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习题课4　带电粒子在有界磁场中的运动
核心 目标 1. 理解带电粒子在直线边界、圆形边界等有界磁场中运动的特点．
2. 会分析、能求解带电粒子在有界磁场中的临界、极值问题．
题型1　带电粒子在直线边界匀强磁场中的运动
1. 单平面边界的磁场问题
从单平面边界射入的粒子，再从这一边界射出时，速度大小、速度方向与边界的夹角跟射入磁场时相同，如图所示．
2. 双平行平面边界的磁场问题
对如图所示题型，要考虑以下两种情况：
(1) 当磁场宽度d与轨迹圆半径r满足 r≤d 时(如图中的r1)，粒子在磁场中做半圆周运动后从进入磁场时的边界上的Q1点飞出磁场．
(2) 当磁场宽度d 与轨迹圆半径r 满足 r>d 时(如图中的r2)，粒子将从另一边界上的Q2点飞出磁场．
注意，沿PQ2弧线运动时：偏向角可由sin θ＝ 求出，带电粒子在磁场中经历的时间可由 t＝(θ用弧度表示)求出．
　(2024·深圳高级中学)(多选)如图所示，水平虚线MN下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B的大小可以改变，ST为接收屏，T点位于磁场的边界处，∠STM＝30°.在S点有一粒子发射源，发射的粒子速度方向均垂直MN，速度大小均为v0，发射的粒子经过一段时间均能打到接收屏上．已知粒子的比荷为k，发射源S到MN的距离为d，忽略粒子间的相互作用以及重力．下列说法中正确的有(　　 )
A. 粒子带负电
B. B可能为
C. 当B最小时，粒子打到接收屏的点到T点的间距为 (2－)d
D. 当B最小时，粒子从发射到被接收，粒子的运动时间为
　(2025·佛山S6高质量发展联盟)(多选)如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界线，现有质量为m、电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入，要使粒子不能从边界NN′射出，粒子入射速率v的最大值可能是(　　)
A. B.
C. D.
解题时，要注意对称性，按照“画轨迹，找圆心，求半径(利用几何关系)”的基本思路进行．
题型2　带电粒子在圆形边界匀强磁场中的运动
1. 在圆形匀强磁场区域内，沿径向对准磁场圆心射入的粒子一定沿径向射出．
如图所示，磁场圆半径为R，粒子轨迹圆半径为r，带电粒子从P点对准磁场圆心O射入，由几何知识容易证明粒子从Q点飞出的速度方向的反向延长线必过磁场圆心O点．
2. 带电粒子入射方向偏离圆形匀强磁场圆心射入的问题．
处理这类问题时一定要分清磁场圆和轨迹圆，并要注意区分轨迹圆的圆心和圆形边界匀强磁场的圆心．
甲 乙
(1) 当粒子沿图甲所示轨迹运动时，粒子在磁场中运动时间最长、速度偏转角最大．
(2) 由图甲看出，在轨迹圆半径和速度偏转角一定的情况下，可实现此偏转的最小磁场圆是以PQ为直径的圆．
(3) 如图乙所示，由几何知识很容易证明：当r＝＝R时，相同带电粒子从P点沿纸面内不同方向射入磁场，它们离开磁场时的方向都是平行的．
　如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v从A点沿直径AB方向射入磁场，经过Δt时间从C点射出磁场，OC与OB成60°角．现只改变带电粒子的速度大小，仍从A点沿原方向射入原磁场，不计重力，测出粒子在磁场中的运动时间变为2Δt，则粒子的速度大小变为(　　)
A. v B. 2v
C. v D. 3v
　(2025·广东省名校联盟)如图所示，圆形区域半径为R，圆心在O点，区域中有方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B.电子在电子枪中经电场加速后沿AO方向垂直进入磁场，偏转后从M点射出并垂直打在荧光屏PQ上的N点，PQ平行于AO，O点到PQ的距离为2R.电子电荷量为e，质量为m，忽略电子加速前的初动能及电子间的相互作用．
(1) 求电子进入磁场时的速度大小v.
(2) 求电子枪的加速电压U.
(3) 若保持电子枪与AO平行，将电子枪在纸面内向下平移至距AO为处，则电子打在荧光屏上的点位于N点的左侧还是右侧及该点距N点的距离．
题型3　带电粒子在有界磁场中的临界、极值问题
1. 临界问题往往对应着一些特殊的词语，如“恰好”、“刚好”、“最大”、“最小”、“最高”、“至少”等，解题时应予以特别关注.
