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习题课二　动量守恒定律的应用
题组一　动量守恒定律与图像的综合
1.〔多选〕某研究小组通过实验测得两滑块碰撞前后运动的实验数据，得到如图所示的位移—时间图像。图中的线段a、b、c分别表示沿光滑水平面上同一条直线运动的滑块Ⅰ、Ⅱ和它们发生正碰后结合体的位移变化关系。已知相互作用时间极短，由图像给出的信息可知（　　）
A.碰前滑块Ⅰ与滑块Ⅱ速度大小之比为5∶2
B.碰前滑块Ⅰ的动量比滑块Ⅱ的动量大
C.碰前滑块Ⅰ的动能比滑块Ⅱ的动能小
D.滑块Ⅰ的质量是滑块Ⅱ的质量的
2.如图甲所示，物块A、B间拴接一个压缩后被锁定的轻弹簧，整个系统静止放在光滑水平地面上，其中A物块最初与左侧固定的挡板相接触，B物块质量为6 kg。现解除对弹簧的锁定，从A离开挡板起，B物块的v-t图像如图所示，则可知（　　）
A.物块A的质量为4 kg
B.运动过程中物块A的最大速度为vm＝4 m/s
C.在物块A离开挡板前，系统动量守恒、机械能守恒
D.在物块A离开挡板后弹簧的最大弹性势能为45 J
3.两滑块a、b沿水平面上同一条直线运动，并发生碰撞，碰撞后两者粘在一起运动，经过一段时间后，从光滑路段进入粗糙路段。两者的位置x随时间t变化的图像如图所示。求：
（1）滑块b、a的质量之比；
（2）整个运动过程中，两滑块克服摩擦力做的功与因碰撞而损失的机械能之比。
题组二　应用动量守恒定律解决多物体、多过程问题
4.〔多选〕如图所示，在光滑水平面上有一辆小车，小车A端与滑块C间夹了一压缩轻质弹簧（未拴接在一起），用左、右手分别控制小车A端和滑块C处于静止状态，释放后C会离开弹簧向B端冲去，并跟B端油泥粘在一起，忽略一切摩擦，对A、B、C组成的系统，下面说法中正确的是（　　）
A.先放开右手，再放开左手后，系统动量不守恒
B.先放开左手，再放开右手，A、B、C的总动量向左
C.两手同时放开后，C与油泥粘在一起时，车立即停止运动
D.无论先放哪只手，C与油泥粘在一起时，车都立即停止运动
5.〔多选〕如图所示，一个质量为M的木箱静止在光滑水平面上，木箱内粗糙的水平底板上放着一个质量为m的小木块。现使木箱获得一个向右的初速度v0，则（　　）
A.小木块最终将相对木箱静止，二者一起向右运动
B.小木块和木箱最终速度为
C.小木块与木箱内壁将始终来回往复碰撞，而木箱一直向右运动
D.如果小木块与木箱的左壁碰撞后相对木箱静止，则二者将一起向左运动
6.（2025·四川资中球溪高级中学月考）两辆质量相同的小车A、B置于光滑的水平面上，有一人静止在小车A上，两车A、B静止，如图所示。当这个人从A车跳到B车上，接着又从B车跳回A车并与A车保持相对静止时，A车的速率（　　）
A.等于零 B.小于B车的速率
C.大于B车的速率 D.等于B车的速率
7.〔多选〕甲、乙两溜冰者，m甲＝48 kg，m乙＝50 kg，甲手里拿着2 kg的球静止，乙以2 m/s的速度向甲运动，不计摩擦。现甲将球抛给乙，乙接球后再抛给甲，这样抛接若干次后，乙的速度恰为零，此时甲的速度可能是（　　）
A.0 B.2 m/s
C.1 m/s D.大于2 m/s
8.如图，在光滑的水平面上，有一静止的小车，甲、乙两人站在小车左、右两端，当他俩同时相向而行时，发现小车向右运动，下列说法中错误的是（　　）
A.乙的速度必定大于甲的速度 B.乙对小车的冲量必定大于甲对小车的冲量
C.乙的动量必定大于甲的动量 D.甲、乙的动量之和必定不为零
9.〔多选〕如图所示，质量m＝400 kg的小船静止在平静的水面上，船两端载着质量为m甲＝40 kg、m乙＝60 kg的游泳者，甲向左、乙向右同时以 2 m/s（相对于岸）的水平速度跃入水中，不计水对船的阻力，则正确的是（　　）
A.小船获得的速度大小为0.5 m/s
B.小船获得的速度大小为0.1 m/s
C.小船受到的合外力冲量大小为40 kg·m/s
D.若乙跃出的水平速度为3 m/s，则小船获得的速度为零
10.如图，一质量为10 kg的铁球静止在足够长的光滑地面上，人站在小车上向左推铁球，铁球运动一段时间后和墙壁碰撞，碰后铁球速度反向、大小不变，每次推球，球出手后的速度大小都为2 m/s，已知人和车的总质量为50 kg。以下说法正确的是（　　）
A.运动的全过程人、小车和铁球组成的系统动量守恒
B.后一次推铁球时推力的冲量总是比前一次推铁球时的更小
C.连续推4次后铁球将不能追上人和小车
D.最终人、小车和铁球的速度大小都是2 m/s
11.（2025·四川攀枝花市高二校联考）甲、乙两小孩各乘一辆小车在光滑的水平冰面上匀速相向行驶，速度大小均为v0＝6 m/s，甲车上有质量为m＝1 kg的小球若干个，甲和他的小车及小车上小球的总质量为M1＝50 kg，乙和他的小车的总质量为M2＝30 kg。为避免相撞，甲不断地将小球以相对地面为v＝16.5 m/s的水平速度抛向乙，且被乙接住。
（1）甲第一次抛球时对小球的冲量；
