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广东省惠州市博罗县2024-2025学年高二上学期阶段性教学质量检测数学试题
1．（2024高二上·博罗期中）直线的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线的倾斜角；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：设直线的倾斜角为，由题意可得，故.
故答案为：C.
【分析】明确直线的倾斜角与斜率的关系，即直线的斜率等于倾斜角（）的正切值，所以需要先将给定的直线方程转化为斜截式（其中为斜率），求出斜率，再根据以及的取值范围，确定倾斜角的值.
2．（2024高二上·博罗期中）已知，，且，则实数t的值为（　　）
A． B．3 C．4 D．6
【答案】B
【知识点】空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，所以，解得.
故答案为：B.
【分析】利用空间向量垂直时‘点积为0’的性质，通过坐标运算建立方程，求解未知参数t。
3．（2024高二上·博罗期中）已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线的点斜式方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系；待定系数法求直线方程
【解析】【解答】解：直线与直线垂直，
设直线的方程是
将代入直线中，，解得，
故直线的方程为.
故答案为：D.
【分析】先根据两直线垂直的斜率关系求出直线l的斜率，再利用点斜式写出直线l的方程，最后整理为一般式。
4．（2024高二上·博罗期中）如图所示，在三棱锥中，为的中点，设，，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意可得：
.
故答案为：A.
【分析】利用向量中点公式与向量减法的三角形法则，将分解为已知向量、、的线性组合。
5．（2024高二上·博罗期中）已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆的切线方程；圆方程的综合应用
【解析】【解答】解：因为圆经过点，
将点代入圆的方程可得：.即，所以，
则圆的方程为.
对于圆，其圆心坐标为，所以此圆的圆心.：
根据斜率公式，这里，，则.
因为圆的切线与圆心和切点连线垂直，若两条垂直直线的斜率分别为和，则.
已知，所以切线的斜率.
又因为切线过点，根据点斜式方程（这里），
可得切线方程为.整理得.
故答案为：A.
【分析】先确定圆的方程，再利用‘切线与圆心和切点连线垂直’的性质，结合斜率公式与点斜式，求解切线方程。
6．（2024高二上·博罗期中）已知在圆外，则直线与圆的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切
C．相离 D．以上皆有可能
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意圆的圆心，半径，
由在圆外，得，
则圆心到直线的距离，
故直线与圆相交.
故答案为：A.
【分析】核心是根据点与圆的位置关系得到的范围，再利用点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离，通过距离与半径的大小比较，判断直线与圆的位置关系.
7．（2024高二上·博罗期中）已知点，过点的直线与线段（含端点）有公共点，则直线的斜率的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】直线的斜率；斜率的计算公式
【解析】【解答】解：因为P，，所以，
因为直线与线段AB（含端点）有公共点，则或，
故直线的斜率的范围为.
故答案为：D.
【分析】确定过点的直线与线段有公共点时斜率的取值范围，需先明确直线斜率与直线倾斜程度的关系.通过计算点与线段两端点、连线的斜率和，再结合直线绕点旋转时斜率的变化规律，来确定满足条件的斜率范围.
8．（2024高二上·博罗期中）阅读材料：数轴上，方程可以表示数轴上的点，平面直角坐标系中，方程（、不同时为0）可以表示坐标平面内的直线，空间直角坐标系中，方程（、、不同时为0）可以表示坐标空间内的平面.过点且一个法向量为的平面的方程可表示为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量的数量积运算；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：因为平面的方程为，所以平面的法向量可取，
平面的法向量为，
平面的法向量为，
设两平面的交线的方向向量为，
由，令，则，
所以两平面的交线的方向向量为，
设直线与平面所成角的大小为，
则.
故答案为：A．
【分析】先求平面的法向量与直线的方向向量，再利用线面角与向量夹角的关系（ 线面角的正弦值等于直线方向向量与平面法向量夹角余弦值的绝对值 ），通过空间向量点积公式计算线面角的正弦值。
9．（2024高二上·博罗期中）已知两条直线方程分别为与，则下列结论正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则直线一定相交
D．若，则两条平行直线之间的距离为
【答案】A,C
【知识点】两条直线平行的判定；两条直线垂直的判定；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：对A，当，则，解得，经检验，满足两直线平行，故A正确；
对B，当，则，解得，故B错误；
对，由选项A得：当，则直线一定相交，故正确.
