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广东省梅州市广东梅县东山中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题
1．（2024高二上·梅县区期中）直线的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜截式方程
【解析】【解答】解：因为直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，
则有，解得，
所以其倾斜角为．
故答案为：A．
【分析】先将直线方程化为斜截式求出斜率，再根据斜率与倾斜角的正切关系，结合倾斜角的范围求出倾斜角。
2．（2024高二上·梅县区期中）圆和圆的位置关系是（　　）
A．外离 B．相交 C．外切 D．内含
【答案】C
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：圆的圆心为，半径为3，
圆的圆心为，半径为2，
两圆的圆心距为，
即两圆的圆心距等于半径和，所以两圆外切.
故选：C.
【分析】根据圆的标准方程确定两圆的圆心和半径，计算圆心距，再通过圆心距与两圆半径和的关系判断位置关系。
3．（2024高二上·梅县区期中）如图，在平行六面体中，为和的交点，若，，，则下列式子中与相等的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】解：因为在平行六面体中，为和的交点，
又，，，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用空间向量的线性运算法则求解即可，，.
4．（2024高二上·梅县区期中）如果向量，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由可得，
所以，
故答案为：D
【分析】核心是先通过空间向量的线性运算求出的坐标，再利用空间向量模的坐标公式计算其模。
5．（2024高二上·梅县区期中）若椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6，则该椭圆的标准方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意得椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6，
所以，则，
所以椭圆的标准方程为.
故答案为：B.
【分析】题意已明确焦点在x轴上，不需要分类讨论，根据题意得出，即可得解.
6．（2024高二上·梅县区期中）圆上有（　　）个点到直线的距离等于1.
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意可知该圆圆心为，半径为，
因为，即圆心到直线的距离为1，且，
所以直线与圆相交，而，所以圆上只有3个点到直线的距离为1.
故答案为：B.
【分析】确定圆的基本要素（圆心和半径），依据点到直线的距离公式算出圆心到给定直线的距离，结合直线与圆的位置关系，通过比较距离、半径及距离与半径的差值等，判断圆上到直线距离为特定值的点的个数.
7．（2024高二上·梅县区期中）已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，线段的中点的轨迹为曲线；若直线与曲线只有一个交点，则下面哪个值不符合（　　）
A． B． C． D．1
【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：，所以，所以，点为弦中点，由垂径定理可知，所以在以为直径的圆上，即，
结合图象可知线段的中点M的轨迹的方程是在内部的部分，即点M的轨迹的方程为；可得知点曲线是以为圆心为半径的部分圆弧（如下图所示，不包括两端点），
且，又直线过定点，当直线与圆相切时，由得，又，结合上图可知当时，直线与曲线只有一个交点.
故答案为：D.
【分析】将圆的方程化为标准式，确定圆心和半径.用垂径定理得出中点的轨迹满足的圆的方程，结合在圆内部，确定轨迹曲线的范围.分析直线过定点，求直线与曲线相切时的斜率，及直线经过曲线端点时的斜率，确定直线与曲线只有一个交点时的取值范围，判断选项.
8．（2024高二上·梅县区期中）小明同学某天发现，在阳光的照射下，篮球在地面留下的影子如图所示，设过篮球的中心且与太阳平行光线垂直的平面为，地面所在平面为，篮球与地面的切点为，球心为，球心在地面的影子为点；已知太阳光线与地面的夹角为；如图，为球的一条直径，为在地面的影子，点在线段上，小明经过研究资料发现，当时，篮球的影子为一椭圆，且点为椭圆的焦点，线段为椭圆的长轴，则此时该椭圆的离心率（　　）（用表示）.
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：
设篮球半径为，显然平面平面，连接平面，过作交于，则，于是椭圆长轴长，
在四边形中，，令椭圆半焦距为，而，
则，
解得，所以该椭圆的离心率为.
故答案为：A.
