场，不计粒子重力，下列说法正确的是( )
A.粒子可能从 点射出
B.若粒子从点射出，则粒子做匀速圆周运动的半径为
C.若粒子从点射出，则粒子在磁场中运动的时间为
D.若粒子从 边射出，则粒子在磁场中运动的时间相同，且时间最长
√
√
[解析] 带负电的粒子从点以速度平行于 边方向射入磁场，由左手定
则可知，粒子向下偏转，但由于边的限制，粒子不能到达 点，A错误；
若粒子从 点射出，如图甲所示，根据几何关系有
，解得 ，
B错误；粒子轨迹对应的圆心角的正弦值为
，则 ，粒子在磁场
中运动的时间为 ，C正确；
若粒子从 边射出，则粒子的速度越大，轨迹半径越大，如图乙所示，粒子从边射出时的圆心角 相同，且为最大，根据、 可知粒子在磁场中运动的周期相等，则其在磁场中运动的时间相同，且时间最长，故D正确.
题型二 旋转圆:入射点相同,粒子速度大小相等、方向不同
模型 界定 将一半径为 的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出粒
子运动的临界条件，即为“旋转圆”法
模型 条件 粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强磁
场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度
大小为，则圆周运动轨迹半径为 ，如图所示
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续表
模型 特点 轨迹圆的圆心共圆：如图所示，带电粒子在磁场中做匀速圆周运
动的圆心在以入射点为圆心、半径 的圆上
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续表
例2 (多选)[2024·湖南长沙模拟] 如图所示，在 的区域内存在与
平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小为.一束速率等于 的相同带电
粒子从原点发射，速度方向与轴正方向的夹角等概率地分布在
范围内.其中，沿轴正方向发射的粒子从磁场右边界上的 点离开磁场，其
偏向角为 .不计粒子间相互作用和重力，下列说法正确的是( )
A.粒子在磁场中做圆周运动的半径为
B.带电粒子的比荷为
C.带电粒子在磁场中运动的最长时间为
D.能从右边界射出的粒子占总粒子数的
√
√
[解析] 根据题意作出沿 轴正方向发射的带电粒子在磁场中做圆周运动的轨迹如图甲所示，圆心为，根据几何关系有 ，可知粒子做圆周运动的半径为 ，故A正确； 由得 ，故B错误；
在磁场中运动时间最长的粒子的运动轨迹如图乙所示，由几何知识得该粒子做圆周运动的圆心角为 ，在磁场中的运动时间 ，故C正确；结合甲、乙两图可知，能从右边界射出的粒子的初速度方向与轴正方向的夹角等概率地分布在
范围内，占总粒子数的 ，
故D错误.
变式2 如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向
垂直于纸面向里，磁感应强度的大小 ．磁场
内有一块足够大的平面感光板 ，板面与磁场方向平
行，在与的距离为处有一个点状的 粒子
A. B. C. D.
放射源，它向各个方向发射 粒子， 粒子的速度都是
.已知 粒子的比荷 .现只考虑在纸面
内运动的 粒子，则感光板上被 粒子打中区域的长度为( )
√
[解析] 粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做
