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浙江省温州新力量联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷
1．（2024高二上·温州期中）过点且与直线平行的直线方程是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024高二上·温州期中）直线，的斜率是方程的两个根，则（　　）
A． B．
C．与相交但不垂直 D．与的位置关系不确定
3．（2024高二上·温州期中）已知点，则以为直径的圆的方程为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024高二上·温州期中）已知椭圆，则下列结论正确的是（　　）
A．长轴长为 B．焦距为2 C．短轴长为2 D．离心率为
5．（2024高二上·温州期中）已知平面内有一个点，的一个法向量为，则下列点中，在平面内的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024高二上·温州期中）已知点在圆外，则的取值范围为（　　）
A． B．或
C． D．
7．（2024高二上·温州期中）下列命题正确的是（　　）
A．在空间四边形中，
B．是与不共线的充要条件
C．在棱长为1正四面体中，
D．设，，三点不共线，为平面外一点，若，则，，，四点共面
8．（2024高二上·温州期中）已知椭圆：的左 右焦点分别为，(如图)，过的直线交于，两点，且轴，，则的离心率为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024高二上·温州期中）已知圆和圆相交于A、两点，下列说法正确的是（　　）
A．公共弦所在直线方程为
B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1
C．取圆上点，则的最大值为
D．直线被圆所截得弦长最短为
10．（2024高二上·温州期中）给出下列命题，其中正确的命题是（　　）
A．若，则是钝角
B．若，则可知
C．若为直线l的方向向量，则λ也是直线l的方向向量
D．在四面体中，若，，则
11．（2024高二上·温州期中）（多选）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半.若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（　　）
A．点P的轨迹方程是
B．直线是“最远距离直线”
C．平面上有一点，则的最小值为5
D．点P的轨迹与圆是没有交汇的轨迹（也就是没有交点）
12．（2024高二上·温州期中）已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为　 　.
13．（2024高二上·温州期中）直线的倾斜角取值范围是　 　.
14．（2024高二上·温州期中）正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是　 　．
15．（2024高二上·温州期中）已知直线.
（1）证明：直线过定点；
（2）求过点且横截距与纵截距相等的直线方程.
16．（2024高二上·温州期中）如图，在平行六面体中，为与的交点，且，，两两夹角均为，且长度相等，设，，.
（1）试用，，表示；
（2）求直线与直线所成角的余弦值.
17．（2024高二上·温州期中）已知圆过点，，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）问是否存在满足以下两个条件的直线：
①斜率为1；②直线被圆截得的弦为，以为直径的圆过原点.若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在，请说明理由.
18．（2024高二上·温州期中）如图，已知四棱锥的底面为矩形，，，顶点在底面的正投影为的中点.
（1）求证：直线平面；
（2）若平面与平面的交线为，，
（i）求证：直线；
（ii）求与平面所成角的大小.
19．（2024高二上·温州期中）已知椭圆上有两个不同点，关于直线对称.
（1）记直线与线段的交点为.
（i）求证：为定值；
（ii）求的坐标（用来表示）.
（2）求面积的最大值（为坐标原点）.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】用斜率判定两直线平行；直线的点斜式方程
【解析】【解答】解：设过点且与直线平行的直线方程为，
则，解得，
所以所求的直线方程为.
故答案为：B.
【分析】先求出已知直线的斜率，利用两直线平行斜率相等，确定所求直线斜率，再结合已知点，用点斜式求出直线方程.
2．【答案】B
【知识点】用斜率判定两直线垂直
【解析】【解答】解：设直线的斜率分别是，
由依题意，所以.
故答案为：B
【分析】利用韦达定理求出两直线斜率之积，再根据两直线垂直的斜率关系（ 斜率之积为-1时垂直 ），判断直线的位置关系.
3．【答案】D
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：因为，
线段的中点为，，
所以以线段为直径的圆的圆心坐标为，半径，
所以线段为直径的圆的方程为.
