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甘肃省张掖市甘州区思源实验学校2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题
1．（2024九上·甘州期中）小明从正面如图所示的两个物体，看到的是平面图形中的（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024九上·甘州期中）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等
3．（2024九上·甘州期中）函数 的图象经过点（ ，6），则下列各点中，在函数 图象上的是（　　）
A．（3，8） B．（3， ）
C．（ ， ） D．（ ， ）
4．（2024九上·甘州期中）如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024九上·甘州期中）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞ B．k≥
C．k＞ 且k≠1 D．k≥ 且k≠1
6．（2024九上·甘州期中）如图，点为平行四边形边延长线上的一点，连接与相交于点．则图中相似三角形共有（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
7．（2024九上·甘州期中）有四张不透明的卡片，正面分别标有数字0、1、2、3．除正面的数字不同外，其余都相同．将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到写有偶数卡片的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·甘州期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2024九上·甘州期中）近几年，我国经济高速发展，但退休人员待遇持续偏低．为了促进社会公平，国家决定大幅增加退休人员的退休金．企业退休职工李师傅2012年的月退休金为1500元，2014年达到2160元．设李师傅的月退休金从2012年到2014年年平均增长率为x，可列方程为（ 　）
A．2160(1－x) 2= 1500
B．1500(1＋x) 2=2160
C．1500(1－x) 2=2160
D．1500＋1500(1＋x) ＋1500(1＋x) 2=2160
10．（2024九上·甘州期中）某数学兴趣小组来到城关区时代广场，设计用手电来测量广场附近某大厦CD的高度，如图，点P处放一水平的平面镜．光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝1.5米，BP＝2米，PD＝52米，那么该大厦的高度约为（　　）
A．39米 B．30米 C．24米 D．15米
11．（2024九上·甘州期中）若反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是　 　．
12．（2024九上·甘州期中）若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是　 　．
13．（2024九上·甘州期中）若一元二次方程 的一个根为0，则 　 　.
14．（2024九上·甘州期中）如果线段 成比例，且 ，则d=　 　。
15．（2024九上·甘州期中）如图，在平行四边形中，已知，，平分交边于点，则等于　 　．
16．（2024九上·甘州期中）如图，连接四边形各边中点，得到四边形，还要添加　 　条件，才能保证四边形是矩形．
17．（2024九上·甘州期中）如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为　 　．
18．（2024九上·甘州期中）如图，在中，，P为边上一动点，于E，于F，则的最小值为　 　．
19．（2024九上·甘州期中）用适当的方法解下列方程．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
20．（2024九上·甘州期中）如图，晚上，小亮在广场上乘凉．图中线段AB表示站在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯．
（1）请你在图中画出小亮在照明灯（P）照射下的影子；
（2）如果灯杆高PO＝12m，小亮的身高AB＝1.6m，小亮与灯杆的距离BO＝13m，请求出小亮影子的长度．
21．（2024九上·甘州期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若、是方程的两根，且，求的值．
22．（2024九上·甘州期中）如图，在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2．求证：△ABC∽△EAD．
23．（2024九上·甘州期中）如图，∠B＝∠ACD．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）如果AC＝6，AD＝4，求DB的长．
24．（2024九上·甘州期中） 某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
25．（2024九上·甘州期中）如图，在△ABC中，D、F分别是BC、AC边的中点，连接DA、DF，且AD＝2DF，过点B作AD的平行线交FD的延长线于点E．
（1）求证：四边形ABED为菱形；
（2）若BD＝6，∠E＝60°，求四边形ABEF的面积．
26．（2024九上·甘州期中）（Electronic Toll Collection）不停车收费系统是目前世界上最先进的路桥收费方式．安装有的车辆通过路桥收费站无需停车就能交纳费用．某高速路口收费站有A，B，C，D四个通道，车辆可任意选择一个通道通过，且通过每个通道的可能性相同，一天，小李和小赵分别驾驶安装有的汽车经过此收费站，
（1）小李通过A通道的概率为__________；
（2）请用列表或画树状图的方法表示出两人通过此收费站的所有可能结果，并求出小李和小赵经过相同通道的概率．
27．（2024九上·甘州期中）如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，这个正方形零件的边长是多少？
28．（2024九上·甘州期中），，动点P、Q分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点P从点A出发沿边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿边一直移动到点A为止．
（1）写出的长和的长关于时间t的函数；
（2）经过多少时间后，与相似？
（3）在整个过程中，是否存在使的面积恰好为面积一半的情况，若存在，请问此时点Q运动了多少时间？若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】从正面看易得第一个图形为矩形，第二层图形为正方形．
故答案为：C．
【分析】
本题考查简单几何体的三视图，熟知正视图是解题关键．
从正面观察物体时，圆柱的正视图是长方形，正方体的正视图是正方形，图中是一个圆柱和一个正方体并排摆放，所以从正面看到的应该是左边一个长方形，右边一个正方形，由此可判断选项C的图形符合题意，由此可得出答案．
2．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】A.对角线相等是平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质；
B.对角线互相垂直是菱形、正方形具有的性质；
C.对角线相等是矩形和正方形具有的性质；
D.对角线互相垂直且相等是正方形具有的性质．
故选：A．
【分析】本题主要依据平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对角线相互平分的性质来判断
3．【答案】B
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】∵函数y= 的图象经过点( 4，6)，
∴6= ，解得k= 24，∴y= ，
在A中，(3，8)代入不成立，故A不符合题意；
在B中，(3， 8)代入成立，故B符合题意；
在C中，( 8， 3)代入不成立，故C不符合题意；
在D中，( 4， 6)代入不成立，故D不符合题意．
故答案为：B.
【分析】先将点( 4，6)代入y= 中，求出k值，即得y= ，然后将各项坐标代入检验即可.