对D，若，则，所以平行线间的距离，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】考查两直线平行、垂直的判定以及平行直线间距离的计算.对于两直线平行，根据直线一般式平行的条件列出方程求解；对于两直线垂直，依据垂直的条件列方程求解；判断两直线是否相交，可根据平行的情况反推；计算平行直线间距离，需先将直线方程化为对应形式，再用距离公式计算.
10．（2024高二上·博罗期中）已知圆，直线，则下列选项正确的是（　　）
A．直线恒过定点
B．直线与圆可能相切
C．直线被圆截得的弦长的最小值为4
D．当时，圆上到直线距离为2的点恰有三个
【答案】A,C,D
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：圆，故该圆半径为3.
对A，直线的方程整理可得，
由，得即直线恒过定点，故A正确．
对B，因为点在圆内部，所以直线与圆不可能相切，故B不正确．
对C，设点为，当时，直线被圆截得的弦长最小．
因为，
所以直线被圆截得的弦长的最小值为，故C正确．
对D，圆心，半径为3，当时，直线的方程为．
因为圆心到直线的距离为，
所以圆上到直线距离为2的点恰有三个，故D正确．
故答案为：ACD.
【分析】围绕圆与直线的位置关系展开，涉及直线过定点、直线与圆相切、弦长最值以及圆上点到直线距离的情况.对直线过定点，通过整理直线方程，解方程组确定定点；判断直线与圆是否相切，依据定点与圆的位置关系；求弦长最小值，利用圆心到定点的距离与半径，结合弦长公式；分析圆上到直线距离为特定值的点的个数，通过计算圆心到直线的距离，结合半径判断.
11．（2024高二上·博罗期中）如图，正方体的棱长为1，E为棱的中点，为底面正方形内（含边界）的动点，则（　　）
A．三棱锥的体积为定值
B．直线平面
C．当时，点到平面的距离为
D．当的正切值为2时，动点P的轨迹长度为
【答案】A,C,D
【知识点】直线与平面平行的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与平面的位置关系；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：
对于A，如图1，因，故A正确；
对于B，如图2建立空间直角坐标系，则，
于是，，
设平面的法向量为，则，故可取，
由知与不垂直，
故直线与平面不平行，故B错误；
对于C，由上图建系，设P的坐标为，
当，有，则，设平面的法向量，
则，故．
取平面一点A与点E构成，
所以点E到平面的距离，故C正确；
对于D，因为P为底面正方形的动点，当的正切值为2时，不变，由圆锥性质可知，动点P的运动轨迹是以为高，为母线的圆锥的底面圆周，
此时为底面半径r，又因为P在正方形内运动，所以P的轨迹是底面圆周的；当的正切值为，则为，所以P的轨迹长为，故D正确.
故答案为：ACD．
【分析】本题围绕正方体中的立体几何问题展开，需结合三棱锥体积公式、空间向量、点到平面距离、轨迹问题等知识，对每个选项逐一分析判断.
12．（2024高二上·博罗期中）已知两条直线和相交，则这两条直线的交点坐标为　 　；
【答案】
【知识点】两条直线的交点坐标
【解析】【解答】解：由方程组，解得， 即交点为.
故答案为：.
【分析】要求两条直线的交点坐标，根据直线交点的定义，交点坐标同时满足两条直线的方程，所以需要联立两条直线的方程，通过解方程组来得到交点的横、纵坐标.
13．（2024高二上·博罗期中）已知，，求在上的投影向量　 　（用坐标表示）
【答案】
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算
【解析】【解答]解：由，得，在上的投影向量为，
故答案为：.
【分析】算向量在上的投影向量，需先明确投影向量的计算公式，即利用向量的数量积以及向量的模长，结合投影向量与的共线关系来求解.
14．（2024高二上·博罗期中）已知圆，为过的圆的切线，A为上任一点，过A作圆的切线AP，AQ，切点分别是P和Q，则四边形APNQ的面积最小值是　 　．
【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：依题意，直线的斜率为，则直线的斜率为，直线的方程为，即，圆的圆心，半径，
因为为圆的切线，则，四边形的面积：，
又到的距离，于是，
因此，
所以四边形APNQ的面积最小值为.
故答案为：.
【分析】求出圆在点处的切线的方程，再根据圆的切线性质，将四边形的面积转化为与相关的表达式，最后利用点到直线的距离公式求出的最小值，进而得到四边形面积的最小值.