故选：D.
【分析】根据题意，利用中点坐标公式，求得的中点坐标为，再利用两点间距离公式，求得，从而得到所求圆的圆心和半径，即可得到所求圆的标准方程.
4．【答案】D
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：已知椭圆，整理得，
得，所以，
故椭圆长轴长为，焦距为，
短轴长为，离心率为．
故答案为：D．
【分析】核心是将椭圆方程化为标准形式，确定、的值，再根据椭圆中、、的关系（）求出，最后计算长轴、短轴、焦距、离心率，从而判断选项正误。
5．【答案】B
【知识点】空间向量的数量积运算；平面的法向量；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：符合条件的应满足，
A，，，
B，，，
C，，，
D，，，
故答案为：B
【分析】根据平面内向量与法向量垂直的性质，即点在平面内时，该点与平面内已知点构成的向量和平面法向量的数量积为0，逐一计算各选项中向量与法向量的数量积，判断点是否在平面内.
6．【答案】A
【知识点】圆的一般方程；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵圆，
圆的标准方程为，
∴圆心坐标，半径，
若在圆外，
则满足 ，且，
即且，即
故答案为：A
【分析】先将圆方程化为标准形式，确定圆存在的参数范围，再根据点在圆外时，点到圆心的距离大于半径这一性质，列不等式求解参数范围，最后综合得到结果.
7．【答案】A
【知识点】共线（平行）向量；空间向量的数量积运算；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：A：空间四边形中，
，A选项正确；
B：当反向共线，满足，但是与共线，B选项错误；
C：在棱长为1正四面体中，，C 选项错误；
D：因为，而不是1，所以，，，四点不共面，D选项错误
故答案为：A.
【分析】对每个选项，分别利用向量数量积运算、特殊值法、向量夹角与数量积关系、四点共面的向量条件，判断命题的正误.
8．【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由，，
将代入椭圆方程知，解得：，即
过点作轴，则，又
，得，
所以点的坐标为，即
又点在椭圆上，，即
又，，，即
故答案为：D
【分析】核心是先根据椭圆性质求出，再利用相似三角形得到点的坐标，最后将点代入椭圆方程，结合，求解离心率.
9．【答案】A,B,D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系；相交弦所在直线的方程
【解析】【解答】解：A：圆和圆相交于两点，
故直线的方程为：，即，故A正确；
B：到直线的距离，又圆的半径，
所以直线与圆相交且不过圆心，即圆上存在3个点到直线的距离为，B正确；
C：圆，即，
因为在圆上，故可设，
则，
又的最大值为，
故的最大值为，C错误；
D：将直线方程变形为，
由，解得，所以，直线过定点，
所以，圆心到直线的距离为最大值为，
因此，直线被圆所截得弦长最短为，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】对每个选项，分别利用两圆公共弦方程的求法、点到直线的距离公式、圆的参数方程与三角函数最值、直线过定点及弦长公式.
10．【答案】B,D
【知识点】平面向量的线性运算；空间向量的数乘运算；向量的数量积判断向量的共线与垂直；直线的方向向量
【解析】【解答】A：若，可能为（ 平角 ），并非一定是钝角，A错误；
B：由，变形得，进一步推导： ，即，B正确；
C：当时，，不是直线的方向向量，C错误；
D：通过作平面，结合、，可证为垂心，进而得，即，D正确。
故答案为：BD。
【分析】核心是对每个选项，结合向量的数量积定义、线性运算规则、直线方向向量的概念，以及空间几何中的垂心性质，逐一判断命题的真假。
11．【答案】A,B,C
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：对于A，设，
因为点P到点F的距离是点P到直线l距离的一半，
所以，
化简可得，故选项A正确；
对于B，联立方程组，
可得，解得，
则存在点，
所以直线是“最远距离直线”，故选项B正确；
对于C，过点P作垂直直线，垂足为B，
由题意可得，，
则，
由图象可知，的最小值为点A到直线的距离5，故选项C正确；
对于D，由圆，可得，
则圆心为，半径为1，易得点P的轨迹与圆C交于点，故选项D错误.
