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4.实验：用单摆测量重力加速度
1.某实验小组用单摆做简谐运动来测定重力加速度。
（1）实验中待小钢球摆动稳定后，现要测量小钢球运动的周期。甲同学从小钢球某次通过平衡位置时开始计时，数出以后小钢球通过平衡位置的次数n，用停表记下所用的时间t；乙同学从小钢球某次通过平衡位置时开始计时，并将这次通过平衡位置时记为1，将小钢球第二次沿同一方向通过平衡位置时记为2，第三次沿同一方向通过平衡位置时记为3，以此类推，一直数到n'，同时按下停表，停表的显示时间为t'；你选择　　　　（选填“甲”或“乙”）同学的实验方法，对应的单摆的周期表达式为　　　　　。
（2）某同学用一块外形不规则的长条状的大理石块代替了摆球，用不可伸长细线连接悬点O和大理石块的顶端N点进行实验。先使O、N间细线长度为某个值，测出其周期T1；后使O、N间细线长度比原来增加了ΔL，再测出摆的周期T2。那么，重力加速度的值可以表示为　　　　（用T1、T2、ΔL表示）。
2.某同学利用单摆测定当地的重力加速度。
（1）实验室已经提供的器材有：铁架台、夹子、秒表、游标卡尺。除此之外，还需要的器材有　　　。
A.长度约为1 m的细线
B.长度约为30 cm的细线
C.直径约为2 cm的钢球
D.直径约为2 cm的木球
E.最小刻度为1 cm的直尺
F.最小刻度为1 mm的直尺
（2）该同学在测量单摆的周期时，他用秒表记下了单摆做50次全振动的时间，如图所示，秒表的读数为　　　　 s。
（3）下表是该同学记录的3组实验数据，并做了部分计算处理。
组次 1 2 3
摆长l/cm 80.00 90.00 100.00
50次全振动时间t/s 90.0 95.5 100.5
振动周期T/s 1.80 1.91
重力加速度g/（m·s－2） 9.74 9.73
请计算出第3组实验中的T＝　　　　　 s，g＝　　　　m/s2。
3.某同学利用单摆测定当地的重力加速度。
（1）为了减小测量周期的误差，实验时需要在适当的位置做一标记，当摆球通过该标记时开始计时，该标记应该放置在摆球摆动的　　　　。
A.最高点　　　B.最低点　　　C.任意位置
（2）用停表测量单摆的周期。当单摆摆动稳定且到达计时标记时开始计时并记为n＝1，单摆每经过标记记一次数，当数到n＝60时停表的示数如图甲所示，该单摆的周期是T＝　　　　s（结果保留三位有效数字）。
（3）若用最小刻度为1 mm的刻度尺测摆线长，测量情况如图乙所示。O为悬挂点，从图乙中可知单摆的摆线长为　　　　m；用游标卡尺测量摆球的直径如图丙所示，则球的直径为　　　 cm；单摆的摆长为　　　　m（计算结果保留三位有效数字）。
（4）若用l表示摆长，T表示周期，那么重力加速度的表达式为g＝　　　　。
4.小明做“用单摆测量重力加速度”的实验。
（1）如图甲所示，细线的上端固定在铁架台上，下端系一个小钢球（下方吸附有小磁片），做成一个单摆。图乙、丙分别画出了细线上端的两种不同的悬挂方式，你认为应选用图　　　　（选填“乙”或“丙”）的悬挂方式；
（2）使小球在竖直平面内做小角度摆动，打开手机的磁传感器软件。某次采集到的磁感应强度B的大小随时间t变化的图像如图丁所示，则单摆的振动周期T＝　　　　 s（结果保留3位有效数字）；
（3）改变线长l，重复上述步骤，实验测得数据如下表所示（实验前已测得小球半径r），请根据表中的数据，在方格纸上作出L-T2图像；
L＝l＋r/m T/s T2/s2
0.40 1.276 1.628
0.60 1.555 2.418
0.80 1.801 3.244
1.00 2.010 4.040
1.20 2.208 4.875
（4）测得当地的重力加速度g＝　　　　　 m/s2（结果保留3位有效数字，π取3.14）。
5.某同学设计实验测量当地的重力加速度，实验器材主要由一个可调速的电动机、智能手机、细铜丝、钢管支架和不锈钢底座组成，其中可调速的电动机是由一个低速旋转电动机、一个直流电机调速器和一个直流开关电源组成。手机在水平面内稳定做匀速圆周运动时可处理为“圆锥摆”模型，手机上装载的Phyphox软件配合手机内的陀螺仪可直接测得手机做圆周运动的角速度ω和向心加速度a，Tracker软件可通过拍下的视频分析测量绕杆做圆周运动时悬线与竖直方向的夹角及手机做圆周运动的半径r。有了a、θ、ω、r的实测数据，即可在误差允许范围之内测量当地重力加速度。
（1）小河同学根据所学过的力学知识推出当地重力加速度表达式为g1＝　　　　（用a和θ表示）。
（2）若保持角速度ω不变，改变线长L，根据测得的5组数据描点作图，直线拟合后得到a-r图像如图所示，直线斜率为k，圆心到悬点距离为h，当地重力加速度表达式为g2＝　　　　（用k和h表示）
（3）根据下面数据描绘a-tan θ图像，请在坐标纸上描出序号为4的点，并由图像计算重力加速度g＝　　　m/s2（结果保留三位有效数字）。
序号 夹角θ/（°） 夹角正切tan θ 半径r/m 角速度 ω/（rad·s－1） 向心加速度 a/（m·s－2）
1 44.90 0.998 0.403 4.954 9.789
2 47.25 1.082 0.434 4.941 10.577
3 49.50 1.111 0.486 4.833 11.348
4 49.90 1.188 0.466 4.961 11.683
5 53.10 1.332 0.545 4.912 12.999
4.实验：用单摆测量重力加速度
1.（1）甲　　（2）
解析：（1）甲同学，每次小球到平衡位置时计数，则n次即为个周期，所以时间t内的完成个周期，则周期为。
（2）设两次实验中摆线长分别为L1、L2，对应的周期分别为T1、T2，大理石块重心到N点的距离为x，则T1＝2π，T2＝2π，联立解得g＝＝。
2.（1）ACF　（2）95.2　（3）2.01　9.76
解析：（1）细线长度要远大于小球直径；小球需要体积小、质量大，所以选钢球；为了提高测量的精确度，选择毫米刻度尺。故选A、C、F。
（2）秒表的读数为95.2 s。
（3）周期为T＝＝ s＝2.01 s，根据周期公式得g＝，代入数据得g≈9.76 m/s2。
