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2025-2026学年第一学期期中考试
高一数学答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1~4 CDAB 5~8 CADB
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.ACD 10.AB 11.BCD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12.32 13. 14.(－∞，－3)∪(－1，2)
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.解：（1）令t＝ax＞0，因为x∈[－1，1]，a＞1，所以ax∈，f(x)＝y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2，故当t＝a时，函数y取得最大值为a2＋2a－1＝14，求得a＝3，所以f(x)＝32x＋2×3x－1．
（2）由f(x)＝7，可得32x＋2×3x－1＝7，即(3x＋4)·(3x－2)＝0，求得3x＝2，所以9x＝32x＝(3x)2＝22＝4．
16.解：（1）设每件定价为t元，则[8－0．2(t－25)]t≥25×8，
整理得t2－65t+1 000≤0 25≤t≤40，
所以每件定价最多为40元．
（2）由题得当x>25时：ax≥25×8+(x2－600)+50有解，
即a≥+x，x>25有解．
又+x≥2=10，
当且仅当x=30>25时取等号，所以a≥10．
即该商品明年的销售量至少达到10万件，才满足条件，此时定价为30元/件．
17.解：（1）－1∈M正确，证明如下：
由①知0∈M，1∈M，
由②可得0－1=－1∈M．
（2）由（1）知－1∈M，因为1∈M，
所以1－(－1)=2∈M，2－(－1)=3∈M，
由③得∈M．
（3）由①知0∈M，
由题知y∈M，所以由②可得0－y=－y∈M．因为x∈M，所以x－(－y)∈M，即x+y∈M．
由x∈M，y∈M，当x=0时，则xy=0∈M；当x=1时，则xy=y∈M；当x≠0且x≠1时，由②可得x－1∈M，
再由③可得∈M，∈M，所以－∈M，即∈M，
所以x(1－x)∈M，即x－x2∈M，所以x2∈M，即当x∈M时，x2∈M，
又当x，y∈M时，x+y∈M，所以+=∈M，所以∈M，
所以当x，y∈M时，可得x2，y2，，∈M，所以－=xy∈M．
18.解：（1）因为函数f(x)＝为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝b＝0．
（2）函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减。
由（1）可得f(x)＝，下面证明函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减：
证明：设x2＞x1＞1，
则有f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝．
再根据x2＞x1＞1，可得1＋x＞0，1＋x＞0，x1－x2＜0，1－x1x2＜0，
所以＞0，
即f(x1)＞f(x2)，
所以函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减。
（3）由不等式f(1＋2x2)＋f(－x2＋2x－4)＞0，
可得f(1＋2x2)＞－f(－x2＋2x－4)＝f(x2－2x＋4)＝f[(x－1)2＋3]，
再根据函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数，可得1＋2x2＜x2－2x＋4，
求得－3＜x＜1，故不等式的解集为{x|－3＜x＜1}．
19.解：（1）当a＝－2时，f(x)＝4x－2×2x－2＝(2x－1)2－3，
令2x＝t，由x∈(0，＋∞)，可得t∈(1，＋∞)．
令g(t)＝(t－1)2－3，有g(t)>－3，
可得函数f(x)的值域为(－3，＋∞)，
故函数f(x)在(0，＋∞)上不是有界函数．
（2）由题意对任意x∈(－∞，0)，有－2≤4x＋a·2x－2≤2，可化为－2x≤a≤－2x．
因为x<0，所以2x∈(0，1)，因此－2x∈(－1，0)；
又y＝＝4·2－x与y＝－2x都是减函数，
所以y＝－2x在(－∞，0)上单调递减，
所以y＝－2x>－20＝3．
因此为使－2x≤a≤－2x对任意的x∈(－∞，0)恒成立，只需0≤a≤3，
即实数a的取值范围是[0，3]．2025-2026学年第一学期期中考试
高一数学答案
一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共计 40分.每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1~4 CDAB 5~8 CADB
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9.ACD 10.AB 11.BCD
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共计 15分.
12.32 13.5 14.(－∞，－3)∪(－1，2)
2
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1
，a
15.解：（1）令 t＝ax＞0，因为 x∈[－1，1]，a＞1，所以 ax∈ a ，f(x)＝y＝t2＋2t－1＝(t
＋1)2－2，故当 t＝a 时，函数 y 取得最大值为 a2＋2a－1＝14，求得 a＝3，所以 f(x)＝32x＋
2×3x－1．
（2）由 f(x)＝7，可得 32x＋2×3x－1＝7，即(3x＋4)·(3x－2)＝0，求得 3x＝2，所以 9x＝32x＝(3x)2
＝22＝4．
16.解：（1）设每件定价为 t 元，则[8－0．2(t－25)]t≥25×8，
整理得 t2－65t+1 000≤0 25≤t≤40，
所以每件定价最多为 40元．
（2 1）由题得当 x>25时：ax≥25×8+ (x2－600)+50有解，
6
a 150即 ≥ +1x，x>25有解．
x 6
150+1x 2 150又 ≥ · x=10，
x 6 x 6
当且仅当 x=30>25时取等号，所以 a≥10．
即该商品明年的销售量至少达到 10万件，才满足条件，此时定价为 30元/件．
17.解：（1）－1∈M 正确，证明如下：
由①知 0∈M，1∈M，
由②可得 0－1=－1∈M．
（2）由（1）知－1∈M，因为 1∈M，
所以 1－(－1)=2∈M，2－(－1)=3∈M，
1
由③得 ∈M．
3
（3）由①知 0∈M，
由题知 y∈M，所以由②可得 0－y=－y∈M．因为 x∈M，所以 x－(－y)∈M，即 x+y∈M．
由 x∈M，y∈M，当 x=0时，则 xy=0∈M；当 x=1时，则 xy=y∈M；当 x≠0且 x≠1时，由②
1
可得 x－1∈M，
1 1 1 1 1
再由③可得 ∈M， ∈M，所以 － ∈M，即 ∈M，
x x-1 x x-1 x(1-x)
所以 x(1－x)∈M，即 x－x2∈M，所以 x2∈M，即当 x∈M 时，x2∈M，