【分析】设定篮球半径，通过构建几何图形，用三角函数关系求出椭圆的长半轴和焦距相关量，结合椭圆离心率公式（其中为焦距的一半）来计算离心率.
9．（2024高二上·梅县区期中）（多选）下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（　　）
A．点与点关于z轴对称
B．点与点关于y轴对称
C．点与点关于平面对称
D．空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分
【答案】B,D
【知识点】空间中的点的坐标；构成空间几何体的基本元素
【解析】【解答】解：A、点与点关于x轴对称，故选项错误；
B、点与关于y轴对称，故选项正确；
C、点与关于y轴对称，故选项错误；
D、空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分，故选项正确．
故答案为：.
【分析】先根据关于谁对称谁不变的原则对A、B、C判定即可，再利用空间几何点线面的位置关系即可判断D.
10．（2024高二上·梅县区期中）下列说法正确的是（　　）
A．过 ， 两点的直线方程为
B．点 关于直线 的对称点为
C．直线 与两坐标轴围成的三角形的面积是2
D．经过点 且在 轴和 轴上截距都相等的直线方程为
【答案】B,C
【知识点】直线的两点式方程；直线的截距式方程
【解析】【解答】对于A：当 ， 时，过 ， 两点的直线方程为 ，A不正确；
对于B：点(0，2)与(1，1)的中点坐标 ，满足直线方程 ，并且两点的斜率为： 1，所以点(0，2)关于直线y=x+1的对称点为(1，1)，所以B符合题意；
对于C：直线 在两坐标轴上的截距分别为：2， 2，直线 与坐标轴围成的三角形的面积是 ，所以C符合题意；
对于D：经过点(1，1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y 2=0或y=x，所以D不正确；
故答案为：BC.
【分析】运用直线的两点式方程判断A的正误；利用对称知识判断B的正误；求出直线在两坐标轴上的截距，可得到三角形的面积判断C的正误；利用直线的截距相等可判断D的正误。
11．（2024高二上·梅县区期中）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆，，分别为椭圆的左、右焦点，直线的方程为，为椭圆的蒙日圆上一动点，，分别与椭圆相切于A，两点，为坐标原点，下列说法正确的是（　　）
A．椭圆的蒙日圆方程为
B．记点A到直线的距离为，则的最小值为0
C．一矩形四条边与椭圆相切，则此矩形面积最大值为
D．的面积的最大值为
【答案】A,B,D
【知识点】轨迹方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意可知：，
对A：当直线一条斜率为，另一条斜率不存在时，则；
当直线斜率均存在时，设，切线方程为：，
联立方程得：，
由，
整理可得：，则，
又因为，则，即，整理得，
所以点轨迹为；且也满足，
所以蒙日圆的方程为，故A正确；
对B，因为为椭圆上的点，则，即，
可得，
因为的最小值为点到直线的距离，且，知，所以，故B正确；
对C：因为矩形四条边均与相切，可知该矩形为蒙日圆的内接矩形，
设矩形的长为，宽为，蒙日圆的半径，则，可得，
当且仅当时，等号成立，所以此矩形面积最大值为8，故C错误；
对D：设位于椭圆上，下证：在A处的切线方程为，
由，即，可知在直线上，
联立方程，消去y得，
即，解得，即直线与椭圆相切，
所以在点A处的切线方程为，同理可知：在点处的切线方程为；
设，则，可知坐标满足方程，
即切点弦所在直线方程为：；
当时，，此时所在直线方程为：，可得，；
当时，由得：，
由A知：，可得，
设，则，，
，
又原点到直线的距离，
，令，则，
可得，当且仅当时，等号成立，
综上所述：的面积的最大值为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】对A，分切线斜率存在与不存在的情况，结合直线与椭圆相切的条件及垂直关系确定蒙日圆方程；B，用椭圆定义转化式子，根据点到直线距离求最值；C，依据矩形与蒙日圆的内接关系，结合基本不等式求面积最大值；D，推导切点弦直线方程，分情况结合弦长公式、点到直线距离公式及二次函数最值求三角形面积最大值.