3.（1）B　（2）2.28　（3）0.991 5（0.991 3～0.991 7均可）　2.075　1.00　（4）
解析：（1）为了减小测量周期时由操作者引起的偶然误差，实验时需要在摆球速度最大的点做标记，即最低点。
（2）用停表测量单摆的周期，为减小实验误差需测量多个周期的总时间。根据题意可知从n＝1到n＝60共有59个时间间隔，每一个时间间隔为个周期，故为29T，根据停表读出此时间间隔为Δt＝67.4 s。代入数据解得，单摆的周期约为2.28 s。
（3）用最小刻度为1 mm的刻度尺测得单摆的摆线长为99.15 cm＝0.991 5 m，用游标卡尺测量摆球的直径，此游标尺为20分度，读数为20 mm＋×15 mm＝20.75 mm＝2.075 cm，单摆的摆长为l＝m＝1.001 875 m，计算结果保留三位有效数字，故摆长为1.00 m。
（4）根据T＝2π可知g＝。
4.（1）丙　（2）1.36　（3）见解析图　（4）9.78
解析：（1）当单摆摆动时，题图乙的悬挂方式会造成摆长发生变化，则题图丙的悬挂方式较好。
（2）小球经过最低点时磁感应强度最大，相邻两次磁感应强度最强的时间间隔为半个周期，由题图丁可知单摆的周期约为1.36 s。
（3）根据表格中数据描点连线如下图。
（4）根据单摆周期公式T＝2π，可得L＝T2
则图线斜率为＝ m/s2＝0.248 m/s2
则g＝9.78 m/s2。
5.（1）　 （2）kh　（3）见解析图　9.76（9.70～9.86均可）
解析：（1）由题意可知圆锥摆做圆周运动时的向心力为 ma＝mg1tan θ，故重力加速度为g1＝。
（2）由题意知ma＝mω2r，则a＝ω2r，可得斜率k＝ω2，由（1）知mgtan θ＝mω2r，tan θ＝，故可求得g2＝kh。
（3）描出序号为4的点，如图所示。
由（1）可知a-tan θ图像的斜率表示重力加速度，其值约为9.76 m/s2。
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一、实验目的
1.学会用单摆测量当地的重力加速度。
2.学会使用停表。
二、实验原理
　当偏角很小（5°左右）时，单摆做简谐运动，其运动周期为T＝2π，它与偏角的大小及摆球的质量无关，由此得到g＝。因此，只要测出摆长l和振动周期T，就可以求出当地的重力加速度g的值。
三、实验器材
　带有铁夹的铁架台、中心有小孔的小钢球、不易伸长的细线（约1米）、停表、毫米刻度尺和游标卡尺。
四、实验步骤
1.做单摆：取约1 m长的不易伸长的细线，一端穿过带孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上，并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂。实验装置如图。
2.测摆长：用量程1 m的刻度尺量出悬线长度l'，用游标卡尺量出摆球的直径d，摆长l＝l'＋。
3.测周期：把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度（5°左右）后释放。为了使摆球只在一个竖直平面内摆动，要从静止释放且摆球不要旋转。从摆球某次通过平衡位置时启动停表开始计时，数出摆球通过平衡位置的次数n（摆球第一次过平衡位置记为零）。用停表记下所用的时间t，则单摆振动的周期 T＝。
4.变摆长：改变摆长，多做几次实验。
五、数据处理
1.公式法：把测得的数据和计算结果填入如下的表中，将测得的几组周期T和摆长l的对应值分别代入公式g＝中算出重力加速度g的值，求出几次实验得到的重力加速度的平均值，即可把它看作本地区的重力加速度。
实验次数 1 2 3
l'
d
l'＋
n
t
g g1＝＝　　　 g2＝＝　　　 g3＝＝　　　
＝＝
2.图像法：由T＝2π
得T2＝l，以T2为纵轴、以l为横轴作出 T2-l 图像，其斜率k＝，由图像的斜率即可求出重力加速度g。
六、误差分析
1.系统误差：主要来源于单摆模型本身是否符合要求。即悬点是否固定，摆球是否可看作质点，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内振动以及测量哪段长度作为摆长等。
2.偶然误差：主要来自时间（即单摆周期）的测量。因此，要注意测准时间（周期）。要从摆球通过平衡位置时开始计时，并采用倒计时计数的方法，即4，3，2，1，0，1，2…在数“零”的同时按下秒表开始计时，不能多计或漏计振动次数。为了减小偶然误差，应进行多次测量后取平均值。
七、注意事项
1.选择材料时应选择细、轻又不易伸长的线，长度一般在1 m左右，小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2 cm。
2.单摆悬线的上端不可随意卷在铁架台的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线下滑、摆长改变的现象。
3.注意摆动时控制摆线偏离竖直方向的夹角不超过5°，可通过估算振幅的办法掌握。
4.摆球振动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆。
5.计算单摆的振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，可在摆球平衡位置的正下方作一标记，以后摆球每次通过最低位置时进行计数。
题型一｜教材原型实验
【典例1】　用单摆测定重力加速度的实验装置如图1所示。
（1）组装单摆时，应在下列器材中选用　　　（选填选项前的字母）。
A.长度为1 m左右的细线
B.长度为30 cm左右的细线
C.直径为2 cm左右的塑料球
D.直径为2 cm左右的铁球
（2）选择好器材，将符合实验要求的摆球用细线悬挂在铁架台横梁上，应采用图2中　　　　　（选填“甲”或“乙”）所示的固定方式。
（3）将单摆正确组装后进行如下操作，其中正确的是　　　　　（选填选项前的字母）。
A.测出摆线长作为单摆的摆长
B.把摆球从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之做简谐运动
C.在摆球经过平衡位置时开始计时
D.用秒表测量单摆完成1次全振动所用时间并作为单摆的周期