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴，
A.若添加，则根据“两角对应相等，两三角形相似”可得，故A选项正确，不符合题意；
B. 若添加，则根据“两角对应相等，两三角形相似”可得，故B选项正确，不符合题意；
C. 若添加，则不能得出，故C选项错误，符合题意；
D. 若添加，则根据“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似” 可得，故D选项正确，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据相似三角形的判定定理逐一判断即可得出答案．
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，
∴△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，
解得k＞ ；且k﹣1≠0，即k≠1．
故选：C．
【分析】根据判别式的意义得到△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，然后解不等式即可．
6．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：四边形为平行四边形，
，，
，，
，
共3对，
故答案为：C．
【分析】利用相似三角形的判定方法（①三边对应成比例的两个三角形相似，②有两组角对应相等的两个三角形相似，③两组边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似）逐项分析判断即可.
7．【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】
解：由题意可知：
共有4张标有数字0、1、2、3的卡片，摸到每一张的可能性是均等的，其中为偶数的有2种，
所以随机抽取一张，抽到写有偶数卡片的概率是＝，
故答案为：A．
【分析】
本题考查概率公式，理解概率的意义，熟知概率的计算方法是解题关键．
根据偶数的定义可知：在这四张卡片标有的数字0、1、2、3中，偶数是0和2，共2个，由摸到每一张的可能性是均等的，因此可以求出随机抽取一张，抽到写有偶数卡片的概率，根据概率的计算公式：（其中n是所有可能的结果数，m是事件A发生的结果数)，由题意知：n=4，m=2，代入数据可得：抽到写有偶数卡片的概率是，由此可得出答案．
8．【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】根据平行线分线段成比例可得，
代入计算可得：，
即可解EC=2，
故答案为：B．
【分析】
本题考查平行线分线段成比例定理，熟知平行线分线段成比例的内容是解题关键.
平行线分线段成比例定理： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；根据平行线分析段成比例定理可得：，代入数据计算可得：EC=2，由此可得出答案.
9．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设李师傅的月退休金从2012年到2014年平均增长率设为x，
根据题意得：1500（1+x）2＝2160．
故答案为：B．
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，准确找到等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设李师傅的月退休金从2012年到2014年平均增长率设为x，则2013 年的月退休金是在 2012 年的基础上增长x，即2013年李师傅的月退休金为1500(1+x)元， 2014 年的月退休金是在 2013 年的基础上又增长x，即2014 年的月退休金为：， 已知2014 年月退休金达到2160元，即可列方程 1500（1+x）2＝2160，由此可得出答案．
10．【答案】A
【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP=∠CDP=90°，
∵∠APB=∠CPD，
∴△ABP∽△PDC，
∴，
∴CD＝×AB＝×1.5＝39米；
那么该大厦的高度是39米．
故答案为：A．
【分析】
本题考查相似三角形的判定与性质，相似三角形性质的应用．准确找到相似三角形是解题关键．
根据光线的入射角=反射角可知：∠APB=∠CPD，再根据垂直的定义可知：∠ABP=∠CDP=90°，根据相似三角形的判定定理：两组角分别相等的两个三角形相似可知：△ABP∽△PDC，再根据相似三角形的性质：对应边成比例可得：，结合PD=52，BP=2，AB=1.5代入数据可得：CD=39米，由此可得出答案．
11．【答案】k＞5
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，
∴5 k＜0，
解得k＞5，
故答案为：k＞5．
【分析】
本题考查了反比例函数的图象和性质，熟知反比例函数的图象与比例系数之间的关系是解题关键．
反比例函数解析式：，当k＜0时，函数的图象分布在第二、四象限，当k＞0时，图像分布在第一、三象限；根据反比例函数的图象和性质可得：5 k＜0，解得：k＞5，由此可得出答案．
12．【答案】4：9
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵两个相似三角形的周长比为2：3，
∴这两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的面积比是4：9．
故答案为：4：9．
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比求出相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可．
13．【答案】1
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把 代入得： ，
解得： ，
又因为： 为一元二次方程，
所以： ，
所以： .
故答案为： .
【分析】将x=0代入方程中可得a的值，由一元二次方程的概念可得a≠-1，据此可得a的值.
14．【答案】3.6
【知识点】比例线段
【解析】【解答】根据题意得： ，即 ，解得：d=3.6.故答案为3.6.
