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2025-2026学年四川省成都市青羊区泡桐树中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程中，关于x的一元二次方程是( )
A. B.
C. D.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3.下列说法正确的是( )
A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对角线互相平分的四边形是菱形
4.已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为二次方程的根，则这个三角形的周长为( )
A. 11 B. 17 C. 17或19 D. 19
5.下列条件不能判定∽的是( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，在矩形ABCD中，，对角线AC与BD相交于点O，，垂足为E，，则BD的长为( )
A. 6cm
B.
C. 12cm
D.
7.如图，在一张台球桌上，一球在点A处，要从A处击打出去，经球台边挡板CD反射击中B球.作于点C，于点已知，，，，若球手恰好能击中B球，则DE的长为( )
A. 8cm B. 10cm C. 12cm D.
8.新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元．市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，设每台冰箱的降价x元，则x满足的关系式为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
9.若，则______.
10.化简：______.
11.已知线段，C为线段AB的黄金分割点，则______.
12.《九章算术》是中国古代的数学专著，是“算经十书”汉唐之间出现的十部古算书中最重要的一种.书中有下列问题：“今有邑方不知大小，各中开门.出北门十五步有木，出西门六十见木.问邑方有几何？”意思是：如图，点M、点N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点，，，EF过点A，且步，步，则正方形的边长为 .
13.如图，矩形ABCD中，，，连接以点C为圆心，以任意长为半径作弧，交AC，CD分别于点E，F，分别以点E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP，交AD于点则的面积为 .
14.若实数a，b，c满足，且，则______.
15.若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于 .
16.如果一个四边形的对角线把四边形分成两个三角形，一个是等边三角形，另一个是该对角线所对的角为的三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的理想对角线，这个四边形称为理想四边形.如图，三角形ABD为等边三角形，若BD为理想对角线，四边形ABCD为理想四边形，且为直角三角形，，则 .
17.如图，矩形ABCD中，，E为边AB上一点，F为CE上一点，且，，，则 .
18.如图，矩形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，点E在射线AB上，DE与AC相交于点F，且，若，则与四边形BOFE的面积比为 用含t的代数式表示
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题14分
计算：
计算：；
解方程：
20.本小题8分
如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点网格线的交点
将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到，画出；
以点为位似中心，将放大至原来的3倍，得到，请在网格内画出；
直接写出的面积与四边形的面积之比为：______.
21.本小题8分
已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
求m的取值范围；
若方程的两根满足，求m的值．
22.本小题8分
如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作，且，连接
求证；四边形BECO是矩形；
连接ED交BC于点F，若，，求DF的长.
23.本小题10分
如图，在等腰中，，，点D，E分别在边AB，BC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转得到
如图1，若，点E与点C重合，AF与DC相交于点求证：；
已知点G为AF的中点.
①如图2，若，，求DG的长.
②若，当是直角三角形时，请求出CE的长.
24.本小题8分
泾阳茯茶是中国传统的黑茶之一，具有消食健胃、降脂减肥、补充维生素和矿物质等功效.
如图①，某茶庄种植茯茶，由于规模不断扩大，现计划开阔一块面积为600平方米的长方形采茶基地，已知该采茶基地的长比宽多10米.求采茶基地的长和宽；
如图②，该茶庄开设了一片观光园区，园区内原有一块长方形空地，该空地与中的采茶基地大小、形状均相同，后计划在此区域栽种鲜花阴影部分并铺设如图所示的宽度相同的小路空白部分供游客观光，若鲜花的种植面积为486平方米，求小路的宽度.
25.本小题10分
平行四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点.
如图1，若E是BC中点，，求证：；
如图2，若
①当，时，求DF的长；
②当，，时，求AF的长.
