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习题课三　共点力平衡的综合问题
1.鞠躬，即弯腰行礼，是表示对他人敬重的一种礼节，也是我国传统的礼仪之一。如图甲所示，鞠躬时人上身前倾一定角度，全身保持平衡，可简化为如图乙所示，若头的重力为G、颈椎对头的支持力为F1、颈部肌肉的拉力为F2。则下列关于人头部的受力示意图可能正确的是（　　）
2.如图所示，一根轻绳的上端固定在O点，下端拴一个重力为G的小球，现对小球施加一个方向和大小都变化的力F，使小球与竖直方向的夹角为30°，保持小球的位置不变，则力F的最小值是（　　）
A.　　B. C.　　D.G
3.如图所示，光滑的四分之一圆弧轨道AB固定在竖直平面内，A端与水平面相切。穿在轨道上的小球在拉力F的作用下，缓慢地由A向B运动，F始终沿轨道的切线方向，轨道对球的弹力为N。在运动过程中（　　）
A.F增大，N增大 B.F减小，N减小
C.F增大，N减小 D.F减小，N增大
4.如图所示，质量为m的氢气球通过细绳与地面上一块质量为M的砖块绑在一起，氢气球由于受风力作用而使拉住它的细绳与地面的夹角为θ，两物体始终处于静止状态，当氢气球受到的水平风力增大时（　　）
A.地面对砖块的压力变大
B.地面对砖块的支持力变小
C.砖块受到地面的摩擦力变大
D.绳子对氢气球的拉力大小不变
5.如图所示，三根长度均为L的轻绳分别连接于C、D两点，A、B两端被悬挂在水平天花板上，相距2L，现在C点上悬挂一个质量为m的重物，为使CD绳保持水平，在D点上可施加力的最小值为（　　）
A.mg　　B.mg C.mg　　D.mg
6.如图所示，上表面为四分之一光滑圆弧的物体A静止在粗糙的水平地面上，一小物块B从圆弧底端受到水平外力F的作用缓慢沿圆弧向上移动一小段距离，在此过程中，A始终处于静止状态。下列说法正确的是（　　）
A.水平外力F保持不变
B.地面对A的摩擦力逐渐增大
C.A对B的支持力逐渐减小
D.地面对A的支持力逐渐减小
7.如图所示，斜面上和与斜面垂直的挡板上各有一个压力传感器A、B，斜面倾角可调，铁球静止在传感器A、B上，从图示位置缓慢减小斜面的倾角θ，下列说法正确的是（　　）
A.A的示数不变，B的示数减小
B.A的示数减小，B的示数不变
C.A的示数增大，B的示数减小
D.A的示数减小，B的示数增大
8.如图所示，A、B为同一水平线上的两个绕绳装置，转动A、B改变绳的长度，使光滑挂钩下的重物C缓慢竖直下降。关于此过程中绳上拉力大小的变化，下列说法中正确的是（　　）
A.不变 B.逐渐减小
C.逐渐增大 D.先增大后减小
9.（多选）如图所示，质量为m的物体通过定滑轮牵引粗糙水平面上的物体沿斜面匀速下滑，此过程中斜面体始终静止，斜面体的质量为M，重力加速度为g，则水平地面对斜面体（　　）
A.支持力为（M＋m）g
B.没有摩擦力
C.支持力小于（M＋m）g
D.有水平向右的摩擦力
10.（多选）如图所示，轻绳OA、轻杆OB的O端与质量为m的小球拴接在一起，轻杆的B端通过铰链连接在竖直墙面上，小球处于静止状态，且OA＝OB，OB与竖直方向的夹角为60°，重力加速度为g，则（　　）
A.轻绳OA受到的拉力大小为mg
B.轻杆OB受到的弹力大小为mg
C.若将A点缓慢向下移动一小段距离，则轻绳OA受到的拉力将变大
D.若将A点缓慢向下移动一小段距离，则轻绳OA受到的拉力将变小
11.如图所示，弯折杆PRQ固定在竖直面内，PR水平，QR与PR间的夹角为60°，B球套在杆QR上，一根细线连接A、B两球，另一根细线连接小球A与杆PR上的O点，连接在O点的细线与水平方向的夹角为60°，连接A、B两球的细线与QR杆垂直，B球刚好不下滑。已知A球质量为2m，B球质量为m，两小球均可视为质点，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则小球B与杆RQ间的动摩擦因数为（　　）
A. B.
C. D.
12.（多选）如图所示，竖直面光滑的墙角有一个质量为m、半径为r的均匀半球体物块A，现在A上放一密度和半径与A相同的球体B，调整A的位置使得A、B保持静止状态，已知A与地面间的动摩擦因数为0.5，则A球球心距墙角的距离可能是（已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力）（　　）
