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1.简谐运动及其图像
题组一　简谐运动的振动图像及物理量
1.〔多选〕如图甲所示，水平的光滑杆上有一弹簧振子，振子以O点为平衡位置，在a、b两点之间做简谐运动，其振动图像如图乙所示，由振动图像可以得知（　　）
A.振子的振动周期等于t1
B.振子的振动周期等于2t1
C.在t＝0时刻，振子的位置在a点
D.在t＝t1时刻，振子的速度最大
2.如图所示，弹簧振子在A、B之间做简谐运动，O为平衡位置，测得A、B间距为8 cm，小球完成30次全振动所用时间为 60 s，则（　　）
A.振动周期是2 s，振幅是8 cm
B.振动频率是2 Hz
C.小球完成一次全振动通过的路程是8 cm
D.小球过O点时开始计时，3 s内通过的路程为24 cm
3.如图甲所示，弹簧振子中小球运动的最左端M、最右端N与平衡位置O间的距离均为l，规定向右为正方向，其振动图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　）
A.图乙中x0应为l
B.0～t1时间内小球由M向O运动
C.t1～时间内小球由M向O运动
D.0～与～T时间内小球运动方向相反
题组二　简谐运动的表达式
4.〔多选〕一简谐运动的振动方程为x＝3sin。式中位移x的单位是 cm，则（　　）
A.振动的振幅为3 cm B.振动的频率为2.5 Hz
C.振动的初相为φ0＝ D.t＝1 s时的位移为2 cm
5.〔多选〕有两个简谐运动，其表达式分别是x1＝4sincm，x2＝5sincm，下列说法正确的是（　　）
A.它们的振幅相同 B.它们的周期相同
C.它们的相位差恒定 D.它们的振动步调一致
题组三　简谐运动的周期性与对称性
6.〔多选〕弹簧振子以O点为平衡位置做简谐运动，从经过O点开始计时，振子第一次到达某点P时用了0.3 s，又经过0.2 s第二次经过P点，则振子第三次经过P点还要经过的时间是（　　）
A.1.6 s B.1.4 s
C. s D.0.8 s
7.〔多选〕一水平弹簧振子做简谐运动，以相同速度先后经过M、N两点，用时0.1 s，又经0.1 s再次回到N点，已知振子在这0.2 s经过的路程为16 cm，则（　　）
A.该弹簧振子的振动频率为5 Hz
B.该弹簧振子做简谐运动的振幅为8 cm
C.若振子经过正向最大位移处开始计时，则t＝2.1 s时刻的位移为－8 cm
D.若振子经过平衡位置开始计时，则在2.5 s内振子经过的路程为2 m
8.〔多选〕一弹簧振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点，t＝0时刻振子的位移x＝－0.1 m；t＝1.2 s 时刻振子刚好第2次经过x＝0.1 m的位置且速度为零。下列有关该振子的运动问题的说法正确的是（　　）
A.振幅为0.1 m
B.周期为1.2 s
C.1.2 s内的路程是0.6 m
D.t＝0.6 s时刻的位移为0.1 m
9.一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪较大，游船上下浮动。可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为 20 cm，周期为6.0 s。当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。地面与甲板的高度差不超过10 cm时，游客能舒服地登船。在一个周期内，游客能舒服登船的时间是（　　）
A.1 s　　 B.2 s
C.3 s　　 D.4 s
10.〔多选〕一弹簧振子在a、b间做简谐运动，O点为平衡位置，当它经过O点时开始计时，经过1 s 第一次到达P点，再经过0.4 s第二次到达P点。则弹簧振子振动的周期可能为（　　）
A.5.6 s B.4.8 s
C.2.4 s D.1.6 s
11.〔多选〕如图甲所示，在弹簧振子的小球上安装一记录用的铅笔P，在下面放一条白纸带，当小球振动时沿垂直于振动方向匀速拉动纸带，铅笔P就在纸带上画出一条振动曲线。若振动曲线如图乙所示，由图像可知，下列说法正确的是（　　 ）
A.小球偏离平衡位置的最大距离为10 cm
B.1 s末到5 s末小球通过的路程为40 cm
C.2 s末和4 s末小球的位移相等，运动方向也相同
D.1 s末和3 s末弹簧的长度相同
12.〔多选〕如图，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向上为正方向，物块做简谐运动的表达式为y＝0.1sin 2.5πt（m）。t＝0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t＝0.6 s 时，小球恰好与物块处于同一高度。重力加速度的大小g取10 m/s2。以下判断正确的是（　　）
A.h＝1.7 m
B.简谐运动的周期是0.8 s
C.0.6 s内物块运动的路程是0.2 m
D.t＝0.4 s时，物块与小球运动方向相反
13.如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动。在t＝0时刻，振动物体从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.2 s时，振动物体的速度第一次变为－v；在t＝0.5 s时，振动物体的速度第二次变为－v。
（1）求弹簧振子的振动周期T。
（2）若B、C之间的距离为25 cm，求振动物体在4.0 s内通过的路程。
（3）若B、C之间的距离为25 cm，从振动物体经过平衡位置向B运动开始计时，写出弹簧振子的位移表达式，并画出振动图像。
1.简谐运动及其图像
1.BD　振子的周期是振子完成一个周期性变化所用的时间，由图直接读出其周期T＝2t1，A错误，B正确；由图乙知在 t＝0 时刻，振子的位移为零，正通过平衡位置，所以振子的位置在O点，C错误；在 t＝t1 时刻，振子的位移为零，正通过平衡位置，速度最大，D正确。
2.D　由题意可知T＝ s＝2 s，A＝ cm＝4 cm，A错误；频率f＝＝ Hz＝0.5 Hz，B错误；小球完成一次全振动通过的路程为振幅的4倍，即4×4 cm＝16 cm，C错误；小球在3 s内通过的路程为s＝×4A＝×4×4 cm＝24 cm，D正确。
3.A　结合甲、乙两图可知t1时刻小球的位移为正值且最大，小球位于N点，x0应为l，A正确；0～ t1时间内位移为正值且逐渐增大，小球由O向N运动，B错误；t1～时间内位移为正值且逐渐减小，小球由N向O运动，C错误；0～时间内小球先沿正方向运动到最大位移处，再沿负方向运动到位移为零处，～T时间内小球先沿负方向运动到负的最大位移处，再沿正方向运动到位移为零处，D错误。
4.ABC　对比简谐运动表达式x＝Asin（ωt＋φ0）＝Asin（2πft＋φ0）可知，振动的振幅为A＝3 cm，f＝2.5 Hz，初相位φ0＝，A、B、C正确；t＝1 s时的位移为x＝3sincm＝3sin cm＝－ cm，D错误。
5.BC　它们的振幅分别是4 cm、5 cm，振幅不同，选项A错误；它们的角频率ω＝100π rad/s，所以周期T＝＝ s，选项B正确；由Δφ＝－＝知相位差恒定，选项C正确；Δφ≠0，即振动步调不一致，选项D错误。
6.BC　假设弹簧振子在B、C之间振动，有下面两种情况：①若振子开始先向左振动，如图甲所示，振子的振动周期为T＝×4 s＝ s，则振子第三次通过P点还要经过的时间是t＝ s－0.2 s＝ s；②若振子开始先向右振动，如图乙所示，振子的周期为T＝4× s＝1.6 s，则振子第三次通过P点还要经过的时间是t＝1.6 s－0.2 s＝1.4 s，故B、C正确，A、D错误。
