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第一章　运动的描述　匀变速直线运动
第5讲　专题强化：追及相遇问题
物理
内容索引
关键能力提升
第一部分
题型一　追及相遇问题的常用分析方法
题型二　图像中的追及相遇问题
01
02
课时作业
第二部分
热点题型突破
第
分
部
一
题型探究·能力提升
题型一　追及相遇问题的常用分析方法
1．分析技巧：可概括为“一个临界条件”“两个关系”。
(1)一个临界条件：速度相等。它往往是物体间能否追上或(二者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点。
(2)两个关系：时间关系和位移关系。通过画草图找出两物体间的时间关系和位移关系是解题的突破口。
2．能否追上的判断方法
物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0，到vA＝vB时，有三种情境：
(1)若xA＋x0(2)若xA＋x0＝xB，则恰好能追上但不相撞；
(3)若xA＋x0>xB，则不能追上。
3．三种分析方法
(1)分析法：应用运动学公式，抓住一个条件、两个关系，列出两物体运动的时间、位移、速度及其关系方程，再求解。
(2)极值法：设相遇时间为t，根据条件列出方程，得到关于t的一元二次方程，再利用数学求极值的方法求解。在这里，常用到配方法、判别式法、重要不等式法等。
(3)图像法：在同一坐标系中画出两物体的运动图像。位移图像的交点表示相遇，速度图像抓住速度相等时的“面积”关系找位移关系。
【典例1】　一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶过，从后边超过汽车，则汽车从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时两车的距离是多少？
【答案】　2 s　6 m
1．甲、乙两物体在两地同时同向出发做匀加速直线运动，出发时甲的初速度为2 m/s，乙的初速度为1 m/s，运动时甲的加速度为2 m/s2，乙的加速度为4 m/s2，已知甲、乙在2 s时恰好相遇，下列说法正确的是(　 　)
A．从出发到相遇，甲的位移为6 m
B．在2 s后，若甲、乙保持加速度不变，则会再次相遇
C．甲与乙出发地之间的距离为4 m
D．相遇之前，甲与乙在t＝0.5 s时相距最远
对点演练
D
2．交警骑着摩托车沿一条平直马路以v1＝4 m/s的速度匀速巡逻，突然发现前方s0＝14 m的地方有一辆可疑货车正以v2＝10 m/s的速度同向匀速行驶，交警即刻以a1＝2 m/s2的加速度匀加速追赶货车，与此同时货车司机也发现了交警，立即开始以a2＝1 m/s2的加速度加速逃离，求：
(1)经多长时间两者相距最远；
解析：设经t1时间两车共速，此时二者相距最远，则v＝v1＋a1t1，v＝v2＋a2t1，代入数据解得t1＝6 s。
答案：6 s　
(2)交警经多长时间会追上货车。
答案：14 s
题型二　图像中的追及相遇问题
1．x－t图像、v－t图像中的追及相遇问题
(1)利用图像中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算。
(2)有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解。
2．利用v－t图像分析追及相遇问题：在有些追及相遇情境中可根据两个物体的运动状态作出v－t图像，再通过图像分析计算得出结果，这样更直观、简捷。
3．若为x－t图像，注意交点的意义，图像相交即代表两物体相遇；若为a－t图像，可转化为v－t图像进行分析。
考向1 v－t图像中的追及相遇问题
【典例2】　(多选)甲、乙两车在一平直公路上从同一地点沿同一方向沿直线运动，它们的v－t图像如图所示。下列判断正确的是(　 　)
A．乙车启动时，甲车在其前方25 m处
B．乙车超过甲车后，两车有可能第二次相遇