（2）乙接到第一个球后的速度（保留一位小数）；
（3）为保证两车不相撞，甲总共抛出的小球个数是多少？
12.A、B两物体在光滑的水平面上相向运动，其中物体A的质量为 mA＝4 kg，两物体发生碰撞前、后的运动图像如图所示，求：
（1）碰前物体A速度vA的大小和方向；
（2）物体B的质量mB；
（3）碰撞过程中产生的热量Q。
习题课二　动量守恒定律的应用
1.AD　根据x-t图像的斜率等于速度，可知碰前滑块Ⅰ速度为v1＝－2 m/s，滑块Ⅱ的速度为 v2＝0.8 m/s，则碰前速度大小之比为5∶2，故选项A正确；碰撞前后系统动量守恒，碰撞前，滑块Ⅰ的动量为负，滑块Ⅱ的动量为正，由于碰撞后总动量为正，故碰撞前总动量也为正，碰撞前滑块Ⅰ的动量比滑块Ⅱ的动量小，选项B错误；碰撞后的共同速度为 v＝0.4 m/s，根据动量守恒定律，有m1v1＋m2v2＝（m1＋m2）v，解得m2＝6m1，由动能的表达式可知m1＞m2，故选项C错误，D正确。
2.B　由图知，A离开挡板瞬间B的速度为v0＝3 m/s，B的速度最小值为vB＝1 m/s，B的速度最小时，弹簧第一次恢复原长，此时，A的速度最大，取向右为正方向，根据系统动量守恒和机械能守恒得mBv0＝mAvm＋mBvB，mB＝mA＋mB，解得mA＝3 kg，vm＝4 m/s，故A错误，B正确； 在A离开挡板前，由于挡板对A有作用力，A、B系统所受合外力不为零，所以系统动量不守恒，故C错误；分析从A离开挡板后A、B的运动过程，弹簧伸长到最长时，弹性势能最大，此时A、B的共同速度为v共，根据动量守恒mBv0＝（mA＋mB）v共，解得 v共＝2 m/s，根据机械能守恒定律mB＝（mA＋mB）＋Ep，解得Ep＝9 J，故D错误。
3.（1）8∶1　（2）1∶2
解析：（1）设a、b的质量分别为m1、m2，a、b碰撞前速度为v1、v2。由题给的图像得v1＝－2 m/s①
v2＝1 m/s②
a、b发生完全非弹性碰撞，碰撞后两滑块的共同速度为
v＝ m/s③
由动量守恒定律得m1v1＋m2v2＝（m1＋m2）v ④
联立①②③④式得m2∶m1＝8∶1。
（2）由能量守恒得，两滑块因碰撞损失的机械能为
ΔE＝m1＋m2－（m1＋m2）v2
由图像可知，两滑块最后停止运动，由动能定理得，两滑块克服摩擦力所做的功为W＝（m1＋m2）v2，联立并代入数据得W∶ΔE＝1∶2。
4.BC　先放开右手，再放开左手后，系统在水平方向不受外力作用，系统的动量守恒，故A错误。先放开左手，后放开右手，放开右手时，小车已经有向左的速度，系统的动量不为零，A、B、C的总动量向左，故B正确。两手同时放开后，系统的总动量为零，C与油泥粘在一起时，根据动量守恒可知车立即停止运动，故C正确。先放开左手，后放开右手，此后A、B、C的总动量向左，C与油泥粘在一起时，车向左运动；先放开右手，后放开左手，此后A、B、C的总动量向右，C与油泥粘在一起时，车向右运动，故D错误。
5.AB　木箱与小木块组成的系统水平方向不受外力，故系统水平方向动量守恒，最终两个物体以相同的速度一起向右运动，取v0的方向为正方向，由动量守恒定律Mv0＝（M＋m）v，解得v＝，故A、B正确，C、D错误。
6.B　对于A车、B车和人组成系统，两车均置于光滑的水平面上，在水平方向上无论人如何跳来跳去，系统均不受外力作用，故满足动量守恒的条件。设人的质量为m，A车和B车的质量均为M，最终两车速度分别为vA和vB。由动量守恒定律得0＝（M＋m）vA－MvB，则＝，即vA＜vB，故B正确。
7.BD　以乙溜冰者的运动方向为正方向，根据动量守恒定律，若最后球在甲手中，则m乙v1＝（m甲＋m）v，解得 v＝ m/s＝2 m/s；若最后球在乙手中，则m乙v1＝m甲v'，解得v'＝ m/s≈2.08 m/s。选项B、D正确，A、C错误。
8.A　甲、乙两人和小车组成的系统所受合外力为0，所以动量守恒，有m甲v甲＋m乙v乙＋m车v车＝0，小车向右运动说明甲、乙两人总动量向左，则乙的动量大于甲的动量，即甲、乙的动量之和必定不为零，但由于不知道两人质量关系，所以无法确定速度关系，C、D正确，不符合题意，A错误，符合题意；根据动量定理可知，乙对小车的冲量方向向右，甲对小车的冲量方向向左，而小车速度方向向右，即动量变化量向右，可知乙对小车的冲量必定大于甲对小车的冲量，B正确，不符合题意。
9.BC　甲、乙和船组成的系统动量守恒，以水平向右为正方向，开始时总动量为零，根据动量守恒定律有0＝－m甲v甲＋m乙v乙＋mv，代入数据解得 v＝－0.1 m/s，负号说明小船的速度方向向左，故A错误，B正确；根据动量定理可得，小船受到的冲量大小为I＝m｜v｜＝400×0.1 kg·m/s＝40 kg·m/s，方向水平向左，故C正确；根据动量守恒定律有0＝－m甲v甲＋m乙v乙'＋mv'，代入数据解得v'＝－0.25 m/s，故D错误。