又当 x，y∈M 时，x+y M 1 1 2 x∈ ，所以 + = ∈M，所以 ∈M，
x x x 2
(x+y)2 x2+y2 2 2 2
所以当 x，y∈M 时，可得 x2，y2， ， ∈M (x+y) x +y，所以 － =xy∈M．
2 2 2 2
18.解：（1）因为函数 f(x) x＋b＝ 为定义在 R上的奇函数，所以 f(0)＝b＝0．
1＋x2
（2）函数 f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减。
由（1）可得 f(x) x＝ ，下面证明函数 f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减：
1＋x2
证明：设 x2＞x1＞1，
则有 f(x1)－f(x2)
x1 x2
＝ 2 －1＋x1 1＋x22
x1＋x1·x2 －x －x ·x22 2 2 1
＝
（1＋x21 ）（1＋x22 ）
（x1－x2）（1－x1x2）
＝ ．
（1＋x21 ）（1＋x22 ）
2 2
再根据 x2＞x1＞1，可得 1＋x ＞0，1＋x ＞0，x1－x2＜0，1－x1x1 2 2＜0，
（x1－x2）（1－x1x2）
所以
（1＋x2 ）（1＋x2
＞0，
1 2 ）
即 f(x1)＞f(x2)，
所以函数 f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减。
（3）由不等式 f(1＋2x2)＋f(－x2＋2x－4)＞0，
可得 f(1＋2x2)＞－f(－x2＋2x－4)＝f(x2－2x＋4)＝f[(x－1)2＋3]，
再根据函数 f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数，可得 1＋2x2＜x2－2x＋4，
求得－3＜x＜1，故不等式的解集为{x|－3＜x＜1}．
19.解：（1）当 a＝－2时，f(x)＝4x－2×2x－2＝(2x－1)2－3，
令 2x＝t，由 x∈(0，＋∞)，可得 t∈(1，＋∞)．
令 g(t)＝(t－1)2－3，有 g(t)>－3，
可得函数 f(x)的值域为(－3，＋∞)，
故函数 f(x)在(0，＋∞)上不是有界函数．
（2）由题意对任意 x∈(－∞，0)，有－2≤4x＋a·2x 4－2≤2，可化为－2x≤a≤ xx－2 ．2
2
因为 x<0，所以 2x∈(0，1)，因此－2x∈(－1，0)；
4 －
又 y＝ x＝4·2 x 与 y＝－2x 都是减函数，2
4
所以 y＝ －2xx 在(－∞，0)上单调递减，2
y 4 2x> 4所以 ＝ － －20x 0 ＝3．2 2
4
因此为使－2x≤a≤ xx－2 对任意的 x∈(－∞，0)恒成立，只需 0≤a≤3，2
即实数 a 的取值范围是[0，3]．
32025-2026
四.解答题
1615分)
15(13分)
考号：
学校：
姓名：
班级：
考场：
座号：
注意事项
1
答感前请将地名、班级、将杨、底
导和雅考证号研可指总。
2
客复燃#包争强使用田：笔填峰
时加核皮博干神。
又主观恩必领使用属告触字笔书写，
公第在言对宜的棒声区城内作体。
贴条形码区
4
图出春墨区城书闪无效。
正确填涂■缺考标记口
遗择题(4分)
1 IA1 Isl Icl Iol 4 lAl Isl lel lol
7 IAl Isl Icl lol
2amm5国mMm
8mm四m
3风而瓦6风m同间
二达择思18分)
9IA1 I81 ICI IDI I0 IAI IEI ICI IDI 11 IAI IBI IGI ID1
三填空题15分)
请勿在此区域作答
■
第1页共2页
■
1715分》
18(17分)
19(17分)
■
第2页共2页
■2025－2026学年第一学期期中考试
高一数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，座位号填写在答题卡的相应位置上．用2B铅笔将考生号填涂在答题卡相应位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．测试范围：人教A版必修第一册第一章至第四章第二节．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1．命题“ x>0，x2＋x>0”的否定是
A． x>0，x2＋x>0 B． x≤0，x2＋x>0 C． x>0，x2＋x≤0 D． x>0，x2＋x≤0
答案：C
解析：选C．根据全称量词命题的否定是存在量词命题，可知该命题的否定是： x>0，x2＋x≤0．
2．对于任意实数a、b、c，下列说法中正确的是
A．若a>b，则ac2>bc2 B．若ac>bc，则a>b C．若a>－b，则－a>b D．若a>b，则a－c>b－c
答案：D
解析：选D．当c＝0时，A选项错误；若a>－b，则－a3．某次全程马拉松比赛中，选手甲前半程以速度a匀速跑，后半程以速度b匀速跑；选手乙前一半时间以速度a匀速跑，后一半时间以速度b匀速跑（注：速度单位m/s），若a≠b，则
A．乙先到达终点 B．甲先到达终点 C．甲乙同时到达终点 D．无法确定谁先到达终点
答案：A
解析：选A．设马拉松全程为x，所以甲用的时间为，乙用的时间为＝，因为a≠b，所以－＝＝>0，
所以>，则乙先到达终点．
4．定义在R上的奇函数f(x)，当x＞0时，f(x)＝3，则函数f(x)的值域是
A．(－∞，－3] B．{－3，0，3} C．[－3，3] D．[3，＋∞)
答案：B
解析：选B．因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0，
设x＜0，则－x＞0，f(－x)＝－f(x)＝3，所以f(x)＝－3，所以f(x)＝
所以函数f(x)的值域是{－3，0，3}．
5．函数f(x)＝的大致图象为
A． B． C． D．
答案：C
解析：选C．由f(－x)＝f(x)可知f(x)是偶函数，排除A，D；当x→∞时，f(x)→0，选项B错误．
6．若ea＋πb≥e－b＋π－a，下列结论一定成立的是
A．a＋b≥0 B．a－b≤0 C．a－b≥0 D．a＋b≤0
答案：A
解析：选A．∵ea＋πb≥e－b＋π－a，∴ea－π－a≥e－b－πb　(*)，令f(x)＝ex－π－x，则f(x)是R上的增函数，(*)式即为f(a)≥f(－b)，∴a≥－b，即a＋b≥0．
7．函数y＝f(x)，定义域为D＝[－2，2]，则
A．若f(－1)＝f(1)，则y＝f(x)一定不是奇函数
B．若f(－1)C．若f(－1)＝f(1)，f(－2)＝f(2)，则y＝f(x)是D上的偶函数
D．若对任意x1，x2∈D，x1≠x2，都有>0，则y＝f(x)是D上的递增函数
答案：D
解析：选D．由题意，可知函数y＝f(x)，定义域为D＝[－2，2]关于原点对称，对于A中，若f(－1)＝f(1)＝0，则f(－x)＝－f(x)有可能恒成立，此时y＝f(x)可能是奇函数，故错误；对于B中，若f(－1)0，则x18．“关于x的方程a(2|x|＋1)＝2|x|没有实数解”的一个必要不充分条件是
A．a<或a≥1 B．a≤或a≥1 C．a>1 D．a≤
答案：B