2. 带电粒子在有界匀强磁场中做匀速圆周运动时，速度的大小和方向发生变化，会使带电粒子的运动状态在某一时刻发生变化．找到临界点对应的条件是解决此类问题的突破口．
(1) 刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．
(2) 当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长、圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动时间越长．
(3) 当比荷相同，速率v变化时，带电粒子在匀强磁场中运动的圆心角越大，运动时间越长．
　(2024·广州执信中学)(多选)如图所示，边长为L的等边三角形ABC内有垂直纸面向里、磁感应强度大小为B0的匀强磁场，D是AB边的中点，一质量为m、电荷量为－q(q>0)的带负电的粒子从D点以速度v平行于BC边方向射入磁场，不考虑带电粒子受到的重力，则下列说法中正确的是(　　)
A. 粒子可能从B点射出
B. 若粒子垂直BC边射出，则粒子做匀速圆周运动的半径为 L
C. 若粒子从C点射出，则粒子在磁场中运动的时间为
D. 若粒子从AB边射出，则粒子的速度越大，其在磁场中运动的时间越短
　如图所示，abcd是一个边长为L的正方形，它是磁感应强度为B的匀强磁场横截面的边界线．一带电粒子从ad边的中点O与ad边成θ＝30°角且垂直于磁场方向射入．若该带电粒子所带电荷量为q、质量为m(重力不计)，则：
(1) 该带电粒子在磁场中飞行时间最长是多少？
(2) 若要带电粒子飞行时间最长，带电粒子的速度必须符合什么条件？
带电粒子在磁场中运动临界极值问题的分析方法
借助半径R和速度v(或磁场B)之间的约束关系进行动态运动轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关系，找出临界点，然后利用数学方法求解极值．
1. (2025·深圳中学)(多选)如图所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的感光板．从圆形磁场最高点P以速度v垂直磁场射入大量的带正电的粒子，且粒子所带电荷量为q、质量为m.不考虑粒子间的相互作用力，关于这些粒子的运动，下列说法中正确的是(　　)
A. 只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN上
B. 对着圆心入射的粒子，速度越大，在磁场中通过的弧长越长，时间也越长
C. 对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线一定过圆心
D. 只要速度满足v＝，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上
2. (多选)如图所示，直角三角形ABC区域内(含边界)存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B.顶点A处有一离子源，沿AC方向同时射出一群速度大小不同的正离子，离子的质量均为m、电荷量均为q.已知∠BAC＝30°，BC边长为L，不计离子的重力及离子间的相互作用力．下列说法中正确的是(　　 )
A. 从AB边界射出的离子，一定同时平行射出
B. 从BC边界射出的离子在磁场中运动的时间均不小于
C. 从BC边界射出的离子的速度均不小于
D. 当某离子垂直于BC边界射出时，磁场中的所有离子都在与AB边界成15°角的一条直线上
配套新练案
考向1　带电粒子在直线边界匀强磁场中的运动
1. 如图所示，在虚线上方足够大的空间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B.一带正电粒子从A点以速率v0射入磁场，速度方向与虚线的夹角θ＝30°，粒子经过磁场偏转后从C点射出磁场．已知A点和C点的距离为L，不计粒子的重力．则粒子的比荷是(　　)
A. B.
C. D.
2. (多选)如图所示，边长为l的正方形abcd区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B.一带电粒子从b点沿bc方向射入该磁场区域，经过时间t0恰好能从d点射出，且其速度方向与ad边垂直，则下列说法中正确的是(　　)
A. 该粒子一定带负电荷
B. 该粒子从b点进入磁场时的速度大小为
C. 该粒子的比荷为
D. 若粒子进入磁场时的速度减为原来的一半，则粒子一定从a点射出磁场
考向2　带电粒子在圆形边界匀强磁场中的运动
3. (2024·江苏连云港三模)2023年4月，我国有“人造太阳”之称的托卡马克核聚变实验装置创造了新的世界纪录．其中磁约束的简化原理如图所示：在半径为R1和R2的真空同轴圆柱面之间，加有与轴线平行的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，R2＝2R1.假设氘核 H沿内环切线向左进入磁场，氚核H沿内环切线向右进入磁场，二者均恰好不从外环射出．不计重力及二者之间的相互作用，则 H和 H的速度之比为(　　)
A. 2∶1 B. 3∶2
C. 2∶3 D. 1∶2
4. (2024·佛山期中联考)如图所示，圆形区域的圆心为O，区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，MN为圆的直径．从圆上的A点沿AO方向，以相同的速度先后射入甲、乙两个粒子，甲粒子从M点离开磁场，乙粒子从N点离开磁场．已知∠AON＝60°，不计粒子受到的重力，下列说法中正确的是(　　)
A. 乙粒子带正电荷
B. 乙粒子与甲粒子的比荷之比为3∶1
C. 乙粒子与甲粒子在磁场中运动的时间之比为3∶1
D. 乙粒子与甲粒子在磁场中做圆周运动的半径之比为3∶1
考向3　带电粒子在有界磁场中的临界、极值问题
5. 平面OM和平面ON之间的夹角为30°，其横截面(纸面)如图所示，平面OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外．一带电粒子的质量为m，电荷量为q(q＞0).粒子沿纸面以大小为v的速度从OM的某点向左上方射入磁场，速度与OM成30°角．已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点P，并从OM上另一点射出磁场．不计重力．粒子离开磁场的出射点到P点的距离为(　　)
A. B.
C. D.
6. (多选)如图所示，在直角三角形ABC内存在垂直于纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，AB边长度为d，∠C＝.现垂直于AB边射入一群质量均为m、电荷量均为q、速度相同的带正电粒子(不计重力)，已知垂直于AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0，在磁场中运动时间最长的粒子经历的时间为 t0.下列说法中正确的是(　　)
A. 粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为4t0
B. 该匀强磁场的磁感应强度大小为
C. 粒子在磁场中运动的轨道半径为 d
D. 粒子进入磁场时的速度大小为
7. 如图所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的足够长感光板．从圆形磁场最高点P以大小为v＝的速度垂直磁场沿各方向射入大量带正电荷的粒子，且粒子所带电荷量为q、质量为m.不考虑粒子间的相互作用力及粒子的重力．关于这些粒子的运动，下列说法中正确的是(　　)
A. 射出磁场的粒子不能垂直打在MN上
B. 粒子在磁场中运动的圆弧轨迹不可能过圆心O
C. 射出磁场的粒子其出射方向的反向延长线不可能过圆心O
D. 射出磁场的粒子的速度方向都是相互平行的
8. (2024·中山华辰实验中学)如图所示，长方形区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，AB边长为l，AD边足够长，一质量为m、电荷量大小为q的粒子从BC边上的O点以初速度v0垂直于BC方向射入磁场，粒子从A点离开磁场，速度方向与直线AB成30°角，不计粒子重力．求：
(1) 粒子的电性和OB的长度．
(2) 磁场的磁感应强度大小B.