12．（2024高二上·梅县区期中）已知是椭圆的两个焦点，若点是椭圆上的一个动点，则的周长是　 　.
【答案】
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由椭圆的定义可知，，
如图可知的周长为，
故答案为：.
【分析】根据椭圆的标准方程确定、的值，再用椭圆中、、的关系（）求出，结合椭圆定义（椭圆上任意一点到两焦点距离之和为），求的周长（）.
13．（2024高二上·梅县区期中）若异面直线，的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角的余弦值为　 　．
【答案】
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：因为，，
所以；
所以异面直线与的夹角的余弦值为.
故答案为：.
【分析】明确异面直线夹角与它们方向向量夹角的关系（异面直线夹角取方向向量夹角或其补角中锐角或直角的那个），根据空间向量点积公式计算方向向量夹角的余弦值，结合异面直线夹角的范围得到异面直线夹角的余弦值.
14．（2024高二上·梅县区期中）已知，则的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】轨迹方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：，
变形得，
设，，
因为点的轨迹方程为：，且点在上，
所以，整理得：，
即，解得.
所以的最大值为.
故答案为：.
【分析】对已知条件进行三角恒等变形，得关于和的线性方程，看作直线方程，结合点在单位圆上，用点到直线的距离公式得到不等式，求解的取值范围，得最大值.
15．（2024高二上·梅县区期中）平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，.
（1）求边所在的直线方程；
（2）求的面积.
【答案】（1）解：因为，，所以BC所在的直线方程为，
即.
（2）解：B，C两点间的距离为，
点A到直线BC的距离，
所以的面积为.
【知识点】直线的斜率；直线的斜截式方程；平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】（1）通过两点坐标求直线斜率， 使用点斜式得直线方程，再化为直线的一般式方程.
（2）由两点间距离公式求出三角形的底边长，再通过点到直线的距离公式求出对应底边的高，最后结合三角形面积公式（面积=底×高÷2）计算面积.
（1）因为，，所以BC所在的直线方程为，
即.
（2）B，C两点间的距离为，
点A到直线BC的距离，
所以的面积为.
16．（2024高二上·梅县区期中）已知圆心为的圆经过和，且圆心在直线上.
（1）求圆C的方程：
（2）若直线与圆的交点为两点，求.
【答案】（1）解：点，的中点坐标为，且，
则弦的垂直平分线的斜率为，弦的垂直平分线的方程为，即，
联立，解得，即圆心坐标为，半径，
则圆的方程为：；
（2）解：由（1）知，圆心到直线的距离为，
因为圆的半径，所以.
【知识点】斜率的计算公式；平面内中点坐标公式；两条直线的交点坐标；圆的标准方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）利用中点坐标公式求点的中点，再利用斜率公式求的斜率，利用点斜式求弦的垂直平分线的方程，联立，求得圆心，即可得圆的标准方程；
（2）由（1）的结论，结合点到直线的距离公式以及垂径定理求解即可.
（1）因为，所以，
所以弦的垂直平分线的斜率为，又弦的中点坐标为，
所以弦的垂直平分线的方程为，即，
与直线联立解得：，所以圆心坐标为所以圆的半径，则圆的方程为：；
（2）由（1）知，圆心到直线的距离为
圆的半径.
17．（2024高二上·梅县区期中）如图，在棱长为1的正方体中，分别是棱上的中点.
（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积；
（3）求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明：两两垂直，
以为原点，为轴建立空间直角坐标系，则，，则，
所以，则，故.
（2）解：由题意可知平面，故三棱锥的体积.
（3）解：设平面与平面的夹角为，设平面的法向量为，
又，则则，
解得，令得，
设平面的法向量为，又，则，
则解得，令得，
所以，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究二面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，进而得到向量与的坐标，通过计算它们的数量积来证明垂直.
（2）确定三棱锥的底面和高，再根据三棱锥体积公式（为底面积，为高）计算体积.
