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第3节　空间直线、平面的平行
[学习目标]
1.以立体几何的定义、基本事实和定理为出发点,通过直观感知、操作确认、思辨论证,认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定.2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.
1.直线与平面平行的判定定理和性质定理
定理 文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行(线线平行 线面平行) 因为l∥a, a α,l α, 所以l∥α
性质 定理 一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行(线面平行 线线平行) 因为l∥α, l β,α∩β=b, 所以l∥b
(1)直线l与平面α平行,则直线l与平面α内的任意直线平行或异面.
(2)线面平行强调的是平面外的直线与平面内的直线的平行关系.
2.平面与平面平行的判定定理和性质定理
定理 文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行(线面平行 面面平行) 因为a∥β,b∥β, a∩b=P,a α,b α, 所以α∥β
性质 定理 两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行(面面平行 线线平行) 因为α∥β,α∩γ=a, β∩γ=b, 所以a∥b
(1)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.
(2)判定定理的推论:一个平面内的两条相交直线与另一平面内的两条相交直线分别对应平行,那么这两个平面平行.
1.平行间的三种转化关系.
2.平行关系中的三个重要结论.
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α,a⊥β,则α∥β.
(2)平行于同一平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.
(3)垂直于同一个平面的两条直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b.
3.平行问题中的唯一性.
(1)过直线外一点与该直线平行的直线有且只有一条.
(2)过平面外一点,与该平面平行的平面有且只有一个.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)若一条直线平行于一个平面内的两条直线,则这条直线平行于这个平面.(　　)
(2)直线a∥直线b,那么过直线b且平行于直线a的平面只有一个.(　　)
(3)若直线a 平面α,直线b 平面β,a∥b,则α∥β.(　　)
(4)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线也相互平行.(　　)
【答案】 (1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2.(人教A版必修第二册P143习题8.5 T1改编)如果直线 a∥平面α,那么直线a(　　)
A.仅与平面α内的一条直线不相交
B.仅与平面α内的两条直线不相交　
C.与平面α内的无数条直线不相交　
D.与平面α内的任意一条直线都不相交
【答案】 D
【解析】 因为直线a∥平面α,直线a与平面α无公共点,因此直线a与平面α内的任意一条直线都不相交.故选D.
3.(人教A版必修第二册P138例3改编)如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为　　　　　　.
【答案】 平行四边形
【解析】 因为平面ABFE∥平面DCGH,又平面EFGH∩平面DCGH=HG,且平面EFGH∩平面ABFE=EF,所以EF∥HG,同理EH∥FG,所以四边形EFGH是平行四边形.
4.(人教A版必修第二册P144习题8.5 T12改编)在三棱锥ABCD中,AB=CD=1,过线段BC的中点E作平面EFGH与直线AB,CD都平行,且分别交BD,AD,AC于点F,G,H,则四边形EFGH的周长为　　　　.
【答案】 2
【解析】 如图,因为AB∥平面EFGH,AB 平面ABC,
平面ABC∩平面EFGH=EH,
所以AB∥EH,
又点E为BC的中点,
所以EH为△ABC的中位线,
故EH=AB=.同理,EF=FG=GH=,
所以四边形EFGH的周长为2.
考点一　直线、平面平行的基本问题
[例1] (2025·河北邢台模拟)已知两条不同的直线a,b和平面α,下列命题中真命题的个数是(　　)
(1)若a∥α,b∥α,则a∥b　
(2)若a∥b,b∥α,则a∥α　
(3)若a⊥α,b⊥α,则a∥b　
(4)若a⊥b,b⊥α,则a∥α
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】 A
【解析】 由两条不同的直线a,b及平面α知,对于(1),若a∥α,b∥α,则a与b相交、平行或异面,故错误;对于(2),若a∥b,b∥α,则a∥α或a α,故错误;对于(3),若a⊥α,b⊥α,则由线面垂直的性质得a∥b,故正确;对于(4),若a⊥b,b⊥α,则 a∥α 或a α,故错误.故选A.
解决有关线面平行、面面平行的
基本问题的注意点
(1)判定定理与性质定理中易忽视的条件,如线面平行的判定定理中,条件“线在面外”易忽视.
(2)结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断.
(3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.
[针对训练]
(2025·河南洛阳模拟)已知m,n为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,下列命题为真命题的是(　　)
A.若m α,n α,m∥β,n∥β,则α∥β
B.若m∥α,n α,则m∥n
C.若m∥n,m α,n α,则m∥α　
D.若m⊥n,m⊥α,α∥β,则n∥β
【答案】 C
【解析】 由m α,n α,m∥β,n∥β,可知α,β可能平行或相交,A错误;由m∥α,n α,可知m,n可能平行或异面,B错误;由m∥n,m α,n α,可知m∥α,C正确;由m⊥n,m⊥α,α∥β,可得n β或n∥β,D错误.故选C.