15．（2024高二上·博罗期中）直三棱柱中，，，，分别是的中点．
（1）求的值；
（2）求证：⊥平面．
【答案】（1）解：直三棱柱中，平面，又，
以点为坐标原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
依题意得，，
∴，，，，，
所以；
（2）证明：求得，．∴，，，
∴，，
∴，，即，
又平面，平面，，
∴⊥平面．
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，求出向量和的坐标，再利用向量的数量积公式计算它们夹角的余弦值.
（2）借助空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，通过证明向量垂直（即数量积为），先证线线垂直，再依据线面垂直的判定定理证明线面垂直.
（1）直三棱柱中，平面，又，
以点为坐标原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
依题意得，，
∴，，，，，
所以；
（2）求得，．
∴，，，
∴，，
∴，，即，
又平面，平面，，
∴⊥平面．
16．（2024高二上·博罗期中）已知圆的圆心在轴上，并且过和两点．
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线被圆截得的弦长，求直线的方程．
【答案】（1）解：法一：依题意，设圆心的坐标为，因为点和在圆上，所以，
则，即，解得，
所以，则圆的半径，
所以圆的标准方程为．
法二：点和的中点为，且直线的斜率为，
则线段的垂直平分线的斜率为，所以线段的垂直平分线方程为，
因为圆过和两点，所以圆心在线段的垂直平分线上，
因为圆心在轴上，所以圆心的坐标为．
则圆的半径，
所以圆的标准方程为.
（2）解：
直线的方程为，设圆心到直线的距离为，则，
因为弦长，所以，
则，化简得：，解得，
所以直线的方程为.
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）用圆的性质，圆心在弦的垂直平分线上，先求出弦的垂直平分线方程，再结合圆心在轴上的条件确定圆心坐标，进而求出半径得到圆的标准方程.
（2）根据圆的弦长公式，结合圆心到直线的距离公式，求出直线的斜率，从而得到直线方程.
（1）法一：依题意，设圆心的坐标为，
因为点和在圆上，所以，
则，
即，
解得，
所以，
则圆的半径，
所以圆的标准方程为．
法二：点和的中点为，
且直线的斜率为，
则线段的垂直平分线的斜率为，
所以线段的垂直平分线方程为，
因为圆过和两点，所以圆心在线段的垂直平分线上，
因为圆心在轴上，所以圆心的坐标为．
则圆的半径，
所以圆的标准方程为；
（2）直线的方程为，设圆心到直线的距离为，
则，
因为弦长，
所以，
则，化简得：，
解得，
所以直线的方程为.
17．（2024高二上·博罗期中）已知直线过定点．
（1）求过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程；
（2）若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）若三角形的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程．
【答案】（1）解：将整理可得，
令，可得，所以直线过定点，
若直线在两坐标轴上截距都为零，可得直线的方程为；
直线在两坐标轴上截距不为零且相等，设直线的截距式方程为，
代入点即可得，解得；
此时直线的方程为；
综上可知直线的方程为或；
（2）解：（ⅰ）显然，求得：，
依题意得：，解得；
（ⅱ）由（ⅰ）得三角形的面积为
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.此时直线的方程为.
【知识点】基本不等式；直线的截距式方程
【解析】【分析】（1）求出直线所过的定点，然后分直线在两坐标轴上截距都为零和截距不为零且相等两种情况，分别求出直线的方程.
（2）（i）求出直线与轴、轴的交点、的坐标，再根据在轴正半轴、在轴负半轴的条件，列出不等式组求解的取值范围.
（ii）根据三角形面积公式表示出的面积，再利用基本不等式求出的最小值以及此时直线的方程.
（1）将整理可得，
令，可得，所以直线过定点，
若直线在两坐标轴上截距都为零，可得直线的方程为；
若直线在两坐标轴上截距不为零且相等，设直线的截距式方程为，
代入点即可得，解得；
此时直线的方程为；
综上可知直线的方程为或；
（2）（ⅰ）显然，求得：，
依题意得：，
解得；
（ⅱ）由（ⅰ）得三角形的面积为；
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.
此时直线的方程为.
18．（2024高二上·博罗期中）在平面直角坐标系中，已知圆和圆．
（1）若直线过点，且与圆相切，求直线的方程；
（2）设为直线上的点，满足：过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等．试求满足条件的点的坐标．
【答案】（1）解：由圆的方程知：圆心，半径；
当直线斜率不存在时，即，此时直线与圆显然相切，满足题意；
当直线斜率存在时，设其方程为：，即，
圆心到直线的距离，解得：，
直线方程为：，即；
综上所述：直线方程为或.