10.D　铁球与墙壁碰撞过程中，墙壁的作用力对系统有冲量，人、小车和铁球组成的系统动量不守恒，A错误；设铁球的质量为m、人和小车的总质量为M，以水平向左为正方向，第一次推铁球，根据动量定理有I1＝Δp1＝mv＝20 N·s，第二次推铁球，根据动量定理有I2＝Δp2＝mv－m（－v）＝40 N·s，则第二次推铁球的冲量大于第一次推铁球的冲量，之后每一次推铁球的冲量都相等，B错误；要使铁球不能追上小车，需使v球≤v车，推球过程中人、小车和铁球组成的系统动量守恒，则第一次推铁球使人和小车获得了Δp1＝20 kg·m/s的动量，以后每次推铁球都使人和小车增加的动量Δp2＝40 kg·m/s，根据Δp1＋nΔp2＝Mv车可知，当n＝2时，即连续推3次后，人和小车的速度为v车＝2 m/s，与铁球的速度大小相等，则之后铁球不能追上小车，最终人、小车和铁球的速度大小都是2 m/s，C错误，D正确。
11.（1）10.5 N·s　水平向右　（2）5.3 m/s　水平向左　（3）15
解析：（1）根据动量定理有I＝mv－mv0
解得I＝10.5 N·s，方向水平向右。
（2）对小球和乙组成的整体，根据动量守恒定律有
M2v0－mv＝（M2＋m）v1
解得v1＝5.3 m/s，方向水平向左。
（3）对所有物体组成的系统，根据动量守恒定律有
M1v0－M2v0＝（M1＋M2）v'
对乙和他的小车及小球组成的系统，根据动量守恒定律有
nmv－M2v0＝（M2＋nm）v'
解得n＝15。
12.（1）2 m/s　沿x轴负方向　（2）6 kg　（3）30 J
解析：（1）由图像知，碰前物体A的速度为vA＝，解得vA＝2 m/s，方向沿x轴负方向。
（2）由题图知碰前物体B运动方向为正方向 vB＝＝3 m/s，vAB＝1 m/s，由动量守恒定律得mBvB－mAvA＝（mA＋mB）vAB，解得mB＝6 kg。
（3）由能量守恒定律可得Q＝mA＋mB－（mA＋mB），代入数据解得Q＝30 J。
2 / 3习题课二　动量守恒定律的应用
素养目标
1.会处理动量守恒定律与图像的综合问题。2.会应用动量守恒定律解决多物体、多过程问题。
要点一　动量守恒定律与图像的综合
　分析动量守恒定律与图像综合问题的一般思路
（1）利用图像信息分析系统内的物体相互作用前、后的动量（或者速度）的特点。
（2）根据题目情境灵活选择动量守恒定律的对应表达式建立方程。
（3）有时需要结合题目中的其他有关信息，建立关联关系，解答有关问题。
【典例1】　如图甲所示，质量为M的薄长木板静止在光滑的水平面上，t＝0时一质量为m的滑块以水平初速度v0从长木板的左端冲上木板并最终从右端滑下。已知滑块和长木板在运动过程中的v-t图像如图乙所示，则木板与滑块的质量之比M∶m为（　　）
A.1∶2 B.2∶1
C.1∶3 D.3∶1
思路点拨　（1）根据v-t图像可以求得滑块的初速度、末速度及长木板的末速度。
（2）滑块和长木板组成的系统所受外力矢量和为零，动量守恒。
尝试解答
1.两个小木块B、C中间夹着一根轻弹簧，将弹簧压缩后用细线将两个木块绑在一起，使它们一起在光滑水平面上沿直线运动，这时它们的x-t图像如图中a线段所示，在t＝4 s末，细线突然断了，B、C都和弹簧分离后，x-t图像分别如图中b、c线段所示，从图中的信息可知（　　）
A.木块B、C都和弹簧分离后的运动方向相反
B.木块B、C都和弹簧分离后，系统的总动量增大
C.木块B、C分离过程中B木块的动量变化较大
D.木块B的质量是木块C质量的
2.第24届冬奥会于2022年2月在北京和张家口举行，冬奥会冰壶项目深受观众喜爱。某次训练中，冰壶乙静止在圆形区域内，运动员用冰壶甲撞击冰壶乙，如图乙为冰壶甲与冰壶乙碰撞前、后的v-t图像，已知冰壶质量均为20 kg，两冰壶发生正碰，碰撞时间极短，则在该次碰撞中损失的机械能为（　　）
A.1.0 J　　 B.1.2 J C.1.6 J　　 D.2.0 J
要点二　应用动量守恒定律解决多物体、多过程问题
　解决多物体、多过程的动量守恒问题的两个关键
（1）灵活选取研究对象：根据所研究问题的需要，有时需应用整体的系统动量守恒，有时只需应用部分物体的系统动量守恒。
（2）灵活选取过程：根据所研究问题的需要，有时需要对全程进行分析，有时需要分过程多次应用动量守恒定律，注意找出联系各阶段的状态量。
【典例2】　两只小船质量分别为m1＝500 kg、m2＝1 000 kg，它们平行逆向航行，航线邻近，当它们头尾相齐时，从每一只船上各投质量m＝50 kg的麻袋到对面的船上，如图所示，结果质量较小的船停了下来，另一只船则以v＝8.5 m/s的速度沿原方向航行，若水的阻力不计，求在交换麻袋前两只船的速率。
思路点拨　 （1）本题可选哪些物体组成的系统作为研究对象？
（2）试分析各系统的受力情况。
（3）各系统是否满足动量守恒的条件？
尝试解答
1.质量相等的五个物块在一光滑水平面上排成一条直线，且彼此隔开一定的距离，具有初速度v0的第5号物块向左运动，依次与其余四个静止物块发生碰撞，如图所示，最后这五个物块粘成一个整体，则它们最后的速度为（　　）
A.v0　　　B. C.　　　D.