A. B.2r
C. D.
13.如图所示，轻杆一端固定一个轻滑轮，另一端嵌入竖直的墙中。一根轻绳一端连接一个物体，另一端通过滑轮固定在墙上的某一个位置P，把绳子端点P沿墙面向O点缓慢移动，轻杆位置不变，忽略绳子与滑轮的摩擦力，关于轻绳的拉力大小和绳对滑轮作用力的说法正确的是（　　）
A.轻绳的拉力变大
B.绳对滑轮的压力变大
C.绳对滑轮的压力大小始终不变
D.绳对滑轮的压力方向始终沿杆指向墙里
14.在竖直墙壁的左侧水平地面上，放置一个棱长为a、质量为M的正方体，在墙壁和正方体之间放置一半径为R、质量为m的光滑球，正方体和球均保持静止，如图所示。球的球心为O，OB与竖直方向的夹角为θ，正方体的棱长a＞R，正方体与水平地面间的动摩擦因数为μ＝。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g。
（1）正方体和墙壁对球的支持力N1、N2分别是多大？
（2）若θ＝45°，保持球的半径不变，只增大球的质量，为了不让正方体出现滑动，则球质量的最大值为多少？
习题课三　共点力平衡的综合问题
1.C　由共点力平衡的条件可知，三个共点力平衡，任意两个力的合力需与第三个力等大反向。根据平行四边形定则可知，A、B、D三个选项中任意两个力的合力均不能与第三个力等大反向，只有C选项可能满足三力平衡的条件。故选C。
2.A　轻绳对小球的拉力和力F的合力与小球的重力是一对平衡力，为一定值，由此可知，当力F与轻绳的拉力垂直时，力F最小，此时F＝，A正确。
3.C　对小球的受力分析如图所示。F与N方向垂直。小球缓慢地由A向B运动，可知小球处于平衡状态，所受合力为零。F与N的合力与小球所受重力等大、反向。由几何知识得F＝mgsin θ，N＝mgcos θ。在小球运动过程中，θ角增大，可得F增大，N减小，选项C正确。
4.C　以砖块、氢气球和细绳组成的整体为研究对象，水平方向的风力不影响竖直方向的受力情况，所以当风力增大时，地面对砖块的支持力不变，故A、B错误；以砖块、氢气球和细绳组成的整体为研究对象，根据水平方向受力平衡可得砖块受到地面的摩擦力与风力等大反向，风力增大，则砖块受到地面的摩擦力变大，故C正确；对氢气球进行受力分析，受重力、浮力、细绳的拉力和水平风力，如图所示，竖直方向，根据平衡条件，有Tsin θ＋mg＝F浮，解得T＝，风力F增大时，θ减小，浮力和重力不变、则绳子对氢气球的拉力T增大，故D错误。
5.C　由题图可知，要想CD水平，各绳均应绷紧，则由几何知识知AC与水平方向的夹角为60°；结点C点受力平衡，受力分析如图所示，则CD绳的拉力T＝mgtan 30°＝mg；D点受CD绳子的拉力大小等于T，方向向左；要使CD水平，D点所受两绳的拉力与外界对D点的力的合力为零，则CD绳子对D点的拉力可分解为沿BD绳的分力F1及另一分力F2，由几何关系可知，当力F2与BD垂直时，F2最小，而F2的大小即为施加在D点的力的大小，故最小力F＝F2＝Tsin 60°＝mg，故C正确。
6.B　对小物块B进行受力分析，它受到支持力N、水平外力F与重力mg，如图所示，设物块B所在处切线与水平方向夹角为θ，因它处于平衡状态，水平外力F＝mgtan θ，物体A对小物块B的支持力N＝；在物块B缓慢沿圆弧向上移动一小段距离的过程中，θ增大，则水平外力F增大，故选项A错误；A、B整体水平方向受力平衡，可得地面对物体A的摩擦力f＝F，所以地面对物体A的摩擦力逐渐增大，故选项B正确；物块B缓慢沿圆弧向上移动一小段距离的过程中，θ增大，cos θ减小，物体A对小物块B的支持力逐渐增大，故选项C错误；把A、B看成一个整体，根据其在竖直方向受力平衡可得地面对物体A的支持力不变，故选项D错误。
7.C　压力传感器A的读数为FA＝mgcos θ，压力传感器B的读数为FB＝mgsin θ，则当θ减小时，FA增大，FB减小。故选C。
8.B　重物C受三个力，重力和两个拉力，两个拉力的合力与重力平衡，根据共点力平衡条件可知两个拉力合力的大小等于重物C的重力大小，且为定值，重物C缓慢下降的过程中，两根绳子之间的夹角不断减小，根据平行四边形定则可知拉力不断减小，故选B。
9.CD　设绳子上的拉力为T，选斜面体与质量为m的物体组成的整体为研究对象，受力分析如图所示，由平衡条件可以判断，斜面体必受到沿水平面向右的摩擦力；斜面体的倾角为θ，则N＋Tsin θ＝（M＋m）g，所以N小于（M＋m）g，故C、D正确，A、B错误。
10.AC　对小球进行受力分析，力的矢量三角形如图所示。由几何关系可知TOA＝TOB＝mg，故A正确，B错误；若将A点向下移动一小段距离，OB与竖直方向所成的夹角将增大，则由小球受力分析图可知轻绳OA受到拉力变大，故C正确，D错误。
11.B　设连接O点的细线拉力为F1，连接小球B的细线拉力为F2，以A球为研究对象，受力分析如图所示，有F1cos 30°＝2mg＋F2cos 60°，F1sin 30°＝F2sin 60°，解得F2＝2mg，以B球为研究对象有mgsin 60°＝μ（F2－mgcos 60°），解得μ＝，故选B。
12.AB　根据题意可知，B球的质量为2m，A、B处于静止状态，受力平衡，则地面对A的支持力为NA＝3mg；当地面对A的摩擦力达到最大静摩擦力时，A球球心距墙角的距离最远，对A、B分别进行受力分析，如图所示，
根据平衡条件有F'sin θ＝2mg，F cos θ＝f＝μ·3mg，而F＝F'，解得tan θ＝，则A球球心距墙角的最远距离为xmax＝2rcos θ＋r＝r，所以A球球心距墙角的距离满足r≤x≤r，故A、B正确。
13.B　由于同一根绳子的张力处处相等，故轻绳的拉力一定等于物体的重力G保持不变，故A错误；根据平行四边形定则，两边轻绳的拉力相等，故合力在角平分线上，由于两拉力的夹角不断减小，故两个拉力的合力不断变大，故滑轮受到的压力不断变大，故B正确，C错误。根据前面分析可知，两个拉力的合力在角平分线上，随着两拉力的夹角不断改变，合力方向不断改变，故绳对滑轮的压力方向不可能始终沿杆指向墙里，故D错误。
14.　mgtan θ　（2） M
解析：（1）球受力情况如图所示，根据平衡条件知
N1cos θ＝mg ①
N1sin θ＝N2 ②
解得N1＝ ③
N2＝mgtan θ。 ④
（2）对正方体和球整体进行受力分析如图所示，根据平衡条件知
N3＝（M＋m）g ⑤
N2＝f ⑥
且有f≤μN3 ⑦
联立⑤⑥⑦解得m≤M ⑧
即球质量的最大值为M。
4 / 4习题课三　共点力平衡的综合问题
核心素养目标 物理观念 理解整体法和隔离法在解决多物体平衡问题中的作用。