匀速圆周运动，用表示轨迹半径，有 ，
解得.从点朝不同方向发射的
粒子的圆轨迹都过，由于 ，故某一圆轨
迹在图中左侧与相切，此切点就是 粒子能打中的左侧最远点；再
考虑的右侧， 粒子在运动中与的距离不可能超过，以 为半径、
为圆心作圆，交于右侧的 点，此点为右侧能打到的最远点，粒子
运动轨迹如图所示，定点的位置，可作平行于的直线，到 的
距离为，以为圆心、为半径作圆，交于 点，过作的垂线，它与的交点即为 ，根据几何关系可得 ，
，故感光板上被 粒子打中区域的长度为 ，选项B正确．
题型三 平移圆:粒子速度大小相等、方向相同,但入射点在一条直线
上移动
模型 界定 将半径为 的圆进行平移，从而探索出粒子运动的临界条
件，即为“平移圆”法
模型 条件 粒子源发射速度大小和方向都相同、入射点不同但在同一直线上
的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相
同，若入射速度大小为，则圆周运动轨迹半径 ，如图
所示
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模型 特点 带电粒子轨迹圆的圆心在同一直线上，且该直线与入射点的连线
平行(或共线)
续表
例3 (多选)[2024·陕西西安模拟] 如图所示的直角三角形区域内存在垂直纸面
向里的匀强磁场(图中未画出)，磁感应强度的大小为 ，边界Ⅰ、Ⅱ的长度分别
为、 ；大量均匀分布的带电粒子由边界Ⅰ的左侧沿平行边界Ⅱ的方向垂直
射入磁场，粒子的速率均相等，已知从边界Ⅰ离开磁场的带电粒子占总数的 ，
带电粒子的质量为、所带电荷量为 ，忽略带电粒子之间的相互作用以及
粒子的重力.下列说法正确的是( )
A.带电粒子射入磁场后沿顺时针方向做匀速圆周运动
B.带电粒子在磁场中运动的最长时间为
C.刚好从边界Ⅲ离开的带电粒子在磁场中运动的时间为
D.带电粒子的初速度大小为
√
√
[解析] 由左手定则可知，带电粒子射入磁场的瞬间，带电粒
子受向上的磁场力作用，则带电粒子在磁场中沿逆时针方向
做圆周运动，A错误；带电粒子在磁场中运动的周期为
，带电粒子在磁场中转过半个圆周时，运动时间最长，
则带电粒子在磁场中运动的最长时间为 ，B正确；
作出带电粒子刚好不从边界Ⅲ离开磁场的轨迹，如图所示，由于从边界Ⅰ
离开磁场的带电粒子占总数的，则图中的、、 为边界Ⅰ的四等分点，
由几何关系可知，三角形区域的顶 角为 ，
点到顶点的距离为 ，根据几何关系可得，解得粒子轨迹半径 ，根据牛顿第二定律得，解得 ，D正确；由图可知，刚好从边界Ⅲ离开的带电粒子在磁场中偏转的角度大小为 ，则该粒子在磁场中运动的时间为 ，C错误.
变式3 如图所示，、、为以为圆心、半径为
的圆周上的三点，，为 的中点，在
内充满垂直于纸面向外的匀强磁场
(图中未画出)，磁感应强度大小为.一群质量为 、
电荷量为的带正电粒子以速率从 部分垂
A. B. C. D.
直于 射向磁场区域，忽略粒子间的相互作用以及粒子的重力，则粒子
进出磁场一次所用的时间可能是 ( )
√
[解析] 根据 ，可得粒子在磁场中运动
的轨迹半径 ，粒子在磁场中做圆周运动的周
期 ，运动轨迹如图所示，由图可知，
部分粒子从边射入磁场，又从 边射出磁场，
由对称性可知，粒子偏转的圆心角为 ，运动
时间为，从 边飞出的粒子中，
运 动时间最短的粒子其轨迹中点为 点，运动的时间，沿 入射的粒子与磁场圆在最低点内切，轨迹对应的圆心角为 ，运动时间最长，最长时间为 ，故粒子进出磁场一次所用的时间的范围为或 ，故C正确,A、B、D错误.