解析：选B． a(2|x|＋1)＝2|x|，因为2|x|＋1>0，所以a＝＝1－，因为2|x|≥20＝1，所以2|x|＋1≥2，0<≤，≤1－<1，要使a(2|x|＋1)＝2|x|没有实数解，则a<或a≥1，由于a<或a≥1不能推出a≤，故D不成立；由于a<或a≥1不能推出a>1，故C不成立；由于a<或a≥1 a≤或a≥1，且a≤或a≥1不能推出a<或a≥1，故B正确；A为充要条件，不符合题意．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若集合A＝{x|x＝m2＋n2，m，n∈Z}，则
A．4∈A B．3∈A C．2∈A D．1∈A
答案：ACD
解析：选ACD．对于选项A：m2＋n2＝4，此时存在m＝0，n＝2或m＝2，n＝0使得其成立，故选项A正确；对于选项B：由m2＋n2＝3，可得m2≤3，n2≤3，若m2＝0，则n2＝3可得n＝±，n Z，不成立；若m2＝1则n2＝2可得n＝±，n Z，不成立；若m2＝3，可得n2＝0，此时m＝±，m Z，不成立；同理交换m与n，也不成立，所以不存在m，n为整数使得m2＋n2＝3成立，故选项B不正确；对于选项C：m2＋n2＝2，存在m＝1，n＝1，使得其成立，故选项C正确；对于选项D：m2＋n2＝1，存在m＝0，n＝1或m＝1，n＝0使得其成立，故选项D正确．
10．下列函数中，最小值为2的函数是
A．f(x)＝ B．f(x)＝x2－2x＋3 C．f(x)＝x＋2＋3 D．f(x)＝x＋
答案：AB
解析：选AB．A中y＝＝＋≥2(当且仅当＝，即x＝0时取等号)；B中y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2最小值为2，正确；C中y＝x＋2＋3＝(＋1)2＋2，当x＝0时，其最小值为3；D中x的正负无法确定．
11．某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系图象如图所示．假设其函数关系为指数函数，则
A．野生水葫芦从4 m2蔓延到12 m2仅需1．5个月
B．在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30 m2
C．设野生水葫芦蔓延至2 m2，3 m2，6 m2所需的时间分别为t1，t2，t3，则有t1＋t2＝t3
D．野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度一定不等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度
答案：BCD
解析：选BCD．因为关系为指数函数，所以可设y＝ax(a>0且a≠1)．由题图可知2＝a1．所以a＝2，即底数为2，设水葫芦蔓延至4 m2，12 m2的时间分别为t1，t2，当面积为4时，由4＝2t1，解得t1＝2，当面积为12时，由12＝2t2，解得t2＝log212＝2＋log23．t2－t1＝log23≠1．5，所以选项A不正确；因为25＝32>30，所以选项B正确；t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，所以
t1＋t2＝t3．所以选项C正确；因为指数函数增加速度越来越快，所以野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度一定不等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度，所以选项D正确．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．
12．为丰富学生的课外活动，学校开展了丰富的选修课，参与“数学建模选修课”的有169人，参与“语文素养选修课”的有158人，参与“国际视野选修课”的有145人，三项选修课都参与的有30人，三项选修课都没有参与的有20人，全校共有400人，则只参与两项活动的同学有________人．
答案：32
解析：设只参加“数学建模课”和“语文素养课”的有x人，只参加“数学建模课”和“国际视野课”的有y人，只参加“语文素养课”和“国际视野课”的有z人，画出Venn图如下：
则139＋128＋115＋30－(x＋y＋z)＋20＝400，解得x＋y＋z＝32．故只参与两项活动的同学有32人．
13．正实数m，n满足e1－2m＋2－2m＝en－1＋n，则的最小值为________．
答案：
解析：由e1－2m＋2－2m＝en－1＋n，得e1－2m＋(1－2m)＝en－1＋(n－1)，令f(x)＝ex＋x，则原等式为f(1－2m)＝f(n－1)，显然函数f(x)为增函数，于是1－2m＝n－1，即2m＋n＝2，而m>0，n>0，因此，当且仅当，即m＝n＝时取等号，所以当m＝n＝时，取得最小值．
14．若定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)同时满足：①f(x)为奇函数；②对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有<0，则称函数f(x)具有性质P．已知函数f(x)具有性质P，则不等式f(x－2)<的解集为________．
答案：(－∞，－3)∪(－1，2)
解析：因为对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有<0，即对任意两个不相等的正实数x1，x2，不妨设0，所以函数g(x)＝是(0，＋∞)上的减函数，又因为f(x)为奇函数，即有 x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，有f(－x)＝－f(x)，所以有g(－x)＝＝g(x)，所以g(x)为偶函数，所以g(x)在(－∞，0)上单调递增．当x－2>0，即x>2时，有x2－4>0，由f(x－2)<，得<，所以x－2>x2－4，解得x<－2，此时无解；当x－2<0，即x<2时，由f(x－2)<，得>，所以|x－2|<|x2－4|，解得x<－3或－1四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知函数f(x)＝a2x＋2ax－1(a＞1，且a为常数)在区间[－1，1]上的最大值为14．
（1）求f(x)的表达式；
（2）当f(x)＝7时，求9x的值．
解：（1）令t＝ax＞0，因为x∈[－1，1]，a＞1，所以ax∈，f(x)＝y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2，故当t＝a时，函数y取得最大值为a2＋2a－1＝14，求得a＝3，所以f(x)＝32x＋2×3x－1．
（2）由f(x)＝7，可得32x＋2×3x－1＝7，即(3x＋4)·(3x－2)＝0，求得3x＝2，所以9x＝32x＝(3x)2＝22＝4．
16．（15分）某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
（1）根据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少
（2）为了扩大商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高价格到x元，公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，试问：该商品明年的销售量a至少达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和 并求出此时每件商品的定价．
解：（1）设每件定价为t元，则[8－0．2(t－25)]t≥25×8，