(3) 粒子在磁场中经历的时间．
9. 如图所示，在边长为L的等边三角形ACD区域内，存在垂直于所在平面向里的匀强磁场．大量的质量为m、电荷量为q的带正电粒子以相同速度(速度大小未确定)沿垂直于CD的方向射入磁场，经磁场偏转后三条边均有粒子射出，其中垂直于AD边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0.不计粒子的重力及粒子间的相互作用．
(1) 求磁场的磁感应强度大小．
(2) 要确保粒子能从CD边射出，求粒子射入的最大速度．
(3) 若粒子取(2)中的最大速度，求AC、AD边上可能有粒子射出的范围．习题课4　带电粒子在有界磁场中的运动
核心 目标 1. 理解带电粒子在直线边界、圆形边界等有界磁场中运动的特点．
2. 会分析、能求解带电粒子在有界磁场中的临界、极值问题．
题型1　带电粒子在直线边界匀强磁场中的运动
1. 单平面边界的磁场问题
从单平面边界射入的粒子，再从这一边界射出时，速度大小、速度方向与边界的夹角跟射入磁场时相同，如图所示．
2. 双平行平面边界的磁场问题
对如图所示题型，要考虑以下两种情况：
(1) 当磁场宽度d与轨迹圆半径r满足 r≤d 时(如图中的r1)，粒子在磁场中做半圆周运动后从进入磁场时的边界上的Q1点飞出磁场．
(2) 当磁场宽度d 与轨迹圆半径r 满足 r>d 时(如图中的r2)，粒子将从另一边界上的Q2点飞出磁场．
注意，沿PQ2弧线运动时：偏向角可由sin θ＝ 求出，带电粒子在磁场中经历的时间可由 t＝(θ用弧度表示)求出．
　(2024·深圳高级中学)(多选)如图所示，水平虚线MN下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B的大小可以改变，ST为接收屏，T点位于磁场的边界处，∠STM＝30°.在S点有一粒子发射源，发射的粒子速度方向均垂直MN，速度大小均为v0，发射的粒子经过一段时间均能打到接收屏上．已知粒子的比荷为k，发射源S到MN的距离为d，忽略粒子间的相互作用以及重力．下列说法中正确的有(　ACD　 )
A. 粒子带负电
B. B可能为
C. 当B最小时，粒子打到接收屏的点到T点的间距为 (2－)d
D. 当B最小时，粒子从发射到被接收，粒子的运动时间为
解析：由左手定则可知，粒子带负电，A正确；当粒子轨道半径最大时，B最小，由几何关系可知r＝d，根据qv0B＝m可知Bmin＝，则B不可能为 ，B错误；当B最小时，粒子打到接收屏的点到T点的间距为s＝－2r cos 30°＝(2－)d，C正确；当B最小时，粒子从发射到被接收，粒子的运动时间为t＝T＝·＝，D正确．
　(2025·佛山S6高质量发展联盟)(多选)如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界线，现有质量为m、电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入，要使粒子不能从边界NN′射出，粒子入射速率v的最大值可能是(　BD　)
A. B.
C. D.
解析：设带电粒子在磁场中运动的轨道半径为R，粒子在磁场中做圆周运动时由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可得qvB＝m，解得R＝.带电粒子速率越大，轨道半径越大，当轨迹恰好与边界NN′相切时，粒子恰好不能从边界NN′射出，对应的速率最大．
　
若粒子带负电，临界轨迹如左图，由几何知识得R＋R cos 45°＝d，解得R＝(2－)d，对应的速率v＝，若粒子带正电，临界轨迹如右图，由几何知识得R－R cos 45°＝d，解得R＝(2＋)d，对应的速率v＝，B、D正确．
解题时，要注意对称性，按照“画轨迹，找圆心，求半径(利用几何关系)”的基本思路进行．
题型2　带电粒子在圆形边界匀强磁场中的运动
1. 在圆形匀强磁场区域内，沿径向对准磁场圆心射入的粒子一定沿径向射出．
如图所示，磁场圆半径为R，粒子轨迹圆半径为r，带电粒子从P点对准磁场圆心O射入，由几何知识容易证明粒子从Q点飞出的速度方向的反向延长线必过磁场圆心O点．
2. 带电粒子入射方向偏离圆形匀强磁场圆心射入的问题．
处理这类问题时一定要分清磁场圆和轨迹圆，并要注意区分轨迹圆的圆心和圆形边界匀强磁场的圆心．
甲 乙
(1) 当粒子沿图甲所示轨迹运动时，粒子在磁场中运动时间最长、速度偏转角最大．
(2) 由图甲看出，在轨迹圆半径和速度偏转角一定的情况下，可实现此偏转的最小磁场圆是以PQ为直径的圆．
(3) 如图乙所示，由几何知识很容易证明：当r＝＝R时，相同带电粒子从P点沿纸面内不同方向射入磁场，它们离开磁场时的方向都是平行的．
　如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v从A点沿直径AB方向射入磁场，经过Δt时间从C点射出磁场，OC与OB成60°角．现只改变带电粒子的速度大小，仍从A点沿原方向射入原磁场，不计重力，测出粒子在磁场中的运动时间变为2Δt，则粒子的速度大小变为(　C　)
A. v B. 2v
C. v D. 3v
解析：设圆形磁场区域的半径是R，以速度v射入时，由公式qvB＝m得r1＝，根据几何关系可知＝ tan 60°，所以r1＝R，运动时间Δt＝.设第二次射入时的圆心角为θ，根据分析可知θ＝120°，则tan ＝＝，半径r2＝，又r2＝，得v′＝v，C正确．
　(2025·广东省名校联盟)如图所示，圆形区域半径为R，圆心在O点，区域中有方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B.电子在电子枪中经电场加速后沿AO方向垂直进入磁场，偏转后从M点射出并垂直打在荧光屏PQ上的N点，PQ平行于AO，O点到PQ的距离为2R.电子电荷量为e，质量为m，忽略电子加速前的初动能及电子间的相互作用．
(1) 求电子进入磁场时的速度大小v.