（4）某同学用游标卡尺测得摆球的直径为d，用秒表测得摆球完成N次全振动所用的时间为t，用米尺测得摆线长为l0，根据以上数据，可得到当地的重力加速度g为　　　　。
（5）另一位同学多次改变单摆的摆长l并测得相应的周期T，他根据测量数据画出了如图3所示的图像。你认为横坐标所代表的物理量应为　　　　（选填“l2”“l”或“”）。
尝试解答
【典例2】　某同学在“用单摆测量重力加速度”的实验中进行了如下的操作：
（1）用游标上有10个小格的游标卡尺测量摆球直径如图甲所示，摆球直径d＝　　 　cm，把摆球用细线悬挂在铁架台上，测得摆线长为l0，得到摆长表达式为L＝　　　　。
（2）用停表测量单摆的周期，当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并记为n＝0，单摆每经过最低点记一次数，当数到n＝60时停表的示数如图乙所示，该单摆的周期 T＝　　　　s（结果保留3位有效数字）。
（3）①测量出多组周期T、摆长L数值后，画出 T2-L 图像如图丙所示，造成图线不过坐标原点的原因可能是　　　（从下面选项中选择填）；
A.摆球的振幅过小　　　 B.l0将计为摆长
C.将（l0＋d）计为摆长 D.摆球质量过大
②这样将使根据图像得出的g测量值　　　　　　（选填“偏大”“偏小”或“不受影响”）。
（4）某同学通过实验测得：悬点O到小球球心的距离为L；计时开始后，从小球第一次通过平衡位置到第n次通过平衡位置所用的时间为t，则重力加速度g＝　　　　（用L、n、t及常数表示）。
（5）本实验测得的重力加速度一般略微偏小，这是由于以下哪个系统误差造成的　　　　。
A.小球经过平衡位置时计时，很难看准，造成较大的周期测量误差
B.小球球心位置较难确定，使摆长测量存在较大的系统误差
C.单摆摆动过程中，摆线会稍稍伸长，造成摆长的测量值比实际值偏小
尝试解答
规律总结
单摆周期测量误差的产生原因
1.测量摆长时引起的误差
（1）摆长测量值偏小，则g的测量值偏小。如在未悬挂摆球前测量了摆长；仅测量了摆线长，漏加摆球半径等；
（2）摆长测量值偏大，则g的测量值偏大。如测量摆长时摆线拉得过紧或以摆线长和小球的直径之和作为摆长（多加了半径）。
2.测量周期时引起的误差
（1）周期测量值偏大，则g的测量值偏小。如把（n＋1）次全振动的时间误当成n次全振动的时间；开始计时时停表过早按下或停止计时时停表过迟按下等。
（2）周期测量值偏小，则g的测量值偏大。如把（n－1）次全振动的时间误当成n次全振动的时间；开始计时时停表过迟按下或停止计时时停表过早按下等。
（3）计量单摆的全振动次数时，不从摆球通过最低点（平衡位置）时开始计时，容易产生较大的计时误差。
题型二｜拓展与创新实验
【典例3】　将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为h（未知）且开口向下的小筒中（单摆的下部分露于筒外），如图甲所示，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆振动过程中悬线不会碰到筒壁，如果本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离L，并通过改变L而测出对应的摆动周期T，再以T2为纵轴、L为横轴作出T2-L函数关系图像，那么就可以通过此图像得出小筒的深度h和当地的重力加速度g。
（1）如果实验中所得到的T2-L关系图像如图乙所示，那么真正的图像应该是a、b、c中的　　　　；
（2）由图可知，小筒的深度h＝　　　　m，当地重力速度g＝　　　　m/s2（π取3.14，g的计算结果保留3位有效数字）。
尝试解答
1.某班同学组织春游爬山，在山顶发现一棵合抱古树，他们想知道这棵古树的树围。由于未带卷尺，只备有救生绳（质量不计且不可伸长），于是他们利用单摆原理对古树的树围进行粗略测量。他们用救生绳绕树一周，截取长度等于树干周长的一段（已预留出打结部分的长度），然后在这段救生绳的一端系一个小石块。接下来的操作步骤为：
Ⅰ.将截下的救生绳的另一端固定在一根离地足够高的树枝上；
Ⅱ.移动小石块，使伸直的救生绳偏离竖直方向一个小于5°的角度，然后由静止释放，使小石块在同一竖直面内摆动；
Ⅲ.从小石块经过平衡位置（已经选定参考位置）开始，用手机中的“秒表”软件计时（记为第1次经过平衡位置），至小石块第41次经过平衡位置，测出这一过程所用的总时间为94.20 s。
（1）根据步骤Ⅲ，可得小石块摆动的周期T＝　　　　s；
（2）经百度查得该地区的重力加速度为 9.79 m/s2，可估得该古树的树围C＝　　　m（结果保留2位有效数字）；
（3）若空气阻力的影响可不计，同时小石块摆动的周期T测量结果准确，考虑到该山的海拔较高，则该古树树围的测量值　　　　（填“＞”“＜”或“＝”）真实值。
2.某小组同学做了“用单摆测量重力加速度”实验后，为进一步探究，将单摆的轻质细线改为刚性重杆。通过查资料得知，这样做成的“复摆”做简谐运动的周期T＝2π，式中Ic为由该摆决定的常量，m为摆的质量，g为重力加速度，r为转轴到重心C的距离。如图（a），实验时在杆上不同位置打上多个小孔，让光滑水平轴穿过其中一个小孔，使杆做简谐运动，测量并记录r和相应的运动周期T；然后让轴穿过不同位置的孔重复实验，实验数据见表，并测得摆的质量m＝0.50 kg。
r/m 0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.200
T/s 2.11 2.14 2.20 2.30 2.43 2.64
（1）由实验数据得出图（b）所示的拟合直线，图中纵轴表示　　　　。
（2）Ic的国际单位制单位为　　　　，由拟合直线得到Ic的值为　　　　（保留到小数点后两位）。
（3）若摆的质量测量值偏大，重力加速度g的测量值　　　　　（填“偏大”“偏小”或“不变”）。
1.在“用单摆测量重力加速度”实验中：
（1）该实验中用于测量时间的工具是　　　　；
（2）如图甲所示，小明用游标卡尺测量小球的直径为　　　　　mm；
（3）为了减小测量误差，下列操作正确的是　　　　；
A.摆线的长度应适当长些
B.单摆的摆角应尽量大些
C.测量周期时，取小球运动的最高点作为计时的起点和终点位置