【分析】根据线段 a ， b ， c ， d 成比例列出方程，求解即可。
15．【答案】2
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
，
又平分，
，
，
，
即．
故答案为：2．
【分析】
本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，性质的应用，及等腰三角形的判定，属于基础题．
根据平行四边形的性质：对边平行且相等可知：AD∥BC，CD=AB=6，由平行线的性质：两直线平行，内错角相等可知：∠EDA=∠DEC，根据角平分线的定义可知：∠EDC=∠ADE，等量代换可得：∠EDC=∠DEC，再根据等腰三角形的判定定理：等角对等边可知：CE=CD=6，最后根据线段的和差运算可知：BE=BC-EC-2，由此可得出答案．
16．【答案】
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如下图，
∵E、F、G、H分别是、、、的中点，
∴，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
若四边形是矩形，
则有，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴还要添加的条件，才能保证四边形是矩形，
故答案为：．
【分析】
本题考查三角形中位线定理、平行线的性质、平行四边形的判定和矩形的性质，熟练掌握矩形的四个角都是直角是解题的关键．
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边可得：，，，，根据平行线的性质：平行于同一条直线的两条直线互相平行可知：EF∥GH，EH∥FG，再根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形可知：四边形EFGH是平行四边形，由矩形的性质可知：矩形的四个角都是直角可知，根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等可知：，由此可知：AC⊥BD，由此可得出答案．
17．【答案】12
【知识点】菱形的性质；多边形的面积
【解析】【解答】解：∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，
∴菱形的面积=×6×8=24，
∵O是菱形两条对角线的交点，
∴阴影部分的面积=×24=12．
故答案是：12．
【分析】
本题考查菱形的性质、菱形面积的计算方法，熟知菱形面积的计算方法是解题的关键．
根据菱形的性质：菱形是中心对称图形，对角线的交点O是它的对称中心，可知：过中心O的直线将菱形分成的两部分是全等的，所以阴影部分的面积是菱形面积的一半，再根据菱形面积的计算公式：代入数据可得：菱形的面积=×6×8=24，再根据，代入数据可得：，由此可得出答案．
18．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理的逆定理；矩形的判定与性质；等积变换
【解析】【解答】解：连接，
∵在中，，
∴，
即．
又∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴当的值最小时，的最小值，
∵当为直角三角形斜边上的高时，的值最小，
∴的最小值即为直角三角形斜边上的高，
设直角三角形斜边上的高为h，
∵，
∴，
解得：，
∴EF的最小值为，
故答案为：．
【分析】
本题考查勾股定理的逆定理，矩形的判定及性质、根据矩形的性质得到EF=AP是解题关键．
连接AP，根据勾股定理逆定理可得：，即∠BAC=90°，根据矩形的判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形可知：四边形AEPF是矩形，再根据矩形的性质：对角线相等且平分可知：EF=AP，故当AP的值最小时，EF取最小值，根据垂线段最短可知：当AP为Rt△ABC斜边上的高时，AP的值最小，根据三角形的面积自等法的公式可得：，代入数据即可解得h=2.4，即AP=2.4，故EF的最小值为2.4，由此可得出答案．
19．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴或，
解得；
（2）解；∵，
∴，
∴，
∴或，
解得；
（3）解；∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
（4）解：∵，
∴，
∴或，
解得．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知一元二次方程的解法是解题关键．
（1）观察方程：，故可利用平方差公式将方程左边分解因式可得：，再令每一个因式为0可得：或，解得，由此可得出答案；
（2）先移项，然后观察方程可看出，都有因式(2x+1)，故可利用提公因式法分解因式可得：，再令每一个因式为0可得：或，解得，由此可得出答案；
（3）观察该方程，用配方法解比较简便，故先把常数项移到方程右边可得：，再给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再解方程即可得出答案；
（4）观察方程可看出：-27=3×(-9)，-6=-9＋3，故把方程左边利用十字相乘法分解因式可得：，再令每一个因式为0可得：或，解得． ，由此可得出答案．
（1）解：∵，
∴，
∴或，
解得；
（2）解；∵，
∴，
∴，
∴或，
解得；
（3）解；∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
（4）解：∵，
∴，
∴或，
解得．
20．【答案】解：（1）连接PA并延长交地面于点C，线段BC就是小亮在照明灯（P）照射下的影子；
（2）在△CAB和△CPO中，
∵∠C＝∠C，∠ABC＝∠POC＝90°
∴△CAB∽△CPO
∴，
∴
∴BC＝2m，
∴小亮影子的长度为2m
【知识点】中心投影；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
本题考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质．利用中心投影的特点可知在这两组三角形相似是解题关键．（1）直接连接点光源和物体顶端形成的直线与地面的交点即是影子的顶端，故连接PA并延长交地面于点C，线段BC就是小亮在照明灯（P）照射下的影子，由此可画出图形；
（2）根据中心投影的特点可知△CAB∽△CPO，再根据相似三角形的性质：对应边成比例可知：，结合OB=13，可知：OC=OB+BC=13+BC，代入数据计算可得：BC=2m，由此可得出答案．
21．【答案】解：（1）根据题意，得，
解得：；
（2）根据题意，得：，
∵，即
∴
解得：或
∵
∴舍去
当时，
∴的值是．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再将其代入可得，最后求出m的值即可.
22．【答案】证明：∵AD＝DB，
∴∠B＝∠BAD．
∵∠BDA＝∠1+∠C＝∠2+∠ADE，
又∵∠1＝∠2，
∴∠C＝∠ADE．
∴△ABC∽△EAD．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定、等腰三角形的性质和三角形外角的性质，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键．根据等腰三角形的性质：等角对等边可知：∠B=∠BAD，再根据三角形外角的性质：三角形的外角=不相邻的两内角之和可知：∠BDA=∠1+∠C，由角的和差运算可知：∠BDA=∠2+∠ADE，由∠1=∠2，根据等式的性质可得：∠C=∠ADE，结合∠B=∠BAD，根据相似三角形的判定定理：两组角相等的两个三角形相似可得：△ABC∽△EAD，由此可证得结论．
23．【答案】解：（1）证明：∵∠A=∠A，∠ACD=∠B，∴△ABC∽△ACD．（2）解：∵△ABC∽△ACD，∴，∴，∴AB=9，∴BD=AB-AD=9-4=5．