科学思维 （1）掌握应用解析法、图解法、相似三角形法解决动态平衡问题。 （2）学会处理共点力平衡中的临界问题和极值问题。
要点一　多物体平衡问题
1.问题界定： 一个平衡系统中涉及两个或两个以上的物体，即为多物体的平衡问题。
2.处理方法：整体法和隔离法
（1）如果不涉及系统内物体间的相互作用力，要优先采用整体法，这样涉及的研究对象少，未知量少，方程少，求解简便；
（2）如果涉及系统内物体间的相互作用力，则必须采用隔离法，对有关物体单独分析。
【典例1】　如图所示，粗糙水平地面上放着一个截面为半圆的柱状物体A，A与竖直墙之间放一光滑半圆球B，整个装置处于平衡状态。已知A、B的质量分别为m和M，半圆球B与柱状物体A半径均为R，半圆球B的球心到水平地面的竖直距离为R，重力加速度为g。求：
（1）地面对物体A的支持力大小；
（2）地面对物体A的摩擦力。
尝试解答
规律方法
整体法和隔离法的选择原则
（1）当分析系统所受外力时，可以采用整体法来分析外界对系统的作用力。
（2）当分析系统内各物体间的相互作用时，一般采用隔离法且选择受力较少的物体为研究对象。
（3）整体法的优点在于减少受力分析的个数，但不能分析内力；隔离法的优点是对多个物体受力了解比较清楚，但计算时有点麻烦。
1.如图所示，水平地面上的L形木板M上放着小木块m，M与m间有一个处于压缩状态的弹簧，整个装置处于静止状态。下列说法正确的是（　　）
A.M对m的摩擦力方向向左
B.M对m无摩擦力作用
C.地面对M的摩擦力方向向右
D.地面对M无摩擦力作用
2.如图所示，用完全相同的轻弹簧A、B、C将两个相同的小球连接并悬挂，小球处于静止状态，弹簧A与竖直方向的夹角为30°，弹簧C水平，则弹簧A、C的伸长量之比为（　　）
A.∶4 B.4∶
C.1∶2 D.2∶1
要点二　动态平衡问题
1.解析法
适用于求解直角三角形或正交分解类问题，列出三角函数表达式，然后利用表达式分析力的变化情况的方法。
2.图解法
对研究对象的任一状态进行受力分析，根据平行四边形定则或三角形定则画出不同状态下的力的矢量图，然后根据有向线段的长度变化判断各个力的变化情况。题型特点是：合力的大小和方向不变，一个分力的方向不变。
3.相似三角形法
适用于求解的是一般形状三角形问题，做法是在受力分析的基础上作出力的平行四边形，由力三角形与几何三角形相似，求解问题。
【典例2】　（多选）灯笼是我国年俗文化的重要组成部分，无论旧时还是现在，灯笼都能烘托出节日的喜庆氛围。如图所示，直角支架固定在竖直面内，灯笼通过光滑轻质挂钩OA挂在轻质细绳上，细绳的一端固定在支架水平部分的C点，另一端固定在支架竖直部分的B点，系统处于平衡状态，此时细绳上的拉力大小为F1；当细绳的竖直固定端点B下移少许，重新平衡时细绳上的拉力大小为F2；当细绳的水平固定端点C右移少许，重新平衡时细绳上的拉力大小为F3；不计空气对灯笼的影响，细绳的长度始终不变，则关于F1、F2、F3的大小关系正确的是（　　）
A.F1＜F2 B.F1＝F2
C.F1＜F3 D.F1＞F3
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【典例3】　（多选）如图所示，用与竖直方向成θ角（θ＜45°）的倾斜轻绳a和轻绳b共同固定一个小球，这时绳b在水平位置1的拉力为F1，现保持小球在原位置不动，使绳b在原竖直平面内，逆时针转过θ角到位置2固定，绳b的拉力变为F2，再转过θ角到位置3固定，绳b的拉力变为F3，则（　　）
A.F1＝F2　B.F1＝F3　C.F2＞F3　D.F2＜F3
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【典例4】　如图所示，轻杆A端用铰链固定在墙上，B端吊一重物。通过轻绳跨过定滑轮O用拉力F将B端缓慢上拉，滑轮O在A点正上方（滑轮大小及摩擦均不计），且OA＞AB，在轻杆达到竖直位置前（　　）
A.拉力F增大　 　 B.拉力F大小不变
C.轻杆的弹力增大 D.轻杆的弹力大小不变
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
要点三　平衡中的临界、极值问题
1.临界问题
（1）问题界定：物体所处平衡状态将要发生变化的状态为临界状态，涉及临界状态的问题为临界问题。
（2）问题特点
①当某物理量发生变化时，会引起其他几个物理量的变化。
②注意某现象“恰好出现”或“恰好不出现”的条件。
（3）处理方法：基本方法是假设推理法，即先假设某种情况成立，然后根据平衡条件及有关知识进行论证、求解。
2.极值问题
（1）问题界定：物体平衡的极值问题，一般指在力的变化过程中涉及力的最大值和最小值的问题。
（2）处理方法
①解析法：根据物体的平衡条件列出方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值。
②图解法：根据物体的平衡条件作出力的矢量图，画出平行四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值。
【典例5】　物体的质量为2 kg，两根轻绳AB和AC的一端连接于竖直墙上（B、C在同一竖直线上），另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成θ＝60°角的拉力F，若要使两绳都能伸直，如图所示，伸直时AC与墙面垂直，绳AB与绳AC间夹角也为θ＝60°，求拉力F的大小范围（g取10 m/s2）。
尝试解答
规律方法
临界与极值问题的分析技巧
（1）求解平衡中的临界问题和极值问题时，首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡中的临界点和极值点。
（2）临界条件必须在变化中寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而是要把某个物理量推向极端，即极大或极小，并依此作出科学的推理分析，从而给出判断或结论。
1.将两个质量均为m的小球a、b用细线相连后，再用细线悬挂于O点，如图所示。用力F拉小球b，使两个小球都处于静止状态，且细线OA与竖直方向的夹角保持θ＝30°，重力加速度为g，则F的最小值为（　　）
A. mg　 B.mg C. mg　 D. mg
2.质量为M的木楔倾角为θ，在水平面上保持静止，当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑。如果用与木楔斜面成α角的力F拉着木块匀速上升，如图所示（已知木楔在整个过程中始终静止）。
（1）当α＝θ时，拉力F有最小值，求此最小值；