26.本小题12分
如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线：分别与x轴，y轴交于点A，B，与直线：交于点C，过点A作平行于的直线交y轴于点
当时，求点C的坐标；
在的条件下，若点P、点Q在直线AB上运动点P在点Q左侧，点R在直线AF上运动，当点P、Q、R、O为顶点的四边形为矩形时，求出点R的坐标及对应的线段PQ的长度；
如图2，点D在线段BC上不与点C重合，过点D作x轴的平行线，与直线相交于点E，连接OD，当时，直线：与直线AF交于点M，与x轴交于点试探究的值是否是定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、该方程化简后可得，是一元一次方程，不符合题意；
B、当时，不是一元二次方程，不符合题意；
C、该方程是一元二次方程，符合题意；
D、该方程是分式方程，不符合题意．
故选：
根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是
2.【答案】B
3.【答案】C
【解析】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项A不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项B不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项C符合题意；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：
由矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可．
此题主要考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：解方程得第三边的边长为6或8，
依据三角形三边关系，不难判定边长2，6，9不能构成三角形，
2，8，9能构成三角形，三角形的周长故选
易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可．
求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯．
5.【答案】C
【解析】解：A、，，∽，故此选项不合题意；
B、，，∽，故此选项不合题意；
C、不能判定∽，故此选项符合题意；
D、，，，∽，故此选项不合题意．
故选：
根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．
本题考查了相似三角形的判定，利用了有两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
6.【答案】C
【解析】解：四边形ABCD是矩形，
，，，，
，
，，
，，
，
，
，
故选：
由矩形的性质得出，由已知条件得出，，由线段垂直平分线的性质得出，得出为等边三角形，即可求出BD的长．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，证明是等边三角形是解决问题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：，，
，
，
∽，
，
，，
，
，
的长为12cm，
故选：
由，证明，又有，即可证明∽，再根据相似三角形的对应边成比例列方程求出DE的长．
此题重点考查相似三角形的判定与性质，找到相似三角形对应角并通过证明补全三角形相似的条件是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：设每台冰箱的降价x元，依题意得
故选：
销售利润=一台冰箱的利润销售冰箱数量，一台冰箱的利润=售价-进价，降低售价的同时，销售量就会提高，“一减一加”，根据每台的盈利销售的件数元，即可列方程．
考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是会表示一台冰箱的利润，销售量增加的部分．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
9.【答案】
【解析】解：由，得，
，
故答案为
根据比例的性质，可得，将代入化简可得答案．
本题考查了比例的性质，利用了比例的性质，分式的性质．
10.【答案】
【解析】解：
，
故答案为：
根据分式的加法和除法可以解答本题．
本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式的混合运算的计算方法．
11.【答案】
【解析】解：为线段AB的黄金分割点，
，
故答案为
根据黄金分割的定义得到，然后计算即可得到
本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和，且使AC是AB和BC的比例中项即AB：：，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中，并且线段AB的黄金分割点有两个．
12.【答案】60步
【解析】解：设正方形的边长为x步，
点M、点N分别是正方形ABCD的边AD、AB的中点，
，，
，
由题意可得，∽，
，
即，
解得：，
步；
故答案为：60步．
根据题意，可知∽，从而可以得到对应边的比相等，从而可以求得正方形的边长．
本题考查相似三角形的应用、数学常识、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意．利用相似三角形的性质和数形结合的思想解答．
13.【答案】
【解析】解：过H点作于M点，如图，
四边形ABCD为矩形，
，，，
在中，，
由作法得CH平分，
，
在和中，
，
，
，
，
设，则，，
在中，，
解得，
即，
的面积
故答案为：
过H点作于M点，如图，先利用勾股定理计算出，再利用基本作图得到由作法得CH平分，则根据角平分线的性质得到，接着证明得到，所以，设，则，，在中利用勾股定理得到，解方程得到，然后根据三角形面积公式求解．
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和矩形的性质．
14.【答案】2
【解析】解：，
，，，
，
，
解得
故答案为：
利用比例性质得到，，，再把它们代入中得到，然后解关于k的方程即可．
本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质是解决问题的关键．
15.【答案】2037
【解析】解：是方程的实数根，
，
，是方程的两个实数根，
，
原式
故答案为：
利用一元二次方程的解，可得出，利用根与系数的关系，可得出，再将其代入原式即可求出结论．
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，利用一元二次方程的解及根与系数的关系，找出及是解题的关键．
16.【答案】或6
【解析】解：若为直角三角形，分两种情况：
Ⅰ当时，如图，
，，
；
Ⅱ当时，如图，
，
综上所述，或
故答案为：或
①分或两种情形，分别画出图形，利用含30度角的直角三角形解决问题即可．
本题主要考查了理想四边形的定义，等边三角形的判定与性质，定边对定角隐圆问题，含角的直角三角形的性质等知识，理解题意，学会利用分类讨论思想思考问题是关键．
17.【答案】
【解析】解：延长BF，CD交于点G，作于H，作于K，
，，
；
，
∽
，，
，
设，则，
，
∽，
，即，
解得或负值舍去，
，
则，，
在中，由勾股定理得