D.测量周期时，测量摆球30～50次全振动的时间算出周期
（4）手机中集成了许多传感器，如光传感器、加速度传感器等，如图乙所示，小明在家尝试用单摆结合手机测量当地的重力加速度，当小球摆动时会引起手机光传感器的曝光值改变。如图丙所示，某次实验测得单摆4次全振动的时间为7.203 s，已知单摆摆长为0.8 m，可以计算出当地的重力加速度为　　　m/s2。（结果保留三位有效数字）
2.在探究单摆运动的实验中：
（1）图甲是用力传感器对单摆振动过程进行测量的装置图，图乙是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的F-t图像，根据图乙的信息可得，从t＝0时刻开始摆球第二次摆到最低点的时刻为　　　　　，摆长为　　　　（取π2＝10，重力加速度大小g＝10 m/s2）。
（2）单摆振动的回复力是　　　。
A.摆球所受的重力
B.摆球所受重力和摆线对摆球拉力的合力
C.摆线对摆球的拉力
D.摆球重力在垂直摆线方向上的分力
（3）某同学的操作步骤如下，其中正确的是　　　　　。
A.取一根细线，下端系住直径为d的金属小球，上端固定在铁架台上
B.用米尺量得细线长度L，摆长为L再加上摆球半径
C.在摆线偏离竖直方向15°位置释放小球
D.让小球在水平面内做圆周运动，测得摆动周期，再根据公式计算重力加速度
4.实验：用单摆测量重力加速度
【必备技能培养】
【典例1】　（1）AD　（2）乙　（3）BC　（4）　（5）
解析：（1）长度选择1 m左右的细线，用铁球以减弱空气阻力的影响，故选A、D。
（2）乙图方便测量线长，并且悬挂点固定，摆长不改变，故选乙图。
（3）摆长为摆线的长度加小球半径，故A错误； 单摆在小角度摆动时可看成简谐运动，此时周期公式才成立，故B正确；摆球经过平衡位置时开始计时误差小，故C正确；用秒表测出几次全振动所用时间t，再根据T＝来测周期以减小误差，故D错误。
（4）由＝2π，解得g＝。
（5）图像为正比例函数，根据T＝2π可知，T与成正比，故填。
【典例2】　（1）2.06　l0＋　（2）2.25　（3）①B　②不受影响
（4）L　（5）C
解析：（1）游标卡尺是十分度的卡尺，则摆球直径为d＝20 mm＋6×0.1 mm＝20.6 mm＝2.06 cm，摆长表达式为L＝l0＋。
（2）数到60次时，经过了30个周期，表的读数为 1 min 7.4 s，则周期为T＝＝≈2.25 s。
（3）①由T＝2π可得T2＝ L，周期与质量和振幅都无关，不过原点的原因可能是测得的摆长偏小，即把摆线长当成了摆长，故A、C、D错误，B正确。②根据以上分析可知，图像的斜率不受影响，则g测量值不受影响。
（4）由题意可得周期为T＝＝，则由T＝2π，可得g＝L＝ L。
（5）小球经过平衡位置时计时，很难看准，造成较大的周期测量误差，这样测得的重力加速度可能偏大，也可能偏小，故A错误；小球球心位置较难确定，使摆长测量存在较大的系统误差，这样测得的重力加速度可能偏大，也可能偏小，故B错误；单摆摆动过程中，摆线会稍稍伸长，造成摆长的测量值比实际值偏小，根据T＝2π可知，重力加速度的测量值偏小，故C正确。
【典例3】　（1）a　（2）0.3　9.86
解析：（1）由单摆周期公式有T＝2π ，得T2＝＋，纵轴截距大于0，图线应为题图乙中的图线a。
（2）将T2＝0，L＝－30 cm代入T2＝＋，可得 h＝30 cm＝0.3 m；由斜率可求得g＝＝ m/s2＝π2 m/s2≈9.86 m/s2。
素养训练
1.（1）4.71　（2）5.5　（3）＞
解析：（1）从小石块经过平衡位置开始，用手机中的“秒表”软件计时（记为第1次经过平衡位置），至小石块第41次经过平衡位置，共经历n＝20个周期，总时间为n·T＝t，解得T＝＝4.71 s。
（2）根据周期公式T＝2π，解得摆长为l＝＝，摆长即为树的周长，则C＝l＝＝5.5 m。
（3）山顶的海拔较高，所以实际重力加速度较小，所以同纬度的重力加速度偏大，则测量值＞真实值。
2.（1）T2r　（2）kg·m2　0.17　（3）不变
解析：（1）由公式T＝2π得T2r＝＋，故题图（b）中纵轴表示T2r。
（2）由公式T＝2π得Ic＝－mr2，即Ic的国际单位制单位为kg·m2，由题图（b）并结合（1）中的式子可得1.25 s2·m＝，由题图（b）知拟合直线的斜率k＝＝ s2·m－1＝ s2·m－1，解得Ic≈0.17 kg·m2。
（3）由（1）、（2）中分析可知重力加速度的测量值与质量无关，故g的测量值不变。
【教学效果检测】
1.（1）B　（2）14.4　（3）AD　（4）9.73
解析：（1）该实验中用于测量时间需要秒表，所以B正确，A、C错误。
（2）游标卡尺的读数为：主尺读数＋游标尺的读数×精度值＝1.4 cm＋4×0.1 mm＝14.4 mm。
（3）摆线的长度应适当长些，测量长度时误差减小，所以A正确；单摆的摆角不能过大，需要满足最大摆角 θ＜5°，所以B错误；测量周期时，取小球运动的最低点作为计时的起点和终点位置，所以C错误；测量周期时，测量摆球30～50次全振动的时间算出周期，多次测量求平均值可以减小误差，所以D正确。
（4）根据单摆的周期公式T＝2π，T＝得g＝＝ m/s2≈9.73 m/s2。
2.（1）1.3 s　0.64 m　 （2）D　（3）AB
解析：（1）摆球在最低点时摆线拉力最大，从t＝0时刻开始摆球第二次摆到最低点的时刻对应图像的第二个峰值，该时刻为1.3 s；根据图像，单摆的周期为T＝2（0.9－0.1）s＝1.6 s，根据T＝2π，解得 l＝0.64 m。
（2）单摆振动的回复力是摆球重力在垂直摆线方向上的分力，故选D。
（3）取一根细线，下端系住直径为d的金属小球，上端固定在铁架台上，A正确；用米尺量得细线长度L，摆长为L再加上摆球半径，B正确；在摆线偏离竖直方向5°位置释放小球，C错误；让小球在同一个竖直面内摆动，测得摆动周期，再根据公式计算重力加速度，D错误。
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4.实验：用单摆测量重力加速度
01
基础知识落实
目 录
02
必备技能培养
03
教学效果检测
04
课时作业
01
PART
基础知识落实
一、实验目的
1. 学会用单摆测量当地的重力加速度。