（1）证明：∵∠A=∠A，∠ACD=∠B，
∴△ABC∽△ACD．
（2）解：∵△ABC∽△ACD，
∴，
∴，
∴AB=9，
∴BD=AB-AD=9-4=5．
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟知相似三角形的判定与性质是解题关键．（1）观察图形可知： ABC和 ACD有公共角，故∠A=∠A，结合 ∠B＝∠ACD，根据相似三角形的判定定理：两组角相等的两个三角形相似可得：△ABC∽△ACD，由此可证得结论；
（2）由（1）知：△ABC∽△ACD，根据相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例可得：，代入数据可解得：AB=9， 再根据线段的和差运算可知：BD=AB-AD=5，由此可得出答案．
24．【答案】解：设每千克应涨价元，由题意得：
，
解得，，
要使顾客得到实惠，应取，
答：每千克应涨价5元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】 设每千克应涨价元， 根据 若每千克涨价1元，日销量减少20千克， 可得出售价为（10+x），销量为（500-20x），再根据 该商场要保证每天盈利6000元 ，即可得出方程 ，解方程可得出方程的解 x1=5，x2=10，应为要使顾客得到实惠，所以应取 x1=5，故而得出答案。
25．【答案】证明：(1).在△ABC中，D、F分别是BC、AC边的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF∥AB，DFAB，
∴AB=2DF，
∵BE∥AD，
∴四边形ABED是平行四边形，
∵AD＝2DF，
∴AD＝AB，
∴四边形ABED为菱形；
（2）过B作BG⊥EF于G，
∵四边形ABED为菱形，
∴AB＝BE＝DE＝AD＝6，
∴DF＝3，EF＝9，
∵BD=BE=6，∠E＝60°，
∴△BDE是等边三角形，
∵BG⊥EF，
∴DGDE＝3，
∴BGDG＝3，
∴四边形ABEF的面积．
【知识点】等边三角形的判定；菱形的判定；菱形的判定与性质；直角三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理、梯形面积公式、等边三角形的判定，直角三角形的性质；熟知菱形的判定与性质是解题的关键．（1）根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于底边的一半可知：DF∥AB，DF=AB，即AB=2DF，结合BE∥AD，根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形可知：四边形ABED是平行四边形，结合AD=2DF，等量代换可得：AD=AB，再根据菱形的判定定理：一组领边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABED为菱形；
（2）过B作BG⊥EF于G，根据菱形的性质：四边相等可知：AB=BE=DE=BD=6，由线段的和差运算可知：DF=3，EF=9，再根据等边三角形的判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可知：△BDE是等边三角形，根据等边三角形的性质：三线合一可知：DG=DE=3，根据直角三角形的性质可得：BG=DG=3，最后根据梯形面积公式：代入数据可得：，由此可得出答案．
26．【答案】（1）
（2）解：画树状图如图：
由树状图可知：共有16种等可能结果，其中小李和小赵经过相同通道的结果有4种，
（小李和小赵经过相同通道）．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：小李通过A通道的概率为，
故答案为：；
【分析】
本题考查了列表法和树状图法，概率公式，正确的画出数状图是解题的关键．
（1）根据概率公式即可得到结论；
（2）画出树状图，共有16种等可能的结果，其中小李和小赵经过相同通道的结果有4种，再由概率公式即可求解.
（1）解：小李通过A通道的概率为，
故答案为：；
（2）解：画树状图如图：
由树状图可知：共有16种等可能结果，其中小李和小赵经过相同通道的结果有4种，
（小李和小赵经过相同通道）．
27．【答案】解：∵四边形为正方形，
∴，
∴，，
∴．
设正方形零件的边长为，则，．
∵，
∴，
∴，
解得．
∴这个正方形零件的边长是．
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查正方形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的性质是解题关键．
根据正方形的性质：对边平行可知：BC∥EF，根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等可知：，，再根据相似三角形的判定定理：两组角相等的两个三角形是相似三角形可知：，设正方形零件的边长为，则，，根据相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例可得：，代入数据可得：，解得：x=48，即这个正方形零件的边长是，由此可得出答案．
28．【答案】（1）解：∵，，
∴，.
（2）解：当时，
①若，则有．
∴．
∵，，，，
∴，
解得：．
②∵，若，则有．
∴．
∴，
解得：．（不符合题意，舍去）
当时，点P与C重合．
∵，只有当时，
有．
∴．
∴，
解得：．
综上所述：
在中，当时，．
在中，当时，．
（3）解：当时，过点P、C分别作的垂线，垂足为D、E．
∴，，
如果的面积恰好为面积一半，
那么，
∴，
得：，
解得：或者（舍去）．
当时，点P与C重合．即，
如果的面积恰好为面积一半，
那么，
解得：．
综上所述：
在中，当时，的面积恰好为面积一半．
在中，当时，的面积恰好为面积一半.
【知识点】动点问题的函数图象；三角形-动点问题；已知正弦值求边长；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
本题主要考查了动点函数问题，列函数关系式，相似三角形的判定以及性质，一次函数的应用，三角形面积，正弦的定义，掌握这些知识是解题的关键.
（1）对于点P，它从点A出发沿AC边运动，速度是每秒2cm，根据"路程=速度×时间"，所以经过时间t后，AP=2t，即AP的长度与时间t的函数解析式为：。又因为点P从A到C，AC=12cm。根据时间=路程÷速度可得：点P运动到C所需的时间为12÷2=6秒，所以t的取值范围是0≤t≤6；对于点Q，它从点B出发沿BA边运动，速度是每秒1cm，故经过时间t后，BQ的长度为t，结合AB=16cm，AQ=AB-BQ=16-t，故AQ的长与时间t的函数关系式为：由点Q从B到A，根据时间=路程÷速度可得：点Q运动到A所需的时间为16÷1=6秒，所以t的取值范围是0≤t≤16，由此可得出答案；
（2）分情况讨论，当时，根据相似三角形的判定定理：两组角相等的两个三角形相似，这里因为∠A是公共角，所以只需考虑两边对应成比例且夹角相等的情况讨论即可，故①若，则有，②若，则有，当时，点P与C重合．当时，有．再根据相似三角形的性质：对应边成比例，分别得出比例式，代入数据求出t的值即可得出答案；
（3）当时，过点P、C分别作AB的垂线，垂足为D、E．再根据正弦的定义可知：，，再根据三角形面积公式：代入数据可得出：，代入数据求解出t的值；当时，点P与C重合．即代入求解出t的值，由此可得出答案.
（1）解：，，
∴，.
（2）解：当时，①若，则有．
∴．
∵，，，，
∴，
解得：．
②∵，若，则有．
∴．
∴，
解得：．（不符合题意，舍去）
当时，点P与C重合．
∵，只有当时，
有．
∴．
∴，
解得：．
综上所述：
在中，当时，．
在中，当时，．
（3）解：当时，过点P、C分别作的垂线，垂足为D、E．
∴，，
如果的面积恰好为面积一半，
那么，
∴，
得：，
解得：或者（舍去）．
当时，点P与C重合．即，
如果的面积恰好为面积一半，
那么，
解得：．
综上所述：
在中，当时，的面积恰好为面积一半．
在中，当时，的面积恰好为面积一半.