故答案为：ABC.
【分析】设，根据“最远距离直线”定义和已知条件，从而建立关系求出点P的轨迹方程，则判断出选项A；联立直线与椭圆方程，则判断方程组是否有解判断出选项B；根据“最远距离直线”定义，从而将的最小值转化为的最小值，再转化为点A到直线的距离，从而求出的最小值，则判断出选项C；利用圆的方程得出圆心坐标和半径长，从而得出点P的轨迹与圆C交于点，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
12．【答案】8
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：∵ 焦点在轴上，由椭圆方程可知：，
∴，即.
故答案为：8
【分析】核心是先根据椭圆焦点位置确定、，再结合离心率公式，建立关于的方程，求解得出的值.
13．【答案】
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：由题设，即直线斜率为，
若直线倾斜角，则，而，所以.
故答案为：
【分析】先将直线方程化为斜截式求出斜率范围，再根据斜率与倾斜角的正切关系，结合倾斜角的取值范围，确定倾斜角的范围.
14．【答案】
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系．
则，，，，．
，，．
点在线段上运动，
，且．
，
，
∵，∴，即，
故答案为：．
【分析】建立空间直角坐标系，用参数表示动点P的向量，通过向量坐标运算求出数量积表达式，再根据参数范围确定数量积的取值范围.
15．【答案】（1）证明：即
令解得
直线过定点.
（2）解：当直线横截距等于纵截距为0时
直线过原点 斜率
此时直线方程为即
当直线横截距，纵截距不为0时，可设直线的方程为：
直线过点，代入方程得
直线的方程为：，即直线的方程为：
综上所述直线的方程为或者.
【知识点】直线的斜截式方程；直线的截距式方程
【解析】【分析】（1）通过对直线方程变形，构造关于k的等式，令系数为零，求出定点坐标.
（2）分横纵截距为0和不为0两种情况，分别利用直线过原点求斜率得方程，以及设截距式方程代入点求解.
（1）即
令解得
直线过定点
（2）当直线横截距等于纵截距为0时
直线过原点 斜率
此时直线方程为即
当直线横截距，纵截距不为0时，可设直线的方程为：
直线过点，代入方程得
直线的方程为：，即直线的方程为：
综上所述直线的方程为或者
16．【答案】（1）解：.
（2）解：根据题意可设设，
则，
所以直线与直线所成角的余弦值为.
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）利用向量加法的三角形法则，结合平行四边形对角线互相平分的性质，将分解为已知向量的组合.
（2）先根据向量模长和数量积的定义，确定各向量的模长与数量积的值，再分别计算的模长和与的数量积，最后利用向量夹角公式求出直线所成角的余弦值.
（1）
（2）根据题意可设设，
则，
所以直线与直线所成角的余弦值为.
17．【答案】（1）解：设圆的方程为，
则有，解得，，，
圆C方程为：，即.
（2）解：设直线存在，其方程为，
它与圆C的交点设为、，
则由，得 ，
，
为直径， ，
，
即，即，
或，容易验证或时方程的，
故存在这样的两条直线，其方程是或.
【知识点】直线的点斜式方程；圆的一般方程；直线与圆的位置关系；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据圆心在定直线上及圆过两点，利用两点间距离公式列方程，联立求解圆心坐标，进而得圆的标准方程.
（2）先假设直线存在，设出直线方程，与圆的方程联立，利用韦达定理结合的条件列方程，求解并验证判别式，确定直线是否存在及方程.
（1）设圆的方程为，
则有，解得，，，
圆C方程为：，即；
（2）设直线存在，其方程为，
它与圆C的交点设为、，
则由，得 ，
，
为直径， ，
，
即，即，
或，容易验证或时方程的，
故存在这样的两条直线，其方程是或.