题型四 磁聚焦与磁发散问题
模型 建立 磁聚焦 (平行会聚 于一点) 如图所示,大量同种带正电的粒子以大小相等的速度平
行射入圆形磁场区域,如果轨迹圆半径与磁场圆半径相
等,则所有的带电粒子将从
磁场圆的同一点 射出
(射入磁场的速度方向垂直于
过出射点的直径)________________________________
模型 建立 磁聚焦 (平行会聚 于一点) 证明:任一粒子运动轨迹的圆心和磁场圆的圆心 分别
与入射点、出射点的连线组成的四边形 一定
为菱形,一定平行且等于 ，即出射点为同一点
续表
模型 建立 磁发散 (一点发散 成平行) 如图所示,大量同种带正电的粒子从 点以大小相等的速
度 沿不同方向射入圆形磁场区域,如果轨迹圆半径与磁
场圆半径相等,则所有的带电粒子射出磁场的方向平行
(射出磁场的速度方向垂直于过入射点的直径)
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续表
模型 建立 磁发散 (一点发散 成平行) 证明:任一粒子运动轨迹的圆心和磁场圆的圆心 分别
与入射点、出射点的连线组成的四边形 一定
为菱形,一定平行于 ,即出射速度方向相同
续表
例4 (多选)利用磁聚焦和磁控束可以改变一束平行带电粒
子的宽度，人们把此原理运用到薄膜材料制备上，使芯
片技术得到飞速发展.如图所示，宽度为 的带正电粒子
流水平向右射入半径为 的圆形匀强磁场区域，磁感应强
度大小为，这些带电粒子都将从磁场圆上 点进入正方
形区域，正方形过点的一边与半径为 的磁场圆相切.在正方形区域内存
在一个匀强磁场区域，使会聚到 点的粒子经过该磁场区域后宽度变为
，且粒子仍沿水平向右射出，不考虑粒子间的相互作用力及粒子的重
力，下列说法正确的是( )
A.正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为 ，
方向垂直纸面向里
B.正方形区域中匀强磁场的磁感应强度大小为 ，
方向垂直纸面向里
C.正方形区域中匀强磁场的最小面积为
D.正方形区域中匀强磁场的最小面积为
√
√
[解析] 根据磁聚焦原理，粒子在半径为 的圆形磁
场区域中运动，粒子运动的轨迹半径为 ，有
，解得，要使会聚到 点的粒子
经正方形区域内的磁场偏转后宽度变为 ，且粒子
仍沿水平向右射出，作出轨迹如图所示，由几何关
系可知粒子在正方形区域磁场中的轨迹半径为 ，正方形中磁场区域应
该为圆形磁场的一部分，有，解得 ，
由左手定则可知，方向垂直纸面向里，A错误，B正确； 如图所示，磁场区域的最小面积为 ，C正确，D错误.
放缩圆:入射点相同,粒子速度大小不等、方向相同
1.[2020· 全国卷Ⅰ] 一匀强磁场的磁感应强度大小
为 ，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线
所示，为半圆，、与直径共线，、
A. B. C. D.
间的距离等于半圆的半径.一束质量为、电荷量为 的粒子在纸面
内从点垂直于 射入磁场，这些粒子具有各种速率.不计粒子之间的相互
作用.在磁场中运动时间最长的粒子其运动时间为( )
√
[解析] 粒子在磁场中运动的时间与速度大小无关，
由在磁场中运动轨迹对应的圆心角决定，即
采用放缩法，粒子垂直于 射入磁场，则圆心必在
直线上，将粒子的轨迹半径由零开始逐渐放大，
在和时，粒子分别从、 边界射出，在磁场中的轨迹
为半圆，运动时间等于半个周期.
当 时，粒子从半圆边界射出，将轨迹半径从 逐渐放大，粒子射出位置从半圆顶端向下移动，轨迹所对的圆心角从 逐渐增大，当轨迹半径为 时，轨迹所对的圆心角最大，然后再增大轨迹半径，轨迹所对的圆心角减小，因此当轨迹半径等于时粒子运动时间最长，即 ，粒子运动的最长时间
为 ,C正确.
2.如图所示，等腰直角三角形 区域存在方向垂直于纸面向外的匀强磁
场，磁感应强度大小为.三个相同的带电粒子从点沿 方向分别以速度
、、射入磁场，在磁场中运动的时间分别为、、 ，且
.直角边的长度为 ，不计粒子的重力.下列说法正确的
是( )
A.三个速度的大小关系一定是
B.三个速度的大小关系可能是
C.粒子的比荷
D.粒子的比荷
√
[解析] 由于 ，作出粒子运动的轨迹如图所
示，它们对应的圆心角分别为 、 、 ，由几何关
系可知轨迹半径大小关系为、 ，与 大
小关系无法确定，由 可知三个速度的大小关系可
能是 ，故A错误，B正确；粒子做圆周运动的
周期，则，解得 ，故C错误；
由 及，解得 ，故D错误.