答案：
解析：电子在磁场中，洛伦兹力提供做圆周运动的向心力evB＝m
电子轨迹如图甲所示，由几何关系得r＝R，联立解得v＝
甲
(2) 求电子枪的加速电压U.
答案：
解析：电子在电子枪中加速，由动能定理得eU＝mv2
联立解得U＝
(3) 若保持电子枪与AO平行，将电子枪在纸面内向下平移至距AO为处，则电子打在荧光屏上的点位于N点的左侧还是右侧及该点距N点的距离．
答案：左侧　R
解析：电子在磁场中运动的半径r＝R，故平行于AO射入磁场的电子都将经过M点后打在荧光屏上．设从与AO相距的C点射入磁场的电子打在荧光屏上的G点，G点位于N点的左侧，其轨迹如图乙所示．由几何关系α＝60°
GN＝＝R
乙
题型3　带电粒子在有界磁场中的临界、极值问题
1. 临界问题往往对应着一些特殊的词语，如“恰好”、“刚好”、“最大”、“最小”、“最高”、“至少”等，解题时应予以特别关注.
2. 带电粒子在有界匀强磁场中做匀速圆周运动时，速度的大小和方向发生变化，会使带电粒子的运动状态在某一时刻发生变化．找到临界点对应的条件是解决此类问题的突破口．
(1) 刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．
(2) 当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长、圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动时间越长．
(3) 当比荷相同，速率v变化时，带电粒子在匀强磁场中运动的圆心角越大，运动时间越长．
　(2024·广州执信中学)(多选)如图所示，边长为L的等边三角形ABC内有垂直纸面向里、磁感应强度大小为B0的匀强磁场，D是AB边的中点，一质量为m、电荷量为－q(q>0)的带负电的粒子从D点以速度v平行于BC边方向射入磁场，不考虑带电粒子受到的重力，则下列说法中正确的是(　BC　)
A. 粒子可能从B点射出
B. 若粒子垂直BC边射出，则粒子做匀速圆周运动的半径为 L
C. 若粒子从C点射出，则粒子在磁场中运动的时间为
D. 若粒子从AB边射出，则粒子的速度越大，其在磁场中运动的时间越短
解析：带电粒子从D点以速度v平行于BC边方向射入磁场，由左手定则可知，粒子向下偏转，由于BC边的限制，粒子不能达到B点，A错误；粒子垂直BC边射出，如图甲所示，粒子做匀速圆周运动的半径等于D点到BC边的距离r＝L sin 60°＝L，B正确；粒子从C点射出，如图乙所示，根据几何关系可得R＝(R2－sin 60°)2＋(L－cos 60°)2，解得R2＝L，则粒子轨迹对应的圆心角的正弦值为sin ∠O＝＝，则∠O＝60°，粒子在磁场中运动的时间为t＝T＝·＝，C正确；qvB0＝m，可知r＝，若粒子从AB边射出，则粒子的速度越大，轨迹半径越大，如图丙所示，粒子从AB边射出时的圆心角相同，其在磁场中运动的时间相同，D错误．
甲
乙
　
丙
　如图所示，abcd是一个边长为L的正方形，它是磁感应强度为B的匀强磁场横截面的边界线．一带电粒子从ad边的中点O与ad边成θ＝30°角且垂直于磁场方向射入．若该带电粒子所带电荷量为q、质量为m(重力不计)，则：
(1) 该带电粒子在磁场中飞行时间最长是多少？
答案：
解析：粒子带正电荷，由左手定则可知它将向ab方向偏转，带电粒子可能的轨迹如图所示(磁场方向没有画出)，由图可以发现带电粒子从入射边进入，又从入射边飞出时，其轨迹所对的圆心角最大，那么，带电粒子从ad边飞出的轨迹中，与ab相切的轨迹半径也就是它所有可能轨迹半径中的临界半径r0.当r＞r0时，在磁场中运动时间是变化的；当r≤r0时，在磁场中运动的时间是相同的，也是在磁场中运动时间最长的．
由图可知，∠OO2E＝
轨迹所对的圆心角为α＝2π－＝
运动的最长时间t＝T＝
(2) 若要带电粒子飞行时间最长，带电粒子的速度必须符合什么条件？
答案：v≤
解析：由图可得r0＋＝
所以r0＝≥
解得v≤
带电粒子在磁场中运动临界极值问题的分析方法
借助半径R和速度v(或磁场B)之间的约束关系进行动态运动轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关系，找出临界点，然后利用数学方法求解极值．
1. (2025·深圳中学)(多选)如图所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的感光板．从圆形磁场最高点P以速度v垂直磁场射入大量的带正电的粒子，且粒子所带电荷量为q、质量为m.不考虑粒子间的相互作用力，关于这些粒子的运动，下列说法中正确的是(　CD　)
A. 只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN上
B. 对着圆心入射的粒子，速度越大，在磁场中通过的弧长越长，时间也越长
C. 对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线一定过圆心
D. 只要速度满足v＝，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上
解析：带电粒子的运动轨迹是圆弧，根据几何知识可知，对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线也一定过圆心，C正确；由洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m，可知r＝，对着圆心入射的粒子，速度越大，在磁场中轨迹半径越大，弧长越长，轨迹对应的圆心角越小，由t＝T可知，运动时间t越短，B错误；如图所示，当速度满足v＝，粒子的轨迹半径为r＝R，入射点、出射点、O点与轨迹的圆心构成菱形，射出磁场时的轨迹半径与最高点的磁场半径平行，此时，粒子出射后一定垂直打在MN板上，A错误，D正确．故选C、D.