考点二　直线与平面平行的判定与性质
[例2] 如图,已知四棱锥 SABCD 中,底面ABCD是平行四边形.
(1)若E为侧棱SC的中点.求证:SA∥平面EDB;
(2)若过A,B,E的平面与SD交于点F,求证:EF∥CD.
【证明】 (1)如图,连接AC,设AC∩BD=O,连接EO,因为四边形ABCD是平行四边形,故AO=OC,
又E为侧棱SC的中点,故 SA∥EO.又SA 平面EDB,EO 平面EDB,故SA∥平面EDB.
(2)由于CD∥AB,CD 平面ABEF,AB 平面ABEF,故CD∥平面ABEF.
又CD 平面SCD,平面SCD∩平面ABEF=EF,故EF∥CD.
(1)判断或证明线面平行的常用方法.
①利用线面平行的定义(无公共点);
②利用线面平行的判定定理(a α,b α,a∥b a∥α);
③利用面面平行的性质(α∥β,a α a∥β);
④利用面面平行的性质(α∥β,a β,a∥α a∥β).
(2)在与中点有关的平行问题中,常考虑中位线定理.
(3)应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置,有时需要利用已知直线作辅助平面来确定交线.
[针对训练]　
如图所示,四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面,且截面EFGH为平行四边形.求证:AB∥平面EFGH.
【证明】 因为四边形EFGH为平行四边形,所以EF∥HG,HG 平面ABD,EF 平面ABD,
所以EF∥平面ABD.因为EF 平面ABC,平面ABD∩平面ABC=AB,所以EF∥AB,又EF 平面EFGH,AB 平面EFGH,所以AB∥平面EFGH.
考点三　平面与平面平行的判定与性质
[例3] 如图,在六面体ABCDEF中,DE∥CF,四边形ABCD是平行四边形,DE=2CF.
(1)证明:平面AED∥平面BCF;
(2)若G是棱BC的中点,证明:AE∥FG.
[溯源探本] 本例源于人教A版必修第二册P140例4.
【证明】 (1)由 ABCD,得BC∥AD,而AD 平面AED,BC 平面AED,则BC∥平面AED,
由DE∥CF,CF 平面AED,DE 平面AED,得CF∥平面AED,
又BC∩CF=C,BC,CF 平面BCF,所以平面AED∥平面BCF.
(2)如图,延长EF,AG与DC的延长线分别交于点O1,O2,
由DE∥CF,DE=2CF,得CO1=CD,由BC∥AD,G是棱BC的中点,得CO2=CD,
因此点O1,O2重合,记为O,显然平面AOE∩平面AED=AE,平面AOE∩平面BCF=FG,
由(1)知,平面AED∥平面BCF,所以AE∥FG.
(1)判断、证明面面平行的方法.
①面面平行的定义;
②面面平行的判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行;
③垂直于同一条直线的两个平面平行;
④如果两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行;
⑤利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化.
(2)面面平行性质的应用.
①两平面平行,构造与之相交的第三个平面,可得交线平行;
②两平面平行,其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行,可用于证明线面平行.
[针对训练]
　如图,已知四棱锥PABCD,底面ABCD为矩形,E,F,G分别是PC,PD,BC的中点.
证明:(1)平面EFG∥平面PAB;
(2)AP∥平面EFG.
【证明】 (1)因为E,F,G分别是PC,PD,BC的中点,所以EF∥CD,EG∥PB,
又因为底面ABCD为矩形,所以AB∥CD,所以EF∥AB,又EF 平面PAB,AB 平面PAB,
所以EF∥平面PAB.又因为EG 平面PAB,PB 平面PAB,所以EG∥平面PAB.
因为EF∩EG=E,EF,EG 平面EFG,所以平面EFG∥平面PAB.
(2)因为AP 平面PAB,平面EFG∥平面PAB,所以AP∥平面EFG.第3节　空间直线、平面的平行
[学习目标]
1.以立体几何的定义、基本事实和定理为出发点,通过直观感知、操作确认、思辨论证,认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定.2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.
1.直线与平面平行的判定定理和性质定理
定理 文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线 ,那么该直线与此平面平行(线线平行 线面平行) 因为 , , , 所以l∥α
性质 定理 一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行(线面平行 线线平行) 因为 , , , 所以l∥b
(1)直线l与平面α平行,则直线l与平面α内的任意直线平行或异面.