整理得t2－65t+1 000≤0 25≤t≤40，
所以每件定价最多为40元．
（2）由题得当x>25时：ax≥25×8+(x2－600)+50有解，
即a≥+x，x>25有解．
又+x≥2=10，
当且仅当x=30>25时取等号，所以a≥10．
即该商品明年的销售量至少达到10万件，才满足条件，此时定价为30元/件．
17．（15分）已知M是满足下列条件的集合：①0∈M，1∈M；②若x，y∈M，则x－y∈M；③若x∈M且x≠0，则∈M．
（1）判断－1∈M是否正确，说明理由；
（2）证明：∈M；
（3）证明：若x，y∈M，则x+y∈M且xy∈M．
解：（1）－1∈M正确，证明如下：
由①知0∈M，1∈M，
由②可得0－1=－1∈M．
（2）由（1）知－1∈M，因为1∈M，
所以1－(－1)=2∈M，2－(－1)=3∈M，
由③得∈M．
（3）由①知0∈M，
由题知y∈M，所以由②可得0－y=－y∈M．因为x∈M，所以x－(－y)∈M，即x+y∈M．
由x∈M，y∈M，当x=0时，则xy=0∈M；当x=1时，则xy=y∈M；当x≠0且x≠1时，由②可得x－1∈M，
再由③可得∈M，∈M，所以－∈M，即∈M，
所以x(1－x)∈M，即x－x2∈M，所以x2∈M，即当x∈M时，x2∈M，
又当x，y∈M时，x+y∈M，所以+=∈M，所以∈M，
所以当x，y∈M时，可得x2，y2，，∈M，所以－=xy∈M．
18．（17分）已知函数f(x)＝为奇函数．
（1）求b的值；
（2）判断函数f(x)在区间(1，＋∞)上的单调性，并证明；
（3）解关于x的不等式f(1＋2x2)＋f(－x2＋2x－4)＞0．
解：（1）因为函数f(x)＝为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝b＝0．
（2）函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减。
由（1）可得f(x)＝，下面证明函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减：
证明：设x2＞x1＞1，
则有f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝．
再根据x2＞x1＞1，可得1＋x＞0，1＋x＞0，x1－x2＜0，1－x1x2＜0，
所以＞0，
即f(x1)＞f(x2)，
所以函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减。
（3）由不等式f(1＋2x2)＋f(－x2＋2x－4)＞0，
可得f(1＋2x2)＞－f(－x2＋2x－4)＝f(x2－2x＋4)＝f[(x－1)2＋3]，
再根据函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数，可得1＋2x2＜x2－2x＋4，
求得－3＜x＜1，故不等式的解集为{x|－3＜x＜1}．
19．（17分）定义在D上的函数f(x)，如果满足： 对任意x∈D，存在常数M>0，都有－M≤f(x)≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界．已知f(x)＝4x＋a·2x－2．
（1）当a＝－2时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的值域，并判断函数f(x)在(0，＋∞)上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数f(x)在(－∞，0)上是以2为上界的有界函数，求实数a的取值范围．
解：（1）当a＝－2时，f(x)＝4x－2×2x－2＝(2x－1)2－3，
令2x＝t，由x∈(0，＋∞)，可得t∈(1，＋∞)．
令g(t)＝(t－1)2－3，有g(t)>－3，
可得函数f(x)的值域为(－3，＋∞)，
故函数f(x)在(0，＋∞)上不是有界函数．
（2）由题意对任意x∈(－∞，0)，有－2≤4x＋a·2x－2≤2，可化为－2x≤a≤－2x．
因为x<0，所以2x∈(0，1)，因此－2x∈(－1，0)；
又y＝＝4·2－x与y＝－2x都是减函数，
所以y＝－2x在(－∞，0)上单调递减，
所以y＝－2x>－20＝3．
因此为使－2x≤a≤－2x对任意的x∈(－∞，0)恒成立，只需0≤a≤3，
即实数a的取值范围是[0，3]．2025－2026学年第一学期期中考试
高一数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，座位号填写在答
题卡的相应位置上．用 2B铅笔将考生号填涂在答题卡相应位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：
如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内
相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂
改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．测试范围：人教 A版必修第一册第一章至第四章第二节．
一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共计 40分．每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1．命题“ x>0，x2＋x>0”的否定是
A． x>0，x2＋x>0 B． x≤0，x2＋x>0 C． x>0，x2＋x≤0 D． x>0，x2＋x≤0
答案：C
解析：选 C．根据全称量词命题的否定是存在量词命题，可知该命题的否定是： x>0，x2
＋x≤0．
2．对于任意实数 a、b、c，下列说法中正确的是
A．若 a>b，则 ac2>bc2 B．若 ac>bc，则 a>b C．若 a>－b，则－a>b D．若 a>b，则 a－c>b－c
答案：D
解析：选 D．当 c＝0时，A选项错误；若 a>－b，则－aD正确．
3．某次全程马拉松比赛中，选手甲前半程以速度 a匀速跑，后半程以速度 b匀速跑；选手
乙前一半时间以速度 a匀速跑，后一半时间以速度 b匀速跑（注：速度单位 m/s），若 a≠b，
则
A．乙先到达终点 B．甲先到达终点 C．甲乙同时到达终点 D．无法确定谁先到达终点
答案：A
x x
＋ x
解析：选 A 1 2x．设马拉松全程为 x，所以甲用的时间为 a b ，乙用的时间为 ＝ ，
2 a＋b a＋b
2
x x
＋
a≠b 1 2x bx（a＋b）＋ax（a＋b）－4abx （a－b）
2x
因为 ，所以 a b － ＝ ＝ >0，
2 a＋b 2ab（a＋b） 2ab（a＋b）
x x
1 ＋
所以 a b > 2x ，则乙先到达终点．
2 a＋b
1
4．定义在 R上的奇函数 f(x)，当 x＞0时，f(x)＝3，则函数 f(x)的值域是
A．(－∞，－3] B．{－3，0，3} C．[－3，3] D．[3，＋∞)
答案：B
解析：选 B．因为 f(x)是定义在 R上的奇函数，所以 f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0，
3，x>0，