延长CD、BF交与G点，得到，从而得到，利用相似分别解直角三角形GBC和直角三角形FBK，最后用勾股定理求出CF的长度．
本题考查相似三角形的判定和性质，根据两角对应相等得到两个三角形相似，再利用对应边成比例可得答案．
18.【答案】
【解析】解：如图，点G为DE中点，连接
，
，
根据矩形的性质，则OG是的中位线．
∽，∽，
，
，
，
通过辅助线构造∽和∽，然后根据等腰三角形的性质推出，再由相似三角形的性质求出和的面积比，又根据相似三角形对应边成比例并结合矩形的性质推出，进而得出和的面积比，最后由即可求出答案．
本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，中位线定理，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键．
19.【答案】；
，
【解析】原式
；
，
，
，
，
，
则或，
所以，
根据实数的运算法则进行计算即可；
利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可．
本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法、实数的运算、零指数幂及负整数指数幂，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤及实数的运算法则是解题的关键．
20.【答案】见解答．
见解答．
1：
【解析】解：如图，即为所求．
如图，即为所求．
由题意得，，，
：：
故答案为：1：
根据平移的性质作图即可．
根据位似的性质作图即可．
由题意得，，，则可得：：
本题考查作图-位似变换、作图-平移变换，熟练掌握位似的性质、平移的性质是解答本题的关键．
21.【答案】解：根据题意得，
解得：；
根据题意得：，，
，
，
，
，
解得：，不合题意，舍去
故m的值是
【解析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．
利用根的判别式得到，然后解不等式即可；
根据根与系数的关系得到，，变形得到，代入得到关于m的方程，解方程即可求得m的值．
22.【答案】证明：四边形ABCD是菱形，
，，
，即，
四边形BECO是平行四边形．
，
平行四边形BECO是矩形．

【解析】证明：四边形ABCD是菱形，
，，
，即，
四边形BECO是平行四边形．
，
平行四边形BECO是矩形．
解：四边形ABCD是菱形，
，，，
在中，由勾股定理，得，
由知，四边形BECO是矩形，
，
又，O为BD的中点，点F为ED的中点．
，
点F是BD垂直平分线上的点，
通过分析菱形的对角线性质和矩形的判定条件，证明四边形BECO是矩形；
利用勾股定理计算OB以及DE的长度，求解BF的长度可推出结果．
本题主要考查菱形的性质、矩形的判定以及勾股定理的应用．熟记查菱形的性质、矩形的判定以及勾股定理是解题的关键．
23.【答案】，，，
，，
，
，
，
，
四边形ADFC是平行四边形，
，
；
①；
②或或2
【解析】证明：，，，
，，
，
，
，
，
四边形ADFC是平行四边形，
，
①解：如图2中，作于点T，于
由题意：，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
≌，
，
，
，D，E，F四点共圆，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②解：如图，当时，F，E，G，A共线，作于点T，于设
，
，
，，
，
≌，
，
，
，
，
，
整理得：，
解得；
如图，当时，取AB的中点O，连接作于
设，由2①可知，，
，
，，
，
∽，
，
，
整理得：，
解得或舍弃；
如图，当时，取AB的中点O，连接OG，CG，作于T，于H，于设
，
，B，F，E四点共圆，
，
，
，
，，
，
，
，
垂直平分线段AB，，
，G，C共线，
由≌，可得，，，，，，
由∽，可得，
，
解得，
综上所述，满足条件的EC的值为或或
如图1中，首先证明，再证明四边形ADFC是平行四边形即可解决问题．
①作于点T，于证明DG是的中位线，想办法求出BF即可解决问题．
②分三种情形情形：如图中，当时，F，E，G，A共线，作于点T，于设构建方程解决问题即可．如图中，当时，取AB的中点O，连接作于构建方程解决问题即可．如图中，当时，构造相似三角形，利用相似三角形的性质构建方程解决问题即可．
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
24.【答案】采茶基地的长为30米，宽为20米；
小路的宽度为1米
【解析】设采茶基地的宽为x米，则长为米，
根据题意得：，
整理得：，
解得：不合题意，舍去，，
，
答：采茶基地的长为30米，宽为20米；
由得采茶基地的长为30米，采茶基地的宽为20米，设小路的宽度为y米，
根据题意得：，
整理得：，
解得：不合题意，舍去，，
答：小路的宽度为1米．
设采茶基地的宽为x米，则长为米，根据面积为600平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
设小路的宽度为y米，根据鲜花的种植面积为486平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25.【答案】如图所示，延长FE，AB交于H，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，，
是边BC中点，
，
≌，
，，
，
，
，
；
①3；②
【解析】证明：如图所示，延长FE，AB交于H，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，，
是边BC中点，
，
≌，
，，
，
，
，
；
①延长AD，EF交于M，
四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
，
，
又，
∽，
，
，，
，
∽，
，
，
设，则，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
；
②由①知，
，
，
设，，
∽，
，即，
，，
，即，
，，
，
∽，
，即，
，
解得或舍去
延长FE，AB交于H，可证明≌，得到，，则可证明，得到，则；
①延长AD，EF交于M，证明∽，得出，证明∽，得出，则，设，则，求出，证明∽，得出，则可得出答案；
②求出，设，，则由相似三角形的性质可得，，，进而可得；证明∽，则，解方程即可得到答案．
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．
26.【答案】；
，；
2
【解析】，
，
当时，
解得，
；
，OC的解析式为：，
设AF的解析式为：，
把点A的坐标代入得：，
，
的解析式为：，
当四边形ORPQ为矩形时，，，
的解析式为：，
，
，
，
；
的值是定值2，
，
，
，
，
，
当时，，
解得，
，
，
直线AF：，当时，
解得，
，
，
，
，，
根据时，解方程即可解答；
利用两直线平行可得k相等，可得AF的解析式，再把点A的坐标代入AF的解析式可得，根据当四边形ORPQ为矩形时，，，利用方程组的解可得R的坐标；
利用方程组的解可得点C的坐标，根据三角形的面积公式和，可得，利用两点的距离公式计算BN和MN的长，即可解答．
本题是一次函数的综合题，考查了一次函数的图象及性质，三角形的面积，两直线的交点问题等知识，熟练掌握一次函数的图象及性质，割补法求面积是解题的关键．

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