1 / 1甘肃省张掖市甘州区思源实验学校2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题
1．（2024九上·甘州期中）小明从正面如图所示的两个物体，看到的是平面图形中的（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】从正面看易得第一个图形为矩形，第二层图形为正方形．
故答案为：C．
【分析】
本题考查简单几何体的三视图，熟知正视图是解题关键．
从正面观察物体时，圆柱的正视图是长方形，正方体的正视图是正方形，图中是一个圆柱和一个正方体并排摆放，所以从正面看到的应该是左边一个长方形，右边一个正方形，由此可判断选项C的图形符合题意，由此可得出答案．
2．（2024九上·甘州期中）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】A.对角线相等是平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质；
B.对角线互相垂直是菱形、正方形具有的性质；
C.对角线相等是矩形和正方形具有的性质；
D.对角线互相垂直且相等是正方形具有的性质．
故选：A．
【分析】本题主要依据平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对角线相互平分的性质来判断
3．（2024九上·甘州期中）函数 的图象经过点（ ，6），则下列各点中，在函数 图象上的是（　　）
A．（3，8） B．（3， ）
C．（ ， ） D．（ ， ）
【答案】B
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】∵函数y= 的图象经过点( 4，6)，
∴6= ，解得k= 24，∴y= ，
在A中，(3，8)代入不成立，故A不符合题意；
在B中，(3， 8)代入成立，故B符合题意；
在C中，( 8， 3)代入不成立，故C不符合题意；
在D中，( 4， 6)代入不成立，故D不符合题意．
故答案为：B.
【分析】先将点( 4，6)代入y= 中，求出k值，即得y= ，然后将各项坐标代入检验即可.
4．（2024九上·甘州期中）如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴，
A.若添加，则根据“两角对应相等，两三角形相似”可得，故A选项正确，不符合题意；
B. 若添加，则根据“两角对应相等，两三角形相似”可得，故B选项正确，不符合题意；
C. 若添加，则不能得出，故C选项错误，符合题意；
D. 若添加，则根据“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似” 可得，故D选项正确，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据相似三角形的判定定理逐一判断即可得出答案．
5．（2024九上·甘州期中）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞ B．k≥
C．k＞ 且k≠1 D．k≥ 且k≠1
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有不相等实数根，
∴△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，
解得k＞ ；且k﹣1≠0，即k≠1．
故选：C．
【分析】根据判别式的意义得到△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，然后解不等式即可．
6．（2024九上·甘州期中）如图，点为平行四边形边延长线上的一点，连接与相交于点．则图中相似三角形共有（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：四边形为平行四边形，
，，
，，
，
共3对，
故答案为：C．
【分析】利用相似三角形的判定方法（①三边对应成比例的两个三角形相似，②有两组角对应相等的两个三角形相似，③两组边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似）逐项分析判断即可.
7．（2024九上·甘州期中）有四张不透明的卡片，正面分别标有数字0、1、2、3．除正面的数字不同外，其余都相同．将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到写有偶数卡片的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】
解：由题意可知：
共有4张标有数字0、1、2、3的卡片，摸到每一张的可能性是均等的，其中为偶数的有2种，
所以随机抽取一张，抽到写有偶数卡片的概率是＝，
故答案为：A．
【分析】
本题考查概率公式，理解概率的意义，熟知概率的计算方法是解题关键．
根据偶数的定义可知：在这四张卡片标有的数字0、1、2、3中，偶数是0和2，共2个，由摸到每一张的可能性是均等的，因此可以求出随机抽取一张，抽到写有偶数卡片的概率，根据概率的计算公式：（其中n是所有可能的结果数，m是事件A发生的结果数)，由题意知：n=4，m=2，代入数据可得：抽到写有偶数卡片的概率是，由此可得出答案．
8．（2024九上·甘州期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】根据平行线分线段成比例可得，
代入计算可得：，
即可解EC=2，
故答案为：B．
【分析】
本题考查平行线分线段成比例定理，熟知平行线分线段成比例的内容是解题关键.
平行线分线段成比例定理： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；根据平行线分析段成比例定理可得：，代入数据计算可得：EC=2，由此可得出答案.
9．（2024九上·甘州期中）近几年，我国经济高速发展，但退休人员待遇持续偏低．为了促进社会公平，国家决定大幅增加退休人员的退休金．企业退休职工李师傅2012年的月退休金为1500元，2014年达到2160元．设李师傅的月退休金从2012年到2014年年平均增长率为x，可列方程为（ 　）
A．2160(1－x) 2= 1500
B．1500(1＋x) 2=2160
C．1500(1－x) 2=2160
D．1500＋1500(1＋x) ＋1500(1＋x) 2=2160
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设李师傅的月退休金从2012年到2014年平均增长率设为x，
根据题意得：1500（1+x）2＝2160．
故答案为：B．
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，准确找到等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设李师傅的月退休金从2012年到2014年平均增长率设为x，则2013 年的月退休金是在 2012 年的基础上增长x，即2013年李师傅的月退休金为1500(1+x)元， 2014 年的月退休金是在 2013 年的基础上又增长x，即2014 年的月退休金为：， 已知2014 年月退休金达到2160元，即可列方程 1500（1+x）2＝2160，由此可得出答案．
10．（2024九上·甘州期中）某数学兴趣小组来到城关区时代广场，设计用手电来测量广场附近某大厦CD的高度，如图，点P处放一水平的平面镜．光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝1.5米，BP＝2米，PD＝52米，那么该大厦的高度约为（　　）
A．39米 B．30米 C．24米 D．15米
【答案】A
【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP=∠CDP=90°，
∵∠APB=∠CPD，
∴△ABP∽△PDC，
∴，
∴CD＝×AB＝×1.5＝39米；
那么该大厦的高度是39米．
故答案为：A．
【分析】
本题考查相似三角形的判定与性质，相似三角形性质的应用．准确找到相似三角形是解题关键．
根据光线的入射角=反射角可知：∠APB=∠CPD，再根据垂直的定义可知：∠ABP=∠CDP=90°，根据相似三角形的判定定理：两组角分别相等的两个三角形相似可知：△ABP∽△PDC，再根据相似三角形的性质：对应边成比例可得：，结合PD=52，BP=2，AB=1.5代入数据可得：CD=39米，由此可得出答案．
11．（2024九上·甘州期中）若反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是　 　．
【答案】k＞5
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，
∴5 k＜0，
解得k＞5，
故答案为：k＞5．
【分析】
本题考查了反比例函数的图象和性质，熟知反比例函数的图象与比例系数之间的关系是解题关键．
反比例函数解析式：，当k＜0时，函数的图象分布在第二、四象限，当k＞0时，图像分布在第一、三象限；根据反比例函数的图象和性质可得：5 k＜0，解得：k＞5，由此可得出答案．
12．（2024九上·甘州期中）若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是　 　．
【答案】4：9
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵两个相似三角形的周长比为2：3，
∴这两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的面积比是4：9．
故答案为：4：9．
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比求出相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可．
13．（2024九上·甘州期中）若一元二次方程 的一个根为0，则 　 　.