（3）分别求出平面和平面的法向量，再利用向量夹角公式计算两个法向量夹角的余弦值，从而得到平面夹角的余弦值.
（1）两两垂直，
以为原点，为轴建立空间直角坐标系，
则，
，则，
所以，
则，故.
（2）由题意可知平面，
故三棱锥的体积
（3）设平面与平面的夹角为，设平面的法向量为，
又，
则则解得，
令得，
设平面的法向量为，又，
则则解得，
令得，
所以，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
18．（2024高二上·梅县区期中）椭圆的中心是原点，焦点为，短轴长为，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）如果过点的直线与椭圆相交于点两点，且，求直线的方程.
【答案】（1）解：由题意可得，解得，
则椭圆的方程为；
（2）解：由（1）可知，点在椭圆外，则过该点的直线的斜率必然存在，
设直线的方程为，，
联立，消元整理得，
，
由韦达定理可得：，
，
由得，即，解得，符合，
则直线的方程为或.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意可得，解得，即可得椭圆的方程；
（2）由（1）可知，点在椭圆外，则过该点的直线的斜率必然存在，设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程，消元整理，利用韦达定理结合得，化简求k的值，即可得直线的方程.
（1）由题意得，椭圆焦点在轴上，设方程为.
因为短轴长为，离心率为，所以.
又因为，故.
所以曲线的方程为.
（2）由（1）可知点在椭圆外，所以过该点的直线的斜率必然存在.
可设直线的方程为，联立，
得，
，
设，由根与系数的关系可知：，
.
由得，即，
解得：，符合，
所以直线的方程为或.
19．（2024高二上·梅县区期中）已知椭圆，椭圆与椭圆具有相同的离心率，且经过点．
（1）求的标准方程；
（2）若的焦点在x轴上，为上一点，A、B两点在上，且线段PA、PB的中点都在上．
（i）当点P运动时，的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说理由；
（ii）记，求的取值范围．
【答案】（1）解：由题意，椭圆的离心率为，
①当的焦点在轴上时，设方程为，则有，
解得，的方程为；
②当的焦点在轴上时，设方程为，同理可得，
的方程为；
综上，的标准方程为或.
（2）解：
（i）因的焦点在轴上，故的标准方程为
设，线段的中点在椭圆上，
故有，
整理得：，
将代入整理得：，
同理可得：，
所以点满足方程，故直线的方程为．
联立直线和椭圆的方程，消去得：，
代入，得：，
，
，
当时，，
点到直线的距离，
的面积，
当时，不妨，
则．
综上，的面积为定值.
（ii）由
得：，
由得，
于是，
因，所以，
又，
所以.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆离心率公式，结合过已知点，分焦点在轴和轴两种情况，列方程求解的标准方程。
（2）(i) 利用中点在上的条件，推导出直线的方程，再联立方程，结合韦达定理、弦长公式和点到直线距离公式，计算三角形面积，判断是否为定值。
(ii) 利用向量的数量积与三角形面积公式，结合椭圆方程，求解的取值范围。
（1）由题意，椭圆的离心率为，
①当的焦点在轴上时，设方程为，则有，
解得，的方程为；
②当的焦点在轴上时，设方程为，同理可得，
的方程为；
综上，的标准方程为或.
（2）
（i）因的焦点在轴上，故的标准方程为
设，线段的中点在椭圆上，
故有，
整理得：，
将代入整理得：，
同理可得：，
所以点满足方程，故直线的方程为．
联立直线和椭圆的方程，消去得：，
代入，得：，
，
，
当时，，
点到直线的距离，
的面积，
当时，不妨，
则．
综上，的面积为定值.
（ii）由
得：，
由得，
于是，
因，所以，
又，
所以.