7.BD　根据简谐运动的特点可知，M、N两点关于平衡位置O对称，根据对称性可知，振子从M到O与从O到N的时间均为t1＝0.05 s，振子从N点到最大位移处所用时间与从最大位移处回到N点所用时间相等，为t2＝×0.1 s＝0.05 s，所以振子从平衡位置到最大位移处所用时间为＝t1＋t2，解得T＝0.4 s，则频率为f＝＝2.5 Hz，同理分析可知，振子的振幅A＝×16 cm＝8 cm，故A错误，B正确；若振子经过正向最大位移处开始计时，则振子的振动方程可写为x＝Acos＝8cos（5πt）cm，则t＝2.1 s时刻的位移为x1＝8cos（10.5π）cm＝0，故C错误；若振子经过平衡位置开始计时，由于2.5 s＝6T＋，则振子在2.5 s内经过的路程为s＝6×4A＋A＝2 m，故D正确。
8.AC　由题意知，t＝1.2 s时刻振子处在正向最大位移处，故 t＝0时刻在负向最大位移处，则振幅为 0.1 m，A正确；由于是第二次到正向最大位移处，所以1.5T＝1.2 s，可得 T＝0.8 s，B错误；一个周期经过的路程是4个振幅，1.2 s内的路程为6A，即0.6 m，C正确；0.6 s为T，t＝0.6 s时刻振子位于平衡位置，位移为零，D错误。
9.B　把船浮动简化成竖直方向的简谐运动，从船上升到最高点时计时，其振动方程为y＝Acost，代入数据得y＝20cost cm，当y＝10 cm 时，可解得t＝，t＝1 s，故在一个周期内，游客能舒服登船的时间是2t＝2 s，故选B。
10.BD　若振子从O点计时开始向右运动，即按图1所示路线振动，根据简谐运动的对称性可知振子从P到b点所用的时间为0.2 s，则振子的振动周期为T＝4×（1＋）s＝4.8 s。
若振子从O点计时开始向左运动，即按图2所示路线振动，其中P1与P关于O对称，根据简谐运动的对称性可知，P1到a再回到P1时间也为0.4 s，P到b所用时间与P1到a点时间相同，均为t1＝ s＝0.2 s，O到P1、 P1到O与O到P所用时间相等，均为t2＝（1－0.4）s＝0.2 s，可知振子从O到a所用时间为0.4 s，则振子的振动周期为T＝4×0.4 s＝1.6 s。综上所述可知A、C错误，B、D正确。
11.AB　由题图乙可知小球偏离平衡位置的最大距离为10 cm，故A正确；1 s末到5 s末小球通过的路程是40 cm，故B正确；2 s末和4 s末小球位移均为0，位移相同，2 s末小球向x轴负方向运动，4 s末小球向x轴正方向运动，运动方向相反，故C错误；1 s末和3 s末弹簧的长度不同，D错误。
12.AB　t＝0.6 s时，物块的位移为y＝0.1sin（2.5π×0.6）m＝－0.1 m，则对小球有h＋｜y｜＝gt2，解得h＝1.7 m，A正确；简谐运动的周期是T＝＝ s＝0.8 s，B正确；0.6 s内物块运动的路程为3A＝0.3 m，故C错误；t＝0.4 s＝，此时物块在平衡位置向下振动，则此时物块与小球运动方向相同，故D错误。
13.（1）1.0 s　（2）200 cm　（3）x＝12.5sin 2πt cm　见解析图
解析：（1）根据简谐运动的对称性和题意可知，振动物体完成半次全振动所用时间为0.5 s，则T＝0.5×2 s＝1.0 s。
（2）若B、C之间的距离为25 cm，则振幅A＝×25 cm＝12.5 cm，
振动物体4.0 s内通过的路程s＝×4×12.5 cm＝200 cm。
（3）根据物体做简谐运动的表达式x＝Asin ωt，已知
A＝12.5 cm，ω＝＝2π rad/s，
代入得x＝12.5sin（2πt） cm，振动图像如图所示。
3 / 31.简谐运动及其图像
素养目标
1.知道机械振动、平衡位置的概念。 2.知道弹簧振子的概念及其振动图像的意义。 3.知道简谐运动的概念，理解简谐运动的振动图像的意义及应用。 4.知道简谐运动的振幅、周期、频率、相位（初相位、相位差）的概念。会分析简谐运动中有关物理量的变化规律。 5.理解简谐运动的表达式及有关各物理量的意义，能应用表达式解答有关问题。
知识点一｜机械振动　简谐运动
1.机械振动
（1）定义：物体（或物体的某一部分）在某一位置两侧所做的　　　　运动，叫作机械振动，简称振动。
（2）平衡位置：物体不振动时的静止位置。
（3）普遍性：振动现象在自然界中普遍存在。
2.弹簧振子
（1）构成：弹簧和小球组成的振动系统。
（2）条件：弹簧的质量比小球的质量　　　，可以忽略不计，且不计　　　　阻力。
3.弹簧振子的振动图像
（1）建立：横轴表示时间t，纵轴表示振子相对　　　　的位移x，这样就得到振子在平衡位置附近往返运动时的　　　　　图像，即x-t图像。
（2）特点：大致是一条　　　　或余弦曲线。
（3）物理意义：描述了振子相对平衡位置的位移随时间变化的规律。
4.简谐运动：质点的位移与时间的关系严格遵从　　　　函数的规律，即它的振动图像是一条　　　　曲线，这样的运动叫作简谐运动。
【情境思辨】
　观察下列情境，判断下列说法的正误。
（1）跳绳时人的上下运动是机械振动。（　　）
（2）荡秋千时人的来回运动是机械振动。（　　）
（3）弹奏吉他时琴弦的运动是机械振动。（　　）
（4）弹簧振子的振动图像就是振子运动轨迹。（　　）
（5）简谐运动就是指弹簧振子的运动。（　　）
知识点二｜描述简谐运动的物理量
1.振幅
（1）定义：振动物体离开平衡位置的　　　　　距离。
（2）物理意义：振幅表示　　　　　　　，是标量。
2.全振动
振动物体完成一次　　　　的振动过程（以后完全重复原来的运动）叫作一次全振动，例如：如图所示，O为弹簧振子的平衡位置，B、B' 为最大位移处，则振子运动经历O→B→O→B'→O或B→O→B'→O→B的过程均为一次全振动。
3.周期和频率
（1）周期：做简谐运动的物体完成一次　　　所用的时间，符号为T，单位为秒（s）。
（2）频率：完成全振动的　　　　与所用时间的比，符号为f，单位为　　　，简称赫（Hz）。
（3）周期与频率的关系及物理意义：T＝，周期和频率都是表示振动快慢的物理量。
4.相位：表示振动的步调。更确切地说，相位是描述做周期性运动的物体在各个时刻所处　　　　的物理量。
【情境思辨】
如图所示，一个水平方向的弹簧振子以O为平衡位置，在B、C间做简谐运动，D为B、O间某点。
（1）弹簧振子的振幅是指振子的位移。（　　）
（2）振子经历DOCOD的过程是一次全振动。（　　）
（3）振子从平衡位置O出发到又回到平衡位置O的时间为一个周期。（　　）
知识点三｜简谐运动的表达式
1.意义：简谐运动的物体离开平衡位置的位移x与时间t的函数关系。
2.表达式：x＝　　　　＝Asin＝Asin（2πft＋φ0）。
（1）A表示振动的　　　　，T表示振动的周期，f表示振动的频率。
（2）“ωt＋φ0”“t＋φ0”“2πft＋φ0”表示简谐运动的　　　　，φ0表示t＝0时的相位，叫作　　　　或初相。
3.相位差
频率相同的两个简谐运动有固定的相位差，即Δφ＝φ1－φ2＝定值。
（1）振动同相：两个物体的振动总是“步调一致”，即Δφ＝0。
（2）振动反相：两个物体的振动总是“步调相反”，即Δφ＝π。
要点一　简谐运动的振动图像及物理量
【探究】
　 如图所示，在弹簧振子的小球上固定一记录用的铅笔P，在下面放一条白纸带，铅笔可在纸上留下痕迹。请思考：
（1）振子振动时白纸不动，画出的轨迹是怎样的？
（2）振子振动时，匀速拖动白纸时，画出的轨迹又是怎样的？
【归纳】
1.x-t图像的应用
（1）读取简谐振动的振幅A、周期T。
（2）读取任意时刻质点位移的大小和方向。如图甲所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2。
（3）判断任意时刻质点的振动方向（看质点下一时刻的位移）
①位移为正值：若位移增大，则质点沿x轴正方向运动（如图乙中a点）；若位移减小，则质点沿x轴负方向运动（如图乙中b点）；
②位移为负值：若位移增大，则质点沿x轴负方向运动（如图乙中c点）；若位移减小，则质点沿x轴正方向运动（如图乙中d点）；
（4）判断各运动学量的变化（先判断质点在某段时间内的振动方向，从而确定各运动学量的变化。如图甲所示）