（2）当α＝θ时，木楔对水平面的摩擦力是多大？
1.如图所示，A、B两物体重力都等于10 N，各接触面间的动摩擦因数都等于0.3，同时有F＝1 N的两个水平力分别作用在A和B上，A和B均静止，则地面对B和B对A的摩擦力大小分别为（　　）
A.6 N，3 N B.1 N，1 N
C.0，1 N D.0，2 N
2.如图所示，两根细绳AO和BO连接于O点，O点的下方用细绳CO悬挂一花盆并处于静止状态。在保持O点位置不动的情况下，调整细绳BO的长度使悬点B在竖直墙壁上缓慢向下移动至BO水平，此过程中绳AO受到的拉力（　　）
A.逐渐增大 B.逐渐减小
C.先增大后减小 D.先减小后增大
3.一根细线上端固定，下端系着一个质量为m的小球。给小球施加拉力F，使小球平衡后细线跟竖直方向的夹角为θ，如图所示。重力加速度为g。则拉力F（　　）
A.方向可能在图中Ⅰ区域内
B.方向可能在图中Ⅱ区域内
C.最小值为mgcos θ
D.最小值为mgtan θ
4.（多选）如图所示，AO绳和BO绳是两根最大承受力均为720 N的绳子，现用这两根绳子吊起一重物，O为结点，已知重物的质量m＝40 kg，AO绳的拉力记为TAO，BO绳的拉力记为TBO，重力加速度g取10 m/s2，则下列说法中正确的是（　　）
A.TAO＝320 N，TBO＝240 N
B.TAO＝240 N，TBO＝320 N
C.为确保绳子不被拉断，O点下方悬挂的重物质量不能超过90 kg
D.为确保绳子不被拉断，O点下方悬挂的重物质量不能超过120 kg
习题课三　共点力平衡的综合问题
【核心要点·快突破】
要点一
知识精研
【典例1】　（1）（M＋m）g　（2）Mg，方向水平向左
解析：（1）把A、B看成一个系统，对其运用整体法，该系统在竖直方向上受到竖直向下的重力（M＋m）g和地面的支持力N的作用，二力平衡，所以N＝（M＋m）g。
（2）在水平方向上，该系统肯定受到竖直墙水平向右的弹力的作用，那么一定也受到地面水平向左的摩擦力，并且摩擦力的大小等于弹力的大小；再选取半圆球B为研究对象，运用隔离法，受力分析如图所示。
根据力的平衡条件可得N1＝，N2＝Mgtan θ
半圆球B的球心到水平地面的竖直距离为R，由几何关系知θ＝45°
所以N2＝Mg
则地面对物体A的摩擦力大小为Mg，方向水平向左。
素养训练
1.D　对m进行受力分析知，m受到重力、支持力、水平向左的弹力，根据平衡条件知，还受M对m向右的摩擦力，摩擦力方向向右，故A、B错误；对整体进行受力分析知，在竖直方向上受到的重力和支持力平衡，若地面对M有摩擦力，则整体不能平衡，所以地面对M无摩擦力作用，故C错误，D正确。
2.D　将两小球及弹簧B视为整体进行受力分析，其受力示意图如图所示，有FC＝FAsin 30°，又FC＝kxC，FA＝kxA，得＝＝＝2∶1，故A、B、C错误，D正确。
要点二
知识精研
【典例2】　BD　设绳长为L，因是光滑轻质挂钩，可知两边绳子的拉力相等，设为F，绳子与竖直方向的夹角θ相等，则由共点力平衡条件可知2Fcos θ＝mg，由几何关系LOCsin θ＋LOBsin θ＝d＝Lsin θ（d为C点到竖直墙壁的距离），则当B点下移时，θ角不变，则F不变，即F1＝F2，当细绳的水平固定端点C右移少许，则d减小，则θ角减小，cos θ变大，则F减小，即F1＞F3，故选B、D。
【典例3】　BD　对小球受力分析，受到重力和两个拉力作用，三力平衡，如图所示，通过几何关系可知，力F2垂直于轻绳，所以有F1＝F3＞F2，故B、D正确，A、C错误。
【典例4】　D　以B端为研究对象，受力分析：受重物的拉力T（等于重物所受的重力G）、轻杆的弹力N和轻绳的拉力F，作出受力分析图如图所示。由平衡条件得知，N和F的合力与T大小相等，方向相反，根据三角形相似可得＝＝，又T＝G，解得N＝G，F＝G；拉力F将B端缓慢上拉，∠BAO缓慢变小，AB、AO长度保持不变，BO长度变小，则轻杆弹力N保持不变，拉力F变小，故D正确，A、B、C错误。
要点三
知识精研
【典例5】　 N≤F≤ N
解析：物体的受力情况如图所示，由平衡条件得
Fsin θ＋F1sin θ－mg＝0
Fcos θ－F2－F1cos θ＝0
由上述两式得
F＝－F1
F＝＋
令F1＝0，得F最大值Fmax＝＝ N
令F2＝0，得F最小值Fmin＝＝ N
综合得F的取值范围为 N≤F≤ N。
素养训练
1.B　以a、b为整体，整体受重力2mg、细线OA的拉力T及拉力F三个力而平衡，如图所示，三个力构成的矢量三角形中，当力F垂直于细线OA的拉力T时有最小值，且最小值F＝2mgsin θ＝mg，故B正确。
2.（1）mgsin 2θ　（2）mgsin 4θ
解析：木块在木楔斜面上匀速向下运动时，有mgsin θ＝μmgcos θ，即μ＝tan θ。
（1）木块在力F作用下沿斜面向上匀速运动时，有
Fcos α＝mgsin θ＋f
Fsin α＋N＝mgcos θ
f＝μN
解得F＝＝＝
则当α＝θ时，F有最小值，为Fmin＝mgsin 2θ。
（2）因为木块及木楔均处于平衡状态，整体受到地面的摩擦力等于F的水平分力，即f'＝Fcos（α＋θ）
当α＝θ时，F取最小值mgsin 2θ，
所以f'＝Fmincos 2θ＝mg·sin 2θ·cos 2θ＝mgsin 4θ。
【教学效果·勤检测】
1.C　A、B均静止，应用整体法，A、B整体水平方向所受外力大小相等、方向相反，故地面对B无摩擦力。以A为研究对象，水平方向必受大小与F相等、方向与F相反的静摩擦力，即B对A的摩擦力大小为1 N，故C正确。
2.A　对结点O进行受力分析，如图所示。
在悬点B沿竖直墙壁向下移动至BO水平过程中，绳AO受到的拉力一直增大，故选项A正确。
3.B　小球受竖直向下的重力mg和沿细线向上的拉力T以及拉力F，三力平衡，则力F必在mg和T夹角的对角范围内，即在图中的Ⅱ区域，当力F与T垂直时，F最小，最小值为Fmin＝mgsin θ，故选B。
4.AC　根据共点力平衡的条件得TAO＝mgsin 53°＝320 N，TBO＝mgsin 37°＝240 N，A正确，B错误；由于TAO＞TBO，故当AO绳的拉力达到720 N时，重物的质量最大，则sin 53°＝，得m＝90 kg，C正确，D错误。
5 / 5(共73张PPT)
习题课三　共点力平衡的综合问题
核心
素养
目标 物理
观念 理解整体法和隔离法在解决多物体平衡问题中的作用。
科学
思维 （1）掌握应用解析法、图解法、相似三角形法解决动
态平衡问题。
（2）学会处理共点力平衡中的临界问题和极值问题。
目 录
01.
核心要点·快突破
02.