2. 学会使用停表。
二、实验原理
　当偏角很小（5°左右）时，单摆做简谐运动，其运动周期为T＝2π，
它与偏角的大小及摆球的质量无关，由此得到g＝。因此，只要测出摆
长l和振动周期T，就可以求出当地的重力加速度g的值。
三、实验器材
　带有铁夹的铁架台、中心有小孔的小钢球、不易伸长的细线（约1
米）、停表、毫米刻度尺和游标卡尺。
四、实验步骤
1. 做单摆：取约1 m长的不易伸长的细线，一端穿过带孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上，并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂。实验装置如图。
2. 测摆长：用量程1 m的刻度尺量出悬线长度l'，用游标卡尺量出摆球的直
径d，摆长l＝l'＋。
3. 测周期：把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度（5°左右）后释放。
为了使摆球只在一个竖直平面内摆动，要从静止释放且摆球不要旋转。从
摆球某次通过平衡位置时启动停表开始计时，数出摆球通过平衡位置的次
数n（摆球第一次过平衡位置记为零）。用停表记下所用的时间t，则单摆
振动的周期 T＝。
4. 变摆长：改变摆长，多做几次实验。
五、数据处理
1. 公式法：把测得的数据和计算结果填入如下的表中，将测得的几组周期
T和摆长l的对应值分别代入公式g＝中算出重力加速度g的值，求出几次
实验得到的重力加速度的平均值，即可把它看作本地区的重力加速度。
实验次数 1 2 3
l'
d
l'＋
n
t
g g1＝＝　　　 g2＝＝　　　 g3＝＝　　　
＝＝
2. 图像法：由T＝2π得T2＝l，以T2为纵轴、以l为横轴作出 T2-l 图
像，其斜率k＝，由图像的斜率即可求出重力加速度g。
六、误差分析
1. 系统误差：主要来源于单摆模型本身是否符合要求。即悬点是否固定，
摆球是否可看作质点，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖
直平面内振动以及测量哪段长度作为摆长等。
2. 偶然误差：主要来自时间（即单摆周期）的测量。因此，要注意测
准时间（周期）。要从摆球通过平衡位置时开始计时，并采用倒计时
计数的方法，即4，3，2，1，0，1，2…在数“零”的同时按下秒表开
始计时，不能多计或漏计振动次数。为了减小偶然误差，应进行多次
测量后取平均值。
七、注意事项
1. 选择材料时应选择细、轻又不易伸长的线，长度一般在1 m左右，小球
应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2 cm。
2. 单摆悬线的上端不可随意卷在铁架台的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆
动时发生摆线下滑、摆长改变的现象。
3. 注意摆动时控制摆线偏离竖直方向的夹角不超过5°，可通过估算振幅
的办法掌握。
4. 摆球振动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆。
5. 计算单摆的振动次数时，应从摆球通过最低位置时开始计时，可在摆球
平衡位置的正下方作一标记，以后摆球每次通过最低位置时进行计数。
02
PART
必备技能培养
题型一｜教材原型实验
【典例1】　用单摆测定重力加速度的实验装置如图1所示。
（1）组装单摆时，应在下列器材中选用 （选填选项前的字母）。
A. 长度为1 m左右的细线
B. 长度为30 cm左右的细线
C. 直径为2 cm左右的塑料球
D. 直径为2 cm左右的铁球
AD　
解析：长度选择1 m左右的细线，用铁球以减弱空气阻力的影响，故选A、D。
（2）选择好器材，将符合实验要求的摆球用细线悬挂在铁架台横梁上，
应采用图2中 （选填“甲”或“乙”）所示的固定方式。
解析：乙图方便测量线长，并且悬挂点固定，摆长不改变，故选乙图。
乙　
（3）将单摆正确组装后进行如下操作，其中正确的是 （选填选项
前的字母）。
A. 测出摆线长作为单摆的摆长
B. 把摆球从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之做简谐运动
C. 在摆球经过平衡位置时开始计时
D. 用秒表测量单摆完成1次全振动所用时间并作为单摆的周期
解析：摆长为摆线的长度加小球半径，故A错误； 单摆在小角度摆动时可看成简谐运动，此时周期公式才成立，故B正确；摆球经过平衡位置时开始计时误差小，故C正确；用秒表测出几次全振动所用时间t，再根据T＝来测周期以减小误差，故D错误。
BC　
（4）某同学用游标卡尺测得摆球的直径为d，用秒表测得摆球完成N次全
振动所用的时间为t，用米尺测得摆线长为l0，根据以上数据，可得到当地
的重力加速度g为 。
解析：由＝2π，解得g＝。
　
（5）另一位同学多次改变单摆的摆长l并测得相应的周期T，他根据测量数
据画出了如图3所示的图像。你认为横坐标所代表的物理量应为
（选填“l2”“l”或“”）。
解析：图像为正比例函数，根据T＝2π可知，T与成正比，故填。
　
【典例2】　某同学在“用单摆测量重力加速度”的实验中进行了如下的
操作：
（1）用游标上有10个小格的游标卡尺测量摆球直径如图甲所示，摆球直
径d＝ cm，把摆球用细线悬挂在铁架台上，测得摆线长为l0，得
到摆长表达式为L＝ 。
2.06 　
l0＋　
解析：游标卡尺是十分度的卡尺，则摆球直径为d＝20 mm＋6×0.1 mm＝20.6 mm＝2.06 cm，摆长表达式为L＝l0＋。
（2）用停表测量单摆的周期，当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并记为n＝0，单摆每经过最低点记一次数，当数到n＝60时停表的示数如图乙所示，该单摆的周期 T＝ s（结果保留3位有效数字）。
2.25　
解析： 数到60次时，经过了30个周期，表的读数为 1 min 7.4 s，则周期为T＝＝≈2.25 s。
（3）①测量出多组周期T、摆长L数值后，画出 T2-L 图像如图丙所示，造成图线不过坐标原点的原因可能是 （从下面选项中选择填）；