①在t1→t0时间内，质点衡位置运动，则位移变小，速度变大，加速度变小；
②在t0→t2时间内，质点远离平衡位置运动，则位移变大，速度变小，加速度变大。
2.简谐运动中振幅与位移、路程、周期的关系
振幅与位移 （1）振幅等于位移的最大值； （2）同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化
振幅与路程 振动中的路程是随时间不断增大的，不同时间内路程与振幅的对应关系： （1）t＝T时，s＝4A，（t＝nT时，s＝n·4A）； （2）t＝T时，s＝2A； （3）t＝T时，可能有s＝A、s＞A、s＜A。 注意：只有当初始时刻在平衡位置或最大位移处时，内通过的路程才为 s＝A
振幅与周期 在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期（或频率）是固定的，与振幅无关
3.全振动的“四个特征”
（1）物理量特征：位移x、加速度a、速度v三者第一次同时与初始状态相同。
（2）时间特征：历时一个周期。
（3）路程特征：振幅的4倍。
（4）相位特征：增加2π。
【典例1】　如图甲所示，一弹簧振子在A、B之间做简谐运动，O点为小球静止的位置，其振动图像如图乙所示，规定向右的方向为正方向，试根据图像分析以下问题：
（1）在t＝0时刻，小球所处的位置为　　　　（选填“A点”“O点”或“B点”），正在向　　　　　（选填“左”或“右”）运动。
（2）A、B两点间的距离为　　　　 cm。
（3）在图乙中，小球在t＝1 s、t＝2 s和t＝3 s时所处的位置依次是　　　　、　　　　和　　　　。
（4）在t＝2 s时，小球速度的方向与t＝0时速度的方向　　　　（选填“相同”或“相反”）。
（5）小球在前4 s内的位移等于　　　　 cm，其路程为　　　　 cm。
尝试解答
1.〔多选〕如图表示某质点做简谐运动的图像，以下关于该质点的说法正确的是（　　）
A.t1、t2时刻的速度相同
B.从t1到t2这段时间内，速度与位移同向
C.从t2到t3这段时间内，速度增大，位移减小
D.t1、t3时刻的速度相同
2.〔多选〕如图是用频闪照相的方法获得的弹簧振子的位移—时间图像，下列有关该图像的说法正确的是（　　）
A.该图像的坐标原点建立在弹簧振子的平衡位置
B.从图像可以看出小球在振动过程中是沿t轴方向移动的
C.为了显示小球在不同时刻偏离平衡位置的位移，可以让底片沿垂直x轴方向匀速运动
D.图像中小球的疏密显示出相同时间内小球位置变化的快慢
要点二　简谐运动的表达式
1.表达式的常见形式
（1）从平衡位置开始计时：
x＝Asin ωt＝Asint＝Asin 2πft。
（2）从正向最大位移处开始计时：
x＝Acos ωt＝Acost＝Acos 2πft。
（3）从一般位置开始计时：
x＝Asin（ωt＋φ0）＝Asin（ t＋φ0）＝Asin（2πft＋φ0）。
2.相位“（ωt＋φ0）”的理解
（1）描述做简谐运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量。
（2）相位是一个随时间变化的量，相当于一个角度，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动，经历一个周期。
（3）相位差：即两个振动某一时刻的相位之差。它反映出两个简谐运动的步调差异。
（4）关于两个相同频率的简谐运动的相位差的理解
两个具有相同ω的简谐运动，设其初相分别为φ1和φ2，其相位差Δφ＝（ωt＋φ1）－（ωt＋φ2）＝φ1－φ2。
①取值范围：－π≤Δφ≤π。
②Δφ＝0，表明两振动步调完全相同，称为同相；Δφ＝±π，表明两振动步调完全相反，称为反相。
③Δφ＞0，表示振动1比振动2超前；Δφ＜0，表示振动1比振动2滞后。
【典例2】　 〔多选〕物体A做简谐运动的振动位移xA＝3sinm，物体B做简谐运动的振动位移xB＝5sinm。比较物体A、B的运动，下列说法正确的是　（　　）
A.振幅是矢量，物体A的振幅是6 m，物体B的振幅是10 m
B.周期是标量，物体A、B周期相等，均为100 s
C.物体A振动的频率fA等于物体B振动的频率fB
D.物体A的相位始终超前物体B的相位
尝试解答
1.〔多选〕一弹簧振子A的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.1sin（2.5πt）m。则（　　）
A.弹簧振子的振幅为0.2 m
B.弹簧振子的周期为1.25 s
C.在t＝0.2 s时，振子的运动速度为零
D.若另一弹簧振子B的位移y随时间变化的关系式为y＝0.2sinm，则振动A滞后振动B的相位为
2.〔多选〕如图所示，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为振子的平衡位置，其振动方程为x＝5sin（10πt＋）cm。下列说法正确的是（　　）
A.M、N间的距离为5 cm B.振子的运动周期是0.2 s
C.t＝0时，振子位于N点 D.t＝0.05 s时，振子具有最大速度
要点三　简谐运动的周期性与对称性
1.简谐运动的周期性的理解
（1）若t2－t1＝nT，n＝1，2，3，…，则t1、t2两时刻振动物体一定在同一位置，描述运动的物理量（x、a、v）均相同。
（2）若t2－t1＝nT＋T，n＝0，1，2，3，…，则t1、t2两时刻振动物体的位置一定关于平衡位置对称，描述运动的物理量（x、a、v）均大小相等，方向相反。
2.简谐运动的对称性的理解
状态量的 对称性 当振动物体通过关于平衡位置对称的两个位置时，则： （1）物体的位移、加速度的大小一定相等，方向一定相反； （2）物体的速度大小一定相等，方向可能相同、也可能相反
时间的对 称性 （1）振动物体来回通过相同的两点间的时间一定相等，如图所示，tBC＝tCB； （2）振动物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间一定相等，如图所示，tBC＝tB'C'
【典例3】　〔多选〕一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动，若从O点开始计时，经过2 s质点第一次经过M点，再继续运动，又经过 1 s 它第二次经过M点；则该质点第三次经过M点再需要的时间可能是（　　）
A. s　　B. s C.7 s　　D.9 s
尝试解答
规律方法
简谐运动的多解问题产生原因
（1）周期性形成多解；
（2）对称性形成多解。
1.一水平弹簧振子做简谐运动，周期为T，则（　　）
A.若t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt一定等〗于T的整数倍
B.若t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动位移的大小相等、方向相反，则Δt一定等于的整数倍
C.若Δt＝T，则在t时刻和（t＋Δt）时刻振子振动的加速度一定相等
D.若Δt＝，则在t时刻和（t＋Δt）时刻弹簧的长度一定相等
2.〔多选〕一简谐振子沿x轴振动，平衡位置在坐标原点，t＝0 时，振子的位移x＝－0.1 m；t＝ s时，x＝0.1 m；t＝4 s时，x＝0.1 m。该振子的振幅和周期可能为（　　）
A.0.1 m， s B.0.1 m，2.5 s
C.0.1 m，8 s D.0.2 m， s
1.〔多选〕下列振动系统可看作弹簧振子的是（　　 ）
A.如图甲所示，竖直悬挂的轻弹簧及小铅球组成的系统
B.如图乙所示，放在光滑斜面上的铁块及轻弹簧组成的系统
C.如图丙所示，光滑水平面上，两根轻弹簧系着一个小钢球组成的系统
D.蹦极运动中的人与弹性绳组成的系统（人所受阻力不能忽略）
2.下列关于振动的说法正确的是（　　）
A.物体的振动范围就是振幅
B.振幅是标量，它是描述振动强弱的物理量
C.物体每完成一次全振动，都会通过平衡位置一次