教学效果·勤检测
03.
课时训练·提素能
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
01
要点一　多物体平衡问题
1. 问题界定： 一个平衡系统中涉及两个或两个以上的物体，即为多
物体的平衡问题。
2. 处理方法：整体法和隔离法
（1）如果不涉及系统内物体间的相互作用力，要优先采用整体
法，这样涉及的研究对象少，未知量少，方程少，求解简
便；
（2）如果涉及系统内物体间的相互作用力，则必须采用隔离法，
对有关物体单独分析。
【典例1】　如图所示，粗糙水平地面上放着一个截面为半圆的柱状
物体A，A与竖直墙之间放一光滑半圆球B，整个装置处于平衡状态。
已知A、B的质量分别为m和M，半圆球B与柱状物体A半径均为R，半
圆球B的球心到水平地面的竖直距离为R，重力加速度为g。求：
（1）地面对物体A的支持力大小；
答案：（M＋m）g　
解析：把A、B看成一个系统，对其运用整体法，该系统在竖直方向上受到竖直向下的重力（M＋m）g和地面的支持力N的作用，二力平衡，所以N＝（M＋m）g。
（2）地面对物体A的摩擦力。
答案：Mg，方向水平向左
解析：在水平方向上，该系统肯定受到竖直墙
水平向右的弹力的作用，那么一定也受到地面
水平向左的摩擦力，并且摩擦力的大小等于弹
力的大小；再选取半圆球B为研究对象，运用
隔离法，受力分析如图所示。
根据力的平衡条件可得
N1＝，N2＝Mgtan θ
半圆球B的球心到水平地面的竖直距离为R，由几何关系知θ＝45°
所以N2＝Mg
则地面对物体A的摩擦力大小为Mg，方向水平向左。
规律方法
整体法和隔离法的选择原则
（1）当分析系统所受外力时，可以采用整体法来分析外界对系统的
作用力。
（2）当分析系统内各物体间的相互作用时，一般采用隔离法且选择
受力较少的物体为研究对象。
（3）整体法的优点在于减少受力分析的个数，但不能分析内力；
隔离法的优点是对多个物体受力了解比较清楚，但计算时有
点麻烦。
1. 如图所示，水平地面上的L形木板M上放着小木块m，M与m间有一
个处于压缩状态的弹簧，整个装置处于静止状态。下列说法正确的
是（　　）
A. M对m的摩擦力方向向左
B. M对m无摩擦力作用
C. 地面对M的摩擦力方向向右
D. 地面对M无摩擦力作用
解析：　对m进行受力分析知，m受到重力、支持力、水平向左
的弹力，根据平衡条件知，还受M对m向右的摩擦力，摩擦力方向
向右，故A、B错误；对整体进行受力分析知，在竖直方向上受到
的重力和支持力平衡，若地面对M有摩擦力，则整体不能平衡，所
以地面对M无摩擦力作用，故C错误，D正确。
2. 如图所示，用完全相同的轻弹簧A、B、C将两个相同的小球连接并
悬挂，小球处于静止状态，弹簧A与竖直方向的夹角为30°，弹簧
C水平，则弹簧A、C的伸长量之比为（　　）
A. ∶4 B. 4∶ C. 1∶2 D. 2∶1
解析：　将两小球及弹簧B视为整体进行受力分析，
其受力示意图如图所示，有FC＝FAsin 30°，又FC＝
kxC，FA＝kxA，得＝＝＝2∶1，故A、B、C
错误，D正确。
要点二　动态平衡问题
1. 解析法
适用于求解直角三角形或正交分解类问题，列出三角函数表达式，
然后利用表达式分析力的变化情况的方法。
2. 图解法
对研究对象的任一状态进行受力分析，根据平行四边形定则或三角
形定则画出不同状态下的力的矢量图，然后根据有向线段的长度变
化判断各个力的变化情况。题型特点是：合力的大小和方向不变，
一个分力的方向不变。
3. 相似三角形法
适用于求解的是一般形状三角形问题，做法是在受力分析的基础上
作出力的平行四边形，由力三角形与几何三角形相似，求解问题。
【典例2】　（多选）灯笼是我国年俗文化的重要组成部分，无论旧
时还是现在，灯笼都能烘托出节日的喜庆氛围。如图所示，直角支架
固定在竖直面内，灯笼通过光滑轻质挂钩OA挂在轻质细绳上，细绳的
一端固定在支架水平部分的C点，另一端固定在支架竖直部分的B点，
系统处于平衡状态，此时细绳上的拉力大小为F1；当细绳的竖直固定
端点B下移少许，重新平衡时细绳上的拉力大小为F2；当细绳的水平
固定端点C右移少许，重新平衡时细绳上的拉力大小为F3；不计空气
对灯笼的影响，细绳的长度始终不变，则关于F1、F2、
F3的大小关系正确的是（　　）
A. F1＜F2 B. F1＝F2
C. F1＜F3 D. F1＞F3
解析：设绳长为L，因是光滑轻质挂钩，可知两边绳子的拉力相等，
设为F，绳子与竖直方向的夹角θ相等，则由共点力平衡条件可知
2Fcos θ＝mg，由几何关系LOCsin θ＋LOBsin θ＝d＝Lsin θ（d为C点到竖
直墙壁的距离），则当B点下移时，θ角不变，则F不变，即F1＝F2，
当细绳的水平固定端点C右移少许，则d减小，则θ角减小，cos θ变
大，则F减小，即F1＞F3，故选B、D。
【典例3】　（多选）如图所示，用与竖直方向成θ角（θ＜45°）的
倾斜轻绳a和轻绳b共同固定一个小球，这时绳b在水平位置1的拉力为
F1，现保持小球在原位置不动，使绳b在原竖直平面内，逆时针转过θ
角到位置2固定，绳b的拉力变为F2，再转过θ角到位置3固定，绳b的
拉力变为F3，则（　　）
A. F1＝F2 B. F1＝F3
C. F2＞F3 D. F2＜F3
解析：对小球受力分析，受到重力和两个拉力作
用，三力平衡，如图所示，通过几何关系可知，力
F2垂直于轻绳，所以有F1＝F3＞F2，故B、D正确，
A、C错误。
【典例4】　如图所示，轻杆A端用铰链固定在墙上，B端吊一重物。
通过轻绳跨过定滑轮O用拉力F将B端缓慢上拉，滑轮O在A点正上方
（滑轮大小及摩擦均不计），且OA＞AB，在轻杆达到竖直位置前
（　　）
A. 拉力F增大
B. 拉力F大小不变
C. 轻杆的弹力增大
D. 轻杆的弹力大小不变
解析：以B端为研究对象，受力分析：受重物的拉
力T（等于重物所受的重力G）、轻杆的弹力N和轻
绳的拉力F，作出受力分析图如图所示。
由平衡条件得知，N和F的合力与T大小相等，方向
相反，根据三角形相似可得＝＝，又T＝G，解得N＝G，F＝G；拉力F将B端缓慢上拉，∠BAO缓慢变小，AB、AO长度保持不变，BO长度变小，则轻杆弹力N保持不变，拉力F变小，故D正确，A、B、C错误。
要点三　平衡中的临界、极值问题
1. 临界问题
（1）问题界定：物体所处平衡状态将要发生变化的状态为临界状
态，涉及临界状态的问题为临界问题。
（2）问题特点
①当某物理量发生变化时，会引起其他几个物理量的变化。
②注意某现象“恰好出现”或“恰好不出现”的条件。
（3）处理方法：基本方法是假设推理法，即先假设某种情况成
立，然后根据平衡条件及有关知识进行论证、求解。
2. 极值问题
（1）问题界定：物体平衡的极值问题，一般指在力的变化过程中
涉及力的最大值和最小值的问题。
（2）处理方法