A. 摆球的振幅过小 B. l0将计为摆长
C. 将（l0＋d）计为摆长 D. 摆球质量过大
②这样将使根据图像得出的g测量值 （选填“偏大”“偏
小”或“不受影响”）。
B　
不受影响　
解析：①由T＝2π可得T2＝ L，周期与质量和振幅都无关，不过原点的原因可能是测得的摆长偏小，即把摆线长当成了摆长，故A、C、D错误，B正确。②根据以上分析可知，图像的斜率不受影响，则g测量值不受影响。
（4）某同学通过实验测得：悬点O到小球球心的距离为L；计时开始后，
从小球第一次通过平衡位置到第n次通过平衡位置所用的时间为t，则重力
加速度g＝ （用L、n、t及常数表示）。
L　
解析： 由题意可得周期为T＝＝，则由T＝2π，可得g＝L＝
L。
（5）本实验测得的重力加速度一般略微偏小，这是由于以下哪个系统误
差造成的 。
A. 小球经过平衡位置时计时，很难看准，造成较大的周期测量误差
B. 小球球心位置较难确定，使摆长测量存在较大的系统误差
C. 单摆摆动过程中，摆线会稍稍伸长，造成摆长的测量值比实际值偏小
C　
解析： 小球经过平衡位置时计时，很难看准，造成较大的周期测量误差，
这样测得的重力加速度可能偏大，也可能偏小，故A错误；小球球心位置
较难确定，使摆长测量存在较大的系统误差，这样测得的重力加速度可能
偏大，也可能偏小，故B错误；单摆摆动过程中，摆线会稍稍伸长，造成
摆长的测量值比实际值偏小，根据T＝2π可知，重力加速度的测量值偏
小，故C正确。
规律总结
单摆周期测量误差的产生原因
1. 测量摆长时引起的误差
（1）摆长测量值偏小，则g的测量值偏小。如在未悬挂摆球前测量了摆
长；仅测量了摆线长，漏加摆球半径等；
（2）摆长测量值偏大，则g的测量值偏大。如测量摆长时摆线拉得过紧或
以摆线长和小球的直径之和作为摆长（多加了半径）。
2. 测量周期时引起的误差
（1）周期测量值偏大，则g的测量值偏小。如把（n＋1）次全振动的时间
误当成n次全振动的时间；开始计时时停表过早按下或停止计时时停表过
迟按下等。
（2）周期测量值偏小，则g的测量值偏大。如把（n－1）次全振动的时间
误当成n次全振动的时间；开始计时时停表过迟按下或停止计时时停表过
早按下等。
（3）计量单摆的全振动次数时，不从摆球通过最低点（平衡位置）时开
始计时，容易产生较大的计时误差。
题型二｜拓展与创新实验
【典例3】　将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为h（未知）且开口向下的
小筒中（单摆的下部分露于筒外），如图甲所示，将悬线拉离平衡位置一
个小角度后由静止释放，设单摆振动过程中悬线不会碰到筒壁，如果本实
验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离L，并通过改
变L而测出对应的摆动周期T，再以
T2为纵轴、L为横轴作出T2-L函数关
系图像，那么就可以通过此图像得
出小筒的深度h和当地的重力加速度g。
（1）如果实验中所得到的T2-L关系图像如图乙所示，那么真正的图像应该
是a、b、c中的 ；
解析：由单摆周期公式有T＝2π ，得T2＝＋，纵轴截距大于0，图线应为题图乙中的图线a。
a　
（2）由图可知，小筒的深度h＝ m，当地重力速度g
＝ m/s2（π取3.14，g的计算结果保留3位有效数字）。
解析：将T2＝0，L＝－30 cm代入T2＝＋，可得 h＝30 cm＝0.3 m；由斜率可求得g＝＝ m/s2＝π2 m/s2≈9.86 m/s2。
0.3　
9.86　
1. 某班同学组织春游爬山，在山顶发现一棵合抱古树，他们想知道这棵古
树的树围。由于未带卷尺，只备有救生绳（质量不计且不可伸长），于是
他们利用单摆原理对古树的树围进行粗略测量。他们用救生绳绕树一周，
截取长度等于树干周长的一段（已预留出打结部分的长度），然后在这段
救生绳的一端系一个小石块。接下来的操作步骤为：
Ⅰ.将截下的救生绳的另一端固定在一根离地足够高的树枝上；
Ⅱ.移动小石块，使伸直的救生绳偏离竖直方向一个小于5°的角度，然后
由静止释放，使小石块在同一竖直面内摆动；
Ⅲ.从小石块经过平衡位置（已经选定参考位置）开始，用手机中的“秒
表”软件计时（记为第1次经过平衡位置），至小石块第41次经过平衡位
置，测出这一过程所用的总时间为94.20 s。
（1）根据步骤Ⅲ，可得小石块摆动的周期T＝ s；
解析：从小石块经过平衡位置开始，用手机中的“秒表”软件计时（记为第1次经过平衡位置），至小石块第41次经过平衡位置，共经历n＝20个周期，总时间为n·T＝t，解得T＝＝4.71 s。
4.71　
（2）经百度查得该地区的重力加速度为 9.79 m/s2，可估得该古树的树围C
＝ m（结果保留2位有效数字）；
解析：根据周期公式T＝2π，解得摆长为l＝＝，摆长即为树的周长，则C＝l＝＝5.5 m。
5.5　
（3）若空气阻力的影响可不计，同时小石块摆动的周期T测量结果准确，
考虑到该山的海拔较高，则该古树树围的测量值 （填“＞”“＜”
或“＝”）真实值。
解析：山顶的海拔较高，所以实际重力加速度较小，所以同纬度的重力加速度偏大，则测量值＞真实值。
＞　
2. 某小组同学做了“用单摆测量重力加速度”实验后，为进一步探究，将单摆的轻质细线改为刚性重杆。通过查资料得知，这样做成的“复摆”做简谐运动的周期T＝2π，式中Ic为由该摆决定
的常量，m为摆的质量，g为重力加速度，r为
转轴到重心C的距离。如图（a），实验时在
杆上不同位置打上多个小孔，让光滑水平轴
穿过其中一个小孔，使杆做简谐运动，测量
并记录r和相应的运动周期T；然后让轴穿过
不同位置的孔重复实验，实验数据见表，并
测得摆的质量m＝0.50 kg。
r/m 0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.200
T/s 2.11 2.14 2.20 2.30 2.43 2.64
（1）由实验数据得出图（b）所示的拟
合直线，图中纵轴表示 。
解析：由公式T＝2π得T2r＝＋，故题图（b）中纵轴表示T2r。
T2r　
（2）Ic的国际单位制单位为 ，由拟合直线得到Ic的值为
（保留到小数点后两位）。