D.物体振动的周期越长，振动系统的能量就越强
3.如图所示，弹簧振子在B、C间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5 cm。若振子从B到C的运动时间是1 s，则下列说法中正确的是（　　）
A.振子从B经O到C完成一次全振动
B.振动周期是1 s，振幅是10 cm
C.经过两次全振动，振子通过的路程是20 cm
D.从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm
4.〔多选〕如图所示，A、B为两简谐运动的图像，下列说法正确的是（　　）
A.A、B之间的相位差是
B.A、B之间的相位差是
C.B比A超前
D.A比B超前
1.简谐运动及其图像
【基础知识落实】
知识点一
1.（1）往复　2.（2）小得多　空气
3.（1）平衡位置　位移—时间　（2）正弦　4.正弦　正弦
情境思辨
（1）×　（2）√　（3）√　（4）×　（5）×
知识点二
1.（1）最大　（2）振动强弱　　2.完整　3.（1）全振动
（2）次数　赫兹　4.状态
情境思辨
（1）×　（2）×　（3）×
知识点三
2.Asin（ωt＋φ0）　（1）振幅　（2）相位　初相位
【核心要点突破】
要点一
知识精研
【探究】　提示：（1）一条平行于运动方向的线段。
（2）是一条正弦（或余弦）曲线，如图所示。
【典例1】　（1）O点　右　（2）6　（3）B点　O点　A点
（4）相反　（5）0　12
解析：（1）由振动图像知，t＝0时，x＝0，表示小球位于平衡位置，即O点。在0～1 s内，振动位移x＞0，且逐渐增大，表示t＝0时，小球正在向正方向运动，即向右运动。
（2）由题图乙知，小球离开平衡位置的最大距离为3 cm，则AB＝6 cm。
（3）t＝1 s时，x＝3 cm，小球位于B点；在t＝2 s时，x＝0，小球位于平衡位置O点；t＝3 s时，x＝－3 cm，小球位于A点。
（4）在t＝2 s时，x-t图像切线的斜率为负，表示小球向负方向运动，即向左运动。与t＝0时，速度的方向相反。
（5）在t＝4 s时，小球又回到了平衡位置，故位移Δx＝0，前4 s内的路程为s＝3 cm×4＝12 cm。
素养训练
1.BC　t1时刻质点速度最大，t2时刻质点速度为零，A错误；从t1到t2这段时间内，质点远离平衡位置，其速度、位移方向均背离平衡位置，所以二者方向相同，B正确；从t2到t3这段时间内，质点向平衡位置运动，速度在增大，而位移在减小，C正确；t1和t3时刻质点在平衡位置，速度大小相等，方向相反，D错误。
2.ACD　该图像的坐标原点建立在弹簧振子的平衡位置，小球的振动过程是沿x轴方向运动的，故A正确，B错误；由获得图像的方法知C正确；频闪照相是间隔相同时间留下的小球的像，因此小球的疏密显示了它位置变化的快慢，D正确。
要点二
知识精研
【典例2】　CD　振幅是标量，物体A、B的振动范围分别是 6 m、10 m，振幅分别为3 m、5 m，选项A错误；物体A、B振动的周期T＝＝ s＝0.02π s，选项B错误；因TA＝TB，故fA＝fB，选项C正确；Δφ＝φA－φB＝为定值，选项D正确。
素养训练
1.CD　由振动方程x＝0.1sin（2.5πt）m，可读出振幅A＝0.1 m，圆频率ω＝2.5π rad/s，周期T＝＝ s＝0.8 s， A、B错误；在t＝0.2 s时，振子的位移最大，故速度最小，为零，C正确；两振动的相位差Δφ＝φ2－φ1＝2.5πt＋－2.5πt＝，即振动B超前振动A的相位为，或者说振动A滞后振动B的相位为（也可画出两个振动的图像来直观判断），D正确。
2.BCD　M、N间的距离为2A＝10 cm，A错误；由x＝5sin（10πt＋）cm可知ω＝10π rad/s，可知振子的运动周期是T＝＝0.2 s，B正确；由x＝5sin（10πt＋）cm可知t＝0时x＝5 cm，即振子位于N点，C正确；由x＝5sin（10πt＋）cm可知t＝0.05 s时x＝0，此时振子在O点，振子速度最大，D正确。
要点三
知识精研
【典例3】　BD
　若振子开始运动的方向先向左，再向M点运动，运动路线如图甲所示。可得振动的周期为T＝（ 2 s＋×1 s）××4＝ s。
振子第三次通过M点需要经过的时间为t＝T－1 s＝ s。若振子开始运动的方向向右直接向M点运动，运动线路如图乙所示。
振动的周期为T＝×4＝10 s。振子第三次通过M点需要经过的时间为t＝T－1 s＝9 s。
素养训练
1.C　
如图所示，图中的a、b、c三点位移大小相等、方向相同，显然Δt不等于T的整数倍，故选项A错误；图中的a、d两点的位移大小相等，方向相反，Δt＜，故选项B错误；在相隔一个周期T的两个时刻，振子只能位于同一位置，其位移相同，合外力相同，加速度必相等，选项C正确；相隔的两个时刻，振子的位移大小相等，方向相反，其位置关于平衡位置对称，弹簧分别处于压缩和拉伸状态，弹簧的长度并不相等，选项D错误。
2.AD　若振子的振幅为0.1 m， s＝T，则周期最大值为 s，选项A正确，B、C错误；若振子的振幅为 0.2 m，由简谐运动的对称性可知，当振子由x＝－0.1 m 处运动到负向最大位移处再反向运动到 x＝0.1 m 处，再经n个周期时所用时间为 s，则 s＝T，所以周期的最大值为 s，且t＝4 s时刻x＝0.1 m，故选项D正确。
【教学效果检测】
1.ABC　选项A、B、C都满足弹簧振子的条件，符合题意；选项D中人受空气的阻力不可忽略，且人不能看作质点，故不可看作弹簧振子，不符合题意。
2.B　振幅是物体偏离平衡位置的最大距离，A错误；振幅是标量，它是描述振动强弱的物理量，B正确；物体每完成一次全振动，都会通过平衡位置两次，C错误；振动周期描述的是振动的快慢，振动系统的能量取决于振幅，D错误。
3.D　振子从B经O到C只完成半次全振动，再回到B才算完成一次全振动，完成一次全振动的时间为一个周期，故 T＝2 s，A、B错误；经过一次全振动，振子通过的路程是4倍振幅，故经过两次全振动，振子通过的路程是40 cm，C错误；从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm，D正确。
4.BD　由题图可知A比B超前，相位差为 Δφ＝，选项B、D正确。
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1.简谐运动及其图像
1.知道机械振动、平衡位置的概念。
2.知道弹簧振子的概念及其振动图像的意义。
3.知道简谐运动的概念，理解简谐运动的振动图像的意义及应用。
4.知道简谐运动的振幅、周期、频率、相位（初相位、相位差）的概
念。会分析简谐运动中有关物理量的变化规律。
5.理解简谐运动的表达式及有关各物理量的意义，能应用表达式解答有
关问题。
素养目标
01
基础知识落实
目 录
02
核心要点突破
03
教学效果检测
04
课时作业
01
PART
基础知识落实
知识点一｜机械振动　简谐运动
1. 机械振动
（1）定义：物体（或物体的某一部分）在某一位置两侧所做的
运动，叫作机械振动，简称振动。
（2）平衡位置：物体不振动时的静止位置。
（3）普遍性：振动现象在自然界中普遍存在。
往复　
2. 弹簧振子
（1）构成：弹簧和小球组成的振动系统。
（2）条件：弹簧的质量比小球的质量 ，可以忽略不计，且不
计 阻力。
小得多　
空气　
3. 弹簧振子的振动图像
（1）建立：横轴表示时间t，纵轴表示振子相对 的位移
x，这样就得到振子在平衡位置附近往返运动时的 图
像，即x-t图像。
（2）特点：大致是一条 或余弦曲线。
（3）物理意义：描述了振子相对平衡位置的位移随时间变化的规律。
4. 简谐运动：质点的位移与时间的关系严格遵从 函数的规律，即
它的振动图像是一条 曲线，这样的运动叫作简谐运动。
平衡位置　
位移—时间　
正弦　
正弦　
正弦　
【情境思辨】
　观察下列情境，判断下列说法的正误。
（1）跳绳时人的上下运动是机械振动。 （　×　）