2. (多选)如图所示，直角三角形ABC区域内(含边界)存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B.顶点A处有一离子源，沿AC方向同时射出一群速度大小不同的正离子，离子的质量均为m、电荷量均为q.已知∠BAC＝30°，BC边长为L，不计离子的重力及离子间的相互作用力．下列说法中正确的是(　ACD　 )
A. 从AB边界射出的离子，一定同时平行射出
B. 从BC边界射出的离子在磁场中运动的时间均不小于
C. 从BC边界射出的离子的速度均不小于
D. 当某离子垂直于BC边界射出时，磁场中的所有离子都在与AB边界成15°角的一条直线上
解析：从AB边界射出的离子，如图所示，由题意可知，离子的入射角相同，出射角也相同，则从AB边界射出的离子转过的圆心角均为60°.由于所有离子质量和电荷量均相同，可知所有离子的运动周期均相同，离子在磁场中的运动时间也相同，故离子会同时平行射出，A正确；在B点射出的离子，在磁场中运动的时间tB＝＝，从BC边界射出的离子，圆周运动的圆心角α≤60°，所以从BC边界射出的离子在磁场中运动的时间t≤，B错误；当离子从BC边界射出时，从B点射出的离子运动半径最小，速度也最小，则离子从B点射出时，由几何关系可知，离子的运动半径为r＝L，由r＝可得v＝＝，故从BC边界射出的离子的速度应该不小于，C正确；同一时刻沿同一方向射出不同速度大小的离子，由于周期相同，则经历相同的时间，转过相同圆心角的离子在同一条直线上，当某离子垂直于BC边界射出时，由几何关系可知，此时离子转过的圆心角为30°，由弦切角与圆心角的关系可知，此时所有离子在与AB边界成15°角的一条直线上，D正确．
配套新练案
考向1　带电粒子在直线边界匀强磁场中的运动
1. 如图所示，在虚线上方足够大的空间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B.一带正电粒子从A点以速率v0射入磁场，速度方向与虚线的夹角θ＝30°，粒子经过磁场偏转后从C点射出磁场．已知A点和C点的距离为L，不计粒子的重力．则粒子的比荷是(　B　)
A. B.
C. D.
解析：粒子在磁场中运动的轨迹如图，由几何关系可知轨迹的半径为r＝·＝L
由洛伦兹力提供向心力qv0B＝m，联立解得＝，A、C、D错误，B正确．故选B.
2. (多选)如图所示，边长为l的正方形abcd区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B.一带电粒子从b点沿bc方向射入该磁场区域，经过时间t0恰好能从d点射出，且其速度方向与ad边垂直，则下列说法中正确的是(　BD　)
A. 该粒子一定带负电荷
B. 该粒子从b点进入磁场时的速度大小为
C. 该粒子的比荷为
D. 若粒子进入磁场时的速度减为原来的一半，则粒子一定从a点射出磁场
解析：由题意可知，粒子从b点沿bc方向进入磁场区域后，向上偏转从d点射出磁场，由左手定则可知，该粒子一定带正电，A错误；设粒子从b点沿bc方向进入磁场时的速度大小为v0，轨迹如图所示，由几何关系可知，粒子在磁场中运动的轨迹半径为l，则由洛伦兹力提供向心力可得 qv0B＝m，t0＝＝，两式联立可解得 v0＝，B正确；由t0＝可得该粒子的比荷＝，C错误；若该粒子进入磁场时的速度减为原来的一半，则由R＝可知，粒子在磁场中运动的轨迹半径将变为原来的一半，即R＝，故粒子一定从a点水平向左射出磁场区域，D正确．
考向2　带电粒子在圆形边界匀强磁场中的运动
3. (2024·江苏连云港三模)2023年4月，我国有“人造太阳”之称的托卡马克核聚变实验装置创造了新的世界纪录．其中磁约束的简化原理如图所示：在半径为R1和R2的真空同轴圆柱面之间，加有与轴线平行的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，R2＝2R1.假设氘核 H沿内环切线向左进入磁场，氚核H沿内环切线向右进入磁场，二者均恰好不从外环射出．不计重力及二者之间的相互作用，则 H和 H的速度之比为(　D　)
A. 2∶1 B. 3∶2
C. 2∶3 D. 1∶2
解析：由题意可知，根据左手定则，作出运动轨迹如图所示，由几何关系可知，氘核H的半径为r1，有2r1＝R2－R1＝R1，则r1＝.氚核H的半径为r2，由几何关系可知2r2＝R1＋R2＝3R1，则r2＝R1，由洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m，氘核与氚核的质量之比m1∶m2＝2∶3，电荷量之比q1∶q2＝1∶1，则氘核和氚核的速度之比为＝，故选D.