（2）解：由圆的方程知：圆心，半径，设点，
①当过的直线斜率不存在时，则方程为：，
方程为：，则被圆截得的弦长为：，
被圆截得的弦长为，
解得：或，或；
②当过的直线斜率为时，直线斜率不存在，
此时与圆相离，不合题意；
③当过的直线斜率存在且不为时，
设，则，
即，，
圆心到直线的距离，
圆心到直线的距离，
直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，
，即，，
又因为，，，，
当时，整理可得，
满足题意的直线有无数对，，解得：，
即；
当时，整理可得：，
满足题意的直线有无数对，，方程组无解，
综上所述：满足条件的点的坐标为.
【知识点】直线与圆的位置关系；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）当直线斜率不存在时，显然满足题意；当斜率存在时，设，利用圆心到直线距离等于半径，可构造方程求得的值，由此可得切线方程.
（2）设点，当直线斜率存在时，根据截得弦长相等可求得的值；当斜率为时，易知不满足题意；当直线斜率存在且不为时，假设直线方程，根据垂径定理表示出直线被圆截得的弦长，再根据有无数个解，从而可确定的取值，进而求出满足条件的点P的坐标.
（1）由圆的方程知：圆心，半径；
当直线斜率不存在时，即，此时直线与圆显然相切，满足题意；
当直线斜率存在时，设其方程为：，即，
圆心到直线的距离，解得：，
直线方程为：，即；
综上所述：直线方程为或.
（2）由圆的方程知：圆心，半径；
设点，
①当过的直线斜率不存在时，则方程为：，方程为：；
则被圆截得的弦长为：；
被圆截得的弦长为，解得：或；
或；
②当过的直线斜率为时，直线斜率不存在，此时与圆相离，不合题意；
③当过的直线斜率存在且不为时，
设，则，
即，，
圆心到直线的距离；圆心到直线的距离；
直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，
，即，，
又，，，，
当时，整理可得：，
满足题意的直线有无数对，，解得：，即；
当时，整理可得：，
满足题意的直线有无数对，，方程组无解；
综上所述：满足条件的点的坐标为.
19．（2024高二上·博罗期中）如图①所示，矩形中，，，点M是边CD的中点，将沿AM翻折到，连接PB，PC，得到图②的四棱锥，N为PB中点．
（1）求证：平面；
（2）若平面平面，求直线BC与平面所成角的大小；
（3）设的大小为θ，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值．
【答案】（1）证明：取中点，连接，由N为PB中点，得，
依题意，，则，
于是四边形是平行四边形，，而平面，平面，
所以平面.
（2）解：取中点，连接，由，得，而平面平面，
平面平面平面，则平面，
过作，则平面，又平面，于是，
在矩形中，，，则，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，则，令，得，
设直线BC与平面所成的角为，则，
所以直线BC与平面所成角的大小为.
（3）解：连接，由，得，而，则为的平面角，即，
过点作平面，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，，
显然平面，平面，则平面平面，
在平面内过作于点，则平面，
设，而，则，，，
即，，
所以，
于是，，
设平面PAM的法向量为，则，
令，得，设平面的法向量为，
因为，，
则，令，得，
设平面和平面为，
则
令，，则，即，则当时，有最小值，
所以平面和平面夹角余弦值的最小值为．
【知识点】空间直角坐标系；平行公理；直线与平面平行的判定；平面的法向量；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）通过构造平行四边形，得到线线平行，再利用线面平行的判定定理证明。
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的方向向量，利用线面角的向量公式求解。
（3）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用二面角的向量公式，结合三角函数的性质求最小值。
（1）取中点，连接，由N为PB中点，得，
依题意，，则，
于是四边形是平行四边形，，而平面，平面，
所以平面.
（2）取中点，连接，由，得，而平面平面，
平面平面平面，则平面，
过作，则平面，又平面，于是，
在矩形中，，，则，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，则，令，得，
设直线BC与平面所成的角为，则，
所以直线BC与平面所成角的大小为.