（2）荡秋千时人的来回运动是机械振动。 （　√　）
（3）弹奏吉他时琴弦的运动是机械振动。 （　√　）
（4）弹簧振子的振动图像就是振子运动轨迹。 （　×　）
（5）简谐运动就是指弹簧振子的运动。 （　×　）
×
√
√
×
×
知识点二｜描述简谐运动的物理量
1. 振幅
（1）定义：振动物体离开平衡位置的 距离。
（2）物理意义：振幅表示 ，是标量。
2. 全振动
振动物体完成一次 的振动过程（以后完全重复原来的运动）叫作一次全振动，例如：如图所示，O为弹簧振子的平衡位置，B、B' 为最大位移处，则振子运动经历O→B→O→B'→O或B→O→B'→O→B的过程均为一次全振动。
最大　
振动强弱　
完整　
3. 周期和频率
（1）周期：做简谐运动的物体完成一次 所用的时间，符号为
T，单位为秒（s）。
（2）频率：完成全振动的 与所用时间的比，符号为f，单位
为 ，简称赫（Hz）。
（3）周期与频率的关系及物理意义：T＝，周期和频率都是表示振动快
慢的物理量。
4. 相位：表示振动的步调。更确切地说，相位是描述做周期性运动的物体
在各个时刻所处 的物理量。
全振动　
次数　
赫兹　
状态　
【情境思辨】
如图所示，一个水平方向的弹簧振子以O为平衡位置，在B、C间做简谐运
动，D为B、O间某点。
（1）弹簧振子的振幅是指振子的位移。 （　×　）
（2）振子经历DOCOD的过程是一次全振动。 （　×　）
（3）振子从平衡位置O出发到又回到平衡位置O的时间为一个周期。
（　×　）
×
×
×
知识点三｜简谐运动的表达式
1. 意义：简谐运动的物体离开平衡位置的位移x与时间t的函数关系。
2. 表达式：x＝ ＝Asin＝Asin（2πft＋φ0）。
（1）A表示振动的 ，T表示振动的周期，f表示振动的频率。
（2）“ωt＋φ0”“t＋φ0”“2πft＋φ0”表示简谐运动的 ，φ0表
示t＝0时的相位，叫作 或初相。
Asin（ωt＋φ0）　
振幅　
相位　
初相位　
3. 相位差
频率相同的两个简谐运动有固定的相位差，即Δφ＝φ1－φ2＝定值。
（1）振动同相：两个物体的振动总是“步调一致”，即Δφ＝0。
（2）振动反相：两个物体的振动总是“步调相反”，即Δφ＝π。
02
PART
核心要点突破
要点一　简谐运动的振动图像及物理量
【探究】
　 如图所示，在弹簧振子的小球上固定一记录用的铅笔P，在下面放一条白纸带，铅笔可在纸上留下痕迹。请思考：
（1）振子振动时白纸不动，画出的轨迹是怎样的？
提示：一条平行于运动方向的线段。
（2）振子振动时，匀速拖动白纸时，画出的轨迹
又是怎样的？
提示：是一条正弦（或余弦）曲线，如图所示。
【归纳】
1. x-t图像的应用
（1）读取简谐振动的振幅A、周期T。
（2）读取任意时刻质点位移的大小和方向。如图甲所示，质点在t1、t2时
刻的位移分别为x1和－x2。
①位移为正值：若位移增大，则质点沿x轴正方向运动（如图乙中a点）；
若位移减小，则质点沿x轴负方向运动（如图乙中b点）；
②位移为负值：若位移增大，则质点沿x轴负方向运动（如图乙中c点）；
若位移减小，则质点沿x轴正方向运动（如图乙中d点）；
（3）判断任意时刻质点的振动方向（看质点下一时刻的位移）
（4）判断各运动学量的变化（先判断质点在某段时间内的振动方向，从
而确定各运动学量的变化。如图甲所示）
①在t1→t0时间内，质点衡位置运动，则位移变小，速度变大，加速
度变小；
②在t0→t2时间内，质点远离平衡位置运动，则位移变大，速度变小，加速
度变大。
2. 简谐运动中振幅与位移、路程、周期的关系
振幅与位移 （1）振幅等于位移的最大值；
（2）同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化
振幅与路程 振动中的路程是随时间不断增大的，不同时间内路程与振幅的对应关系：
（1）t＝T时，s＝4A，（t＝nT时，s＝n·4A）；
（2）t＝T时，s＝2A；
（3）t＝T时，可能有s＝A、s＞A、s＜A。
注意：只有当初始时刻在平衡位置或最大位移处时，内通过的路程才为 s＝A
振幅与
周期 在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期（或频率）是固定的，与振幅无关
3. 全振动的“四个特征”
（1）物理量特征：位移x、加速度a、速度v三者第一次同时与初始状
态相同。
（2）时间特征：历时一个周期。
（3）路程特征：振幅的4倍。
（4）相位特征：增加2π。
【典例1】　如图甲所示，一弹簧振子在A、B之间做简谐运动，O点为小球
静止的位置，其振动图像如图乙所示，规定向右的方向为正方向，试根据
图像分析以下问题：
（1）在t＝0时刻，小球所处的位置为 （选填“A点”“O点”或
“B点”），正在向 （选填“左”或“右”）运动。
解析： 由振动图像知，t＝0时，x＝0，表示小球位于平衡位置，即O
点。在0～1 s内，振动位移x＞0，且逐渐增大，表示t＝0时，小球正在向正
方向运动，即向右运动。
O点　
右　
（2）A、B两点间的距离为 cm。
解析：由题图乙知，小球离开平衡位置的最大距离为3 cm，则AB＝6 cm。
6　
（3）在图乙中，小球在t＝1 s、t＝2 s和t＝3 s时所处的位置依次是
、 和 。
解析： t＝1 s时，x＝3 cm，小球位于B点；在t＝2 s时，x＝0，小球位
于平衡位置O点；t＝3 s时，x＝－3 cm，小球位于A点。
B
点　
O点　
A点　
（4）在t＝2 s时，小球速度的方向与t＝0时速度的方向 （选填
“相同”或“相反”）。
解析： 在t＝2 s时，x-t图像切线的斜率为负，表示小球向负方向运
动，即向左运动。与t＝0时，速度的方向相反。
相反　
（5）小球在前4 s内的位移等于 cm，其路程为 cm。
解析：在t＝4 s时，小球又回到了平衡位置，故位移Δx＝0，前4 s内
的路程为s＝3 cm×4＝12 cm。
0　
12　
1. 〔多选〕如图表示某质点做简谐运动的图像，以下关于该质点的说法正
确的是（　　）
A. t1、t2时刻的速度相同
B. 从t1到t2这段时间内，速度与位移同向
C. 从t2到t3这段时间内，速度增大，位移减小
D. t1、t3时刻的速度相同
√
√
解析： 　t1时刻质点速度最大，t2时刻质点速度为零，A错误；从t1到t2
这段时间内，质点远离平衡位置，其速度、位移方向均背离平衡位置，所
以二者方向相同，B正确；从t2到t3这段时间内，质点向平衡位置运动，速
度在增大，而位移在减小，C正确；t1和t3时刻质点在平衡位置，速度大小
相等，方向相反，D错误。
2. 〔多选〕如图是用频闪照相的方法获得的弹簧振子的位移—时间图像，
下列有关该图像的说法正确的是（　　）
A. 该图像的坐标原点建立在弹簧振子的平衡位置
B. 从图像可以看出小球在振动过程中是沿t轴方向移动的
C. 为了显示小球在不同时刻偏离平衡位置的位移，可以让底片沿垂直x轴
方向匀速运动
D. 图像中小球的疏密显示出相同时间内小球位置变化的快慢
√
√
√
解析：该图像的坐标原点建立在弹簧振子的平衡位置，小球的振动过程是沿x轴方向运动的，故A正确，B错误；由获得图像的方法知C正确；频闪照相是间隔相同时间留下的小球的像，因此小球的疏密显示了它位置变化的快慢，D正确。
要点二　简谐运动的表达式
1. 表达式的常见形式
（1）从平衡位置开始计时：
x＝Asin ωt＝Asint＝Asin 2πft。
（2）从正向最大位移处开始计时：
x＝Acos ωt＝Acost＝Acos 2πft。
（3）从一般位置开始计时：
x＝Asin（ωt＋φ0）＝Asin（ t＋φ0）＝Asin（2πft＋φ0）。
（1）描述做简谐运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不
同振动的振动步调的物理量。
（2）相位是一个随时间变化的量，相当于一个角度，相位每增加2π，意
味着物体完成了一次全振动，经历一个周期。
