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第三章 圆锥曲线的方程学案 知识清单+例题精析
3.1 椭圆
3.1.1 椭圆及其标准方程
1.圆锥曲线的定义：用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线.我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.
2.椭圆的定义：平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
注意点：（1）椭圆上的点到两焦点距离之和为定值；
（2）定值必须大于两定点的距离；
（3）当距离的和等于F1F2时，点的轨迹是线段；
（4）当距离的和小于F1F2时，点的轨迹不存在．
3.椭圆的标准方程
焦点位置 在x轴上 在y轴上
标准方程
图象
焦点坐标 , ,
a，b，c的关系 a2＝b2＋c2
注意点：（1）焦点位置由a2，b2的大小确定，焦点在大的参数对应的坐标轴上；
（2）表示椭圆的充要条件为：．
4.椭圆方程的设法
求椭圆方程时，如果明确椭圆的焦点在x轴上，那么设所求的椭圆方程为：；
如果明确椭圆的焦点在y轴上，那么设所求的椭圆方程为：；
如果中心在原点，但焦点的位置不能明确是在x轴上，还是在y轴上，那么方程可以设为：mx2＋ny2＝1（m>0，n>0，m≠n）．
3.1.2 椭圆的简单几何性质
椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图象
标准方程
范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a
对称性 对称轴为坐标轴，对称中心（也叫椭圆的中心）为原点
顶点 ,,
, ,,
,
离心率
轴长 长轴，短轴
焦点 , ,
焦距
2.离心率
（1）定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率．
（2）性质：离心率e的范围是（0，1）．当e越接近于1时，椭圆越扁；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆．
注意点：（1）椭圆的焦点一定在它的长轴上．
（2）椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点．
（3）椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c．
3.直线与椭圆的位置关系
（1）直线与椭圆的位置关系：
联立消去y得一个关于x的一元二次方程．
直线与椭圆的位置关系 相交 相切 相离
直线与椭圆公共点个数 两个 一个 无
方程解的个数 两解 一解 无解
的取值 >0 =0 <0
注意点：设直线方程时，容易忽略斜率不存在的情况．
（2）解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：
①得出直线方程，设交点为，；
②联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程；
③写出根与系数的关系；
④将所求问题或题中关系转化为关于，的形式；
⑤代入求解．
备选例题A组 基础巩固
【例题1】设F1,F2分别为椭圆C:+=1的两个焦点，过F1 且不与坐标轴重合的直线l交椭圆C于A,B两点，则△ABF2 的周长为( )
A.4 B.8 C.12 D.16
【答案】A
【解析】如图，不妨设F为左焦点，F1为右焦点，连接PF1.∵N为PF的中点，且|ON|=2 ，
∴|PF1|=4.由椭圆方程可知，2a=6，根据椭圆定义有|PF|+|PF1|=2a=6，∴|PF|=2 .故选A.
【例题2】已知椭圆的方程为，则该椭圆的（ ）
A．长轴长为2 B．短轴长为 C．焦距为1 D．离心率为
【详解】由椭圆的方程可知：焦点在轴上，
即，则.
所以长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为.
故选：D
【例题3】过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（ ）
A． B． C． D．
【详解】由化简可得，焦点为在轴上，
同时又过点，设，有，解得，
故选：C
【例题4】已知椭圆，则不随参数的变化而变化的是（ ）
A．顶点坐标 B．离心率 C．焦距 D．长轴长
【详解】椭圆中，长半轴长，短半轴长，半焦距，显然顶点坐标随的变化而变化，离心率随的变化而变化，长轴长随的变化而变化，ABD不是；焦距不随的变化而变化，C是.
故选：C
【例题5 多选】椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值不为（ ）
A． B． C．2 D．4
【详解】椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，
，解得．
故选：BCD．
【例题6】已知圆，圆，若圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】圆的方程可化为，则圆心为，半径；
圆的方程可化为，则圆心为，半径.
圆与圆有公共点，，，
解得. 故选：C
【例题7】虢仲盨，青铜器，西周文物.该文物的腹部横截面的形状是一个长轴长为厘米，短轴长为厘米的椭圆，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【详解】由已知可得，，即，，
所以离心率，
故选：C
【例题8 多选】椭圆的左，右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使，则椭圆离心率的取值范围错误的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】设椭圆的上顶点为，连接、，则，，
椭圆上存在点，使得，则需，
则，显然，所以，
所以，所以，又，
所以，即椭圆离心率的取值范围为．
故选：ABC．
备选例题B组 能力提升
【例题1】倾斜角为的直线经过椭圆右焦点，与椭圆交于、两点，且，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设到右准线距离为，则，因为，则，所以 到右准线距离为，从而 倾斜角为，，选B.