（3）连接，由，得，而，则为的平面角，即，
过点作平面，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，，
显然平面，平面，则平面平面，
在平面内过作于点，则平面，
设，而，则，，，
即，，
所以，
于是，，
设平面PAM的法向量为，则，
令，得，设平面的法向量为，
因为，，
则，令，得，
设平面和平面为，
则
令，，则，即，则当时，有最小值，
所以平面和平面夹角余弦值的最小值为．
1 / 1广东省惠州市博罗县2024-2025学年高二上学期阶段性教学质量检测数学试题
1．（2024高二上·博罗期中）直线的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
2．（2024高二上·博罗期中）已知，，且，则实数t的值为（　　）
A． B．3 C．4 D．6
3．（2024高二上·博罗期中）已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024高二上·博罗期中）如图所示，在三棱锥中，为的中点，设，，，则（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024高二上·博罗期中）已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024高二上·博罗期中）已知在圆外，则直线与圆的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切
C．相离 D．以上皆有可能
7．（2024高二上·博罗期中）已知点，过点的直线与线段（含端点）有公共点，则直线的斜率的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024高二上·博罗期中）阅读材料：数轴上，方程可以表示数轴上的点，平面直角坐标系中，方程（、不同时为0）可以表示坐标平面内的直线，空间直角坐标系中，方程（、、不同时为0）可以表示坐标空间内的平面.过点且一个法向量为的平面的方程可表示为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024高二上·博罗期中）已知两条直线方程分别为与，则下列结论正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则直线一定相交
D．若，则两条平行直线之间的距离为
10．（2024高二上·博罗期中）已知圆，直线，则下列选项正确的是（　　）
A．直线恒过定点
B．直线与圆可能相切
C．直线被圆截得的弦长的最小值为4
D．当时，圆上到直线距离为2的点恰有三个
11．（2024高二上·博罗期中）如图，正方体的棱长为1，E为棱的中点，为底面正方形内（含边界）的动点，则（　　）
A．三棱锥的体积为定值
B．直线平面
C．当时，点到平面的距离为
D．当的正切值为2时，动点P的轨迹长度为
12．（2024高二上·博罗期中）已知两条直线和相交，则这两条直线的交点坐标为　 　；
13．（2024高二上·博罗期中）已知，，求在上的投影向量　 　（用坐标表示）
14．（2024高二上·博罗期中）已知圆，为过的圆的切线，A为上任一点，过A作圆的切线AP，AQ，切点分别是P和Q，则四边形APNQ的面积最小值是　 　．
15．（2024高二上·博罗期中）直三棱柱中，，，，分别是的中点．
（1）求的值；
（2）求证：⊥平面．
16．（2024高二上·博罗期中）已知圆的圆心在轴上，并且过和两点．
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线被圆截得的弦长，求直线的方程．
17．（2024高二上·博罗期中）已知直线过定点．
（1）求过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程；
（2）若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点．
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）若三角形的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程．
18．（2024高二上·博罗期中）在平面直角坐标系中，已知圆和圆．
（1）若直线过点，且与圆相切，求直线的方程；
（2）设为直线上的点，满足：过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等．试求满足条件的点的坐标．
19．（2024高二上·博罗期中）如图①所示，矩形中，，，点M是边CD的中点，将沿AM翻折到，连接PB，PC，得到图②的四棱锥，N为PB中点．
（1）求证：平面；
（2）若平面平面，求直线BC与平面所成角的大小；
（3）设的大小为θ，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】直线的倾斜角；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：设直线的倾斜角为，由题意可得，故.
故答案为：C.
【分析】明确直线的倾斜角与斜率的关系，即直线的斜率等于倾斜角（）的正切值，所以需要先将给定的直线方程转化为斜截式（其中为斜率），求出斜率，再根据以及的取值范围，确定倾斜角的值.
2．【答案】B
【知识点】空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，所以，解得.
故答案为：B.
【分析】利用空间向量垂直时‘点积为0’的性质，通过坐标运算建立方程，求解未知参数t。
3．【答案】D
【知识点】直线的点斜式方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系；待定系数法求直线方程
【解析】【解答】解：直线与直线垂直，
设直线的方程是
将代入直线中，，解得，
故直线的方程为.
故答案为：D.
【分析】先根据两直线垂直的斜率关系求出直线l的斜率，再利用点斜式写出直线l的方程，最后整理为一般式。
4．【答案】A
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意可得：
.
故答案为：A.
【分析】利用向量中点公式与向量减法的三角形法则，将分解为已知向量、、的线性组合。
5．【答案】A
【知识点】圆的切线方程；圆方程的综合应用
【解析】【解答】解：因为圆经过点，
将点代入圆的方程可得：.即，所以，
则圆的方程为.
对于圆，其圆心坐标为，所以此圆的圆心.：
根据斜率公式，这里，，则.
因为圆的切线与圆心和切点连线垂直，若两条垂直直线的斜率分别为和，则.
已知，所以切线的斜率.
又因为切线过点，根据点斜式方程（这里），
可得切线方程为.整理得.
故答案为：A.