C．乙车启动15 s后正好追上甲车
D．运动过程中，乙车落后甲车的最大距离为75 m
CD
考向2 x－t图像中的追及相遇问题
【典例3】　(多选)A车和B车在同一平直公路的两个平行车道上行驶，该路段限速54 km/h。当两车车头平齐时开始计时，两车运动的位移—时间图像如图所示，0～5 s时间内，A车的图线是抛物线的一部分，B车的图线是直线，在两车不违章的情况下，下列说法正确的是(　 　)
A．A车运动的加速度大小为1 m/s2
B．t＝3.5 s时，两车的速度相同
C．A车追上B车的最短时间为7.2 s
D．两车相遇两次
BC
3．(多选)甲、乙两人骑车沿同一平直公路运动，t＝0时经过路边的同一路标，下列x－t图像和v－t图像对应的运动中，甲、乙两人在t0时刻之前能再次相遇的是(　 　)
对点演练
BC
解析：题图A中，甲、乙在t0时刻之前位移没有再次相等的时刻，即两人在t0时刻之前不能再次相遇，A错误；题图B中，甲、乙在t0时刻之前图线有交点，此时位移相等，即两人在t0时刻之前能再次相遇，B正确；题图C中，因v－t图像与时间轴围成的面积表示位移，则甲、乙在t0时刻之前位移有相等的时刻，即两人在t0时刻之前能再次相遇，C正确；题图D中，因v－t图像与时间轴围成的面积表示位移，由图像可知在t0时刻之前，甲的位移始终大于乙的位移，则两人在t0时刻之前不能再次相遇，D错误。
4．(多选)甲、乙两车在一条平直的公路上同向并排行驶，t＝0时刻甲车开始刹车，甲车的速度随时间变化的图像如图甲所示，以t＝0时刻甲车所在位置为坐标原点O，以甲车速度方向为正方向建立x轴，乙车的位置坐标随时间变化的图像如图乙所示，图像为顶点在30 m处的抛物线。下列说法正确的是(　 　)
AD
A．甲车做匀变速直线运动的加速度大小为2.5 m/s2
B．乙车做匀变速直线运动的加速度大小为6.25 m/s2
C．t＝4 s时，甲、乙两车相距最近
D．甲、乙两车相遇两次
课时作业5
第
分
部
二
1．(5分)一辆轿车在平直公路的一条车道上以72 km/h的速度匀速行驶，突然发现其正前方120 m处有一辆货车同向匀速前进，于是轿车紧急刹车做匀减速运动，若轿车刹车过程的加速度大小为a＝1 m/s2，两车相距最近时，距离为22 m，忽略司机的反应时间，则货车的速度大小为(　 　)
A．21.6 km/h B．18 km/h
C．16 km/h D．12 km/h
A
2．(5分)一步行者以6.0 m/s的速度跑去追赶被红灯阻停的公共汽车，在跑到距汽车25 m处时，绿灯亮了，汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速启动前进，则(　 　)
A．人能追上公共汽车，追赶过程中人跑了36 m
B．人不能追上公共汽车，人、车最近距离为7 m
C．人能追上公共汽车，追上车前人共跑了43 m
D．人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离越来越远
B
解析：汽车以1.0 m/s2的加速度匀加速到6.0 m/s时二者相距最近。汽车加速到6.0 m/s所用时间t＝6 s，人运动距离为6×6 m＝36 m，汽车运动的距离为18 m，二者最近距离为18 m＋25 m－36 m＝7 m，A、C错误，B正确。人不能追上公共汽车，且车开动后，人车距离先减小后增大，D错误。
3．(5分)两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后同向匀速行驶，速度均为v0，若前车突然以恒定的加速度刹车，在它刚停住时，后车以前车刹车时的加速度开始刹车。已知每辆车在刹车过程中所行驶的距离均为s，若要保证两车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少为(　 　)
A．s B．2s
C．3s D．4s
B