【答案】1
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把 代入得： ，
解得： ，
又因为： 为一元二次方程，
所以： ，
所以： .
故答案为： .
【分析】将x=0代入方程中可得a的值，由一元二次方程的概念可得a≠-1，据此可得a的值.
14．（2024九上·甘州期中）如果线段 成比例，且 ，则d=　 　。
【答案】3.6
【知识点】比例线段
【解析】【解答】根据题意得： ，即 ，解得：d=3.6.故答案为3.6.
【分析】根据线段 a ， b ， c ， d 成比例列出方程，求解即可。
15．（2024九上·甘州期中）如图，在平行四边形中，已知，，平分交边于点，则等于　 　．
【答案】2
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
，
又平分，
，
，
，
即．
故答案为：2．
【分析】
本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，性质的应用，及等腰三角形的判定，属于基础题．
根据平行四边形的性质：对边平行且相等可知：AD∥BC，CD=AB=6，由平行线的性质：两直线平行，内错角相等可知：∠EDA=∠DEC，根据角平分线的定义可知：∠EDC=∠ADE，等量代换可得：∠EDC=∠DEC，再根据等腰三角形的判定定理：等角对等边可知：CE=CD=6，最后根据线段的和差运算可知：BE=BC-EC-2，由此可得出答案．
16．（2024九上·甘州期中）如图，连接四边形各边中点，得到四边形，还要添加　 　条件，才能保证四边形是矩形．
【答案】
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如下图，
∵E、F、G、H分别是、、、的中点，
∴，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
若四边形是矩形，
则有，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴还要添加的条件，才能保证四边形是矩形，
故答案为：．
【分析】
本题考查三角形中位线定理、平行线的性质、平行四边形的判定和矩形的性质，熟练掌握矩形的四个角都是直角是解题的关键．
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边可得：，，，，根据平行线的性质：平行于同一条直线的两条直线互相平行可知：EF∥GH，EH∥FG，再根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形可知：四边形EFGH是平行四边形，由矩形的性质可知：矩形的四个角都是直角可知，根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等可知：，由此可知：AC⊥BD，由此可得出答案．
17．（2024九上·甘州期中）如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为　 　．
【答案】12
【知识点】菱形的性质；多边形的面积
【解析】【解答】解：∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，
∴菱形的面积=×6×8=24，
∵O是菱形两条对角线的交点，
∴阴影部分的面积=×24=12．
故答案是：12．
【分析】
本题考查菱形的性质、菱形面积的计算方法，熟知菱形面积的计算方法是解题的关键．
根据菱形的性质：菱形是中心对称图形，对角线的交点O是它的对称中心，可知：过中心O的直线将菱形分成的两部分是全等的，所以阴影部分的面积是菱形面积的一半，再根据菱形面积的计算公式：代入数据可得：菱形的面积=×6×8=24，再根据，代入数据可得：，由此可得出答案．
18．（2024九上·甘州期中）如图，在中，，P为边上一动点，于E，于F，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理的逆定理；矩形的判定与性质；等积变换
【解析】【解答】解：连接，
∵在中，，
∴，
即．
又∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴当的值最小时，的最小值，
∵当为直角三角形斜边上的高时，的值最小，
∴的最小值即为直角三角形斜边上的高，
设直角三角形斜边上的高为h，
∵，
∴，
解得：，
∴EF的最小值为，
故答案为：．
【分析】
本题考查勾股定理的逆定理，矩形的判定及性质、根据矩形的性质得到EF=AP是解题关键．
连接AP，根据勾股定理逆定理可得：，即∠BAC=90°，根据矩形的判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形可知：四边形AEPF是矩形，再根据矩形的性质：对角线相等且平分可知：EF=AP，故当AP的值最小时，EF取最小值，根据垂线段最短可知：当AP为Rt△ABC斜边上的高时，AP的值最小，根据三角形的面积自等法的公式可得：，代入数据即可解得h=2.4，即AP=2.4，故EF的最小值为2.4，由此可得出答案．
19．（2024九上·甘州期中）用适当的方法解下列方程．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴或，
解得；
（2）解；∵，
∴，
∴，
∴或，
解得；
（3）解；∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
（4）解：∵，
∴，
∴或，
解得．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知一元二次方程的解法是解题关键．
（1）观察方程：，故可利用平方差公式将方程左边分解因式可得：，再令每一个因式为0可得：或，解得，由此可得出答案；
（2）先移项，然后观察方程可看出，都有因式(2x+1)，故可利用提公因式法分解因式可得：，再令每一个因式为0可得：或，解得，由此可得出答案；
（3）观察该方程，用配方法解比较简便，故先把常数项移到方程右边可得：，再给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再解方程即可得出答案；
（4）观察方程可看出：-27=3×(-9)，-6=-9＋3，故把方程左边利用十字相乘法分解因式可得：，再令每一个因式为0可得：或，解得． ，由此可得出答案．
（1）解：∵，
∴，
∴或，
解得；
（2）解；∵，
∴，
∴，
∴或，
解得；
（3）解；∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
（4）解：∵，
∴，
∴或，
解得．
20．（2024九上·甘州期中）如图，晚上，小亮在广场上乘凉．图中线段AB表示站在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯．
（1）请你在图中画出小亮在照明灯（P）照射下的影子；
（2）如果灯杆高PO＝12m，小亮的身高AB＝1.6m，小亮与灯杆的距离BO＝13m，请求出小亮影子的长度．
【答案】解：（1）连接PA并延长交地面于点C，线段BC就是小亮在照明灯（P）照射下的影子；
（2）在△CAB和△CPO中，
∵∠C＝∠C，∠ABC＝∠POC＝90°
∴△CAB∽△CPO
∴，
∴
∴BC＝2m，
∴小亮影子的长度为2m
【知识点】中心投影；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