【分析】先确定圆的方程，再利用‘切线与圆心和切点连线垂直’的性质，结合斜率公式与点斜式，求解切线方程。
6．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意圆的圆心，半径，
由在圆外，得，
则圆心到直线的距离，
故直线与圆相交.
故答案为：A.
【分析】核心是根据点与圆的位置关系得到的范围，再利用点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离，通过距离与半径的大小比较，判断直线与圆的位置关系.
7．【答案】D
【知识点】直线的斜率；斜率的计算公式
【解析】【解答】解：因为P，，所以，
因为直线与线段AB（含端点）有公共点，则或，
故直线的斜率的范围为.
故答案为：D.
【分析】确定过点的直线与线段有公共点时斜率的取值范围，需先明确直线斜率与直线倾斜程度的关系.通过计算点与线段两端点、连线的斜率和，再结合直线绕点旋转时斜率的变化规律，来确定满足条件的斜率范围.
8．【答案】A
【知识点】空间向量的数量积运算；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：因为平面的方程为，所以平面的法向量可取，
平面的法向量为，
平面的法向量为，
设两平面的交线的方向向量为，
由，令，则，
所以两平面的交线的方向向量为，
设直线与平面所成角的大小为，
则.
故答案为：A．
【分析】先求平面的法向量与直线的方向向量，再利用线面角与向量夹角的关系（ 线面角的正弦值等于直线方向向量与平面法向量夹角余弦值的绝对值 ），通过空间向量点积公式计算线面角的正弦值。
9．【答案】A,C
【知识点】两条直线平行的判定；两条直线垂直的判定；平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：对A，当，则，解得，经检验，满足两直线平行，故A正确；
对B，当，则，解得，故B错误；
对，由选项A得：当，则直线一定相交，故正确.
对D，若，则，所以平行线间的距离，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】考查两直线平行、垂直的判定以及平行直线间距离的计算.对于两直线平行，根据直线一般式平行的条件列出方程求解；对于两直线垂直，依据垂直的条件列方程求解；判断两直线是否相交，可根据平行的情况反推；计算平行直线间距离，需先将直线方程化为对应形式，再用距离公式计算.
10．【答案】A,C,D
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：圆，故该圆半径为3.
对A，直线的方程整理可得，
由，得即直线恒过定点，故A正确．
对B，因为点在圆内部，所以直线与圆不可能相切，故B不正确．
对C，设点为，当时，直线被圆截得的弦长最小．
因为，
所以直线被圆截得的弦长的最小值为，故C正确．
对D，圆心，半径为3，当时，直线的方程为．
因为圆心到直线的距离为，
所以圆上到直线距离为2的点恰有三个，故D正确．
故答案为：ACD.
【分析】围绕圆与直线的位置关系展开，涉及直线过定点、直线与圆相切、弦长最值以及圆上点到直线距离的情况.对直线过定点，通过整理直线方程，解方程组确定定点；判断直线与圆是否相切，依据定点与圆的位置关系；求弦长最小值，利用圆心到定点的距离与半径，结合弦长公式；分析圆上到直线距离为特定值的点的个数，通过计算圆心到直线的距离，结合半径判断.
11．【答案】A,C,D
【知识点】直线与平面平行的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与平面的位置关系；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：
对于A，如图1，因，故A正确；
对于B，如图2建立空间直角坐标系，则，
于是，，
设平面的法向量为，则，故可取，
由知与不垂直，
故直线与平面不平行，故B错误；
对于C，由上图建系，设P的坐标为，
当，有，则，设平面的法向量，
则，故．
取平面一点A与点E构成，
所以点E到平面的距离，故C正确；
对于D，因为P为底面正方形的动点，当的正切值为2时，不变，由圆锥性质可知，动点P的运动轨迹是以为高，为母线的圆锥的底面圆周，
此时为底面半径r，又因为P在正方形内运动，所以P的轨迹是底面圆周的；当的正切值为，则为，所以P的轨迹长为，故D正确.
故答案为：ACD．
【分析】本题围绕正方体中的立体几何问题展开，需结合三棱锥体积公式、空间向量、点到平面距离、轨迹问题等知识，对每个选项逐一分析判断.
12．【答案】
【知识点】两条直线的交点坐标
【解析】【解答】解：由方程组，解得， 即交点为.
故答案为：.
【分析】要求两条直线的交点坐标，根据直线交点的定义，交点坐标同时满足两条直线的方程，所以需要联立两条直线的方程，通过解方程组来得到交点的横、纵坐标.