2.如图所示，甲、乙两小孩各乘一辆冰车在光滑水平冰面上游戏，甲和他的冰车总质量为 30 kg，乙和他的冰车总质量也为30 kg，游戏时甲推着一质量为 10 kg 的木箱，和他一起以v0＝3.5 m/s的速度向右滑行，乙在甲的正前方静止在冰面上，为避免碰撞，甲将木箱推给乙，使木箱与乙一起运动，则甲至少以相对地面多大的速度将箱子推出才能避免与乙相撞？
1.〔多选〕如图甲所示，光滑水平面上放着长木板B，质量为m＝2 kg的木块A以速度v0＝2 m/s滑上原来静止的长木板B的上表面，由于A、B之间存在有摩擦，之后，A、B的速度随时间变化情况如图乙所示，重力加速度g＝10 m/s2。下列说法正确的是（　　）
A.A、B之间动摩擦因数为0.1
B.长木板的质量M＝2 kg
C.长木板长度至少为2 m
D.A、B组成的系统损失的机械能为4 J
2.〔多选〕（2025·福建莆田一中期中）质量皆为m的甲、乙两人分别站在质量为M的小船的船头和船尾，随船以速度v0在水面上向左运动（不计阻力）。若两人同时以对地的速率v水平跳出，其中甲沿船前进的方向跳出，乙沿相反方向跳出，则（　　）
A.对乙船做的功较多 B.船对乙的冲量较大
C.船速不变 D.船速增大
3.甲、乙两个溜冰者质量分别为48 kg和 50 kg，甲手里拿着质量为2 kg的球，两人均以2 m/s的速率、在光滑的冰面上沿同一直线相向滑行，甲将球传给乙，乙再将球传给甲，这样抛接几次后，球又回到甲的手里，乙的速度为零，则甲的速度的大小为（　　）
A.0　 B.2 m/s　
C.4 m/s　 D.无法确定
4.如图所示，A和B两小车静止在光滑的水平面上，质量分别为m1、m2，A车上有一质量为m0的人，相对地面以水平速度v0向右跳上B车，并与B车相对静止。若不考虑空气阻力。求：
（1）人跳离A车后，A车的速度大小和方向；
（2）人跳上B车的过程中，人对B车所做的功。
习题课二　动量守恒定律的应用
【核心要点突破】
要点一
知识精研
【典例1】　B　由题图乙知v0＝40 m/s，v1＝20 m/s，v2＝10 m/s，对滑块和木板组成的系统，根据动量守恒定律有mv0＝mv1＋Mv2，代入数据解得M∶m＝2∶1，故B正确。
素养训练
1.D　由x-t图像可知，位移均为正，两木块均朝一个方向运动，没有反向，A错误；木块都与弹簧分离后B的速度为 v1＝ m/s＝3 m/s，C的速度为v2＝ m/s＝0.5 m/s，细线未断前B、C的速度均为v0＝1 m/s，由于系统所受外力的矢量和为零，故系统的动量守恒，（mB＋mC）v0＝mBv1＋mCv2，计算得B、C的质量比为1∶4，B错误，D正确；系统动量守恒，则系统内两个木块的动量变化量等大反向，C错误。
2.C　根据图像可知两冰壶在t＝3.0 s时发生碰撞，碰撞前冰壶甲的速度v1＝0.6 m/s，碰撞后冰壶甲的速度v2＝0.2 m/s；设碰后乙的速度为v3，根据动量守恒定律有 mv1＝mv2＋mv3，解得v3＝0.4 m/s，损失的机械能ΔE＝m－m－m，代入数据得ΔE＝1.6 J，故选项C正确。
要点二
知识精研
【典例2】　1 m/s　9 m/s
解析：以质量较小的船的速度方向为正方向，选取质量较小的船和从质量较大的船投过去的麻袋组成的系统为研究对象，如题图所示，根据动量守恒定律有（m1－m）v1－mv2＝0
即450v1－50v2＝0 ①
选取质量较大的船和从质量较小的船投过去的麻袋组成的系统为研究对象，根据动量守恒定律有
mv1－（m2－m）v2＝－m2v
即50v1－950v2＝－1 000×8.5 ②
选取两船和两个麻袋组成的系统为研究对象有
m1v1－m2v2＝－m2v
即500v1－1 000v2＝－1 000×8.5 ③
联立①②③式中的任意两式解得v1＝1 m/s，v2＝9 m/s。
素养训练
1.B　由于五个物块组成的系统沿水平方向不受外力作用，故系统动量守恒，由动量守恒定律得mv0＝5mv，得v＝v0，故B正确。
2.8 m/s
解析：设甲至少以速度v将箱子推出，推出箱子后甲的速度为v甲，乙接到箱子后的速度为v乙。取向右为正方向，以甲和箱子为系统，根据动量守恒定律得（M甲＋m）v0＝M甲v甲＋mv，以箱子和乙为系统，根据动量守恒定律得mv＝（m＋M乙）v乙，当甲与乙恰好不相撞时v甲＝v乙，联立解得v＝8 m/s。
【教学效果检测】
1.AB　从题图乙可以看出，开始A做匀减速运动，B做匀加速运动，最后一起做匀速运动，共同速度为v＝1 m/s，取向右为正方向，根据动量守恒定律得mv0＝（m＋M）v'，解得M＝m＝2 kg，故B正确；由图像可知，木板B匀加速运动的加速度为a＝＝1 m/s2，对B，根据牛顿第二定律得 μmg＝Ma，解得动摩擦因数为μ＝0.1，故A正确；由图像可知前1 s内B的位移为xB＝×1×1 m＝0.5 m，A的位移为xA＝×1 m＝1.5 m，所以木板最小长度为 L＝xA－xB＝1 m，故C错误；A、B组成的系统损失的机械能为 ΔE＝m－（m＋M）v2＝2 J，故D错误。
2.BD　根据动量定理可知，船对甲的冲量为I＝mv－mv0，船对乙的冲量为I'＝－mv－mv0，可知船对乙的冲量较大，故B正确；根据水平方向动量守恒可知（M＋2m）v0＝Mv'＋mv－mv，可知v'＞v0，则船速增大，根据动能定理可知船对两人做功均为W＝mv2－m，即船对两人做的功相等，故A、C错误，D正确。
3.A　以甲、乙及球组成的系统为研究对象，以甲原来的滑行方向为正方向，有
（m甲＋m球）v甲＋m乙v乙＝（m甲＋m球）v甲'，
解得v甲'＝
＝ m/s＝0，A正确。
4.（1）　方向向左　（2）
解析：（1）人跳离A车过程，人与A车组成的系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得 m0v0＋m1vA＝0，解得vA＝－，负号表示方向向左。
（2）人跳上B车过程，人与车组成的系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得m0v0＝（m0＋m2）v，对B车，由动能定理得W＝m2v2，解得 W＝。
3 / 3(共54张PPT)