（3）相位差：即两个振动某一时刻的相位之差。它反映出两个简谐运动
的步调差异。
2. 相位“（ωt＋φ0）”的理解
②Δφ＝0，表明两振动步调完全相同，称为同相；Δφ＝±π，表明两振动步
调完全相反，称为反相。
③Δφ＞0，表示振动1比振动2超前；Δφ＜0，表示振动1比振动2滞后。
（4）关于两个相同频率的简谐运动的相位差的理解
两个具有相同ω的简谐运动，设其初相分别为φ1和φ2，其相位差Δφ＝（ωt
＋φ1）－（ωt＋φ2）＝φ1－φ2。
①取值范围：－π≤Δφ≤π。
【典例2】　 〔多选〕物体A做简谐运动的振动位移xA＝3sinm，
物体B做简谐运动的振动位移xB＝5sinm。比较物体A、B的运
动，下列说法正确的是　（　　）
A. 振幅是矢量，物体A的振幅是6 m，物体B的振幅是10 m
B. 周期是标量，物体A、B周期相等，均为100 s
C. 物体A振动的频率fA等于物体B振动的频率fB
D. 物体A的相位始终超前物体B的相位
√
√
解析： 　振幅是标量，物体A、B的振动范围分别是 6 m、10 m，振幅分
别为3 m、5 m，选项A错误；物体A、B振动的周期T＝＝ s＝0.02π
s，选项B错误；因TA＝TB，故fA＝fB，选项C正确；Δφ＝φA－φB＝为定
值，选项D正确。
1. 〔多选〕一弹簧振子A的位移x随时间t变化的关系式为x＝0.1sin
（2.5πt）m。则（　　）
A. 弹簧振子的振幅为0.2 m
B. 弹簧振子的周期为1.25 s
C. 在t＝0.2 s时，振子的运动速度为零
D. 若另一弹簧振子B的位移y随时间变化的关系式为y＝0.2sin
m，则振动A滞后振动B的相位为
√
√
解析： 　由振动方程x＝0.1sin（2.5πt）m，可读出振幅A＝0.1 m，圆
频率ω＝2.5π rad/s，周期T＝＝ s＝0.8 s， A、B错误；在t＝0.2 s
时，振子的位移最大，故速度最小，为零，C正确；两振动的相位差Δφ＝
φ2－φ1＝2.5πt＋－2.5πt＝，即振动B超前振动A的相位为，或者说振动
A滞后振动B的相位为（也可画出两个振动的图像来直观判断），D正确。
2. 〔多选〕如图所示，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原
点O为振子的平衡位置，其振动方程为x＝5sin（10πt＋）cm。下列说法正
确的是（　　）
A. M、N间的距离为5 cm
B. 振子的运动周期是0.2 s
C. t＝0时，振子位于N点
D. t＝0.05 s时，振子具有最大速度
√
√
√
解析：M、N间的距离为2A＝10 cm，A错误；由x＝5sin（10πt＋）cm可知ω＝10π rad/s，可知振子的运动周期是T＝＝0.2 s，B正确；由x＝5sin（10πt＋）cm可知t＝0时x＝5 cm，即振子位于N点，C正确；由x＝5sin（10πt＋）cm可知t＝0.05 s时x＝0，此时振子在O点，振子速度最大，D正确。
要点三　简谐运动的周期性与对称性
1. 简谐运动的周期性的理解
（1）若t2－t1＝nT，n＝1，2，3，…，则t1、t2两时刻振动物体一定在同一
位置，描述运动的物理量（x、a、v）均相同。
（2）若t2－t1＝nT＋T，n＝0，1，2，3，…，则t1、t2两时刻振动物体的
位置一定关于平衡位置对称，描述运动的物理量（x、a、v）均大小相等，
方向相反。
2. 简谐运动的对称性的理解
状态
量的 对称性 当振动物体通过关于平衡位置对称的两个位置时，则：
（1）物体的位移、加速度的大小一定相等，方向一定相反；
（2）物体的速度大小一定相等，方向可能相同、也可能相反
时间
的对 称性
（1）振动物体来回通过相同的两点间的时间一定相等，如图所
示，tBC＝tCB；
（2）振动物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间一定相等，如图所示，tBC＝tB'C'
【典例3】　〔多选〕一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动，若从O点
开始计时，经过2 s质点第一次经过M点，再继续运动，又经过 1 s 它第二
次经过M点；则该质点第三次经过M点再需要的时间可能是（　　）
A. s B. s C. 7 s D. 9 s
√
√
解析： 　若振子开始运动的方向先向左，再向M点运动，运动路线如图
甲所示。可得振动的周期为T＝（ 2 s＋×1 s）××4＝ s。
振子第三次通过M点需要经过的时间为t＝T－1 s＝ s。若振子开始运动的
方向向右直接向M点运动，运动线路如图乙所示。
振动的周期为T＝×4＝10 s。振子第三次通过M点需要经过的
时间为t＝T－1 s＝9 s。
规律方法
简谐运动的多解问题产生原因
（1）周期性形成多解；
（2）对称性形成多解。
1. 一水平弹簧振子做简谐运动，周期为T，则（　　）
A. 若t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt一
定等〗于T的整数倍
B. 若t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动位移的大小相等、方向相反，则Δt一
定等于的整数倍
C. 若Δt＝T，则在t时刻和（t＋Δt）时刻振子振动的加速度一定相等
D. 若Δt＝，则在t时刻和（t＋Δt）时刻弹簧的长度一定相等
√
解析：如图所示，图中的a、b、c三点位移大
小相等、方向相同，显然Δt不等于T的整数倍，
故选项A错误；图中的a、d两点的位移大小相
等，方向相反，Δt＜，故选项B错误；在相隔一个周期T的两个时刻，振子只能位于同一位置，其位移相同，合外力相同，加速度必相等，选项C正确；相隔的两个时刻，振子的位移大小相等，方向相反，其位置关于平衡位置对称，弹簧分别处于压缩和拉伸状态，弹簧的长度并不相等，选项D错误。
2. 〔多选〕一简谐振子沿x轴振动，平衡位置在坐标原点，t＝0 时，振子
的位移x＝－0.1 m；t＝ s时，x＝0.1 m；t＝4 s时，x＝0.1 m。该振子的
振幅和周期可能为（　　）
A. 0.1 m， s B. 0.1 m，2.5 s
C. 0.1 m，8 s D. 0.2 m， s
√
√
解析： 　若振子的振幅为0.1 m， s＝T，则周期最大值为 s，
选项A正确，B、C错误；若振子的振幅为 0.2 m，由简谐运动的对称性可
知，当振子由x＝－0.1 m 处运动到负向最大位移处再反向运动到 x＝0.1 m
处，再经n个周期时所用时间为 s，则 s＝T，所以周期的最大值为
s，且t＝4 s时刻x＝0.1 m，故选项D正确。
03
PART
教学效果检测
1. 〔多选〕下列振动系统可看作弹簧振子的是（　　 ）
A. 如图甲所示，竖直悬挂的轻弹簧及小铅球组成的系统
B. 如图乙所示，放在光滑斜面上的铁块及轻弹簧组成的系统
C. 如图丙所示，光滑水平面上，两根轻弹簧系着一个小钢球组成的系统
D. 蹦极运动中的人与弹性绳组成的系统（人所受阻力不能忽略）
√
√
√
解析：选项A、B、C都满足弹簧振子的条件，符合题意；选项D中人受空气的阻力不可忽略，且人不能看作质点，故不可看作弹簧振子，不符合题意。
2. 下列关于振动的说法正确的是（　　）
A. 物体的振动范围就是振幅
B. 振幅是标量，它是描述振动强弱的物理量
C. 物体每完成一次全振动，都会通过平衡位置一次
D. 物体振动的周期越长，振动系统的能量就越强
解析：　振幅是物体偏离平衡位置的最大距离，A错误；振幅是标量，它
是描述振动强弱的物理量，B正确；物体每完成一次全振动，都会通过平
衡位置两次，C错误；振动周期描述的是振动的快慢，振动系统的能量取
决于振幅，D错误。
√
3. 如图所示，弹簧振子在B、C间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5 cm。
若振子从B到C的运动时间是1 s，则下列说法中正确的是（　　）