设 x＜0，则－x＞0，f(－x)＝－f(x)＝3，所以 f(x)＝－3，所以 f(x)＝ 0，x＝0，
－3，x<0，
所以函数 f(x)的值域是{－3，0，3}．
4
5 x．函数 f(x)＝ 的大致图象为
ex －＋e x
A． B． C． D．
答案：C
解析：选 C．由 f(－x)＝f(x)可知 f(x)是偶函数，排除 A，D；当 x→∞时，f(x)→0，选项 B
错误．
6 － －．若 ea＋πb≥e b＋π a，下列结论一定成立的是
A．a＋b≥0 B．a－b≤0 C．a－b≥0 D．a＋b≤0
答案：A
A． ea πb e－b π－a ea π－a e－b πb (*) f(x) ex π－解析：选 ∵ ＋ ≥ ＋ ，∴ － ≥ － ，令 ＝ － x，则 f(x)是 R
上的增函数，(*)式即为 f(a)≥f(－b)，∴a≥－b，即 a＋b≥0．
7．函数 y＝f(x)，定义域为 D＝[－2，2]，则
A．若 f(－1)＝f(1)，则 y＝f(x)一定不是奇函数
B．若 f(－1)C．若 f(－1)＝f(1)，f(－2)＝f(2)，则 y＝f(x)是 D上的偶函数
D f（x2）－f（x1）．若对任意 x1，x2∈D，x1≠x2，都有 >0，则 y＝f(x)是 D上的递增函数
x2－x1
答案：D
解析：选 D．由题意，可知函数 y＝f(x)，定义域为 D＝[－2，2]关于原点对称，对于 A中，
若 f(－1)＝f(1)＝0，则 f(－x)＝－f(x)有可能恒成立，此时 y＝f(x)可能是奇函数，故错误；
对于 B中，若 f(－1)y＝f(x)不一定在 D上单调递增，故错误；对于 C中，若 f(－1)＝f(1)，f(－2)＝f(2)，但 f(－
x)＝f(x)不一定恒成立，则 y＝f(x)不一定是 D 上的偶函数，故错误；对于 D中，若对任意
x x D x ≠x f（x2）－f（x1）1， 2∈ ， 1 2，都有 >0，则 x1x2－x1
在 D上单调递增，故正确．
8．“关于 x的方程 a(2|x|＋1)＝2|x|没有实数解”的一个必要不充分条件是
2
A．a<1或 a 1 1≥1 B．a≤ 或 a≥1 C．a>1 D．a≤
2 2 2
答案：B
2 x 1
解析：选 B． a(2|x|＋1)＝2|x|，因为 2|x|＋1>0，所以 a＝ x ＝1－ x ，因为 2|x|≥20＝1，2 +1 2 +1
1 1 1 1 1
所以 2|x|＋1≥2，0< |x| |x|x ≤ ，≤1－ <1，要使 a(2 ＋1)＝2 没有实数解，则 a< 或 a≥1，2 +1 2 2 2 x +1 2
1
由于 a< 或 a≥1 1不能推出 a≤，故 D不成立；由于 a<1或 a≥1不能推出 a>1，故 C不成立；
2 2 2
由于 a<1或 a≥1 a 1≤ 或 a≥1 1 1，且 a≤ 或 a≥1不能推出 a< 或 a≥1，故 B正确；A为充要
2 2 2 2
条件，不符合题意．
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9．若集合 A＝{x|x＝m2＋n2，m，n∈Z}，则
A．4∈A B．3∈A C．2∈A D．1∈A
答案：ACD
解析：选 ACD．对于选项 A：m2＋n2＝4，此时存在 m＝0，n＝2或 m＝2，n＝0使得其成
立，故选项 A正确；对于选项 B：由 m2＋n2＝3，可得 m2≤3，n2≤3，若 m2＝0，则 n2＝3
可得 n＝± 3 ，n Z，不成立；若 m2＝1 则 n2＝2 可得 n＝± 2 ，n Z，不成立；若 m2
＝3，可得 n2＝0，此时 m＝± 3 ，m Z，不成立；同理交换 m与 n，也不成立，所以不存
在 m，n为整数使得 m2＋n2＝3成立，故选项 B不正确；对于选项 C：m2＋n2＝2，存在 m
＝1，n＝1，使得其成立，故选项 C正确；对于选项 D：m2＋n2＝1，存在 m＝0，n＝1或
m＝1，n＝0使得其成立，故选项 D正确．
10．下列函数中，最小值为 2的函数是
x2＋2 B．f(x)＝x2－2x＋3 C．f(x)＝x＋2 x ＋3
A．f(x)＝ D．f(x)＝x
1
＋
x2＋1 x
答案：AB
x2＋2
解析：选 AB．A中 y＝ ＝ x2
1 1
＋1 ＋ ≥2(当且仅当 x2＋1 ＝ ，即 x
x2＋1 x2＋1 x2＋1
＝0时取等号)；B中 y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2最小值为 2，正确；C中 y＝x＋2 x ＋3＝( x
＋1)2＋2，当 x＝0时，其最小值为 3；D中 x的正负无法确定．
11．某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系图象如图所示．假设其函数关系为指数函
数，则
3
A．野生水葫芦从 4 m2蔓延到 12 m2仅需 1．5个月
B．在第 5个月时，野生水葫芦的面积就会超过 30 m2
C．设野生水葫芦蔓延至 2 m2，3 m2，6 m2所需的时间分别为 t1，t2，t3，则有 t1＋t2＝t3
D．野生水葫芦在第 1到第 3个月之间蔓延的平均速度一定不等于在第 2到第 4个月之间蔓
延的平均速度
答案：BCD
解析：选 BCD．因为关系为指数函数，所以可设 y＝ax(a>0且 a≠1)．由题图可知 2＝a1．所
以 a＝2，即底数为 2，设水葫芦蔓延至 4 m2，12 m2的时间分别为 t1，t2，当面积为 4时，
由 4＝2t1，解得 t1＝2，当面积为 12时，由 12＝2t2，解得 t2＝log212＝2＋log23．t2－t1＝log23≠1．5，
所以选项 A不正确；因为 25＝32>30，所以选项 B正确；t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，所以
t1＋t2＝t3．所以选项 C正确；因为指数函数增加速度越来越快，所以野生水葫芦在第 1到
第 3 个月之间蔓延的平均速度一定不等于在第 2到第 4个月之间蔓延的平均速度，所以选
项 D正确．
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共计 15分．
12．为丰富学生的课外活动，学校开展了丰富的选修课，参与“数学建模选修课”的有 169
人，参与“语文素养选修课”的有 158人，参与“国际视野选修课”的有 145人，三项选修
课都参与的有 30人，三项选修课都没有参与的有 20人，全校共有 400人，则只参与两项活
动的同学有________人．
答案：32
解析：设只参加“数学建模课”和“语文素养课”的有 x人，只参加“数学建模课”和“国
际视野课”的有 y人，只参加“语文素养课”和“国际视野课”的有 z人，画出 Venn图如
下：
则 139＋128＋115＋30－(x＋y＋z)＋20＝400，解得 x＋y＋z＝32．故只参与两项活动的同学
有 32人．
13 n 1．正实数 m，n满足 e1－2m＋2－2m＝en－1＋n，则 + 的最小值为________．
m n
5
答案：
2
e1－解析：由 2m＋2－2m＝en－1＋n，得 e1－2m＋(1 －－2m)＝en 1＋(n－1)，令 f(x)＝ex＋x，则原
4
等式为 f(1－2m)＝f(n－1)，显然函数 f(x)为增函数，于是 1－2m＝n－1，即 2m＋n＝2，而
m>0 n>0 n + 1 n + 2m+n n +m+ 1 ≥2 n · m+ 1 5 n m 2， ，因此 ＝ ＝ ＝ ，当且仅当 ＝ ，即 m＝n＝ 时