本题考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质．利用中心投影的特点可知在这两组三角形相似是解题关键．（1）直接连接点光源和物体顶端形成的直线与地面的交点即是影子的顶端，故连接PA并延长交地面于点C，线段BC就是小亮在照明灯（P）照射下的影子，由此可画出图形；
（2）根据中心投影的特点可知△CAB∽△CPO，再根据相似三角形的性质：对应边成比例可知：，结合OB=13，可知：OC=OB+BC=13+BC，代入数据计算可得：BC=2m，由此可得出答案．
21．（2024九上·甘州期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若、是方程的两根，且，求的值．
【答案】解：（1）根据题意，得，
解得：；
（2）根据题意，得：，
∵，即
∴
解得：或
∵
∴舍去
当时，
∴的值是．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再将其代入可得，最后求出m的值即可.
22．（2024九上·甘州期中）如图，在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2．求证：△ABC∽△EAD．
【答案】证明：∵AD＝DB，
∴∠B＝∠BAD．
∵∠BDA＝∠1+∠C＝∠2+∠ADE，
又∵∠1＝∠2，
∴∠C＝∠ADE．
∴△ABC∽△EAD．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定、等腰三角形的性质和三角形外角的性质，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键．根据等腰三角形的性质：等角对等边可知：∠B=∠BAD，再根据三角形外角的性质：三角形的外角=不相邻的两内角之和可知：∠BDA=∠1+∠C，由角的和差运算可知：∠BDA=∠2+∠ADE，由∠1=∠2，根据等式的性质可得：∠C=∠ADE，结合∠B=∠BAD，根据相似三角形的判定定理：两组角相等的两个三角形相似可得：△ABC∽△EAD，由此可证得结论．
23．（2024九上·甘州期中）如图，∠B＝∠ACD．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）如果AC＝6，AD＝4，求DB的长．
【答案】解：（1）证明：∵∠A=∠A，∠ACD=∠B，∴△ABC∽△ACD．（2）解：∵△ABC∽△ACD，∴，∴，∴AB=9，∴BD=AB-AD=9-4=5．
（1）证明：∵∠A=∠A，∠ACD=∠B，
∴△ABC∽△ACD．
（2）解：∵△ABC∽△ACD，
∴，
∴，
∴AB=9，
∴BD=AB-AD=9-4=5．
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟知相似三角形的判定与性质是解题关键．（1）观察图形可知： ABC和 ACD有公共角，故∠A=∠A，结合 ∠B＝∠ACD，根据相似三角形的判定定理：两组角相等的两个三角形相似可得：△ABC∽△ACD，由此可证得结论；
（2）由（1）知：△ABC∽△ACD，根据相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例可得：，代入数据可解得：AB=9， 再根据线段的和差运算可知：BD=AB-AD=5，由此可得出答案．
24．（2024九上·甘州期中） 某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
【答案】解：设每千克应涨价元，由题意得：
，
解得，，
要使顾客得到实惠，应取，
答：每千克应涨价5元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】 设每千克应涨价元， 根据 若每千克涨价1元，日销量减少20千克， 可得出售价为（10+x），销量为（500-20x），再根据 该商场要保证每天盈利6000元 ，即可得出方程 ，解方程可得出方程的解 x1=5，x2=10，应为要使顾客得到实惠，所以应取 x1=5，故而得出答案。
25．（2024九上·甘州期中）如图，在△ABC中，D、F分别是BC、AC边的中点，连接DA、DF，且AD＝2DF，过点B作AD的平行线交FD的延长线于点E．
（1）求证：四边形ABED为菱形；
（2）若BD＝6，∠E＝60°，求四边形ABEF的面积．
【答案】证明：(1).在△ABC中，D、F分别是BC、AC边的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF∥AB，DFAB，
∴AB=2DF，
∵BE∥AD，
∴四边形ABED是平行四边形，
∵AD＝2DF，
∴AD＝AB，
∴四边形ABED为菱形；
（2）过B作BG⊥EF于G，
∵四边形ABED为菱形，
∴AB＝BE＝DE＝AD＝6，
∴DF＝3，EF＝9，
∵BD=BE=6，∠E＝60°，
∴△BDE是等边三角形，
∵BG⊥EF，
∴DGDE＝3，
∴BGDG＝3，
∴四边形ABEF的面积．
【知识点】等边三角形的判定；菱形的判定；菱形的判定与性质；直角三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理、梯形面积公式、等边三角形的判定，直角三角形的性质；熟知菱形的判定与性质是解题的关键．（1）根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于底边的一半可知：DF∥AB，DF=AB，即AB=2DF，结合BE∥AD，根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形可知：四边形ABED是平行四边形，结合AD=2DF，等量代换可得：AD=AB，再根据菱形的判定定理：一组领边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABED为菱形；
（2）过B作BG⊥EF于G，根据菱形的性质：四边相等可知：AB=BE=DE=BD=6，由线段的和差运算可知：DF=3，EF=9，再根据等边三角形的判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可知：△BDE是等边三角形，根据等边三角形的性质：三线合一可知：DG=DE=3，根据直角三角形的性质可得：BG=DG=3，最后根据梯形面积公式：代入数据可得：，由此可得出答案．
26．（2024九上·甘州期中）（Electronic Toll Collection）不停车收费系统是目前世界上最先进的路桥收费方式．安装有的车辆通过路桥收费站无需停车就能交纳费用．某高速路口收费站有A，B，C，D四个通道，车辆可任意选择一个通道通过，且通过每个通道的可能性相同，一天，小李和小赵分别驾驶安装有的汽车经过此收费站，
（1）小李通过A通道的概率为__________；
（2）请用列表或画树状图的方法表示出两人通过此收费站的所有可能结果，并求出小李和小赵经过相同通道的概率．
【答案】（1）
（2）解：画树状图如图：
由树状图可知：共有16种等可能结果，其中小李和小赵经过相同通道的结果有4种，
（小李和小赵经过相同通道）．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：小李通过A通道的概率为，
故答案为：；
【分析】
本题考查了列表法和树状图法，概率公式，正确的画出数状图是解题的关键．
（1）根据概率公式即可得到结论；
（2）画出树状图，共有16种等可能的结果，其中小李和小赵经过相同通道的结果有4种，再由概率公式即可求解.