习题课二　动量守恒定律的应用
1.会处理动量守恒定律与图像的综合问题。
2.会应用动量守恒定律解决多物体、多过程问题。
素养目标
目 录
01
核心要点突破
02
教学效果检测
03
课时作业
01
PART
核心要点突破
要点一　动量守恒定律与图像的综合
　分析动量守恒定律与图像综合问题的一般思路
（1）利用图像信息分析系统内的物体相互作用前、后的动量（或者速
度）的特点。
（2）根据题目情境灵活选择动量守恒定律的对应表达式建立方程。
（3）有时需要结合题目中的其他有关信息，建立关联关系，解答有关
问题。
【典例1】　如图甲所示，质量为M的薄长木板静止在光滑的水平面上，t
＝0时一质量为m的滑块以水平初速度v0从长木板的左端冲上木板并最终从
右端滑下。已知滑块和长木板在运动过程中的v-t图像如图乙所示，则木板
与滑块的质量之比M∶m为（　　）
A. 1∶2 B. 2∶1
C. 1∶3 D. 3∶1
思路点拨　（1）根据v-t图像可以求得滑块的初速度、末速度及长木板的
末速度。
（2）滑块和长木板组成的系统所受外力矢量和为零，动量守恒。
解析：B　由题图乙知v0＝40 m/s，v1＝20 m/s，v2＝10 m/s，对滑块和木板
组成的系统，根据动量守恒定律有mv0＝mv1＋Mv2，代入数据解得M∶m＝
2∶1，故B正确。
1. 两个小木块B、C中间夹着一根轻弹簧，将弹簧压缩后用细线将两个木
块绑在一起，使它们一起在光滑水平面上沿直线运动，这时它们的x-t图像
如图中a线段所示，在t＝4 s末，细线突然断了，B、C都和弹簧分离后，x-t
图像分别如图中b、c线段所示，从图中的信息可知（　　）
A. 木块B、C都和弹簧分离后的运动方向相反
B. 木块B、C都和弹簧分离后，系统的总动量增大
C. 木块B、C分离过程中B木块的动量变化较大
D. 木块B的质量是木块C质量的
√
解析：　由x-t图像可知，位移均为正，两木块均朝一个方向运动，没有
反向，A错误；木块都与弹簧分离后B的速度为 v1＝ m/s＝3 m/s，C的
速度为v2＝ m/s＝0.5 m/s，细线未断前B、C的速度均为v0＝1 m/s，由于
系统所受外力的矢量和为零，故系统的动量守恒，（mB＋mC）v0＝mBv1＋
mCv2，计算得B、C的质量比为1∶4，B错误，D正确；系统动量守恒，则
系统内两个木块的动量变化量等大反向，C错误。
2. 第24届冬奥会于2022年2月在北京和张家口举行，冬奥会冰壶项目深受
观众喜爱。某次训练中，冰壶乙静止在圆形区域内，运动员用冰壶甲撞击
冰壶乙，如图乙为冰壶甲与冰壶乙碰撞前、后的v-t图像，已知冰壶质量均
为20 kg，两冰壶发生正碰，碰撞时间极短，则在该次碰撞中损失的机械能
为（　　）
A. 1.0 J B. 1.2 J C. 1.6 J D. 2.0 J
√
解析：　根据图像可知两冰壶在t＝3.0 s时发生碰撞，碰撞前冰壶甲的速
度v1＝0.6 m/s，碰撞后冰壶甲的速度v2＝0.2 m/s；设碰后乙的速度为v3，
根据动量守恒定律有 mv1＝mv2＋mv3，解得v3＝0.4 m/s，损失的机械能ΔE
＝m－m－m，代入数据得ΔE＝1.6 J，故选项C正确。
要点二　应用动量守恒定律解决多物体、多过程问题
　解决多物体、多过程的动量守恒问题的两个关键
（1）灵活选取研究对象：根据所研究问题的需要，有时需应用整体的系
统动量守恒，有时只需应用部分物体的系统动量守恒。
（2）灵活选取过程：根据所研究问题的需要，有时需要对全程进行分
析，有时需要分过程多次应用动量守恒定律，注意找出联系各阶段的
状态量。
【典例2】　两只小船质量分别为m1＝500 kg、m2＝1 000 kg，它们平行逆
向航行，航线邻近，当它们头尾相齐时，从每一只船上各投质量m＝50 kg
的麻袋到对面的船上，如图所示，结果质量较小的船停了下来，另一只船
则以v＝8.5 m/s的速度沿原方向航行，若水的阻力不计，求在交换麻袋前
两只船的速率。
思路点拨　 （1）本题可选哪些物体组成的系统作为研究对象？
（2）试分析各系统的受力情况。
（3）各系统是否满足动量守恒的条件？
答案：1 m/s　9 m/s
解析：以质量较小的船的速度方向为正方向，选取质量较小的船和从质量
较大的船投过去的麻袋组成的系统为研究对象，如题图所示，根据动量守
恒定律有（m1－m）v1－mv2＝0
即450v1－50v2＝0　①
选取质量较大的船和从质量较小的船投过去的麻袋组成的系统为研究对
象，根据动量守恒定律有
mv1－（m2－m）v2＝－m2v
即50v1－950v2＝－1 000×8.5　②
选取两船和两个麻袋组成的系统为研究对象有
m1v1－m2v2＝－m2v
即500v1－1 000v2＝－1 000×8.5　③
联立①②③式中的任意两式解得v1＝1 m/s，v2＝9 m/s。
1. 质量相等的五个物块在一光滑水平面上排成一条直线，且彼此隔开一定
的距离，具有初速度v0的第5号物块向左运动，依次与其余四个静止物块发
生碰撞，如图所示，最后这五个物块粘成一个整体，则它们最后的速度为
（　　）
A. v0 B. C. D.
解析：　由于五个物块组成的系统沿水平方向不受外力作用，故系统动
量守恒，由动量守恒定律得mv0＝5mv，得v＝v0，故B正确。
√
2. 如图所示，甲、乙两小孩各乘一辆冰车在光滑水平冰面上游戏，甲和他
的冰车总质量为 30 kg，乙和他的冰车总质量也为30 kg，游戏时甲推着一
质量为 10 kg 的木箱，和他一起以v0＝3.5 m/s的速度向右滑行，乙在甲的
正前方静止在冰面上，为避免碰撞，甲将木箱推给乙，使木箱与乙一起运
动，则甲至少以相对地面多大的速度将箱子推出才能避免与乙相撞？
答案：8 m/s
解析：设甲至少以速度v将箱子推出，推出箱子后甲的速度为v甲，乙接到
箱子后的速度为v乙。取向右为正方向，以甲和箱子为系统，根据动量守恒定律得（M甲＋m）v0＝M甲v甲＋mv，以箱子和乙为系统，根据动量守恒定律得mv＝（m＋M乙）v乙，当甲与乙恰好不相撞时v甲＝v乙，联立解得v＝8 m/s。
02
PART
教学效果检测
1. 〔多选〕如图甲所示，光滑水平面上放着长木板B，质量为m＝2 kg的木