4. (2024·佛山期中联考)如图所示，圆形区域的圆心为O，区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，MN为圆的直径．从圆上的A点沿AO方向，以相同的速度先后射入甲、乙两个粒子，甲粒子从M点离开磁场，乙粒子从N点离开磁场．已知∠AON＝60°，不计粒子受到的重力，下列说法中正确的是(　B　)
A. 乙粒子带正电荷
B. 乙粒子与甲粒子的比荷之比为3∶1
C. 乙粒子与甲粒子在磁场中运动的时间之比为3∶1
D. 乙粒子与甲粒子在磁场中做圆周运动的半径之比为3∶1
解析：根据左手定则可知，乙粒子带负电荷，A错误；粒子的轨迹如图所示，设圆形磁场的半径为R，由几何关系可知乙粒子的半径为r1＝R tan 30°＝R，甲粒子的半径为r2＝R tan 60°＝R，则乙粒子与甲粒子在磁场中做圆周运动的半径之比为r1∶r2＝1∶3，根据洛伦兹力提供向心力有Bqv＝，可得乙粒子与甲粒子的比荷之比为∶＝3∶1，B正确，D错误；粒子在磁场中运动时间为t＝T，T＝，其中θ为轨迹圆的圆心角，则乙粒子与甲粒子在磁场中运动的时间之比为t1∶t2＝2∶3，C错误．
考向3　带电粒子在有界磁场中的临界、极值问题
5. 平面OM和平面ON之间的夹角为30°，其横截面(纸面)如图所示，平面OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外．一带电粒子的质量为m，电荷量为q(q＞0).粒子沿纸面以大小为v的速度从OM的某点向左上方射入磁场，速度与OM成30°角．已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点P，并从OM上另一点射出磁场．不计重力．粒子离开磁场的出射点到P点的距离为(　D　)
A. B.
C. D.
解析：带电粒子在磁场中做圆周运动，qvB＝m，轨道半径为r＝，轨迹与ON相切，画出粒子的运动轨迹如图所示，由于AD＝2r sin 30°＝r，故△AO′D为等边三角形，∠O′DA＝60°，而∠MON＝30°，则∠OPD＝90°，故PO′D为一直线，则P点到出射点D的距离为PD＝2r＝，故D正确．
6. (多选)如图所示，在直角三角形ABC内存在垂直于纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，AB边长度为d，∠C＝.现垂直于AB边射入一群质量均为m、电荷量均为q、速度相同的带正电粒子(不计重力)，已知垂直于AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0，在磁场中运动时间最长的粒子经历的时间为 t0.下列说法中正确的是(　ABC　)
A. 粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为4t0
B. 该匀强磁场的磁感应强度大小为
C. 粒子在磁场中运动的轨道半径为 d
D. 粒子进入磁场时的速度大小为
解析：粒子垂直于AC边射出，可知速度偏转角为，则对应的圆心角也等于，依题意有t0∶T＝∶2π，解得T＝4t0，A正确；根据带电粒子在匀强磁场中的周期公式有T＝4t0＝，可得B＝，B正确；在磁场中运动时间最长的粒子经历的时间为t0，依题意其运动轨迹如图所示．因磁场中运动的时间为t0时，对应的圆心角为，即∠EOF＝π，根据几何关系有r cos ∠FOA＋＝d，即 r＋r＝d，解得r＝d，C正确；根据带电粒子在匀强磁场中圆周运动的轨道半径公式，依题意有r＝d＝，解得v＝＝，D错误．
7. 如图所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的足够长感光板．从圆形磁场最高点P以大小为v＝的速度垂直磁场沿各方向射入大量带正电荷的粒子，且粒子所带电荷量为q、质量为m.不考虑粒子间的相互作用力及粒子的重力．关于这些粒子的运动，下列说法中正确的是(　D　)
A. 射出磁场的粒子不能垂直打在MN上
B. 粒子在磁场中运动的圆弧轨迹不可能过圆心O
C. 射出磁场的粒子其出射方向的反向延长线不可能过圆心O
D. 射出磁场的粒子的速度方向都是相互平行的
解析：带电粒子在磁场中，洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，可得r＝R，粒子平行于感光板射入磁场时，一定垂直打在MN上，其出射方向的反向延长线通过圆心O，故A、C错误；射入磁场的粒子沿各个方向均有，故磁场中运动的圆弧轨迹有可能过圆心O，故B错误；根据上面选项分析，轨迹圆的半径等于磁场圆的半径，则沿不同方向射入的带电粒子的入射点、出射点、磁场圆的圆心和轨迹圆的圆心，四点构成一个菱形，根据对称性可得，射出磁场的粒子的速度方向都是相互平行的，故D正确．
8. (2024·中山华辰实验中学)如图所示，长方形区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，AB边长为l，AD边足够长，一质量为m、电荷量大小为q的粒子从BC边上的O点以初速度v0垂直于BC方向射入磁场，粒子从A点离开磁场，速度方向与直线AB成30°角，不计粒子重力．求：
(1) 粒子的电性和OB的长度．
答案：正电　(2－)l
解析：粒子从A点离开磁场，可知粒子在O点受到的洛伦兹力方向水平向左，根据左手定则可知粒子带正电，粒子运动轨迹如图所示：
根据几何关系，可得R sin 30°＝l
解得粒子在磁场中运动的半径R＝2l，所以
OB＝R－R cos 30°＝(2－)l
(2) 磁场的磁感应强度大小B.