13．【答案】
【知识点】空间向量基本定理；空间向量的数量积运算
【解析】【解答]解：由，得，在上的投影向量为，
故答案为：.
【分析】算向量在上的投影向量，需先明确投影向量的计算公式，即利用向量的数量积以及向量的模长，结合投影向量与的共线关系来求解.
14．【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：依题意，直线的斜率为，则直线的斜率为，直线的方程为，即，圆的圆心，半径，
因为为圆的切线，则，四边形的面积：，
又到的距离，于是，
因此，
所以四边形APNQ的面积最小值为.
故答案为：.
【分析】求出圆在点处的切线的方程，再根据圆的切线性质，将四边形的面积转化为与相关的表达式，最后利用点到直线的距离公式求出的最小值，进而得到四边形面积的最小值.
15．【答案】（1）解：直三棱柱中，平面，又，
以点为坐标原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
依题意得，，
∴，，，，，
所以；
（2）证明：求得，．∴，，，
∴，，
∴，，即，
又平面，平面，，
∴⊥平面．
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，求出向量和的坐标，再利用向量的数量积公式计算它们夹角的余弦值.
（2）借助空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，通过证明向量垂直（即数量积为），先证线线垂直，再依据线面垂直的判定定理证明线面垂直.
（1）直三棱柱中，平面，又，
以点为坐标原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
依题意得，，
∴，，，，，
所以；
（2）求得，．
∴，，，
∴，，
∴，，即，
又平面，平面，，
∴⊥平面．
16．【答案】（1）解：法一：依题意，设圆心的坐标为，因为点和在圆上，所以，
则，即，解得，
所以，则圆的半径，
所以圆的标准方程为．
法二：点和的中点为，且直线的斜率为，
则线段的垂直平分线的斜率为，所以线段的垂直平分线方程为，
因为圆过和两点，所以圆心在线段的垂直平分线上，
因为圆心在轴上，所以圆心的坐标为．
则圆的半径，
所以圆的标准方程为.
（2）解：
直线的方程为，设圆心到直线的距离为，则，
因为弦长，所以，
则，化简得：，解得，
所以直线的方程为.
【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程；直线与圆相交的性质
【解析】【分析】（1）用圆的性质，圆心在弦的垂直平分线上，先求出弦的垂直平分线方程，再结合圆心在轴上的条件确定圆心坐标，进而求出半径得到圆的标准方程.
（2）根据圆的弦长公式，结合圆心到直线的距离公式，求出直线的斜率，从而得到直线方程.
（1）法一：依题意，设圆心的坐标为，
因为点和在圆上，所以，
则，
即，
解得，
所以，
则圆的半径，
所以圆的标准方程为．
法二：点和的中点为，
且直线的斜率为，
则线段的垂直平分线的斜率为，
所以线段的垂直平分线方程为，
因为圆过和两点，所以圆心在线段的垂直平分线上，
因为圆心在轴上，所以圆心的坐标为．
则圆的半径，
所以圆的标准方程为；
（2）直线的方程为，设圆心到直线的距离为，
则，
因为弦长，
所以，
则，化简得：，
解得，
所以直线的方程为.
17．【答案】（1）解：将整理可得，
令，可得，所以直线过定点，
若直线在两坐标轴上截距都为零，可得直线的方程为；
直线在两坐标轴上截距不为零且相等，设直线的截距式方程为，
代入点即可得，解得；
此时直线的方程为；
综上可知直线的方程为或；
（2）解：（ⅰ）显然，求得：，
依题意得：，解得；
（ⅱ）由（ⅰ）得三角形的面积为
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.此时直线的方程为.
【知识点】基本不等式；直线的截距式方程
【解析】【分析】（1）求出直线所过的定点，然后分直线在两坐标轴上截距都为零和截距不为零且相等两种情况，分别求出直线的方程.
（2）（i）求出直线与轴、轴的交点、的坐标，再根据在轴正半轴、在轴负半轴的条件，列出不等式组求解的取值范围.
（ii）根据三角形面积公式表示出的面积，再利用基本不等式求出的最小值以及此时直线的方程.
（1）将整理可得，
令，可得，所以直线过定点，
若直线在两坐标轴上截距都为零，可得直线的方程为；
若直线在两坐标轴上截距不为零且相等，设直线的截距式方程为，
代入点即可得，解得；
此时直线的方程为；
综上可知直线的方程为或；
（2）（ⅰ）显然，求得：，
依题意得：，
解得；
（ⅱ）由（ⅰ）得三角形的面积为；
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.