块A以速度v0＝2 m/s滑上原来静止的长木板B的上表面，由于A、B之间存在
有摩擦，之后，A、B的速度随时间变化情况如图乙所示，重力加速度g＝
10 m/s2。下列说法正确的是（　　）
A. A、B之间动摩擦因数为0.1
B. 长木板的质量M＝2 kg
C. 长木板长度至少为2 m
D. A、B组成的系统损失的机械能为4 J
√
√
解析： 　从题图乙可以看出，开始A做匀减速运动，B做匀加速运动，
最后一起做匀速运动，共同速度为v＝1 m/s，取向右为正方向，根据动量
守恒定律得mv0＝（m＋M）v'，解得M＝m＝2 kg，故B正确；由图像可
知，木板B匀加速运动的加速度为a＝＝1 m/s2，对B，根据牛顿第二定律
得 μmg＝Ma，解得动摩擦因数为μ＝0.1，故A正确；由图像可知前1 s内B
的位移为xB＝×1×1 m＝0.5 m，A的位移为xA＝×1 m＝1.5 m，所以
木板最小长度为 L＝xA－xB＝1 m，故C错误；A、B组成的系统损失的机械
能为 ΔE＝m－（m＋M）v2＝2 J，故D错误。
2. 〔多选〕（2025·福建莆田一中期中）质量皆为m的甲、乙两人分别站在
质量为M的小船的船头和船尾，随船以速度v0在水面上向左运动（不计阻
力）。若两人同时以对地的速率v水平跳出，其中甲沿船前进的方向跳出，
乙沿相反方向跳出，则（　　）
A. 对乙船做的功较多 B. 船对乙的冲量较大
C. 船速不变 D. 船速增大
√
√
解析： 　根据动量定理可知，船对甲的冲量为I＝mv－mv0，船对乙的冲
量为I'＝－mv－mv0，可知船对乙的冲量较大，故B正确；根据水平方向动
量守恒可知（M＋2m）v0＝Mv'＋mv－mv，可知v'＞v0，则船速增大，根据
动能定理可知船对两人做功均为W＝mv2－m，即船对两人做的功相
等，故A、C错误，D正确。
3. 甲、乙两个溜冰者质量分别为48 kg和 50 kg，甲手里拿着质量为2 kg的
球，两人均以2 m/s的速率、在光滑的冰面上沿同一直线相向滑行，甲将球
传给乙，乙再将球传给甲，这样抛接几次后，球又回到甲的手里，乙的速
度为零，则甲的速度的大小为（　　）
A. 0 B. 2 m/s C. 4 m/s D. 无法确定
√
解析：　以甲、乙及球组成的系统为研究对象，以甲原来的滑行方向为
正方向，有
（m甲＋m球）v甲＋m乙v乙＝（m甲＋m球）v甲'，
解得v甲'＝＝ m/s＝0，A正确。
4. 如图所示，A和B两小车静止在光滑的水平面上，质量分别为m1、m2，A
车上有一质量为m0的人，相对地面以水平速度v0向右跳上B车，并与B车相
对静止。若不考虑空气阻力。求：
（1）人跳离A车后，A车的速度大小和方向；
答案：　方向向左　
解析：人跳离A车过程，人与A车组成的系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得 m0v0＋m1vA＝0，解得vA＝－，负号表示方向向左。
（2）人跳上B车的过程中，人对B车所做的功。
答案：
解析：人跳上B车过程，人与车组成的系统动量守恒，以向右为正方
向，由动量守恒定律得m0v0＝（m0＋m2）v，对B车，由动能定理得W＝
m2v2，解得 W＝。
03
PART
课时作业
题组一　动量守恒定律与图像的综合
1. 〔多选〕某研究小组通过实验测得两滑块碰撞前后运动的实验数据，得
到如图所示的位移—时间图像。图中的线段a、b、c分别表示沿光滑水平面
上同一条直线运动的滑块Ⅰ、Ⅱ和它们发生正碰后结合体的位移变化关系。
已知相互作用时间极短，由图像给出的信息可知（　　）
A. 碰前滑块Ⅰ与滑块Ⅱ速度大小之比为5∶2
B. 碰前滑块Ⅰ的动量比滑块Ⅱ的动量大
C. 碰前滑块Ⅰ的动能比滑块Ⅱ的动能小
D. 滑块Ⅰ的质量是滑块Ⅱ的质量的
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√
√
解析： 　根据x-t图像的斜率等于速度，可知碰前滑块Ⅰ速度为v1＝－2
m/s，滑块Ⅱ的速度为 v2＝0.8 m/s，则碰前速度大小之比为5∶2，故选项A
正确；碰撞前后系统动量守恒，碰撞前，滑块Ⅰ的动量为负，滑块Ⅱ的动量
为正，由于碰撞后总动量为正，故碰撞前总动量也为正，碰撞前滑块Ⅰ的动
量比滑块Ⅱ的动量小，选项B错误；碰撞后的共同速度为 v＝0.4 m/s，根据
动量守恒定律，有m1v1＋m2v2＝（m1＋m2）v，解得m2＝6m1，由动能的表
达式可知m1＞m2，故选项C错误，D正确。
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2. 如图甲所示，物块A、B间拴接一个压缩后被锁定的轻弹簧，整个系统
静止放在光滑水平地面上，其中A物块最初与左侧固定的挡板相接触，B物
块质量为6 kg。现解除对弹簧的锁定，从A离开挡板起，B物块的v-t图像如
图所示，则可知（　　）
A. 物块A的质量为4 kg
B. 运动过程中物块A的最大速度为vm＝4 m/s
C. 在物块A离开挡板前，系统动量守恒、机械能守恒
D. 在物块A离开挡板后弹簧的最大弹性势能为45 J
√
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解析：　由图知，A离开挡板瞬间B的速度为v0＝3 m/s，B的速度最小值
为vB＝1 m/s，B的速度最小时，弹簧第一次恢复原长，此时，A的速度最
大，取向右为正方向，根据系统动量守恒和机械能守恒得mBv0＝mAvm＋
mBvB，mB＝mA＋mB，解得mA＝3 kg，vm＝4 m/s，故A错误，
B正确； 在A离开挡板前，由于挡板对A有作用力，A、B系统所受合外力不
为零，所以系统动量不守恒，故C错误；分析从A离开挡板后A、B的运动
过程，弹簧伸长到最长时，弹性势能最大，此时A、B的共同速度为v共，根
据动量守恒mBv0＝（mA＋mB）v共，解得 v共＝2 m/s，根据机械能守恒定律
mB＝（mA＋mB）＋Ep，解得Ep＝9 J，故D错误。
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3. 两滑块a、b沿水平面上同一条直线运动，并发生碰撞，碰撞后两者粘在