1 / 1广东省梅州市广东梅县东山中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题
1．（2024高二上·梅县区期中）直线的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
2．（2024高二上·梅县区期中）圆和圆的位置关系是（　　）
A．外离 B．相交 C．外切 D．内含
3．（2024高二上·梅县区期中）如图，在平行六面体中，为和的交点，若，，，则下列式子中与相等的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024高二上·梅县区期中）如果向量，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2024高二上·梅县区期中）若椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6，则该椭圆的标准方程为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024高二上·梅县区期中）圆上有（　　）个点到直线的距离等于1.
A．4 B．3 C．2 D．1
7．（2024高二上·梅县区期中）已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，线段的中点的轨迹为曲线；若直线与曲线只有一个交点，则下面哪个值不符合（　　）
A． B． C． D．1
8．（2024高二上·梅县区期中）小明同学某天发现，在阳光的照射下，篮球在地面留下的影子如图所示，设过篮球的中心且与太阳平行光线垂直的平面为，地面所在平面为，篮球与地面的切点为，球心为，球心在地面的影子为点；已知太阳光线与地面的夹角为；如图，为球的一条直径，为在地面的影子，点在线段上，小明经过研究资料发现，当时，篮球的影子为一椭圆，且点为椭圆的焦点，线段为椭圆的长轴，则此时该椭圆的离心率（　　）（用表示）.
A． B． C． D．
9．（2024高二上·梅县区期中）（多选）下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（　　）
A．点与点关于z轴对称
B．点与点关于y轴对称
C．点与点关于平面对称
D．空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分
10．（2024高二上·梅县区期中）下列说法正确的是（　　）
A．过 ， 两点的直线方程为
B．点 关于直线 的对称点为
C．直线 与两坐标轴围成的三角形的面积是2
D．经过点 且在 轴和 轴上截距都相等的直线方程为
11．（2024高二上·梅县区期中）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆，，分别为椭圆的左、右焦点，直线的方程为，为椭圆的蒙日圆上一动点，，分别与椭圆相切于A，两点，为坐标原点，下列说法正确的是（　　）
A．椭圆的蒙日圆方程为
B．记点A到直线的距离为，则的最小值为0
C．一矩形四条边与椭圆相切，则此矩形面积最大值为
D．的面积的最大值为
12．（2024高二上·梅县区期中）已知是椭圆的两个焦点，若点是椭圆上的一个动点，则的周长是　 　.
13．（2024高二上·梅县区期中）若异面直线，的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角的余弦值为　 　．
14．（2024高二上·梅县区期中）已知，则的最大值为　 　．
15．（2024高二上·梅县区期中）平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，.
（1）求边所在的直线方程；
（2）求的面积.
16．（2024高二上·梅县区期中）已知圆心为的圆经过和，且圆心在直线上.
（1）求圆C的方程：
（2）若直线与圆的交点为两点，求.
17．（2024高二上·梅县区期中）如图，在棱长为1的正方体中，分别是棱上的中点.
（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积；
（3）求平面与平面的夹角的余弦值.
18．（2024高二上·梅县区期中）椭圆的中心是原点，焦点为，短轴长为，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）如果过点的直线与椭圆相交于点两点，且，求直线的方程.
19．（2024高二上·梅县区期中）已知椭圆，椭圆与椭圆具有相同的离心率，且经过点．
（1）求的标准方程；
（2）若的焦点在x轴上，为上一点，A、B两点在上，且线段PA、PB的中点都在上．
（i）当点P运动时，的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说理由；
（ii）记，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜截式方程
【解析】【解答】解：因为直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，
则有，解得，
所以其倾斜角为．
故答案为：A．
【分析】先将直线方程化为斜截式求出斜率，再根据斜率与倾斜角的正切关系，结合倾斜角的范围求出倾斜角。
2．【答案】C
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：圆的圆心为，半径为3，
圆的圆心为，半径为2，
两圆的圆心距为，
即两圆的圆心距等于半径和，所以两圆外切.
故选：C.
