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分课时学案
课题 12.4.2 线段垂直平分线 单元 12 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1.通过对线段垂直平分线折叠操作的观察，抽象出线段垂直平分线的概念，明确其“垂直于线段且平分线段”的本质特征。 2.通过折叠、尺规作图等动手操作，直观感知线段垂直平分线的对称性和“点到线段两端距离相等”的性质，结合图形理解性质与判定的几何意义，发展几何直观能力。 3.经历“观察—猜想—验证—证明”的过程，运用全等三角形的判定与性质证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理，培养演绎推理能力；能综合运用两个定理解决几何证明和计算问题，提升逻辑推理的综合性和严谨性。
重点 线段垂直平分线的性质定理与判定定理.
难点 线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的综合运用.
教学过程
导入新课 【想一想】如图，直线CD垂直平分线段AB，在直线CD上任取一点 M，连结MA与MB，想一想，如果我们把线段AB沿直线CD对折，线段MA与MB会重合吗？
新知讲解 【探究】线段垂直平分线的性质定理 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴. 如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，点P是MN上任意一点，连结PA、PB. 将线段AB沿直线MN对折，我们发现PA与PB____________。 于是有：线段垂直平分线的性质定理： _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC=BC，点P是直线MN上的任意一点. 求证：PA=PB. 如图：如果改变点P的位置，那么PA还等于PB吗？ 【例】如图所示，在△ABC中，AB＞AC，AB=8，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点E和点D，△AEC的周长为13，求AC的长. 【探究】：线段垂直平分线性质定理的逆定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等这一定理描述了线段垂直平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？ 条件结论性质定理 逆命题
想一想：上述填写的逆命题是否是一个真命题？ 已知：如图，QA = QB. 求证：点Q在线段AB的垂直平分线上. 于是就有定理： 【探究】三角形三边的垂直平分线相交于一点 上述两条定理互为逆定理，根据上述两条定理，我们就能推断出： ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 从图中可以看出，要证明三角形三边的垂直平分线交于一点，只需证明其中两条边的垂直平分线的交点一定在第三条边的垂直平分线上就可以了. 试试看，现在你会证明了吗？
巩固训练 【知识技能类作业】必做题： 1.如图，PQ是线段 AB的垂直平分线，则下列结论一定正确的是( ）. A. AP =BP B. BQ = AP C. AB = AP D. PQ = BQ 2.如图，△ABC的边AB的垂直平分线交 AC于点D，连结BD.若AC=8，CD = 5，则BD =_____. 3.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°， ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE =10°，则∠C的度数是______. 4.如图，点P是△ABC内的一点，若PB=PC，则( ). A.点P在∠ABC的平分线上 B.点P在∠ACB的平分线上 C.点P在边AB的垂直平分线上 D.点P在边BC的垂直平分线上 【知识技能类作业】选做题： 5.近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地.为均衡服务A，B，C三地，高铁站需建在到三地距离相等的位置，其选址应为( ). A. AB，BC两边垂直平分线的交点处 B. AB，BC两边高线的交点处 C. AB，BC两边中线的交点处 D. ∠B，∠C两内角的平分线的交点处 6.如图，已知△ABC，直线a⊥AC于点 D，且AD=CD，点P是直线a上一动点，连结PB，PC.若AB= 5，AC=6，BC=3，则△PBC周长的最小值是______. 【综合拓展类作业】 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DM交BC于点D，AC的垂直平分线EN交BC于点E. (1)已知△ADE的周长是7cm，求BC的长； (2)若∠ABC=30°，∠ACB=40°，求∠DAE的度数.
作业布置 1.如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于D，E，连结AD，AE = 3 cm，△ADC的周长为9 cm，则△ABC的周长是( ). A.10 cm B.12 cm C.14cm D.15cm 2. 如图是一块三角形的草坪，点A，B，C处各种一棵树，现要在草坪上建一灌溉出水口，要使出水口到三棵树的距离相等，则灌溉出水口的位置应选在( ). A. 三边的垂直平分线的交点上 B. 三条角平分线的交点上 C. 三条高所在直线的交点上 D. 三条中线的交点上 【知识技能类作业】选做题： 3.风筝又称“纸鸢”，距今已有2000多年的历史，如图是一款风筝骨架的简化图，已知AB=AD，BC=CD，AC = 90 cm，BD =60cm，则制作这个风筝需要的布料至少为_________cm2. 4.如图，直线l与线段AB相交于点O，点P在直线l上，且PA=PB， 则下列结论正确的有 ( ). ①AO=BO； ②PO⊥AB； ③∠APO= ∠BPO； ④点P在线段AB的垂直平分线上. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【综合拓展类作业】 5.如图，已知AD⊥BC于点D，BD=DC，AB+BD=DE， 求证：点C在AE的垂直平分线上.
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