一起运动，经过一段时间后，从光滑路段进入粗糙路段。两者的位置x随时
间t变化的图像如图所示。求：
（1）滑块b、a的质量之比；
答案：8∶1　
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解析：设a、b的质量分别为m1、m2，a、b碰撞前速度为v1、v2。由题
给的图像得v1＝－2 m/s　①
v2＝1 m/s　②
a、b发生完全非弹性碰撞，碰撞后两滑块的共同速度为
v＝ m/s　③
由动量守恒定律得m1v1＋m2v2＝（m1＋m2）v　④
联立①②③④式得m2∶m1＝8∶1。
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（2）整个运动过程中，两滑块克服摩擦力做的功与因碰撞而损失的机械
能之比。
答案：1∶2
解析： 由能量守恒得，两滑块因碰撞损失的机械能为
ΔE＝m1＋m2－（m1＋m2）v2
由图像可知，两滑块最后停止运动，由动能定理得，两滑块克服摩擦力所
做的功为W＝（m1＋m2）v2，联立并代入数据得W∶ΔE＝1∶2。
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题组二　应用动量守恒定律解决多物体、多过程问题
4. 〔多选〕如图所示，在光滑水平面上有一辆小车，小车A端与滑块C间
夹了一压缩轻质弹簧（未拴接在一起），用左、右手分别控制小车A端和
滑块C处于静止状态，释放后C会离开弹簧向B端冲去，并跟B端油泥粘在
一起，忽略一切摩擦，对A、B、C组成的系统，下面说法中正确的是
（　　）
A. 先放开右手，再放开左手后，系统动量不守恒
B. 先放开左手，再放开右手，A、B、C的总动量向左
C. 两手同时放开后，C与油泥粘在一起时，车立即停止运动
D. 无论先放哪只手，C与油泥粘在一起时，车都立即停止运动
√
√
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解析： 　先放开右手，再放开左手后，系统在水平方向不受外力作用，
系统的动量守恒，故A错误。先放开左手，后放开右手，放开右手时，小
车已经有向左的速度，系统的动量不为零，A、B、C的总动量向左，故B
正确。两手同时放开后，系统的总动量为零，C与油泥粘在一起时，根据
动量守恒可知车立即停止运动，故C正确。先放开左手，后放开右手，此
后A、B、C的总动量向左，C与油泥粘在一起时，车向左运动；先放开右
手，后放开左手，此后A、B、C的总动量向右，C与油泥粘在一起时，车
向右运动，故D错误。
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5. 〔多选〕如图所示，一个质量为M的木箱静止在光滑水平面上，木箱内
粗糙的水平底板上放着一个质量为m的小木块。现使木箱获得一个向右的
初速度v0，则（　　）
A. 小木块最终将相对木箱静止，二者一起向右运动
B. 小木块和木箱最终速度为
C. 小木块与木箱内壁将始终来回往复碰撞，而木箱一直向右运动
D. 如果小木块与木箱的左壁碰撞后相对木箱静止，则二者将一起向左运动
√
√
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解析： 　木箱与小木块组成的系统水平方向不受外力，故系统水平方向
动量守恒，最终两个物体以相同的速度一起向右运动，取v0的方向为正方
向，由动量守恒定律Mv0＝（M＋m）v，解得v＝，故A、B正确，C、
D错误。
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6. （2025·四川资中球溪高级中学月考）两辆质量相同的小车A、B置于光
滑的水平面上，有一人静止在小车A上，两车A、B静止，如图所示。当这
个人从A车跳到B车上，接着又从B车跳回A车并与A车保持相对静止时，A
车的速率（　　）
A. 等于零 B. 小于B车的速率
C. 大于B车的速率 D. 等于B车的速率
√
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解析：　对于A车、B车和人组成系统，两车均置于光滑的水平面上，在
水平方向上无论人如何跳来跳去，系统均不受外力作用，故满足动量守恒
的条件。设人的质量为m，A车和B车的质量均为M，最终两车速度分别为
vA和vB。由动量守恒定律得0＝（M＋m）vA－MvB，则＝，即vA＜
vB，故B正确。
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7. 〔多选〕甲、乙两溜冰者，m甲＝48 kg，m乙＝50 kg，甲手里拿着2 kg的
球静止，乙以2 m/s的速度向甲运动，不计摩擦。现甲将球抛给乙，乙接球
后再抛给甲，这样抛接若干次后，乙的速度恰为零，此时甲的速度可能是
（　　）
A. 0 B. 2 m/s
C. 1 m/s D. 大于2 m/s
√
√
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解析：以乙溜冰者的运动方向为正方向，根据动量守恒定律，若最后球在甲手中，则m乙v1＝（m甲＋m）v，解得 v＝ m/s＝2 m/s；若最后球在乙手中，则m乙v1＝m甲v'，解得v'＝ m/s≈2.08 m/s。选项B、D正确，A、C错误。
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8. 如图，在光滑的水平面上，有一静止的小车，甲、乙两人站在小车左、
右两端，当他俩同时相向而行时，发现小车向右运动，下列说法中错误的
是（　　）
A. 乙的速度必定大于甲的速度
B. 乙对小车的冲量必定大于甲对小车的冲量
C. 乙的动量必定大于甲的动量
D. 甲、乙的动量之和必定不为零
√
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解析：　甲、乙两人和小车组成的系统所受合外力为0，所以动量守恒，
有m甲v甲＋m乙v乙＋m车v车＝0，小车向右运动说明甲、乙两人总动量向左，