（1）解：小李通过A通道的概率为，
故答案为：；
（2）解：画树状图如图：
由树状图可知：共有16种等可能结果，其中小李和小赵经过相同通道的结果有4种，
（小李和小赵经过相同通道）．
27．（2024九上·甘州期中）如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，这个正方形零件的边长是多少？
【答案】解：∵四边形为正方形，
∴，
∴，，
∴．
设正方形零件的边长为，则，．
∵，
∴，
∴，
解得．
∴这个正方形零件的边长是．
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查正方形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的性质是解题关键．
根据正方形的性质：对边平行可知：BC∥EF，根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等可知：，，再根据相似三角形的判定定理：两组角相等的两个三角形是相似三角形可知：，设正方形零件的边长为，则，，根据相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例可得：，代入数据可得：，解得：x=48，即这个正方形零件的边长是，由此可得出答案．
28．（2024九上·甘州期中），，动点P、Q分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点P从点A出发沿边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿边一直移动到点A为止．
（1）写出的长和的长关于时间t的函数；
（2）经过多少时间后，与相似？
（3）在整个过程中，是否存在使的面积恰好为面积一半的情况，若存在，请问此时点Q运动了多少时间？若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵，，
∴，.
（2）解：当时，
①若，则有．
∴．
∵，，，，
∴，
解得：．
②∵，若，则有．
∴．
∴，
解得：．（不符合题意，舍去）
当时，点P与C重合．
∵，只有当时，
有．
∴．
∴，
解得：．
综上所述：
在中，当时，．
在中，当时，．
（3）解：当时，过点P、C分别作的垂线，垂足为D、E．
∴，，
如果的面积恰好为面积一半，
那么，
∴，
得：，
解得：或者（舍去）．
当时，点P与C重合．即，
如果的面积恰好为面积一半，
那么，
解得：．
综上所述：
在中，当时，的面积恰好为面积一半．
在中，当时，的面积恰好为面积一半.
【知识点】动点问题的函数图象；三角形-动点问题；已知正弦值求边长；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
本题主要考查了动点函数问题，列函数关系式，相似三角形的判定以及性质，一次函数的应用，三角形面积，正弦的定义，掌握这些知识是解题的关键.
（1）对于点P，它从点A出发沿AC边运动，速度是每秒2cm，根据"路程=速度×时间"，所以经过时间t后，AP=2t，即AP的长度与时间t的函数解析式为：。又因为点P从A到C，AC=12cm。根据时间=路程÷速度可得：点P运动到C所需的时间为12÷2=6秒，所以t的取值范围是0≤t≤6；对于点Q，它从点B出发沿BA边运动，速度是每秒1cm，故经过时间t后，BQ的长度为t，结合AB=16cm，AQ=AB-BQ=16-t，故AQ的长与时间t的函数关系式为：由点Q从B到A，根据时间=路程÷速度可得：点Q运动到A所需的时间为16÷1=6秒，所以t的取值范围是0≤t≤16，由此可得出答案；
（2）分情况讨论，当时，根据相似三角形的判定定理：两组角相等的两个三角形相似，这里因为∠A是公共角，所以只需考虑两边对应成比例且夹角相等的情况讨论即可，故①若，则有，②若，则有，当时，点P与C重合．当时，有．再根据相似三角形的性质：对应边成比例，分别得出比例式，代入数据求出t的值即可得出答案；
（3）当时，过点P、C分别作AB的垂线，垂足为D、E．再根据正弦的定义可知：，，再根据三角形面积公式：代入数据可得出：，代入数据求解出t的值；当时，点P与C重合．即代入求解出t的值，由此可得出答案.
（1）解：，，
∴，.
（2）解：当时，①若，则有．
∴．
∵，，，，
∴，
解得：．
②∵，若，则有．
∴．
∴，
解得：．（不符合题意，舍去）
当时，点P与C重合．
∵，只有当时，
有．
∴．
∴，
解得：．
综上所述：
在中，当时，．
在中，当时，．
（3）解：当时，过点P、C分别作的垂线，垂足为D、E．
∴，，
如果的面积恰好为面积一半，
那么，
∴，
得：，
解得：或者（舍去）．
当时，点P与C重合．即，
如果的面积恰好为面积一半，
那么，
解得：．
综上所述：
在中，当时，的面积恰好为面积一半．
在中，当时，的面积恰好为面积一半.
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