①解析法：根据物体的平衡条件列出方程，在解方程时，采
用数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值。
②图解法：根据物体的平衡条件作出力的矢量图，画出平
行四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最
小值。
【典例5】　
物体的质量为2 kg，两根轻绳AB和AC的一端连接于竖直墙上（B、C
在同一竖直线上），另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与
水平线成θ＝60°角的拉力F，若要使两绳都能伸直，如图所示，伸直
时AC与墙面垂直，绳AB与绳AC间夹角也为θ＝60°，求拉力F的大小
范围（g取10 m/s2）。
答案： N≤F≤ N
解析：物体的受力情况如图所示，由平衡条件得
Fsin θ＋F1sin θ－mg＝0
Fcos θ－F2－F1cos θ＝0
由上述两式得
F＝－F1
F＝＋
令F1＝0，得F最大值Fmax＝＝ N
令F2＝0，得F最小值Fmin＝＝ N
综合得F的取值范围为 N≤F≤ N。
规律方法
临界与极值问题的分析技巧
（1）求解平衡中的临界问题和极值问题时，首先要正确地进行受力
分析和变化过程分析，找出平衡中的临界点和极值点。
（2）临界条件必须在变化中寻找，不能停留在一个状态来研究临界
问题，而是要把某个物理量推向极端，即极大或极小，并依此
作出科学的推理分析，从而给出判断或结论。
1. 将两个质量均为m的小球a、b用细线相连后，再用细线悬挂于O
点，如图所示。用力F拉小球b，使两个小球都处于静止状态，且细
线OA与竖直方向的夹角保持θ＝30°，重力加速度为g，则F的最小
值为（　　）
A. mg B. mg
C. mg D. mg
解析：　以a、b为整体，整体受重力2mg、细线OA的
拉力T及拉力F三个力而平衡，如图所示，三个力构成
的矢量三角形中，当力F垂直于细线OA的拉力T时有最
小值，且最小值F＝2mgsin θ＝mg，故B正确。
2. 质量为M的木楔倾角为θ，在水平面上保持静止，当将一质量为m的
木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑。如果用与木楔斜面成α
角的力F拉着木块匀速上升，如图所示（已知木楔在整个过程中始
终静止）。
（1）当α＝θ时，拉力F有最小值，求此最小值；
答案：mgsin 2θ　
解析：木块在木楔斜面上匀速向下运动时，有
mgsin θ＝μmgcos θ，即μ＝tan θ。
木块在力F作用下沿斜面向上匀速运动时，有
Fcos α＝mgsin θ＋f
Fsin α＋N＝mgcos θ
f＝μN
解得F＝＝＝
则当α＝θ时，F有最小值，为Fmin＝mgsin 2θ。
（2）当α＝θ时，木楔对水平面的摩擦力是多大？
答案：mgsin 4θ
解析：因为木块及木楔均处于平衡状态，整体受到地面的摩擦
力等于F的水平分力，
即f'＝Fcos（α＋θ）
当α＝θ时，F取最小值mgsin 2θ，
所以f'＝Fmincos 2θ＝mg·sin 2θ·cos 2θ＝mgsin 4θ。
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
02
1. 如图所示，A、B两物体重力都等于10 N，各接触面间的动摩擦因
数都等于0.3，同时有F＝1 N的两个水平力分别作用在A和B上，A
和B均静止，则地面对B和B对A的摩擦力大小分别为（　　）
A. 6 N，3 N B. 1 N，1 N
C. 0，1 N D. 0，2 N
解析：　A、B均静止，应用整体法，A、B整体水平方向所受外力
大小相等、方向相反，故地面对B无摩擦力。以A为研究对象，水
平方向必受大小与F相等、方向与F相反的静摩擦力，即B对A的摩
擦力大小为1 N，故C正确。
2. 如图所示，两根细绳AO和BO连接于O点，O点的下方用细绳CO悬
挂一花盆并处于静止状态。在保持O点位置不动的情况下，调整细
绳BO的长度使悬点B在竖直墙壁上缓慢向下移动至BO水平，此过
程中绳AO受到的拉力（　　）
A. 逐渐增大 B. 逐渐减小
C. 先增大后减小 D. 先减小后增大
解析：　对结点O进行受力分析，如图所示。
在悬点B沿竖直墙壁向下移动至BO水平过程
中，绳AO受到的拉力一直增大，故选项A正确。
3. 一根细线上端固定，下端系着一个质量为m的小球。给小球施加拉
力F，使小球平衡后细线跟竖直方向的夹角为θ，如图所示。重力加
速度为g。则拉力F（　　）
A. 方向可能在图中Ⅰ区域内
B. 方向可能在图中Ⅱ区域内
C. 最小值为mgcos θ
D. 最小值为mgtan θ
解析：　小球受竖直向下的重力mg和沿细线向上的拉力T以及
拉力F，三力平衡，则力F必在mg和T夹角的对角范围内，即在
图中的Ⅱ区域，当力F与T垂直时，F最小，最小值为Fmin＝mgsin
θ，故选B。
4. （多选）如图所示，AO绳和BO绳是两根最大承受力均为720 N的绳
子，现用这两根绳子吊起一重物，O为结点，已知重物的质量m＝
40 kg，AO绳的拉力记为TAO，BO绳的拉力记为TBO，重力加速度g
取10 m/s2，则下列说法中正确的是（　　）
A. TAO＝320 N，TBO＝240 N
B. TAO＝240 N，TBO＝320 N
C. 为确保绳子不被拉断，O点下方悬挂的重物质量不能超过90 kg
D. 为确保绳子不被拉断，O点下方悬挂的重物质量不能超过120 kg
解析： 　根据共点力平衡的条件得TAO＝mgsin 53°＝320 N，
TBO＝mgsin 37°＝240 N，A正确，B错误；由于TAO＞TBO，故当AO
绳的拉力达到720 N时，重物的质量最大，则sin 53°＝，得m
＝90 kg，C正确，D错误。
03
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
1. 鞠躬，即弯腰行礼，是表示对他人敬重的一种礼节，也是我国传统
的礼仪之一。如图甲所示，鞠躬时人上身前倾一定角度，全身保持
平衡，可简化为如图乙所示，若头的重力为G、颈椎对头的支持力
为F1、颈部肌肉的拉力为F2。则下列关于人头部的受力示意图可能
正确的是（　　）
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解析： 　由共点力平衡的条件可知，三个共点力平衡，任意两个
力的合力需与第三个力等大反向。根据平行四边形定则可知，A、
B、D三个选项中任意两个力的合力均不能与第三个力等大反向，
只有C选项可能满足三力平衡的条件。故选C。
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2. 如图所示，一根轻绳的上端固定在O点，下端拴一个重力为G的小