此时直线的方程为.
18．【答案】（1）解：由圆的方程知：圆心，半径；
当直线斜率不存在时，即，此时直线与圆显然相切，满足题意；
当直线斜率存在时，设其方程为：，即，
圆心到直线的距离，解得：，
直线方程为：，即；
综上所述：直线方程为或.
（2）解：由圆的方程知：圆心，半径，设点，
①当过的直线斜率不存在时，则方程为：，
方程为：，则被圆截得的弦长为：，
被圆截得的弦长为，
解得：或，或；
②当过的直线斜率为时，直线斜率不存在，
此时与圆相离，不合题意；
③当过的直线斜率存在且不为时，
设，则，
即，，
圆心到直线的距离，
圆心到直线的距离，
直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，
，即，，
又因为，，，，
当时，整理可得，
满足题意的直线有无数对，，解得：，
即；
当时，整理可得：，
满足题意的直线有无数对，，方程组无解，
综上所述：满足条件的点的坐标为.
【知识点】直线与圆的位置关系；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】（1）当直线斜率不存在时，显然满足题意；当斜率存在时，设，利用圆心到直线距离等于半径，可构造方程求得的值，由此可得切线方程.
（2）设点，当直线斜率存在时，根据截得弦长相等可求得的值；当斜率为时，易知不满足题意；当直线斜率存在且不为时，假设直线方程，根据垂径定理表示出直线被圆截得的弦长，再根据有无数个解，从而可确定的取值，进而求出满足条件的点P的坐标.
（1）由圆的方程知：圆心，半径；
当直线斜率不存在时，即，此时直线与圆显然相切，满足题意；
当直线斜率存在时，设其方程为：，即，
圆心到直线的距离，解得：，
直线方程为：，即；
综上所述：直线方程为或.
（2）由圆的方程知：圆心，半径；
设点，
①当过的直线斜率不存在时，则方程为：，方程为：；
则被圆截得的弦长为：；
被圆截得的弦长为，解得：或；
或；
②当过的直线斜率为时，直线斜率不存在，此时与圆相离，不合题意；
③当过的直线斜率存在且不为时，
设，则，
即，，
圆心到直线的距离；圆心到直线的距离；
直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，
，即，，
又，，，，
当时，整理可得：，
满足题意的直线有无数对，，解得：，即；
当时，整理可得：，
满足题意的直线有无数对，，方程组无解；
综上所述：满足条件的点的坐标为.
19．【答案】（1）证明：取中点，连接，由N为PB中点，得，
依题意，，则，
于是四边形是平行四边形，，而平面，平面，
所以平面.
（2）解：取中点，连接，由，得，而平面平面，
平面平面平面，则平面，
过作，则平面，又平面，于是，
在矩形中，，，则，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，则，令，得，
设直线BC与平面所成的角为，则，
所以直线BC与平面所成角的大小为.
（3）解：连接，由，得，而，则为的平面角，即，
过点作平面，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，，
显然平面，平面，则平面平面，
在平面内过作于点，则平面，
设，而，则，，，
即，，
所以，
于是，，
设平面PAM的法向量为，则，
令，得，设平面的法向量为，
因为，，
则，令，得，
设平面和平面为，
则
令，，则，即，则当时，有最小值，
所以平面和平面夹角余弦值的最小值为．
【知识点】空间直角坐标系；平行公理；直线与平面平行的判定；平面的法向量；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）通过构造平行四边形，得到线线平行，再利用线面平行的判定定理证明。
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的方向向量，利用线面角的向量公式求解。
（3）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用二面角的向量公式，结合三角函数的性质求最小值。
（1）取中点，连接，由N为PB中点，得，
依题意，，则，
于是四边形是平行四边形，，而平面，平面，
所以平面.
（2）取中点，连接，由，得，而平面平面，
平面平面平面，则平面，
过作，则平面，又平面，于是，
在矩形中，，，则，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，则，令，得，
设直线BC与平面所成的角为，则，
所以直线BC与平面所成角的大小为.
（3）连接，由，得，而，则为的平面角，即，
过点作平面，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，，
显然平面，平面，则平面平面，
在平面内过作于点，则平面，
设，而，则，，，
即，，
所以，
于是，，
设平面PAM的法向量为，则，
令，得，设平面的法向量为，
因为，，
则，令，得，
设平面和平面为，
则
令，，则，即，则当时，有最小值，
所以平面和平面夹角余弦值的最小值为．
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