则乙的动量大于甲的动量，即甲、乙的动量之和必定不为零，但由于不知
道两人质量关系，所以无法确定速度关系，C、D正确，不符合题意，A错
误，符合题意；根据动量定理可知，乙对小车的冲量方向向右，甲对小车
的冲量方向向左，而小车速度方向向右，即动量变化量向右，可知乙对小
车的冲量必定大于甲对小车的冲量，B正确，不符合题意。
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9. 〔多选〕如图所示，质量m＝400 kg的小船静止在平静的水面上，船两
端载着质量为m甲＝40 kg、m乙＝60 kg的游泳者，甲向左、乙向右同时以 2
m/s（相对于岸）的水平速度跃入水中，不计水对船的阻力，则正确的是
（　　）
A. 小船获得的速度大小为0.5 m/s
B. 小船获得的速度大小为0.1 m/s
C. 小船受到的合外力冲量大小为40 kg·m/s
D. 若乙跃出的水平速度为3 m/s，则小船获得的速度为零
√
√
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解析： 　甲、乙和船组成的系统动量守恒，以水平向右为正方向，开始
时总动量为零，根据动量守恒定律有0＝－m甲v甲＋m乙v乙＋mv，代入数据
解得 v＝－0.1 m/s，负号说明小船的速度方向向左，故A错误，B正确；根
据动量定理可得，小船受到的冲量大小为I＝m｜v｜＝400×0.1 kg·m/s＝
40 kg·m/s，方向水平向左，故C正确；根据动量守恒定律有0＝－m甲v甲＋m
乙v乙'＋mv'，代入数据解得v'＝－0.25 m/s，故D错误。
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10. 如图，一质量为10 kg的铁球静止在足够长的光滑地面上，人站在小车
上向左推铁球，铁球运动一段时间后和墙壁碰撞，碰后铁球速度反向、大
小不变，每次推球，球出手后的速度大小都为2 m/s，已知人和车的总质量
为50 kg。以下说法正确的是（　　）
A. 运动的全过程人、小车和铁球组成的系统动量守恒
B. 后一次推铁球时推力的冲量总是比前一次推铁球时的更小
C. 连续推4次后铁球将不能追上人和小车
D. 最终人、小车和铁球的速度大小都是2 m/s
√
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解析：铁球与墙壁碰撞过程中，墙壁的作用力对系统有冲量，人、小车和铁球组成的系统动量不守恒，A错误；设铁球的质量为m、人和小车的总质量为M，以水平向左为正方向，第一次推铁球，根据动量定理有I1＝Δp1＝mv＝20 N·s，第二次推铁球，根据动量定理有I2＝Δp2＝mv－m（－v）＝40 N·s，则第二次推铁球的冲量大于第一次推铁球的冲量，之后每一次推铁球的冲量都相等，B错误；要使铁球不能追上小车，需使v球≤v车，推球过程中人、小车和铁球组成的系统动量守恒，则第一次推铁球使人和小车获得了Δp1＝20 kg·m/s的动量，以后每次推铁球都使人和小车增加的动量Δp2＝40 kg·m/s，根据Δp1＋nΔp2＝Mv车可知，当n＝2时，即连续推3次后，人和小车的速度为v车＝2 m/s，与铁球的速度大小相等，则之后铁球不能追上小车，最终人、小车和铁球的速度大小都是2 m/s，C错误，D正确。
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11. （2025·四川攀枝花市高二校联考）甲、乙两小孩各乘一辆小车在光滑
的水平冰面上匀速相向行驶，速度大小均为v0＝6 m/s，甲车上有质量为m
＝1 kg的小球若干个，甲和他的小车及小车上小球的总质量为M1＝50 kg，
乙和他的小车的总质量为M2＝30 kg。为避免相撞，甲不断地将小球以相对
地面为v＝16.5 m/s的水平速度抛向乙，且被乙接住。
（1）甲第一次抛球时对小球的冲量；
答案：10.5 N·s　水平向右　
解析：根据动量定理有I＝mv－mv0
解得I＝10.5 N·s，方向水平向右。
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（2）乙接到第一个球后的速度（保留一位小数）；
答案：5.3 m/s　水平向左　
解析： 对小球和乙组成的整体，根据动量守恒定律有
M2v0－mv＝（M2＋m）v1
解得v1＝5.3 m/s，方向水平向左。
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（3）为保证两车不相撞，甲总共抛出的小球个数是多少？
答案：15
解析：对所有物体组成的系统，根据动量守恒定律有
M1v0－M2v0＝（M1＋M2）v'
对乙和他的小车及小球组成的系统，根据动量守恒定律有
nmv－M2v0＝（M2＋nm）v'
解得n＝15。
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12. A、B两物体在光滑的水平面上相向运动，其中物体A的质量为 mA＝4 kg，两物体发生碰撞前、后的运动图像如图所示，求：
（1）碰前物体A速度vA的大小和方向；
答案：2 m/s　沿x轴负方向　
解析：由图像知，碰前物体A的速度为vA＝，解得vA＝2 m/s，方向
沿x轴负方向。
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（2）物体B的质量mB；
答案：6 kg　
解析：由题图知碰前物体B运动方向为正方向 vB＝＝3 m/s，vAB＝1
m/s，由动量守恒定律得mBvB－mAvA＝（mA＋mB）vAB，解得mB＝6 kg。
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（3）碰撞过程中产生的热量Q。
答案：30 J
解析：由能量守恒定律可得Q＝mA＋mB－（mA＋mB），
代入数据解得Q＝30 J。
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