A. 振子从B经O到C完成一次全振动
B. 振动周期是1 s，振幅是10 cm
C. 经过两次全振动，振子通过的路程是20 cm
D. 从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm
解析：　振子从B经O到C只完成半次全振动，再回到B才算完成一次全振
动，完成一次全振动的时间为一个周期，故 T＝2 s，A、B错误；经过一次
全振动，振子通过的路程是4倍振幅，故经过两次全振动，振子通过的路
程是40 cm，C错误；从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm，D正确。
√
4. 〔多选〕如图所示，A、B为两简谐运动的图像，下列说法正确的是
（　　）
A. A、B之间的相位差是
B. A、B之间的相位差是
C. B比A超前
D. A比B超前
√
√
解析：由题图可知A比B超前，相位差为 Δφ＝，选项B、D正确。
04
PART
课时作业
题组一　简谐运动的振动图像及物理量
1. 〔多选〕如图甲所示，水平的光滑杆上有一弹簧振子，振子以O点为平
衡位置，在a、b两点之间做简谐运动，其振动图像如图乙所示，由振动图
像可以得知（　　）
A. 振子的振动周期等于t1
B. 振子的振动周期等于2t1
C. 在t＝0时刻，振子的位置在a点
D. 在t＝t1时刻，振子的速度最大
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解析： 　振子的周期是振子完成一个周期性变化所用的时间，由图直接
读出其周期T＝2t1，A错误，B正确；由图乙知在 t＝0 时刻，振子的位移为
零，正通过平衡位置，所以振子的位置在O点，C错误；在 t＝t1 时刻，振
子的位移为零，正通过平衡位置，速度最大，D正确。
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2. 如图所示，弹簧振子在A、B之间做简谐运动，O为平衡位置，测得A、B
间距为8 cm，小球完成30次全振动所用时间为 60 s，则（　　）
A. 振动周期是2 s，振幅是8 cm
B. 振动频率是2 Hz
C. 小球完成一次全振动通过的路程是8 cm
D. 小球过O点时开始计时，3 s内通过的路程为24 cm
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解析：　由题意可知T＝ s＝2 s，A＝ cm＝4 cm，A错误；频率f＝＝
Hz＝0.5 Hz，B错误；小球完成一次全振动通过的路程为振幅的4倍，即
4×4 cm＝16 cm，C错误；小球在3 s内通过的路程为s＝×4A＝×4×4
cm＝24 cm，D正确。
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3. 如图甲所示，弹簧振子中小球运动的最左端M、最右端N与平衡位置O
间的距离均为l，规定向右为正方向，其振动图像如图乙所示，下列说法正
确的是（　　）
A. 图乙中x0应为l
B. 0～t1时间内小球由M向O运动
C. t1～时间内小球由M向O运动
D. 0～与～T时间内小球运动方向相反
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解析：　结合甲、乙两图可知t1时刻小球的位移为正值且最大，小球位于
N点，x0应为l，A正确；0～ t1时间内位移为正值且逐渐增大，小球由O向N
运动，B错误；t1～时间内位移为正值且逐渐减小，小球由N向O运动，C
错误；0～时间内小球先沿正方向运动到最大位移处，再沿负方向运动到
位移为零处，～T时间内小球先沿负方向运动到负的最大位移处，再沿正
方向运动到位移为零处，D错误。
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题组二　简谐运动的表达式
4. 〔多选〕一简谐运动的振动方程为x＝3sin。式中位移x的单位
是 cm，则（　　）
A. 振动的振幅为3 cm B. 振动的频率为2.5 Hz
C. 振动的初相为φ0＝ D. t＝1 s时的位移为2 cm
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解析：对比简谐运动表达式x＝Asin（ωt＋φ0）＝Asin（2πft＋φ0）可知，振动的振幅为A＝3 cm，f＝2.5 Hz，初相位φ0＝，A、B、C正确；t＝1 s时的位移为x＝3sincm＝3sin cm＝－ cm，D错误。
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5. 〔多选〕有两个简谐运动，其表达式分别是x1＝4sincm，x2
＝5sincm，下列说法正确的是（　　）
A. 它们的振幅相同 B. 它们的周期相同
C. 它们的相位差恒定 D. 它们的振动步调一致
√
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解析：　它们的振幅分别是4 cm、5 cm，振幅不同，选项A错误；它们
的角频率ω＝100π rad/s，所以周期T＝＝ s，选项B正确；由Δφ＝
－＝知相位差恒定，选项C正确；Δφ≠0，即振
动步调不一致，选项D错误。
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题组三　简谐运动的周期性与对称性
6. 〔多选〕弹簧振子以O点为平衡位置做简谐运动，从经过O点开始计
时，振子第一次到达某点P时用了0.3 s，又经过0.2 s第二次经过P点，则
振子第三次经过P点还要经过的时间是（　　）
A. 1.6 s B. 1.4 s
C. s D. 0.8 s
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解析：假设弹簧振子在B、C之间振动，有
下面两种情况：①若振子开始先向左振动，
如图甲所示，振子的振动周期为T＝×
4 s＝ s，则振子第三次通过P点还要经过的时间是t＝ s－0.2 s＝ s；②若振子开始先向右振动，如图乙所示，振子的周期为T＝4× s＝1.6 s，则振子第三次通过P点还要经过的时间是t＝1.6 s－0.2 s＝1.4 s，故B、C正确，A、D错误。
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7. 〔多选〕一水平弹簧振子做简谐运动，以相同速度先后经过M、N两
点，用时0.1 s，又经0.1 s再次回到N点，已知振子在这0.2 s经过的路程为
16 cm，则（　　）
A. 该弹簧振子的振动频率为5 Hz
B. 该弹簧振子做简谐运动的振幅为8 cm
C. 若振子经过正向最大位移处开始计时，则t＝2.1 s时刻的位移为－8 cm
D. 若振子经过平衡位置开始计时，则在2.5 s内振子经过的路程为2 m
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解析：根据简谐运动的特点可知，M、N两点关于平衡位置O对称，根据对称性可知，振子从M到O与从O到N的时间均为t1＝0.05 s，振子从N点到最大位移处所用时间与从最大位移处回到N点所用时间相等，为t2＝×0.1 s＝0.05 s，所以振子从平衡位置到最大位移处所用时间为＝t1＋t2，解得T＝0.4 s，则频率为f＝＝2.5 Hz，同理分析可知，振子的振幅A＝×16 cm＝8 cm，故A错误，B正确；若振子经过正向最大位移处开始计时，则振子的振动方程可写为x＝Acos＝8cos（5πt）cm，则t＝2.1 s时刻的位移为x1＝8cos（10.5π）cm＝0，故C错误；若振子经过平衡位置开始计时，由于2.5 s＝6T＋，则振子在2.5 s内经过的路程为s＝6×4A＋A＝2 m，故D正确。