旋转圆:入射点相同,粒子速度大小相等、方向不同
3.(多选)如图所示，在荧屏 上方分布了水平
方向的匀强磁场，方向垂直纸面向里.距离荧屏
处有一粒子源 ，能够在纸面内不断地向各个方
向同时发射速度大小为、电荷量为、质量为 的带正电粒子，不计粒子
的重力，已知粒子做圆周运动的半径也恰好为 ，则( )
A.粒子能打到荧屏上的区域长度为
B.能打到荧屏上最左侧的粒子所用的时间为
C.粒子从发射到打到荧屏上的最长时间为
D.同一时刻发射的粒子打到荧屏上的最大时间差为
√
√
[解析] 打在荧屏 上的粒子轨迹的临界状态如图甲所示，根据几何关系
知，带电粒子能打到荧屏 上的区域长度为
，故A错误；由运动轨迹图
可知，能打到荧屏 上最左侧的粒子偏转了半个周期，故所用时间为
，又，解得 ，故B正确；
在磁场中运动时间最长(优弧1)和最短(劣弧2)的粒子的运动轨迹如图乙所
示，粒子做完整圆周运动的周期 ，由几何关系可知，最长时间
，最短时间 ，根据题意得同一时刻发射的粒子
打到荧屏上的最大时间差 ，故C错误，D正确.
平移圆:粒子速度大小相等、方向相同,但入射点在一条直
线上移动
4.(多选)如图所示，直角三角形 区域内有垂直于纸面向
外、磁感应强度大小为的匀强磁场，边长为 ，
.带正电的粒子流(其重力忽略不计)以相同速度
在范围内垂直于 边射入(不计粒子间的相互作用力)，
从点射入的粒子恰好不能从边射出.已知从 边垂直
射出的粒子在磁场中运动的时间为 ，在磁场中运动时间最长的粒子所用
时间为 ，则( )
A.粒子的比荷为
B.粒子运动的轨迹半径为
C.粒子射入磁场的速度大小为
D.粒子流在磁场中扫过的面积为
√
√
[解析] 粒子在磁场中做匀速圆周运动，垂直于 边射
出的粒子在磁场中运动的时间为，又有 ，
解得粒子的比荷为 ，故A错误；设运动时间最长
的粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为 ，根据题意
有，解得 ，粒子运动轨迹如图所示，
设轨迹半径为，根据几何关系有，解得 ，故
B错误；
粒子在磁场中运动，由洛伦兹力提供向心力，
有 ，解得粒子射入磁场的速度大小为
，故C正确；从 点射入的粒子恰好不
从 边界射出，由几何知识可得粒子在磁场中扫过的面
积为 ，故D正确.
磁聚焦与磁发散问题
5.(多选)如图所示，坐标原点 处有一粒子源，能向
坐标平面第一、二象限内发射大量质量为 、电荷量
为 的带正电的粒子(不计重力)，所有粒子速度大小
相等.圆心在点、半径为 的圆形区域内，有垂
直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为 ，磁
场右侧有一长度为且平行于轴的荧光屏，其中心位于点 .已知
初速度沿 轴正方向的粒子经过磁场后恰能垂直射在光屏上，则下列说法
正确的是( )
A.粒子的速度大小为
B.从 点发射的所有粒子都能垂直射在光屏上
C.能射在光屏上的粒子在磁场中运动的时间最长为
D.能射在光屏上的粒子初速度方向与轴夹角 满足
√
√
[解析] 初速度沿 轴正方向的粒子经过磁
场后恰能垂直射在光屏上，由几何关系
可知，粒子做圆周运动的轨迹半径 ，
由洛伦兹力提供向心力，有 ，
解得 ，A正确；所有粒子的初速度大小相等，但方向不同，由于所
有粒子做圆周运动的轨迹圆半径与磁场圆半径相等，由磁发散模型可知，
所有粒子射出磁场区域后的速度方向均垂直于荧光屏，但有些粒子会从荧
光屏上方或下方经过而不打在荧光屏上，B错误；
如图甲所示，由几何关系可得，能射在荧光屏
上的粒子在磁场中运动时间最长时，对应轨迹
的圆心角为 ，周期 ，则在磁场中运
动的最长时间 ，C错误；若粒子初速度方向与轴夹角
为 时能打在光屏下端，如图乙所示，由几何关系可得圆心角，
同理，粒子打在光屏上端时，初速度与轴夹角为 ，故
能射在光屏上的粒子初速度方向与 轴夹角 满足 ，D正确.

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