m n m 2n m n 2 m n 2 2 m n 3
2 n 1 5
取等号，所以当 m＝n＝ 时， + 取得最小值 ．
3 m n 2
14．若定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数 f(x)同时满足：①f(x)为奇函数；②对任意的 x1，
x2∈(0
x f x x f x
，＋∞)，且 x 2 1 1 21≠x2，都有 <0，则称函数 f(x)具有性质 P．已知函数 f(x)具有性x1 x2
2
质 P，则不等式 f(x－2)x+2
答案：(－∞，－3)∪(－1，2)
x f x x f x
解析：因为对任意的 x1，x2∈(0，＋∞)，且 x1≠x2，都有 2 1 1 2 <0，即对任意两个不相x1 x2
x2f x1 x1f x2 f x1 f x2
等的正实数 x1，x 0f x f x
2，不妨设 1 2，都有 1 2 ＝ 1 2 <0，所以有 1 > 2 ，所以函x1 x2 x1 x2 x1 x2
g(x) f x数 ＝ 是(0，＋∞)上的减函数，又因为 f(x)为奇函数，即有 x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
x
f x f x f x
有 f(－x)＝－f(x)，所以有 g(－x)＝ ＝ ＝ ＝g(x)，所以 g(x)为偶函数，所以 g(x)
x x x
2 2
在( f x 4 f x 2 f x 4－∞，0)上单调递增．当 x－2>0，即 x>2时，有 x2－4>0，由 f(x－2)< ，得 < ，
x+2 x 2 x2 4
2
所以 x－2>x2－4 f x 4，解得 x<－2，此时无解；当 x－2<0，即 x<2 时，由 f(x－2)< ，得
x+2
f x 2 2>f x 4 |x 2|<|x2 4| x< 3 12 4
2 ，所以 － － ，解得 － 或－ ．综上所述，不等式 －x 2 x 4 x+2
的解集为(－∞，－3)∪(－1，2)．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知函数 f(x)＝a2x＋2ax－1(a＞1，且 a为常数)在区间[－1，1]上的最大值为 14．
（1）求 f(x)的表达式；
（2）当 f(x)＝7时，求 9x的值．
1
，a
解：（1）令 t＝ax＞0，因为 x∈[－1，1]，a＞1，所以 ax∈ a ，f(x)＝y＝t2＋2t－1＝(t
＋1)2－2，故当 t＝a 时，函数 y 取得最大值为 a2＋2a－1＝14，求得 a＝3，所以 f(x)＝32x
＋2×3x－1．
（2）由 f(x)＝7，可得 32x＋2×3x－1＝7，即(3x＋4)·(3x－2)＝0，求得 3x＝2，所以 9x＝32x
＝(3x)2＝22＝4．
16．（15分）某种商品原来每件售价为 25元，年销售 8万件．
（1）根据市场调查，若价格每提高 1元，销售量将相应减少 2 000件，要使销售的总收入
不低于原收入，该商品每件定价最多为多少
（2）为了扩大商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和
1
营销策略改革，并提高价格到 x元，公司拟投入 (x2－600)万元作为技改费用，投入 50万元
6
作为固定宣传费用，试问：该商品明年的销售量 a至少达到多少万件时，才可能使明年的销
售收入不低于原收入与总投入之和 并求出此时每件商品的定价．
5
解：（1）设每件定价为 t元，则[8－0．2(t－25)]t≥25×8，
整理得 t2－65t+1 000≤0 25≤t≤40，
所以每件定价最多为 40元．
（2）由题得当 x>25时：ax≥25×8+1(x2－600)+50有解，
6
150 1
即 a≥ + x，x>25有解．
x 6
150+1又 x 150 x≥2 · =10，
x 6 x 6
当且仅当 x=30>25时取等号，所以 a≥10．
即该商品明年的销售量至少达到 10万件，才满足条件，此时定价为 30元/件．
17．（15分）已知 M是满足下列条件的集合：①0∈M，1∈M；②若 x，y∈M，则 x－y∈M；
1
③若 x∈M且 x≠0，则 ∈M．
x
（1）判断－1∈M是否正确，说明理由；
1
（2）证明： ∈M；
3
（3）证明：若 x，y∈M，则 x+y∈M且 xy∈M．
解：（1）－1∈M正确，证明如下：
由①知 0∈M，1∈M，
由②可得 0－1=－1∈M．
（2）由（1）知－1∈M，因为 1∈M，
所以 1－(－1)=2∈M，2－(－1)=3∈M，
1
由③得 ∈M．
3
（3）由①知 0∈M，
由题知 y∈M，所以由②可得 0－y=－y∈M．因为 x∈M，所以 x－(－y)∈M，即 x+y∈M．
由 x∈M，y∈M，当 x=0时，则 xy=0∈M；当 x=1时，则 xy=y∈M；当 x≠0且 x≠1时，由
②可得 x－1∈M，
1 M 1 M 1 1 1再由③可得 ∈ ， ∈ ，所以 － ∈M，即 ∈M，
x x-1 x x-1 x(1-x)
所以 x(1－x)∈M，即 x－x2∈M，所以 x2∈M，即当 x∈M时，x2∈M，
1 1 2 x
又当 x，y∈M时，x+y∈M，所以 + = ∈M，所以 ∈M，
x x x 2
(x+y)2 x2+y2 (x+y)2 x2 2
所以当 x，y∈M +y时，可得 x2，y2， ， ∈M，所以 － =xy∈M．
2 2 2 2
x＋b
18．（17分）已知函数 f(x)＝ 为奇函数．
1＋x2
（1）求 b的值；
（2）判断函数 f(x)在区间(1，＋∞)上的单调性，并证明；
（3）解关于 x的不等式 f(1＋2x2)＋f(－x2＋2x－4)＞0．
6
解：（1）因为函数 f(x) x＋b＝ 为定义在 R上的奇函数，所以 f(0)＝b＝0．
1＋x2
（2）函数 f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减。
由（1）可得 f(x) x＝ ，下面证明函数 f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减：
1＋x2
证明：设 x2＞x1＞1，
则有 f(x1)
x1 x2
－f(x2)＝ 2 －1＋x1 1＋x22
x1＋x1·x22 －x2－x2·x21
＝
（1＋x21 ）（1＋x22 ）
（x1－x2）（1－x1x2）
＝ ．
（1＋x21 ）（1＋x22 ）
2 2
再根据 x2＞x1＞1，可得 1＋x ＞0，1＋x ＞0，x1－x2＜0，1－x1 2 1x2＜0，
（x1－x2）（1－x1x2）
所以 ＞0，
（1＋x21 ）（1＋x22 ）
即 f(x1)＞f(x2)，
所以函数 f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减。
（3）由不等式 f(1＋2x2)＋f(－x2＋2x－4)＞0，
可得 f(1＋2x2)＞－f(－x2＋2x－4)＝f(x2－2x＋4)＝f[(x－1)2＋3]，
再根据函数 f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数，可得 1＋2x2＜x2－2x＋4，
求得－3＜x＜1，故不等式的解集为{x|－3＜x＜1}．
19．（17分）定义在 D上的函数 f(x)，如果满足： 对任意 x∈D，存在常数 M>0，都有－M