(2)线面平行强调的是平面外的直线与平面内的直线的平行关系.
2.平面与平面平行的判定定理和性质定理
定理 文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行(线面平行 面面平行) 因为 , , , , , 所以α∥β
性质 定理 两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行(面面平行 线线平行) 因为 , , , 所以a∥b
(1)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.
(2)判定定理的推论:一个平面内的两条相交直线与另一平面内的两条相交直线分别对应平行,那么这两个平面平行.
1.平行间的三种转化关系.
2.平行关系中的三个重要结论.
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α,a⊥β,则α∥β.
(2)平行于同一平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.
(3)垂直于同一个平面的两条直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b.
3.平行问题中的唯一性.
(1)过直线外一点与该直线平行的直线有且只有一条.
(2)过平面外一点,与该平面平行的平面有且只有一个.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)若一条直线平行于一个平面内的两条直线,则这条直线平行于这个平面.(　　)
(2)直线a∥直线b,那么过直线b且平行于直线a的平面只有一个.(　　)
(3)若直线a 平面α,直线b 平面β,a∥b,则α∥β.(　　)
(4)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线也相互平行.(　　)
2.(人教A版必修第二册P143习题8.5 T1改编)如果直线 a∥平面α,那么直线a(　　)
A.仅与平面α内的一条直线不相交
B.仅与平面α内的两条直线不相交　
C.与平面α内的无数条直线不相交　
D.与平面α内的任意一条直线都不相交
3.(人教A版必修第二册P138例3改编)如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为 .
4.(人教A版必修第二册P144习题8.5 T12改编)在三棱锥ABCD中,AB=CD=1,过线段BC的中点E作平面EFGH与直线AB,CD都平行,且分别交BD,AD,AC于点F,G,H,则四边形EFGH的周长为 .
考点一　直线、平面平行的基本问题
[例1] (2025·河北邢台模拟)已知两条不同的直线a,b和平面α,下列命题中真命题的个数是(　　)
(1)若a∥α,b∥α,则a∥b　
(2)若a∥b,b∥α,则a∥α　
(3)若a⊥α,b⊥α,则a∥b　
(4)若a⊥b,b⊥α,则a∥α
A.1 B.2 C.3 D.4
解决有关线面平行、面面平行的
基本问题的注意点
(1)判定定理与性质定理中易忽视的条件,如线面平行的判定定理中,条件“线在面外”易忽视.
(2)结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断.
(3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.
[针对训练]
(2025·河南洛阳模拟)已知m,n为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,下列命题为真命题的是(　　)
A.若m α,n α,m∥β,n∥β,则α∥β
B.若m∥α,n α,则m∥n
C.若m∥n,m α,n α,则m∥α　
D.若m⊥n,m⊥α,α∥β,则n∥β
考点二　直线与平面平行的判定与性质
[例2] 如图,已知四棱锥 SABCD 中,底面ABCD是平行四边形.
(1)若E为侧棱SC的中点.求证:SA∥平面EDB;
(2)若过A,B,E的平面与SD交于点F,求证:EF∥CD.
(1)判断或证明线面平行的常用方法.
①利用线面平行的定义(无公共点);
②利用线面平行的判定定理(a α,b α,a∥b a∥α);
③利用面面平行的性质(α∥β,a α a∥β);
④利用面面平行的性质(α∥β,a β,a∥α a∥β).
(2)在与中点有关的平行问题中,常考虑中位线定理.
(3)应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置,有时需要利用已知直线作辅助平面来确定交线.
[针对训练]　
如图所示,四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面,且截面EFGH为平行四边形.求证:AB∥平面EFGH.
考点三　平面与平面平行的判定与性质
[例3] 如图,在六面体ABCDEF中,DE∥CF,四边形ABCD是平行四边形,DE=2CF.
(1)证明:平面AED∥平面BCF;
(2)若G是棱BC的中点,证明:AE∥FG.
[溯源探本] 本例源于人教A版必修第二册P140例4.
(1)判断、证明面面平行的方法.
①面面平行的定义;
②面面平行的判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行;
③垂直于同一条直线的两个平面平行;
④如果两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行;
⑤利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化.
(2)面面平行性质的应用.
①两平面平行,构造与之相交的第三个平面,可得交线平行;
②两平面平行,其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行,可用于证明线面平行.
[针对训练]
　如图,已知四棱锥PABCD,底面ABCD为矩形,E,F,G分别是PC,PD,BC的中点.
证明:(1)平面EFG∥平面PAB;
(2)AP∥平面EFG.

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