【例题2】已知离心率为的椭圆内有个内接三角形，为坐标原点，边的中点分别为，直线的斜率分别为，且均不为0，若直线斜率之和为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得，所以不妨设为.
设，，，，，，，
两式作差得，
则，，
同理可得，
所以，
故选：．
【例题3】中心为原点，一个焦点为F（0,5）的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知得c＝5，设椭圆的方程为，联立得，
消去y得（10a2－450）x2－12（a2－50）x＋4（a2－50）－a2（a2－50）＝0，
设直线y＝3x－2与椭圆的交点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
由根与系数关系得x1＋x2＝，
由题意知x1＋x2＝1，即＝1，
解得a2＝75，所以该椭圆方程为.
故选：C
【例题4 多选】椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，连接原点与线段MN中点所得直线的斜率为，则的值不是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】由得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，所以y1＋y2＝，
所以线段MN的中点为P，.
由题意知，kOP＝，所以．
故选：BCD.第三章 圆锥曲线的方程学案 知识清单+例题精析 原卷版
3.1 椭圆
3.1.1 椭圆及其标准方程
1.圆锥曲线的定义：用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线.我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.
2.椭圆的定义：平面内到两个定点F1，F2的距离的 等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 ．
注意点：（1）椭圆上的点到两焦点距离之和为定值；
（2）定值必须大于两定点的距离；
（3）当距离的和等于F1F2时，点的轨迹是线段；
（4）当距离的和小于F1F2时，点的轨迹不存在．
3.椭圆的标准方程
焦点位置 在x轴上 在y轴上
标准方程
图象
焦点坐标 , ,
a，b，c的关系
注意点：（1）焦点位置由a2，b2的大小确定，焦点在大的参数对应的坐标轴上；
（2）表示椭圆的充要条件为：．
4.椭圆方程的设法
求椭圆方程时，如果明确椭圆的焦点在x轴上，那么设所求的椭圆方程为：；
如果明确椭圆的焦点在y轴上，那么设所求的椭圆方程为：；
如果中心在原点，但焦点的位置不能明确是在x轴上，还是在y轴上，那么方程可以设为：mx2＋ny2＝1（m>0，n>0，m≠n）．
3.1.2 椭圆的简单几何性质
椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图象
标准方程
范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a
对称性 对称轴为坐标轴，对称中心（也叫椭圆的中心）为原点
顶点
离心率
轴长 长轴，短轴
焦点 , ,
焦距
2.离心率
（1）定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率．
（2）性质：离心率e的范围是（0，1）．当e越接近于1时，椭圆越扁；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆．
注意点：（1）椭圆的焦点一定在它的长轴上．
（2）椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点．
（3）椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c．
3.直线与椭圆的位置关系
（1）直线与椭圆的位置关系：
联立消去y得一个关于x的一元二次方程．
直线与椭圆的位置关系 相交 相切 相离
直线与椭圆公共点个数
方程解的个数 两解 一解 无解
的取值 >0 =0 <0
注意点：设直线方程时，容易忽略斜率不存在的情况．
（2）解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：
①得出直线方程，设交点为，；
②联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程；
③写出根与系数的关系；
④将所求问题或题中关系转化为关于，的形式；
⑤代入求解．
备选例题A组 基础巩固
【例题1】设F1,F2分别为椭圆C:+=1的两个焦点，过F1 且不与坐标轴重合的直线l交椭圆C于A,B两点，则△ABF2 的周长为( )
A.4 B.8 C.12 D.16
【例题2】已知椭圆的方程为，则该椭圆的（ ）
A．长轴长为2 B．短轴长为 C．焦距为1 D．离心率为
【例题3】过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（ ）
A． B． C． D．
【例题4】已知椭圆，则不随参数的变化而变化的是（ ）
A．顶点坐标 B．离心率 C．焦距 D．长轴长
【例题5 多选】椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值不为（ ）
A． B． C．2 D．4
【例题6】已知圆，圆，若圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【例题7】虢仲盨，青铜器，西周文物.该文物的腹部横截面的形状是一个长轴长为厘米，短轴长为厘米的椭圆，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【例题8 多选】椭圆的左，右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使，则椭圆离心率的取值范围错误的是（ ）
A． B． C． D．
备选例题B组 能力提升
【例题1】倾斜角为的直线经过椭圆右焦点，与椭圆交于、两点，且，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【例题2】已知离心率为的椭圆内有个内接三角形，为坐标原点，边的中点分别为，直线的斜率分别为，且均不为0，若直线斜率之和为，则（ ）
A． B． C． D．
【例题3】中心为原点，一个焦点为F（0,5）的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆方程为（ ）
A． B． C． D．
【例题4 多选】椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，连接原点与线段MN中点所得直线的斜率为，则的值不是（ ）
A． B．
C． D．

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