【分析】根据圆的标准方程确定两圆的圆心和半径，计算圆心距，再通过圆心距与两圆半径和的关系判断位置关系。
3．【答案】A
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的加减法；空间向量的数乘运算
【解析】【解答】解：因为在平行六面体中，为和的交点，
又，，，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用空间向量的线性运算法则求解即可，，.
4．【答案】D
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由可得，
所以，
故答案为：D
【分析】核心是先通过空间向量的线性运算求出的坐标，再利用空间向量模的坐标公式计算其模。
5．【答案】B
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由题意得椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6，
所以，则，
所以椭圆的标准方程为.
故答案为：B.
【分析】题意已明确焦点在x轴上，不需要分类讨论，根据题意得出，即可得解.
6．【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意可知该圆圆心为，半径为，
因为，即圆心到直线的距离为1，且，
所以直线与圆相交，而，所以圆上只有3个点到直线的距离为1.
故答案为：B.
【分析】确定圆的基本要素（圆心和半径），依据点到直线的距离公式算出圆心到给定直线的距离，结合直线与圆的位置关系，通过比较距离、半径及距离与半径的差值等，判断圆上到直线距离为特定值的点的个数.
7．【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：，所以，所以，点为弦中点，由垂径定理可知，所以在以为直径的圆上，即，
结合图象可知线段的中点M的轨迹的方程是在内部的部分，即点M的轨迹的方程为；可得知点曲线是以为圆心为半径的部分圆弧（如下图所示，不包括两端点），
且，又直线过定点，当直线与圆相切时，由得，又，结合上图可知当时，直线与曲线只有一个交点.
故答案为：D.
【分析】将圆的方程化为标准式，确定圆心和半径.用垂径定理得出中点的轨迹满足的圆的方程，结合在圆内部，确定轨迹曲线的范围.分析直线过定点，求直线与曲线相切时的斜率，及直线经过曲线端点时的斜率，确定直线与曲线只有一个交点时的取值范围，判断选项.
8．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：
设篮球半径为，显然平面平面，连接平面，过作交于，则，于是椭圆长轴长，
在四边形中，，令椭圆半焦距为，而，
则，
解得，所以该椭圆的离心率为.
故答案为：A.
【分析】设定篮球半径，通过构建几何图形，用三角函数关系求出椭圆的长半轴和焦距相关量，结合椭圆离心率公式（其中为焦距的一半）来计算离心率.
9．【答案】B,D
【知识点】空间中的点的坐标；构成空间几何体的基本元素
【解析】【解答】解：A、点与点关于x轴对称，故选项错误；
B、点与关于y轴对称，故选项正确；
C、点与关于y轴对称，故选项错误；
D、空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分，故选项正确．
故答案为：.
【分析】先根据关于谁对称谁不变的原则对A、B、C判定即可，再利用空间几何点线面的位置关系即可判断D.
10．【答案】B,C
【知识点】直线的两点式方程；直线的截距式方程
【解析】【解答】对于A：当 ， 时，过 ， 两点的直线方程为 ，A不正确；
对于B：点(0，2)与(1，1)的中点坐标 ，满足直线方程 ，并且两点的斜率为： 1，所以点(0，2)关于直线y=x+1的对称点为(1，1)，所以B符合题意；
对于C：直线 在两坐标轴上的截距分别为：2， 2，直线 与坐标轴围成的三角形的面积是 ，所以C符合题意；
对于D：经过点(1，1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y 2=0或y=x，所以D不正确；
故答案为：BC.