球，现对小球施加一个方向和大小都变化的力F，使小球与竖直方
向的夹角为30°，保持小球的位置不变，则力F的最小值是
（　　）
A. B.
C. D. G
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解析： 　轻绳对小球的拉力和力F的合力与小球的重力是一对平
衡力，为一定值，由此可知，当力F与轻绳的拉力垂直时，力F最
小，此时F＝，A正确。
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3. 如图所示，光滑的四分之一圆弧轨道AB固定在竖直平面内，A端与
水平面相切。穿在轨道上的小球在拉力F的作用下，缓慢地由A向B
运动，F始终沿轨道的切线方向，轨道对球的弹力为N。在运动过
程中（　　）
A. F增大，N增大 B. F减小，N减小
C. F增大，N减小 D. F减小，N增大
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解析： 　对小球的受力分析如图所示。F与N方向
垂直。小球缓慢地由A向B运动，可知小球处于平衡
状态，所受合力为零。F与N的合力与小球所受重力
等大、反向。由几何知识得F＝mgsin θ，N＝mgcos
θ。在小球运动过程中，θ角增大，可得F增大，N减
小，选项C正确。
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4. 如图所示，质量为m的氢气球通过细绳与地面上一块质量为M的砖
块绑在一起，氢气球由于受风力作用而使拉住它的细绳与地面的夹
角为θ，两物体始终处于静止状态，当氢气球受到的水平风力增大
时（　　）
A. 地面对砖块的压力变大
B. 地面对砖块的支持力变小
C. 砖块受到地面的摩擦力变大
D. 绳子对氢气球的拉力大小不变
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解析： 　以砖块、氢气球和细绳组成的整
体为研究对象，水平方向的风力不影响竖直
方向的受力情况，所以当风力增大时，地面
对砖块的支持力不变，故A、B错误；以砖
块、氢气球和细绳组成的整体为研究对象，
根据水平方向受力平衡可得砖块受到地面的
摩擦力与风力等大反向，风力增大，则砖块受到地面的摩擦力变大，故C正确；对氢气球进行受力分析，受重力、浮力、细绳的拉
力和水平风力，如图所示，竖直方向，根据平衡条件，有Tsin θ＋mg＝F浮，解得T＝，风力F增大时，θ减小，浮力和重力
不变、则绳子对氢气球的拉力T增大，故D错误。
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5. 如图所示，三根长度均为L的轻绳分别连接于C、D两点，A、B两
端被悬挂在水平天花板上，相距2L，现在C点上悬挂一个质量为m
的重物，为使CD绳保持水平，在D点上可施加力的最小值为
（　　）
A. mg B. mg
C. mg D. mg
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解析： 　由题图可知，要想CD水平，各绳均
应绷紧，则由几何知识知AC与水平方向的夹
角为60°；结点C点受力平衡，受力分析如图
所示，则CD绳的拉力T＝mgtan 30°＝mg；
D点受CD绳子的拉力大小等于T，方向向左；要使CD水平，D点所受两绳的拉力与外界对D点的力的合力为零，则CD绳子对D点的拉力可分解为沿BD绳的分力F1及另一分力F2，由几何关系可知，当力F2与BD垂直时，F2最小，而F2的大小即为施加在D点的力的大小，
故最小力F＝F2＝Tsin 60°＝mg，故C正确。
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6. 如图所示，上表面为四分之一光滑圆弧的物体A静止在粗糙的水平
地面上，一小物块B从圆弧底端受到水平外力F的作用缓慢沿圆弧
向上移动一小段距离，在此过程中，A始终处于静止状态。下列说
法正确的是（　　）
A. 水平外力F保持不变
B. 地面对A的摩擦力逐渐增大
C. A对B的支持力逐渐减小
D. 地面对A的支持力逐渐减小
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解析： 　对小物块B进行受力分析，它受到支持力
N、水平外力F与重力mg，如图所示，设物块B所在
处切线与水平方向夹角为θ，因它处于平衡状态，水
平外力F＝mgtan θ，物体A对小物块B的支持力N＝
；在物块B缓慢沿圆弧向上移动一小段距离的过程中，θ增大，则水平外力F增大，故选项A错误；A、B整体水平方向受力平衡，可得地面对物体A的摩擦力f＝F，所以地面对物体A的摩擦力逐渐增大，故选项B正确；物块B缓慢沿圆弧向上移动一小段距离的过程中，θ增大，cos θ减小，物体A对小物块B的支持力逐渐增大，故选项C错误；把A、B看成一个整体，根据其在竖直方向受力平衡可得地面对物体A的支持力不变，故选项D错误。
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7. 如图所示，斜面上和与斜面垂直的挡板上各有一个压力传感器A、
B，斜面倾角可调，铁球静止在传感器A、B上，从图示位置缓慢减
小斜面的倾角θ，下列说法正确的是（　　）
A. A的示数不变，B的示数减小
B. A的示数减小，B的示数不变
C. A的示数增大，B的示数减小
D. A的示数减小，B的示数增大
解析： 　压力传感器A的读数为FA＝mgcos θ，压力传感器B的读数
为FB＝mgsin θ，则当θ减小时，FA增大，FB减小。故选C。
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8. 如图所示，A、B为同一水平线上的两个绕绳装置，转动A、B改变
绳的长度，使光滑挂钩下的重物C缓慢竖直下降。关于此过程中绳
上拉力大小的变化，下列说法中正确的是（　　）
A. 不变 B. 逐渐减小
C. 逐渐增大 D. 先增大后减小
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解析： 　重物C受三个力，重力和两个拉力，两个拉力的合力
与重力平衡，根据共点力平衡条件可知两个拉力合力的大小等
于重物C的重力大小，且为定值，重物C缓慢下降的过程中，两
根绳子之间的夹角不断减小，根据平行四边形定则可知拉力不
断减小，故选B。
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9. （多选）如图所示，质量为m的物体通过定滑轮牵引粗糙水平面上
的物体沿斜面匀速下滑，此过程中斜面体始终静止，斜面体的质量