≤f(x)≤M成立，则称 f(x)是 D上的有界函数，其中 M称为函数 f(x)的上界．已知 f(x)＝4x
＋a·2x－2．
（1）当 a＝－2时，求函数 f(x)在(0，＋∞)上的值域，并判断函数 f(x)在(0，＋∞)上是否为
有界函数，请说明理由；
（2）若函数 f(x)在(－∞，0)上是以 2为上界的有界函数，求实数 a的取值范围．
解：（1）当 a＝－2时，f(x)＝4x－2×2x－2＝(2x－1)2－3，
令 2x＝t，由 x∈(0，＋∞)，可得 t∈(1，＋∞)．
令 g(t)＝(t－1)2－3，有 g(t)>－3，
可得函数 f(x)的值域为(－3，＋∞)，
故函数 f(x)在(0，＋∞)上不是有界函数．
（2）由题意对任意 x∈(－∞，0)，有－2≤4x＋a·2x 4－2≤2，可化为－2x≤a≤ xx－2 ．2
7
因为 x<0，所以 2x∈(0，1)，因此－2x∈(－1，0)；
4 －
又 y＝ x＝4·2 x与 y＝－2x都是减函数，2
4
所以 y＝ －2xx 在(－∞，0)上单调递减，2
y 4 2x> 4所以 ＝ － －20x 0 ＝3．2 2
4
因此为使－2x≤a≤ xx－2 对任意的 x∈(－∞，0)恒成立，只需 0≤a≤3，2
即实数 a的取值范围是[0，3]．
82025－2026学年第一学期期中考试
高一数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，座位号填写在答题卡的相应位置上．用2B铅笔将考生号填涂在答题卡相应位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．测试范围：人教A版必修第一册第一章至第四章第二节．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1．命题“ x>0，x2＋x>0”的否定是
A． x>0，x2＋x>0 B． x≤0，x2＋x>0 C． x>0，x2＋x≤0 D． x>0，x2＋x≤0
2．对于任意实数a、b、c，下列说法中正确的是
A．若a>b，则ac2>bc2 B．若ac>bc，则a>b C．若a>－b，则－a>b D．若a>b，则a－c>b－c
3．某次全程马拉松比赛中，选手甲前半程以速度a匀速跑，后半程以速度b匀速跑；选手乙前一半时间以速度a匀速跑，后一半时间以速度b匀速跑（注：速度单位m/s），若a≠b，则
A．乙先到达终点 B．甲先到达终点 C．甲乙同时到达终点 D．无法确定谁先到达终点
4．定义在R上的奇函数f(x)，当x＞0时，f(x)＝3，则函数f(x)的值域是
A．(－∞，－3] B．{－3，0，3} C．[－3，3] D．[3，＋∞)
5．函数f(x)＝的大致图象为
A． B． C． D．
6．若ea＋πb≥e－b＋π－a，下列结论一定成立的是
A．a＋b≥0 B．a－b≤0 C．a－b≥0 D．a＋b≤0
7．函数y＝f(x)，定义域为D＝[－2，2]，则
A．若f(－1)＝f(1)，则y＝f(x)一定不是奇函数
B．若f(－1)C．若f(－1)＝f(1)，f(－2)＝f(2)，则y＝f(x)是D上的偶函数
D．若对任意x1，x2∈D，x1≠x2，都有>0，则y＝f(x)是D上的递增函数
8．“关于x的方程a(2|x|＋1)＝2|x|没有实数解”的一个必要不充分条件是
A．a<或a≥1 B．a≤或a≥1 C．a>1 D．a≤
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若集合A＝{x|x＝m2＋n2，m，n∈Z}，则
A．4∈A B．3∈A C．2∈A D．1∈A
10．下列函数中，最小值为2的函数是
A．f(x)＝ B．f(x)＝x2－2x＋3 C．f(x)＝x＋2＋3 D．f(x)＝x＋
11．某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系图象如图所示．假设其函数关系为指数函数，则
A．野生水葫芦从4 m2蔓延到12 m2仅需1．5个月
B．在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30 m2
C．设野生水葫芦蔓延至2 m2，3 m2，6 m2所需的时间分别为t1，t2，t3，则有t1＋t2＝t3
D．野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度一定不等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．
12．为丰富学生的课外活动，学校开展了丰富的选修课，参与“数学建模选修课”的有169人，参与“语文素养选修课”的有158人，参与“国际视野选修课”的有145人，三项选修课都参与的有30人，三项选修课都没有参与的有20人，全校共有400人，则只参与两项活动的同学有________人．
13．正实数m，n满足e1－2m＋2－2m＝en－1＋n，则的最小值为________．
14．若定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)同时满足：①f(x)为奇函数；②对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有<0，则称函数f(x)具有性质P．已知函数f(x)具有性
质P，则不等式f(x－2)<的解集为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知函数f(x)＝a2x＋2ax－1(a＞1，且a为常数)在区间[－1，1]上的最大值为14．
（1）求f(x)的表达式；
（2）当f(x)＝7时，求9x的值．
16．（15分）某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
（1）根据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少
（2）为了扩大商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高价格到x元，公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，试问：该商品明年的销售量a至少达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和 并求出此时每件商品的定价．
17．（15分）已知M是满足下列条件的集合：①0∈M，1∈M；②若x，y∈M，则x－y∈M；③若x∈M且x≠0，则∈M．
（1）判断－1∈M是否正确，说明理由；
（2）证明：∈M；
（3）证明：若x，y∈M，则x+y∈M且xy∈M．
18．（17分）已知函数f(x)＝为奇函数．
（1）求b的值；
（2）判断函数f(x)在区间(1，＋∞)上的单调性，并证明；
（3）解关于x的不等式f(1＋2x2)＋f(－x2＋2x－4)＞0．
19．（17分）定义在D上的函数f(x)，如果满足： 对任意x∈D，存在常数M>0，都有－M≤f(x)≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界．已知f(x)＝4x＋a·2x－2．