【分析】运用直线的两点式方程判断A的正误；利用对称知识判断B的正误；求出直线在两坐标轴上的截距，可得到三角形的面积判断C的正误；利用直线的截距相等可判断D的正误。
11．【答案】A,B,D
【知识点】轨迹方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意可知：，
对A：当直线一条斜率为，另一条斜率不存在时，则；
当直线斜率均存在时，设，切线方程为：，
联立方程得：，
由，
整理可得：，则，
又因为，则，即，整理得，
所以点轨迹为；且也满足，
所以蒙日圆的方程为，故A正确；
对B，因为为椭圆上的点，则，即，
可得，
因为的最小值为点到直线的距离，且，知，所以，故B正确；
对C：因为矩形四条边均与相切，可知该矩形为蒙日圆的内接矩形，
设矩形的长为，宽为，蒙日圆的半径，则，可得，
当且仅当时，等号成立，所以此矩形面积最大值为8，故C错误；
对D：设位于椭圆上，下证：在A处的切线方程为，
由，即，可知在直线上，
联立方程，消去y得，
即，解得，即直线与椭圆相切，
所以在点A处的切线方程为，同理可知：在点处的切线方程为；
设，则，可知坐标满足方程，
即切点弦所在直线方程为：；
当时，，此时所在直线方程为：，可得，；
当时，由得：，
由A知：，可得，
设，则，，
，
又原点到直线的距离，
，令，则，
可得，当且仅当时，等号成立，
综上所述：的面积的最大值为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】对A，分切线斜率存在与不存在的情况，结合直线与椭圆相切的条件及垂直关系确定蒙日圆方程；B，用椭圆定义转化式子，根据点到直线距离求最值；C，依据矩形与蒙日圆的内接关系，结合基本不等式求面积最大值；D，推导切点弦直线方程，分情况结合弦长公式、点到直线距离公式及二次函数最值求三角形面积最大值.
12．【答案】
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由椭圆的定义可知，，
如图可知的周长为，
故答案为：.
【分析】根据椭圆的标准方程确定、的值，再用椭圆中、、的关系（）求出，结合椭圆定义（椭圆上任意一点到两焦点距离之和为），求的周长（）.
13．【答案】
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：因为，，
所以；
所以异面直线与的夹角的余弦值为.
故答案为：.
【分析】明确异面直线夹角与它们方向向量夹角的关系（异面直线夹角取方向向量夹角或其补角中锐角或直角的那个），根据空间向量点积公式计算方向向量夹角的余弦值，结合异面直线夹角的范围得到异面直线夹角的余弦值.
14．【答案】
【知识点】轨迹方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：，
变形得，
设，，
因为点的轨迹方程为：，且点在上，
所以，整理得：，
即，解得.
所以的最大值为.
故答案为：.
【分析】对已知条件进行三角恒等变形，得关于和的线性方程，看作直线方程，结合点在单位圆上，用点到直线的距离公式得到不等式，求解的取值范围，得最大值.
15．【答案】（1）解：因为，，所以BC所在的直线方程为，
即.
（2）解：B，C两点间的距离为，
点A到直线BC的距离，
所以的面积为.
【知识点】直线的斜率；直线的斜截式方程；平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】（1）通过两点坐标求直线斜率， 使用点斜式得直线方程，再化为直线的一般式方程.
（2）由两点间距离公式求出三角形的底边长，再通过点到直线的距离公式求出对应底边的高，最后结合三角形面积公式（面积=底×高÷2）计算面积.
（1）因为，，所以BC所在的直线方程为，
即.
（2）B，C两点间的距离为，
点A到直线BC的距离，
所以的面积为.
16．【答案】（1）解：点，的中点坐标为，且，
则弦的垂直平分线的斜率为，弦的垂直平分线的方程为，即，
联立，解得，即圆心坐标为，半径，
则圆的方程为：；
（2）解：由（1）知，圆心到直线的距离为，
因为圆的半径，所以.
【知识点】斜率的计算公式；平面内中点坐标公式；两条直线的交点坐标；圆的标准方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）利用中点坐标公式求点的中点，再利用斜率公式求的斜率，利用点斜式求弦的垂直平分线的方程，联立，求得圆心，即可得圆的标准方程；
（2）由（1）的结论，结合点到直线的距离公式以及垂径定理求解即可.
（1）因为，所以，
所以弦的垂直平分线的斜率为，又弦的中点坐标为，
所以弦的垂直平分线的方程为，即，
与直线联立解得：，所以圆心坐标为所以圆的半径，则圆的方程为：；
（2）由（1）知，圆心到直线的距离为
圆的半径.