18．【答案】（1）证明：在中，，在中，，
，故
平面，平面，则
又，，平面，
平面.
（2）解：（i），平面，平面，
平面.
又平面平面，平面，
.
（ii）与平面所成角的正弦值等于与平面所成角的正弦值
以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，以点作垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由于
则，，，
，，
设平面的一个法向量为则即
令，则，得
设与平面所成角为
所以与平面所成角为.
【知识点】直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）通过三角函数证明，结合线面垂直性质得，再用线面垂直判定定理证明.
（2）(i) 利用线面平行的判定与性质证明线线平行；(ii) 建立空间直角坐标系，求出平面法向量，结合线面角公式求解.
（1）证明：在中，，在中，，
，故
平面，平面，则
又，，平面，
平面
（2）解：（i），平面，平面，
平面.
又平面平面，平面，
.
（ii）与平面所成角的正弦值等于与平面所成角的正弦值
以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，以点作垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由于
则，，，
，，
设平面的一个法向量为则即
令，则，得
设与平面所成角为
所以与平面所成角为
19．【答案】（1）(1)解：
（i） 证明：设，，，得到
将，代入椭圆方程得，
两式相减得：，即
（ii）易知，由题意知，由（i）知
则有，即（1）
又在直线上，所以有（2）
有（1）（2）解得，即.
（2）解：设直线的直线方程为
联立得到
即
，，
又到直线的距离为，
（当且仅当取等号）.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）(i) 利用点差法，通过椭圆上两点坐标作差，结合斜率公式证明为定值；(ii) 结合(i)的结论与直线的方程，联立求解得到的坐标.
（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理、弦长公式和点到直线距离公式表示出三角形面积，再通过均值不等式求面积的最大值.
（1）
（i）设，，，得到
将，代入椭圆方程得，
两式相减得：，即
（ii）易知，由题意知，由（i）知
则有，即（1）
又在直线上，所以有（2）
有（1）（2）解得，即
（2）设直线的直线方程为
联立得到
即
，，
又到直线的距离为，
（当且仅当取等号）
1 / 1浙江省温州新力量联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷
1．（2024高二上·温州期中）过点且与直线平行的直线方程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用斜率判定两直线平行；直线的点斜式方程
【解析】【解答】解：设过点且与直线平行的直线方程为，
则，解得，
所以所求的直线方程为.
故答案为：B.
【分析】先求出已知直线的斜率，利用两直线平行斜率相等，确定所求直线斜率，再结合已知点，用点斜式求出直线方程.
2．（2024高二上·温州期中）直线，的斜率是方程的两个根，则（　　）
A． B．
C．与相交但不垂直 D．与的位置关系不确定
【答案】B
【知识点】用斜率判定两直线垂直
【解析】【解答】解：设直线的斜率分别是，
由依题意，所以.
故答案为：B
【分析】利用韦达定理求出两直线斜率之积，再根据两直线垂直的斜率关系（ 斜率之积为-1时垂直 ），判断直线的位置关系.
3．（2024高二上·温州期中）已知点，则以为直径的圆的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】圆的标准方程
【解析】【解答】解：因为，
线段的中点为，，
所以以线段为直径的圆的圆心坐标为，半径，
所以线段为直径的圆的方程为.
故选：D.
【分析】根据题意，利用中点坐标公式，求得的中点坐标为，再利用两点间距离公式，求得，从而得到所求圆的圆心和半径，即可得到所求圆的标准方程.