解析：由公式T＝2π得Ic＝－mr2，即Ic的国际单位制单位为kg·m2，由题图（b）并结合（1）中的式子可得1.25 s2·m＝，由题图（b）知拟合直线的斜率k＝＝ s2·m－1＝ s2·m－1，解得Ic≈0.17 kg·m2。
kg·m2　
0.17　
（3）若摆的质量测量值偏大，重力加速度g的测量值 （填“偏
大”“偏小”或“不变”）。
解析：由（1）、（2）中分析可知重力加速度的测量值与质量无关，故g的测量值不变。
不变　
03
PART
教学效果检测
1. 在“用单摆测量重力加速度”实验中：
（1）该实验中用于测量时间的工具是 ；
解析：该实验中用于测量时间需要秒表，所以B正确，A、C错误。
B　
（2）如图甲所示，小明用游标卡尺测量小球的直径为 mm；
解析：游标卡尺的读数为：主尺读数＋游标尺的读数×精度值＝1.4
cm＋4×0.1 mm＝14.4 mm。
14.4　
（3）为了减小测量误差，下列操作正确的是 ；
A. 摆线的长度应适当长些
B. 单摆的摆角应尽量大些
C. 测量周期时，取小球运动的最高点作为计时的起点和终点位置
D. 测量周期时，测量摆球30～50次全振动的时间算出周期
解析：摆线的长度应适当长些，测量长度时误差减小，所以A正确；单摆的摆角不能过大，需要满足最大摆角 θ＜5°，所以B错误；测量周期时，取小球运动的最低点作为计时的起点和终点位置，所以C错误；测量周期时，测量摆球30～50次全振动的时间算出周期，多次测量求平均值可以减小误差，所以D正确。
AD　
（4）手机中集成了许多传感器，如光传感器、加速度传感器等，如图乙
所示，小明在家尝试用单摆结合手机测量当地的重力加速度，当小球摆动
时会引起手机光传感器的曝光值改变。如图丙所示，某次实验测得单摆4
次全振动的时间为7.203 s，已知单摆摆长为0.8 m，可以计算出当地的重
力加速度为 m/s2。（结果保留三位有效数字）
9.73　
解析：根据单摆的周期公式T＝2π，T＝得g＝＝ m/s2≈9.73 m/s2。
2. 在探究单摆运动的实验中：
（1）图甲是用力传感器对单摆振动过程进行测量的装置图，图乙是与力
传感器连接的计算机屏幕所显示的F-t图像，根据图乙的信息可得，从t＝0
时刻开始摆球第二次摆到最低点的时刻为 ，摆长为
（取π2＝10，重力加速度大小g＝10 m/s2）。
1.3 s　
0.64 m　
解析：摆球在最低点时摆线拉力最大，从t＝0时刻开始摆球第二次摆到最低点的时刻对应图像的第二个峰值，该时刻为1.3 s；根据图像，单摆的周期为T＝2（0.9－0.1）s＝1.6 s，根据T＝2π，解得 l＝0.64 m。
（2）单摆振动的回复力是 。
A. 摆球所受的重力
B. 摆球所受重力和摆线对摆球拉力的合力
C. 摆线对摆球的拉力
D. 摆球重力在垂直摆线方向上的分力
D　
解析： 单摆振动的回复力是摆球重力在垂直摆线方向上的分力，故选D。
（3）某同学的操作步骤如下，其中正确的是 。
A. 取一根细线，下端系住直径为d的金属小球，上端固定在铁架台上
B. 用米尺量得细线长度L，摆长为L再加上摆球半径
C. 在摆线偏离竖直方向15°位置释放小球
D. 让小球在水平面内做圆周运动，测得摆动周期，再根据公式计算重力
加速度
AB　
解析： 取一根细线，下端系住直径为d的金属小球，上端固定在铁架台上，
A正确；用米尺量得细线长度L，摆长为L再加上摆球半径，B正确；在摆
线偏离竖直方向5°位置释放小球，C错误；让小球在同一个竖直面内摆
动，测得摆动周期，再根据公式计算重力加速度，D错误。
04
PART
课时作业
1. 某实验小组用单摆做简谐运动来测定重力加速度。
（1）实验中待小钢球摆动稳定后，现要测量小钢球
运动的周期。甲同学从小钢球某次通过平衡位置时
开始计时，数出以后小钢球通过平衡位置的次数n，
用停表记下所用的时间t；乙同学从小钢球某次通过
平衡位置时开始计时，并将这次通过平衡位置时记为1，将小钢球第二次沿同一方向通过平衡位置时记为2，第三次沿同一方向通过平衡位置时记为3，以此类推，一直数到n'，同时按下停表，停表的显示时间为t'；你选择 （选填“甲”或“乙”）同学的实验方法，对应的单摆的周期表达式为 。
甲　
　　
1
2
3
4
5
解析：甲同学，每次小球到平衡位置时计数，则n次即为个周期，
所以时间t内的完成个周期，则周期为。
1
2
3
4
5
（2）某同学用一块外形不规则的长条状的大理石块代替了摆球，用不可伸长细线连接悬点O和大理石块的顶端N点进行实验。先使O、N间细线长度为某个值，测出其周期T1；后使O、N间细线长度比原来增加了ΔL，再测出摆的周期T2。那么，重力加速度的值可以表示为 （用T1、T2、ΔL表示）。
　
解析：设两次实验中摆线长分别为L1、L2，对应的周期分别为T1、T2，大理石块重心到N点的距离为x，则T1＝2π，T2＝2π，联立解得g＝＝。
1
2
3
4
5
2. 某同学利用单摆测定当地的重力加速度。
（1）实验室已经提供的器材有：铁架台、夹子、秒表、游标卡尺。除此
之外，还需要的器材有 。
A. 长度约为1 m的细线 B. 长度约为30 cm的细线
C. 直径约为2 cm的钢球 D. 直径约为2 cm的木球
E. 最小刻度为1 cm的直尺 F. 最小刻度为1 mm的直尺
ACF　
解析：细线长度要远大于小球直径；小球需要体积小、质量大，所以选钢球；为了提高测量的精确度，选择毫米刻度尺。故选A、C、F。
1
2
3
4
5
（2）该同学在测量单摆的周期时，他用秒表记下了单摆做50次全振动的
时间，如图所示，秒表的读数为 s。
解析：秒表的读数为95.2 s。
95.2　
1
2
3
4
5
（3）下表是该同学记录的3组实验数据，并做了部分计算处理。
组次 1 2 3
摆长l/cm 80.00 90.00 100.00
50次全振动时间t/s 90.0 95.5 100.5
振动周期T/s 1.80 1.91
重力加速度g/（m·s－2） 9.74 9.73
请计算出第3组实验中的T＝ s，g＝ m/s2。
2.01　
9.76　
解析：周期为T＝＝ s＝2.01 s，根据周期公式得g＝，代入数据得g≈9.76 m/s2。
1
2
3
4
5
3. 某同学利用单摆测定当地的重力加速度。
（1）为了减小测量周期的误差，实验时需要在适当的位置做一标记，当