17．【答案】（1）证明：两两垂直，
以为原点，为轴建立空间直角坐标系，则，，则，
所以，则，故.
（2）解：由题意可知平面，故三棱锥的体积.
（3）解：设平面与平面的夹角为，设平面的法向量为，
又，则则，
解得，令得，
设平面的法向量为，又，则，
则解得，令得，
所以，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
【知识点】用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究二面角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，进而得到向量与的坐标，通过计算它们的数量积来证明垂直.
（2）确定三棱锥的底面和高，再根据三棱锥体积公式（为底面积，为高）计算体积.
（3）分别求出平面和平面的法向量，再利用向量夹角公式计算两个法向量夹角的余弦值，从而得到平面夹角的余弦值.
（1）两两垂直，
以为原点，为轴建立空间直角坐标系，
则，
，则，
所以，
则，故.
（2）由题意可知平面，
故三棱锥的体积
（3）设平面与平面的夹角为，设平面的法向量为，
又，
则则解得，
令得，
设平面的法向量为，又，
则则解得，
令得，
所以，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
18．【答案】（1）解：由题意可得，解得，
则椭圆的方程为；
（2）解：由（1）可知，点在椭圆外，则过该点的直线的斜率必然存在，
设直线的方程为，，
联立，消元整理得，
，
由韦达定理可得：，
，
由得，即，解得，符合，
则直线的方程为或.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意可得，解得，即可得椭圆的方程；
（2）由（1）可知，点在椭圆外，则过该点的直线的斜率必然存在，设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程，消元整理，利用韦达定理结合得，化简求k的值，即可得直线的方程.
（1）由题意得，椭圆焦点在轴上，设方程为.
因为短轴长为，离心率为，所以.
又因为，故.
所以曲线的方程为.
（2）由（1）可知点在椭圆外，所以过该点的直线的斜率必然存在.
可设直线的方程为，联立，
得，
，
设，由根与系数的关系可知：，
.
由得，即，
解得：，符合，
所以直线的方程为或.
19．【答案】（1）解：由题意，椭圆的离心率为，
①当的焦点在轴上时，设方程为，则有，
解得，的方程为；
②当的焦点在轴上时，设方程为，同理可得，
的方程为；
综上，的标准方程为或.
（2）解：
（i）因的焦点在轴上，故的标准方程为
设，线段的中点在椭圆上，
故有，
整理得：，
将代入整理得：，
同理可得：，
所以点满足方程，故直线的方程为．
联立直线和椭圆的方程，消去得：，
代入，得：，
，
，
当时，，
点到直线的距离，
的面积，
当时，不妨，
则．
综上，的面积为定值.
（ii）由
得：，
由得，
于是，
因，所以，
又，
所以.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆离心率公式，结合过已知点，分焦点在轴和轴两种情况，列方程求解的标准方程。
（2）(i) 利用中点在上的条件，推导出直线的方程，再联立方程，结合韦达定理、弦长公式和点到直线距离公式，计算三角形面积，判断是否为定值。
(ii) 利用向量的数量积与三角形面积公式，结合椭圆方程，求解的取值范围。
（1）由题意，椭圆的离心率为，
①当的焦点在轴上时，设方程为，则有，
解得，的方程为；
②当的焦点在轴上时，设方程为，同理可得，
的方程为；
综上，的标准方程为或.
（2）
（i）因的焦点在轴上，故的标准方程为
设，线段的中点在椭圆上，
故有，
整理得：，
将代入整理得：，
同理可得：，
所以点满足方程，故直线的方程为．
联立直线和椭圆的方程，消去得：，
代入，得：，
，
，
当时，，
点到直线的距离，
的面积，
当时，不妨，
则．
综上，的面积为定值.
（ii）由
得：，
由得，
于是，
因，所以，
又，
所以.
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