答案：
解析：粒子在磁场中做圆周运动有qv0B＝
解得B＝
(3) 粒子在磁场中经历的时间．
答案：
解析：粒子在磁场中经历的时间t＝·＝·
解得t＝
9. 如图所示，在边长为L的等边三角形ACD区域内，存在垂直于所在平面向里的匀强磁场．大量的质量为m、电荷量为q的带正电粒子以相同速度(速度大小未确定)沿垂直于CD的方向射入磁场，经磁场偏转后三条边均有粒子射出，其中垂直于AD边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0.不计粒子的重力及粒子间的相互作用．
(1) 求磁场的磁感应强度大小．
答案：
解析：洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m
周期T＝
当粒子垂直AD边射出时，根据几何关系得圆心角为60°
即时间t0＝
联立解得B＝
(2) 要确保粒子能从CD边射出，求粒子射入的最大速度．
答案：
解析：当轨迹圆与AC、AD都相切时，粒子恰好能从CD边射出，此时半径最大，速度为最大值，即r＝sin 60°＝L
根据qvB＝m得r＝
联立解得v＝
(3) 若粒子取(2)中的最大速度，求AC、AD边上可能有粒子射出的范围．
答案：见解析
解析：由(2)知，当轨迹圆与AC相切时，从AC边射出的粒子距C最远，故AC边上有粒子射出的范围为CE段
xCE＝cos 60°＝
当轨迹圆与AD边的交点F恰在圆心O正上方时，射出的粒子距D点最远，故AD边上有粒子射出的范围为DF段
xDF＝＝(共61张PPT)
第一章
习题课4　带电粒子在有界磁场中的运动
安培力与洛伦兹力
核心 目标 1. 理解带电粒子在直线边界、圆形边界等有界磁场中运动的特点．
2. 会分析、能求解带电粒子在有界磁场中的临界、极值问题．
能力提升 典题固法
带电粒子在直线边界匀强磁场中的运动
题型
1
1. 单平面边界的磁场问题
从单平面边界射入的粒子，再从这一边界射出时，速度大小、速度方向与边界的夹角跟射入磁场时相同，如图所示．
2. 双平行平面边界的磁场问题
对如图所示题型，要考虑以下两种情况：
(1) 当磁场宽度d与轨迹圆半径r满足 r≤d 时(如图中的r1)，粒子在磁场中做半圆周运动后从进入磁场时的边界上的Q1点飞出磁场．
(2) 当磁场宽度d 与轨迹圆半径r 满足 r>d 时(如图中的r2)，粒子将从另一边界上的Q2点飞出磁场．
(2024·深圳高级中学)(多选)如图所示，水平虚线MN下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B的大小可以改变，ST为接收屏，T点位于磁场的边界处，∠STM＝30°.在S点有一粒子发射源，发射的粒子速度方向均垂直MN，速度大小均为v0，发射的粒子经过一段时间均能打到接收屏上．已知粒子的比荷为k，发射源S到MN的距离为d，忽略粒子间的相互作用以及重力．下列说法中正确的有 (　　　)
1
ACD
(2025·佛山S6高质量发展联盟)(多选)如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界线，现有质量为m、电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入，要使粒子不能从边界NN′射出，粒子入射速率v的最大值可能是 (　　)
2
BD
解题时，要注意对称性，按照“画轨迹，找圆心，求半径(利用几何关系)”的基本思路进行．
带电粒子在圆形边界匀强磁场中的运动
题型
2
1. 在圆形匀强磁场区域内，沿径向对准磁场圆心射入的粒子一定沿径向射出．
如图所示，磁场圆半径为R，粒子轨迹圆半径为r，带电粒子从P点对准磁场圆心O射入，由几何知识容易证明粒子从Q点飞出的速度方向的反向延长线必过磁场圆心O点．
2. 带电粒子入射方向偏离圆形匀强磁场圆心射入的问题．
处理这类问题时一定要分清磁场圆和轨迹圆，并要注意区分轨迹圆的圆心和圆形边界匀强磁场的圆心．
如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v从A点沿直径AB方向射入磁场，经过Δt时间从C点射出磁场，OC与OB成60°角．现只改变带电粒子的速度大小，仍从A点沿原方向射入原磁场，不计重力，测出粒子在磁场中的运动时间变为2Δt，则粒子的速度大小变为 (　　)
3
C
(2025·广东省名校联盟)如图所示，圆形区域半径为R，圆心在O点，区域中有方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B.电子在电子枪中经电场加速后沿AO方向垂直进入磁场，偏转后从M点射出并垂直打在荧光屏PQ上的N点，PQ平行于AO，O点到PQ的距离为2R.电子电荷量为e，质量为m，忽略电子加速前的初动能及电子间的相互作用．
(1) 求电子进入磁场时的速度大小v.