4．（2024高二上·温州期中）已知椭圆，则下列结论正确的是（　　）
A．长轴长为 B．焦距为2 C．短轴长为2 D．离心率为
【答案】D
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：已知椭圆，整理得，
得，所以，
故椭圆长轴长为，焦距为，
短轴长为，离心率为．
故答案为：D．
【分析】核心是将椭圆方程化为标准形式，确定、的值，再根据椭圆中、、的关系（）求出，最后计算长轴、短轴、焦距、离心率，从而判断选项正误。
5．（2024高二上·温州期中）已知平面内有一个点，的一个法向量为，则下列点中，在平面内的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量的数量积运算；平面的法向量；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：符合条件的应满足，
A，，，
B，，，
C，，，
D，，，
故答案为：B
【分析】根据平面内向量与法向量垂直的性质，即点在平面内时，该点与平面内已知点构成的向量和平面法向量的数量积为0，逐一计算各选项中向量与法向量的数量积，判断点是否在平面内.
6．（2024高二上·温州期中）已知点在圆外，则的取值范围为（　　）
A． B．或
C． D．
【答案】A
【知识点】圆的一般方程；点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵圆，
圆的标准方程为，
∴圆心坐标，半径，
若在圆外，
则满足 ，且，
即且，即
故答案为：A
【分析】先将圆方程化为标准形式，确定圆存在的参数范围，再根据点在圆外时，点到圆心的距离大于半径这一性质，列不等式求解参数范围，最后综合得到结果.
7．（2024高二上·温州期中）下列命题正确的是（　　）
A．在空间四边形中，
B．是与不共线的充要条件
C．在棱长为1正四面体中，
D．设，，三点不共线，为平面外一点，若，则，，，四点共面
【答案】A
【知识点】共线（平行）向量；空间向量的数量积运算；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：A：空间四边形中，
，A选项正确；
B：当反向共线，满足，但是与共线，B选项错误；
C：在棱长为1正四面体中，，C 选项错误；
D：因为，而不是1，所以，，，四点不共面，D选项错误
故答案为：A.
【分析】对每个选项，分别利用向量数量积运算、特殊值法、向量夹角与数量积关系、四点共面的向量条件，判断命题的正误.
8．（2024高二上·温州期中）已知椭圆：的左 右焦点分别为，(如图)，过的直线交于，两点，且轴，，则的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由，，
将代入椭圆方程知，解得：，即
过点作轴，则，又
，得，
所以点的坐标为，即
又点在椭圆上，，即
又，，，即
故答案为：D
【分析】核心是先根据椭圆性质求出，再利用相似三角形得到点的坐标，最后将点代入椭圆方程，结合，求解离心率.
9．（2024高二上·温州期中）已知圆和圆相交于A、两点，下列说法正确的是（　　）
A．公共弦所在直线方程为
B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1
C．取圆上点，则的最大值为
D．直线被圆所截得弦长最短为
【答案】A,B,D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系；相交弦所在直线的方程
【解析】【解答】解：A：圆和圆相交于两点，
故直线的方程为：，即，故A正确；
B：到直线的距离，又圆的半径，
所以直线与圆相交且不过圆心，即圆上存在3个点到直线的距离为，B正确；
C：圆，即，
因为在圆上，故可设，
则，
又的最大值为，
故的最大值为，C错误；
D：将直线方程变形为，
由，解得，所以，直线过定点，
所以，圆心到直线的距离为最大值为，
因此，直线被圆所截得弦长最短为，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】对每个选项，分别利用两圆公共弦方程的求法、点到直线的距离公式、圆的参数方程与三角函数最值、直线过定点及弦长公式.