为M，重力加速度为g，则水平地面对斜面体（　　）
A. 支持力为（M＋m）g B. 没有摩擦力
C. 支持力小于（M＋m）g D. 有水平向右的摩擦力
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解析： 　设绳子上的拉力为T，选斜面体与质量为
m的物体组成的整体为研究对象，受力分析如图所
示，由平衡条件可以判断，斜面体必受到沿水平面向
右的摩擦力；斜面体的倾角为θ，则N＋Tsin θ＝（M
＋m）g，所以N小于（M＋m）g，故C、D正确，A、
B错误。
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10. （多选）如图所示，轻绳OA、轻杆OB的O端与质量为m的小球拴
接在一起，轻杆的B端通过铰链连接在竖直墙面上，小球处于静止
状态，且OA＝OB，OB与竖直方向的夹角为60°，重力加速度为
g，则（　　）
A. 轻绳OA受到的拉力大小为mg
B. 轻杆OB受到的弹力大小为mg
C. 若将A点缓慢向下移动一小段距离，则轻绳OA受到的拉力将变大
D. 若将A点缓慢向下移动一小段距离，则轻绳OA受到的拉力将变小
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解析： 　对小球进行受力分析，力的矢量
三角形如图所示。由几何关系可知TOA＝TOB＝
mg，故A正确，B错误；若将A点向下移动一小
段距离，OB与竖直方向所成的夹角将增大，
则由小球受力分析图可知轻绳OA受到拉力变
大，故C正确，D错误。
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11. 如图所示，弯折杆PRQ固定在竖直面内，PR水平，QR与PR间的
夹角为60°，B球套在杆QR上，一根细线连接A、B两球，另一根
细线连接小球A与杆PR上的O点，连接在O点的细线与水平方向的
夹角为60°，连接A、B两球的细线与QR杆垂直，B球刚好不下滑。已知A球质量为2m，B球质量为m，两小球均可视为质点，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则小球B与杆RQ间的动摩擦因数为（　　）
A. B.
C. D.
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解析： 　设连接O点的细线拉力为F1，连接小球
B的细线拉力为F2，以A球为研究对象，受力分析
如图所示，有F1cos 30°＝2mg＋F2cos 60°，F1sin
30°＝F2sin 60°，解得F2＝2mg，以B球为研究对
象有mgsin 60°＝μ（F2－mgcos 60°），解得μ＝
，故选B。
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12. （多选）如图所示，竖直面光滑的墙角有一个质量为m、半径为r
的均匀半球体物块A，现在A上放一密度和半径与A相同的球体B，
调整A的位置使得A、B保持静止状态，已知A与地面间的动摩擦因
数为0.5，则A球球心距墙角的距离可能是（已知最大静摩擦力等
于滑动摩擦力）（　　）
A. B. 2r
C. D.
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解析： 　根据题意可知，B球的质量为2m，
A、B处于静止状态，受力平衡，则地面对A的支
持力为NA＝3mg；当地面对A的摩擦力达到最大
静摩擦力时，A球球心距墙角的距离最远，对
A、B分别进行受力分析，如图所示，根据平衡
条件有F'sin θ＝2mg，F cos θ＝f＝μ·3mg，而F＝F'，解得tan θ＝，则A球球心距墙角的最远距离为xmax＝2rcos θ＋r＝r，所以A球球心距墙角的距离满足r≤x≤r，故A、B正确。
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13. 如图所示，轻杆一端固定一个轻滑轮，另一端嵌入竖直的墙中。
一根轻绳一端连接一个物体，另一端通过滑轮固定在墙上的某一
个位置P，把绳子端点P沿墙面向O点缓慢移动，轻杆位置不变，
忽略绳子与滑轮的摩擦力，关于轻绳的拉力大小和绳对滑轮作用
力的说法正确的是（　　）
A. 轻绳的拉力变大
B. 绳对滑轮的压力变大
C. 绳对滑轮的压力大小始终不变
D. 绳对滑轮的压力方向始终沿杆指向墙里
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解析： 　由于同一根绳子的张力处处相等，故轻绳的拉力一定
等于物体的重力G保持不变，故A错误；根据平行四边形定则，两
边轻绳的拉力相等，故合力在角平分线上，由于两拉力的夹角不
断减小，故两个拉力的合力不断变大，故滑轮受到的压力不断变
大，故B正确，C错误。根据前面分析可知，两个拉力的合力在角
平分线上，随着两拉力的夹角不断改变，合力方向不断改变，故
绳对滑轮的压力方向不可能始终沿杆指向墙里，故D错误。
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14. 在竖直墙壁的左侧水平地面上，放置一个棱长为a、质量为M的正
方体，在墙壁和正方体之间放置一半径为R、质量为m的光滑球，
正方体和球均保持静止，如图所示。球的球心为O，OB与竖直方
向的夹角为θ，正方体的棱长a＞R，正方体与水平地面间的动摩擦
因数为μ＝。设最大静摩擦力等于
滑动摩擦力，重力加速度大小为g。
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（1）正方体和墙壁对球的支持力N1、N2分别是多大？
答案：　mgtan θ
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解析：球受力情况如图所示，根
据平衡条件知
N1cos θ＝mg ①
N1sin θ＝N2 ②
解得N1＝ ③
N2＝mgtan θ。 ④
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（2）若θ＝45°，保持球的半径不变，只增大球的质量，为了不
让正方体出现滑动，则球质量的最大值为多少？
答案： M
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解析：对正方体和球整体进行受力分析如图所
示，根据平衡条件知
N3＝（M＋m）g ⑤
N2＝f ⑥
且有f≤μN3 ⑦
联立⑤⑥⑦解得m≤M ⑧
即球质量的最大值为M。
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