4
甲
(2) 求电子枪的加速电压U.
乙
带电粒子在有界磁场中的临界、极值问题
题型
3
1. 临界问题往往对应着一些特殊的词语，如“恰好”、“刚好”、“最大”、“最小”、“最高”、“至少”等，解题时应予以特别关注.
2. 带电粒子在有界匀强磁场中做匀速圆周运动时，速度的大小和方向发生变化，会使带电粒子的运动状态在某一时刻发生变化．找到临界点对应的条件是解决此类问题的突破口．
(1) 刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．
(2) 当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长、圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动时间越长．
(3) 当比荷相同，速率v变化时，带电粒子在匀强磁场中运动的圆心角越大，运动时间越长．
(2024·广州执信中学)(多选)如图所示，边长为L的等边三角形ABC内有垂直纸面向里、磁感应强度大小为B0的匀强磁场，D是AB边的中点，一质量为m、电荷量为－q(q>0)的带负电的粒子从D点以速度v平行于BC边方向射入磁场，不考虑带电粒子受到的重力，则下列说法中正确的是 (　　)
5
BC
甲
乙
丙
如图所示，abcd是一个边长为L的正方形，它是磁感应强度为B的匀强磁场横截面的边界线．一带电粒子从ad边的中点O与ad边成θ＝30°角且垂直于磁场方向射入．若该带电粒子所带电荷量为q、质量为m(重力不计)，则：
(1) 该带电粒子在磁场中飞行时间最长是多少？
6
解析：粒子带正电荷，由左手定则可知它将向ab方向偏转，带电粒子可能的轨迹如图所示(磁场方向没有画出)，由图可以发现带电粒子从入射边进入，又从入射边飞出时，其轨迹所对的圆心角最大，那么，带电粒子从ad边飞出的轨迹中，与ab相切的轨迹半径也就是它所有可能轨迹半径中的临界半径r0.当r＞r0时，在磁场中运动时间是变化的；当r≤r0时，在磁场中运动的时间是相同的，也是在磁场中运动时间最长的．
(2) 若要带电粒子飞行时间最长，带电粒子的速度必须符合什么条件？
带电粒子在磁场中运动临界极值问题的分析方法
借助半径R和速度v(或磁场B)之间的约束关系进行动态运动轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关系，找出临界点，然后利用数学方法求解极值．
随堂内化 即时巩固
1. (2025·深圳中学)(多选)如图所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的感光板．从圆形磁场最高点P以速度v垂直磁场射入大量的带正电的粒子，且粒子所带电荷量为q、质量为m.不考虑粒子间的相互作用力，关于这些粒子的运动，下列说法中正确的是 (　　)
CD
2. (多选)如图所示，直角三角形ABC区域内(含边界)存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B.顶点A处有一离子源，沿AC方向同时射出一群速度大小不同的正离子，离子的质量均为m、电荷量均为q.已知∠BAC＝30°，BC边长为L，不计离子的重力及离子间的相互作用力．下列说法中正确的是 (　　　)
ACD
配套新练案
B
2. (多选)如图所示，边长为l的正方形abcd区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B.一带电粒子从b点沿bc方向射入该磁场区域，经过时间t0恰好能从d点射出，且其速度方向与ad边垂直，则下列说法中正确的是 (　　)
BD
D
4. (2024·佛山期中联考)如图所示，圆形区域的圆心为O，区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，MN为圆的直径．从圆上的A点沿AO方向，以相同的速度先后射入甲、乙两个粒子，甲粒子从M点离开磁场，乙粒子从N点离开磁场．已知∠AON＝60°，不计粒子受到的重力，下列说法中正确的是 (　　)
A. 乙粒子带正电荷
B. 乙粒子与甲粒子的比荷之比为3∶1
C. 乙粒子与甲粒子在磁场中运动的时间之比为3∶1
D. 乙粒子与甲粒子在磁场中做圆周运动的半径之比为3∶1
B
考向3　带电粒子在有界磁场中的临界、极值问题
5. 平面OM和平面ON之间的夹角为30°，其横截面(纸面)如图所示，平面OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外．一带电粒子的质量为m，电荷量为q(q＞0).粒子沿纸面以大小为v的速度从OM的某点向左上方射入磁场，速度与OM成30°角．已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点P，并从OM上另一点射出磁场．不计重力．粒子离开磁场的出射点到P点的距离为 (　　)
D
ABC
D
8. (2024·中山华辰实验中学)如图所示，长方形区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，AB边长为l，AD边足够长，一质量为m、电荷量大小为q的粒子从BC边上的O点以初速度v0垂直于BC方向射入磁场，粒子从A点离开磁场，速度方向与直线AB成30°角，不计粒子重力．求：
(1) 粒子的电性和OB的长度．
(2) 磁场的磁感应强度大小B.
(3) 粒子在磁场中经历的时间．
9. 如图所示，在边长为L的等边三角形ACD区域内，存在垂直于所在平面向里的匀强磁场．大量的质量为m、电荷量为q的带正电粒子以相同速度(速度大小未确定)沿垂直于CD的方向射入磁场，经磁场偏转后三条边均有粒子射出，其中垂直于AD边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0.不计粒子的重力及粒子间的相互作用．
(1) 求磁场的磁感应强度大小．
(2) 要确保粒子能从CD边射出，求粒子射入的最大速度．
(3) 若粒子取(2)中的最大速度，求AC、AD边上可能有粒子射出的范围．
答案：见解析
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