10．（2024高二上·温州期中）给出下列命题，其中正确的命题是（　　）
A．若，则是钝角
B．若，则可知
C．若为直线l的方向向量，则λ也是直线l的方向向量
D．在四面体中，若，，则
【答案】B,D
【知识点】平面向量的线性运算；空间向量的数乘运算；向量的数量积判断向量的共线与垂直；直线的方向向量
【解析】【解答】A：若，可能为（ 平角 ），并非一定是钝角，A错误；
B：由，变形得，进一步推导： ，即，B正确；
C：当时，，不是直线的方向向量，C错误；
D：通过作平面，结合、，可证为垂心，进而得，即，D正确。
故答案为：BD。
【分析】核心是对每个选项，结合向量的数量积定义、线性运算规则、直线方向向量的概念，以及空间几何中的垂心性质，逐一判断命题的真假。
11．（2024高二上·温州期中）（多选）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半.若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（　　）
A．点P的轨迹方程是
B．直线是“最远距离直线”
C．平面上有一点，则的最小值为5
D．点P的轨迹与圆是没有交汇的轨迹（也就是没有交点）
【答案】A,B,C
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：对于A，设，
因为点P到点F的距离是点P到直线l距离的一半，
所以，
化简可得，故选项A正确；
对于B，联立方程组，
可得，解得，
则存在点，
所以直线是“最远距离直线”，故选项B正确；
对于C，过点P作垂直直线，垂足为B，
由题意可得，，
则，
由图象可知，的最小值为点A到直线的距离5，故选项C正确；
对于D，由圆，可得，
则圆心为，半径为1，易得点P的轨迹与圆C交于点，故选项D错误.
故答案为：ABC.
【分析】设，根据“最远距离直线”定义和已知条件，从而建立关系求出点P的轨迹方程，则判断出选项A；联立直线与椭圆方程，则判断方程组是否有解判断出选项B；根据“最远距离直线”定义，从而将的最小值转化为的最小值，再转化为点A到直线的距离，从而求出的最小值，则判断出选项C；利用圆的方程得出圆心坐标和半径长，从而得出点P的轨迹与圆C交于点，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
12．（2024高二上·温州期中）已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为　 　.
【答案】8
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：∵ 焦点在轴上，由椭圆方程可知：，
∴，即.
故答案为：8
【分析】核心是先根据椭圆焦点位置确定、，再结合离心率公式，建立关于的方程，求解得出的值.
13．（2024高二上·温州期中）直线的倾斜角取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：由题设，即直线斜率为，
若直线倾斜角，则，而，所以.
故答案为：
【分析】先将直线方程化为斜截式求出斜率范围，再根据斜率与倾斜角的正切关系，结合倾斜角的取值范围，确定倾斜角的范围.
14．（2024高二上·温州期中）正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系．
则，，，，．
，，．
点在线段上运动，
，且．
，
，
∵，∴，即，
故答案为：．
【分析】建立空间直角坐标系，用参数表示动点P的向量，通过向量坐标运算求出数量积表达式，再根据参数范围确定数量积的取值范围.
15．（2024高二上·温州期中）已知直线.
（1）证明：直线过定点；
（2）求过点且横截距与纵截距相等的直线方程.
【答案】（1）证明：即
令解得
直线过定点.
（2）解：当直线横截距等于纵截距为0时
直线过原点 斜率
此时直线方程为即
当直线横截距，纵截距不为0时，可设直线的方程为：
直线过点，代入方程得
直线的方程为：，即直线的方程为：
综上所述直线的方程为或者.
【知识点】直线的斜截式方程；直线的截距式方程
【解析】【分析】（1）通过对直线方程变形，构造关于k的等式，令系数为零，求出定点坐标.
（2）分横纵截距为0和不为0两种情况，分别利用直线过原点求斜率得方程，以及设截距式方程代入点求解.
（1）即
令解得
直线过定点
（2）当直线横截距等于纵截距为0时
直线过原点 斜率
此时直线方程为即
当直线横截距，纵截距不为0时，可设直线的方程为：
直线过点，代入方程得
直线的方程为：，即直线的方程为：
综上所述直线的方程为或者
16．（2024高二上·温州期中）如图，在平行六面体中，为与的交点，且，，两两夹角均为，且长度相等，设，，.
（1）试用，，表示；
（2）求直线与直线所成角的余弦值.
【答案】（1）解：.
（2）解：根据题意可设设，
则，
所以直线与直线所成角的余弦值为.
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）利用向量加法的三角形法则，结合平行四边形对角线互相平分的性质，将分解为已知向量的组合.