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8. 〔多选〕一弹簧振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点，t＝0时
刻振子的位移x＝－0.1 m；t＝1.2 s 时刻振子刚好第2次经过x＝0.1 m的位
置且速度为零。下列有关该振子的运动问题的说法正确的是（　　）
A. 振幅为0.1 m
B. 周期为1.2 s
C. 1.2 s内的路程是0.6 m
D. t＝0.6 s时刻的位移为0.1 m
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解析： 　由题意知，t＝1.2 s时刻振子处在正向最大位移处，故 t＝0时
刻在负向最大位移处，则振幅为 0.1 m，A正确；由于是第二次到正向最
大位移处，所以1.5T＝1.2 s，可得 T＝0.8 s，B错误；一个周期经过的路
程是4个振幅，1.2 s内的路程为6A，即0.6 m，C正确；0.6 s为T，t＝0.6
s时刻振子位于平衡位置，位移为零，D错误。
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9. 一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪较大，游船上下浮动。可把
游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为 20 cm，周期为6.0 s。当船
上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。地面与甲板的高度差不超过
10 cm时，游客能舒服地登船。在一个周期内，游客能舒服登船的时间是
（　　）
A. 1 s B. 2 s
C. 3 s D. 4 s
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解析：　把船浮动简化成竖直方向的简谐运动，从船上升到最高点时计
时，其振动方程为y＝Acost，代入数据得y＝20cost cm，当y＝10 cm
时，可解得t＝，t＝1 s，故在一个周期内，游客能舒服登船的时间是2t＝
2 s，故选B。
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10. 〔多选〕一弹簧振子在a、b间做简谐运动，O点为平衡位置，当它经
过O点时开始计时，经过1 s 第一次到达P点，再经过0.4 s第二次到达P
点。则弹簧振子振动的周期可能为（　　）
A. 5.6 s B. 4.8 s
C. 2.4 s D. 1.6 s
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解析：若振子从O点计时开始向右运动，
即按图1所示路线振动，根据简谐运动
的对称性可知振子从P到b点所用的时间
为0.2 s，则振子的振动周期为T＝4×（1＋）s＝4.8 s。
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若振子从O点计时开始向左运动，即按图2所示路线振动，其中P1与P关于
O对称，根据简谐运动的对称性可知，P1到a再回到P1时间也为0.4 s，P到b
所用时间与P1到a点时间相同，均为t1＝ s＝0.2 s，O到P1、 P1到O与O到
P所用时间相等，均为t2＝（1－0.4）s＝0.2 s，可知振子从O到a所用时间
为0.4 s，则振子的振动周期为T＝4×0.4 s＝1.6 s。综上所述可知A、C错
误，B、D正确。
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11. 〔多选〕如图甲所示，在弹簧振子的小球上安装一记录用的铅笔P，在
下面放一条白纸带，当小球振动时沿垂直于振动方向匀速拉动纸带，铅笔
P就在纸带上画出一条振动曲线。
若振动曲线如图乙所示，由图像
可知，下列说法正确的是（　　 ）
A. 小球偏离平衡位置的最大距离为10 cm
B. 1 s末到5 s末小球通过的路程为40 cm
C. 2 s末和4 s末小球的位移相等，运动方向也相同
D. 1 s末和3 s末弹簧的长度相同
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解析： 　由题图乙可知小球偏离平衡位置的最大距离为10 cm，故A正
确；1 s末到5 s末小球通过的路程是40 cm，故B正确；2 s末和4 s末小球位
移均为0，位移相同，2 s末小球向x轴负方向运动，4 s末小球向x轴正方向
运动，运动方向相反，故C错误；1 s末和3 s末弹簧的长度不同，D错误。
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12. 〔多选〕如图，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方
向做简谐运动。以竖直向上为正方向，物块做简谐运动的表达式为y＝
0.1sin 2.5πt（m）。t＝0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t＝0.6 s
时，小球恰好与物块处于同一高度。重力加速度的大小g取10 m/s2。以下
判断正确的是（　　）
A. h＝1.7 m
B. 简谐运动的周期是0.8 s
C. 0.6 s内物块运动的路程是0.2 m
D. t＝0.4 s时，物块与小球运动方向相反
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解析： t＝0.6 s时，物块的位移为y＝0.1sin（2.5π×0.6）m＝－0.1 m，则对小球有h＋｜y｜＝gt2，解得h＝1.7 m，A正确；简谐运动的周期是T＝＝ s＝0.8 s，B正确；0.6 s内物块运动的路程为3A＝0.3 m，故C错误；t＝0.4 s＝，此时物块在平衡位置向下振动，则此时物块与小球运动方向相同，故D错误。
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13.如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动。
在t＝0时刻，振动物体从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.2 s
时，振动物体的速度第一次变为－v；在t＝0.5 s时，振动物体的速度
第二次变为－v。
（1）求弹簧振子的振动周期T。
答案：1.0 s　
解析：根据简谐运动的对称性和题意可知，振动物体完成半次全振动所用时间为0.5 s，则T＝0.5×2 s＝1.0 s。
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（2）若B、C之间的距离为25 cm，求振动物体在4.0 s内通过的路程。
答案：200 cm　
解析：若B、C之间的距离为25 cm，则振幅A＝×25 cm＝12.5 cm，
振动物体4.0 s内通过的路程s＝×4×12.5 cm＝200 cm。
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（3）若B、C之间的距离为25 cm，从振动物体经过平衡位置向B运动开始
计时，写出弹簧振子的位移表达式，并画出振动图像。
答案：x＝12.5sin 2πt cm　见解析图
解析： 根据物体做简谐运动的表达式x＝Asin ωt，
已知A＝12.5 cm，ω＝＝2π rad/s，
代入得x＝12.5sin（2πt） cm，振动图像如图所示。
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