摆球通过该标记时开始计时，该标记应该放置在摆球摆动的 。
A. 最高点 B. 最低点 C. 任意位置
解析：为了减小测量周期时由操作者引起的偶然误差，实验时需要在摆球速度最大的点做标记，即最低点。
B　
1
2
3
4
5
（2）用停表测量单摆的周期。当单摆摆动稳定且到达计时标记时开始计时并记为n＝1，单摆每经过标记记一次数，当数到n＝60时停表的示数如
图甲所示，该单摆的周期是T＝ s（结果保留三位有效数字）。
2.28　
解析：用停表测量单摆的周期，为减小实验误差需测量多个周期的总时间。根据题意可知从n＝1到n＝60共有59个时间间隔，每一个时间间隔为个周期，故为29T，根据停表读出此时间间隔为Δt＝67.4 s。代入数据解得，单摆的周期约为2.28 s。
1
2
3
4
5
（3）若用最小刻度为1 mm的刻度尺测摆线长，测量情况如图乙所示。O
为悬挂点，从图乙中可知单摆的摆线长为
m；用游标卡尺测量摆球的直径如图丙所示，则球的直径
为 cm；单摆的摆长为 m（计算结果保留三位有效数字）。
0.991 5（0.991 3～0.991 7均
可）　
2.075　
1.00　
1
2
3
4
5
解析：用最小刻度为1 mm的刻度尺测得单摆的摆线长为99.15 cm＝0.991 5 m，用游标卡尺测量摆球的直径，此游标尺为20分度，读数为20 mm＋×15 mm＝20.75 mm＝2.075 cm，单摆的摆长为l＝m＝1.001 875 m，计算结果保留三位有效数字，故摆长为1.00 m。
1
2
3
4
5
（4）若用l表示摆长，T表示周期，那么重力加速度的表达式为g
＝ 。
解析：根据T＝2π可知g＝。
　
1
2
3
4
5
4. 小明做“用单摆测量重力加速度”的实验。
（1）如图甲所示，细线的上端固定在铁架台上，下端系一个小钢球
（下方吸附有小磁片），做成一个单摆。图乙、丙分别画出了细线上
端的两种不同的悬挂方式，你认为应选用图 （选填“乙”或
“丙”）的悬挂方式；
丙　
解析：当单摆摆动时，题图乙的悬挂方式会造成摆长发生变化，则题图丙的悬挂方式较好。
1
2
3
4
5
（2）使小球在竖直平面内做小角度摆动，打开手机的磁传感器软件。某
次采集到的磁感应强度B的大小随时间t变化的图像如图丁所示，则单摆的
振动周期T＝ s（结果保留3位有效数字）；
1.36　
解析：小球经过最低点时磁感应强度最大，相邻两次磁感应强度最强的时间间隔为半个周期，由题图丁可知单摆的周期约为1.36 s。
1
2
3
4
5
（3）改变线长l，重复上述步骤，实验测得数据如下表所示（实验前已测
得小球半径r），请根据表中的数据，在方格纸上作出L-T2图像；
L＝l＋r/m T/s T2/s2
0.40 1.276 1.628
0.60 1.555 2.418
0.80 1.801 3.244
1.00 2.010 4.040
1.20 2.208 4.875
1
2
3
4
5
答案：见解析图
解析：根据表格中数据描点连线如图。
1
2
3
4
5
（4）测得当地的重力加速度g＝ m/s2（结果保留3位有效数字，π取3.14）。
解析：根据单摆周期公式T＝2π，可得L＝T2
则图线斜率为＝ m/s2＝0.248 m/s2
则g＝9.78 m/s2。
9.78　
1
2
3
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5. 某同学设计实验测量当地的重力加速度，实验器材主要由一个可调速的电动机、智能手机、细铜丝、钢管支架和不锈钢底座组成，其中可调速的电动机是由一个低速旋转电动机、一个直流电机调速器和一个直流开关电源组成。手机在水平面内稳定做匀速圆周运动时可处理为“圆锥摆”模型，手机上装载的Phyphox软件配合手机内的陀螺仪可直接测得手机做圆周运动的角速度ω和向心加速度a，Tracker软件可通过拍下的视频
分析测量绕杆做圆周运动时悬线与竖直方
向的夹角及手机做圆周运动的半径r。有
了a、θ、ω、r的实测数据，即可在误差
允许范围之内测量当地重力加速度。
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（1）小河同学根据所学过的力学知识推出当地重力加速度表达式为g1
＝ （用a和θ表示）。
解析：由题意可知圆锥摆做圆周运动时的向心力为 ma＝mg1tan θ，
故重力加速度为g1＝。
　
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（2）若保持角速度ω不变，改变线长L，根据测得的5组数据描点作图，直线拟合后得到a-r图像如图所示，直线斜率为k，圆心到悬点距离为h，当地重力加速度表达式为g2＝ （用k和h表示）
kh　
解析：由题意知ma＝mω2r，则a＝ω2r，可得斜率k＝ω2，由（1）知
mgtan θ＝mω2r，tan θ＝，故可求得g2＝kh。
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（3）根据下面数据描绘a-tan θ图像，请在坐标纸上描出序号为4的点，并
由图像计算重力加速度g＝ m/s2（结果保留三
位有效数字）。
9.76（9.70～9.86均可）　
序号 夹角 θ/（°） 夹角正 切tan θ 半径 r/m 角速度ω/ （rad·s－1） 向心加速度
a/（m·s－2）
1 44.90 0.998 0.403 4.954 9.789
2 47.25 1.082 0.434 4.941 10.577
3 49.50 1.111 0.486 4.833 11.348
4 49.90 1.188 0.466 4.961 11.683
5 53.10 1.332 0.545 4.912 12.999
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答案：见解析图
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解析：描出序号为4的点，如图所示。
由（1）可知a-tan θ图像的斜率表示重力加速度，其值约为9.76 m/s2。
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