（2）先根据向量模长和数量积的定义，确定各向量的模长与数量积的值，再分别计算的模长和与的数量积，最后利用向量夹角公式求出直线所成角的余弦值.
（1）
（2）根据题意可设设，
则，
所以直线与直线所成角的余弦值为.
17．（2024高二上·温州期中）已知圆过点，，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）问是否存在满足以下两个条件的直线：
①斜率为1；②直线被圆截得的弦为，以为直径的圆过原点.若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：设圆的方程为，
则有，解得，，，
圆C方程为：，即.
（2）解：设直线存在，其方程为，
它与圆C的交点设为、，
则由，得 ，
，
为直径， ，
，
即，即，
或，容易验证或时方程的，
故存在这样的两条直线，其方程是或.
【知识点】直线的点斜式方程；圆的一般方程；直线与圆的位置关系；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据圆心在定直线上及圆过两点，利用两点间距离公式列方程，联立求解圆心坐标，进而得圆的标准方程.
（2）先假设直线存在，设出直线方程，与圆的方程联立，利用韦达定理结合的条件列方程，求解并验证判别式，确定直线是否存在及方程.
（1）设圆的方程为，
则有，解得，，，
圆C方程为：，即；
（2）设直线存在，其方程为，
它与圆C的交点设为、，
则由，得 ，
，
为直径， ，
，
即，即，
或，容易验证或时方程的，
故存在这样的两条直线，其方程是或.
18．（2024高二上·温州期中）如图，已知四棱锥的底面为矩形，，，顶点在底面的正投影为的中点.
（1）求证：直线平面；
（2）若平面与平面的交线为，，
（i）求证：直线；
（ii）求与平面所成角的大小.
【答案】（1）证明：在中，，在中，，
，故
平面，平面，则
又，，平面，
平面.
（2）解：（i），平面，平面，
平面.
又平面平面，平面，
.
（ii）与平面所成角的正弦值等于与平面所成角的正弦值
以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，以点作垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由于
则，，，
，，
设平面的一个法向量为则即
令，则，得
设与平面所成角为
所以与平面所成角为.
【知识点】直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）通过三角函数证明，结合线面垂直性质得，再用线面垂直判定定理证明.
（2）(i) 利用线面平行的判定与性质证明线线平行；(ii) 建立空间直角坐标系，求出平面法向量，结合线面角公式求解.
（1）证明：在中，，在中，，
，故
平面，平面，则
又，，平面，
平面
（2）解：（i），平面，平面，
平面.
又平面平面，平面，
.
（ii）与平面所成角的正弦值等于与平面所成角的正弦值
以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，以点作垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由于
则，，，
，，
设平面的一个法向量为则即
令，则，得
设与平面所成角为
所以与平面所成角为
19．（2024高二上·温州期中）已知椭圆上有两个不同点，关于直线对称.
（1）记直线与线段的交点为.
（i）求证：为定值；
（ii）求的坐标（用来表示）.
（2）求面积的最大值（为坐标原点）.
【答案】（1）(1)解：
（i） 证明：设，，，得到
将，代入椭圆方程得，
两式相减得：，即
（ii）易知，由题意知，由（i）知
则有，即（1）
又在直线上，所以有（2）
有（1）（2）解得，即.
（2）解：设直线的直线方程为
联立得到
即
，，
又到直线的距离为，
（当且仅当取等号）.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）(i) 利用点差法，通过椭圆上两点坐标作差，结合斜率公式证明为定值；(ii) 结合(i)的结论与直线的方程，联立求解得到的坐标.
（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理、弦长公式和点到直线距离公式表示出三角形面积，再通过均值不等式求面积的最大值.
（1）
（i）设，，，得到
将，代入椭圆方程得，
两式相减得：，即
（ii）易知，由题意知，由（i）知
则有，即（1）
又在直线上，所以有（2）
有（1）（2）解得，即
（2）设直线的直线方程为
联立得到
即
，，
又到直线的距离为，
（当且仅当取等号）
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