（1）当a＝－2时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的值域，并判断函数f(x)在(0，＋∞)上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数f(x)在(－∞，0)上是以2为上界的有界函数，求实数a的取值范围．2025－2026学年第一学期期中考试
高一数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，座位号填写在答
题卡的相应位置上．用 2B 铅笔将考生号填涂在答题卡相应位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：
如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内
相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂
改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．测试范围：人教 A 版必修第一册第一章至第四章第二节．
一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共计 40分．每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1．命题“ x>0，x2＋x>0”的否定是
A． x>0，x2＋x>0 B． x≤0，x2＋x>0 C． x>0，x2＋x≤0 D． x>0，x2＋x≤0
2．对于任意实数 a、b、c，下列说法中正确的是
A．若 a>b，则 ac2>bc2 B．若 ac>bc，则 a>b C．若 a>－b，则－a>b D．若 a>b，则 a－c>b－c
3．某次全程马拉松比赛中，选手甲前半程以速度 a匀速跑，后半程以速度 b匀速跑；选手
乙前一半时间以速度 a匀速跑，后一半时间以速度 b匀速跑（注：速度单位 m/s），若 a≠b，
则
A．乙先到达终点 B．甲先到达终点 C．甲乙同时到达终点 D．无法确定谁先到达终点
4．定义在 R 上的奇函数 f(x)，当 x＞0时，f(x)＝3，则函数 f(x)的值域是
A．(－∞，－3] B．{－3，0，3} C．[－3，3] D．[3，＋∞)
5 f(x) x
4
．函数 ＝ 的大致图象为
ex e－＋ x
A． B． C． D．
6．若 ea＋πb≥e－b＋π－a，下列结论一定成立的是
A．a＋b≥0 B．a－b≤0 C．a－b≥0 D．a＋b≤0
7．函数 y＝f(x)，定义域为 D＝[－2，2]，则
A．若 f(－1)＝f(1)，则 y＝f(x)一定不是奇函数
B．若 f(－1)C．若 f(－1)＝f(1)，f(－2)＝f(2)，则 y＝f(x)是 D上的偶函数
D x x D x ≠x f（x2）－f（x1）．若对任意 1， 2∈ ， 1 2，都有 >0，则 y＝f(x)是 D上的递增函数
x2－x1
1
8．“关于 x的方程 a(2|x|＋1)＝2|x|没有实数解”的一个必要不充分条件是
A a<1 a 1 B a 1． 或 ≥ ． ≤ 或 a≥1 C．a>1 D．a 1≤
2 2 2
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9．若集合 A＝{x|x＝m2＋n2，m，n∈Z}，则
A．4∈A B．3∈A C．2∈A D．1∈A
10．下列函数中，最小值为 2的函数是
x2＋2 B．f(x)＝x2－2x＋3 C．f(x)＝x＋2 x ＋3
A．f(x)＝ D．f(x)
1
＝x＋
x2＋1 x
11．某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系图象如图所示．假设其函数关系为指数函
数，则
A．野生水葫芦从 4 m2蔓延到 12 m2仅需 1．5个月
B．在第 5个月时，野生水葫芦的面积就会超过 30 m2
C．设野生水葫芦蔓延至 2 m2，3 m2，6 m2所需的时间分别为 t1，t2，t3，则有 t1＋t2＝t3
D．野生水葫芦在第 1到第 3个月之间蔓延的平均速度一定不等于在第 2到第 4个月之间蔓
延的平均速度
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共计 15分．
12．为丰富学生的课外活动，学校开展了丰富的选修课，参与“数学建模选修课”的有 169
人，参与“语文素养选修课”的有 158人，参与“国际视野选修课”的有 145人，三项选修
课都参与的有 30人，三项选修课都没有参与的有 20人，全校共有 400人，则只参与两项活
动的同学有________人．
13．正实数 m，n满足 e1－2m －＋2－2m＝en 1＋n n，则 + 1的最小值为________．
m n
14．若定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数 f(x)同时满足：①f(x)为奇函数；②对任意的 x1，
x2∈(0，＋∞)，且 x1≠x
x f x x
，都有 2 1 1
f x2
2 <0，则称函数 f(x)具有性质 P．已知函数 f(x)具有性x1 x2
2
质 P，则不等式 f(x 2)x+2
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知函数 f(x)＝a2x＋2ax－1(a＞1，且 a为常数)在区间[－1，1]上的最大值为 14．
（1）求 f(x)的表达式；
（2）当 f(x)＝7时，求 9x的值．
2
16．（15分）某种商品原来每件售价为 25元，年销售 8万件．
（1）根据市场调查，若价格每提高 1元，销售量将相应减少 2 000件，要使销售的总收入
不低于原收入，该商品每件定价最多为多少
（2）为了扩大商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和
1
营销策略改革，并提高价格到 x元，公司拟投入 (x2－600)万元作为技改费用，投入 50万元
6
作为固定宣传费用，试问：该商品明年的销售量 a至少达到多少万件时，才可能使明年的销
售收入不低于原收入与总投入之和 并求出此时每件商品的定价．
17．（15分）已知 M是满足下列条件的集合：①0∈M，1∈M；②若 x，y∈M，则 x－y∈M；
③若 x∈M且 x≠0 1，则 ∈M．
x
（1）判断－1∈M是否正确，说明理由；
（2 1）证明： ∈M；
3
（3）证明：若 x，y∈M，则 x+y∈M且 xy∈M．
3
18 17 f(x) x＋b．（ 分）已知函数 ＝ 为奇函数．
1＋x2
（1）求 b的值；
（2）判断函数 f(x)在区间(1，＋∞)上的单调性，并证明；
（3）解关于 x的不等式 f(1＋2x2)＋f(－x2＋2x－4)＞0．
19．（17分）定义在 D上的函数 f(x)，如果满足： 对任意 x∈D，存在常数 M>0，都有－M
≤f(x)≤M成立，则称 f(x)是 D上的有界函数，其中 M称为函数 f(x)的上界．已知 f(x)＝4x
＋a·2x－2．
（1）当 a＝－2时，求函数 f(x)在(0，＋∞)上的值域，并判断函数 f(x)在(0，＋∞)上是否为
有界函数，请说明理由；
（2）若函数 f(x)在(－∞，0)上是以 2为上界的有界函数，求实数 a的取值范围．
4

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