4．(5分) (多选)(2024·广西河池一模)甲、乙两辆车初始时相距1 200 m，甲车在后、乙车在前，乙车在8 s时刻开始运动，它们在同一直线上做匀变速直线运动，速度—时间图像如图所示，则下列说法正确的是(　 　)
A．乙车的加速度大小为0.42 m/s2
B．两辆车在t＝36 s时速度相等
C．两辆车可能相撞
D．甲车停下时，乙车在甲车前面391 m处
BD
5．(5分)甲、乙两汽车沿同一平直公路同向行驶的v－t图像如图所示，t＝10 s时两车恰好相遇。下列分析正确的是(　 　)
A．在10～20 s内，甲车的加速度大小为0.5 m/s2
B．t＝0时，乙在甲前方5 m处
C．t＝0时，甲在乙前方125 m处
D．甲追乙时，追上前甲、乙间最大距离为50 m
D
6．(5分)自动驾驶汽车又称无人驾驶汽车，是一种通过电脑系统实现无人驾驶的智能汽车。某次自动驾驶汽车以恒定的加速度启动，同时一辆货车以恒定速度从其旁边驶过，自动驾驶汽车再次与货车相遇之前已达到最大速度，则下列图像正确的是(　 　)
D
解析：v－t图像的斜率表示加速度，由于自动驾驶汽车以恒定加速度启动，则自动驾驶汽车加速时的v－t图线为直线，A错误；v－t图线与t轴围成的面积表示位移，B项中t0时刻自动驾驶汽车刚好达到最大速度，且由图像中几何关系可知此时两车位移相等，则自动驾驶汽车与货车相遇时刚好达到最大速度，B错误；x－t图像的斜率表示速度大小，图线交点表示两车位移相同，C项中自动驾驶汽车与货车相遇时其速度还未达到最大，C错误；D项中两车x－t图线交点表示两车再次相遇，且自动驾驶汽车在再次相遇之前已经达到最大速度，D正确。
7．(5分)甲、乙两物体从同一地点出发且在同一条直线上运动，它们的位移—时间图像如图所示，由图像可以看出在0～5 s内(　 　)
A．甲、乙两物体始终同向运动
B．4 s时甲、乙两物体间的距离最大
C．甲物体的平均速度大于乙物体的平均速度
D．甲物体的速率始终大于乙物体的速率
D
8．(5分) (多选)甲、乙两质点沿同一直线运动，其中甲做匀变速直线运动，乙以大小为5 m/s的速度做匀速直线运动，在t＝3 s时，两质点相遇，它们的位置随时间变化及相遇时切线数据如图所示，在0～3 s时间内，下列判断正确的是(　 　)
A．相遇时甲质点的速度大小为3 m/s
B．甲质点的初速度大小为7 m/s
C．甲质点的加速度大小为2 m/s2
D．在t＝1.5 s时，甲、乙两质点相距最远
BC
C
9．(5分)(2024·山东青岛一模)青岛气象台2024年2月11日21时15分发布大雾黄色预警，交警提示雨雾天气开车出行注意保持安全车距。期间在滨海大道同一直线车道上，甲车和乙车正同向匀速行驶，甲车在前乙车在后，t＝0时，甲车发现前方有险情立即刹车，为避免两车相撞，2 s后乙车也开始刹车，如图是两车位置随时间变化图像，图中曲线均为抛物线。已知甲车匀速行驶的速度为10 m/s，司机反应时间不计，下列说法正确的是(　 　)
A．甲车加速度大小为2 m/s2
B．当t＝7 s时，两车速度大小相等
C．若d＝28 m，两车恰好没有相撞
D ．若没有相撞，两车相距最近时乙车的位移为48 m
10．(5分)物理兴趣小组的同学用两个相同的遥控小车沿直线进行追逐比赛，两小车分别安装不同的传感器并连接到计算机中，A小车安装加速度传感器，B小车安装速度传感器，两车初始时刻速度大小均为v0＝30 m/s，A车在前、B车在后，两车相距100 m，其传感器读数与时间的关系图像如图甲、乙所示，规定初始运动方向为正方向。下列说法正确的是(　 　)
A．t＝3 s时两车间距离为25 m
B．3～9 s内，A车的加速度大于B车的加速度
C．两车最近距离为10 m
D．0～9 s内两车相遇一次
C
11．(12分)5G自动驾驶是基于5G通信技术实现网联式全域感知、协同决策与智慧云控，相当于有了“千里眼”的感知能力，同时，5G网络超低延时的特性，让“汽车大脑”可以实时接收指令，极大提高了汽车运行的安全性。A、B两辆5G自动驾驶测试车，在同一直线上向右匀速运动，B车在A车前，A车的速度大小v1＝8 m/s，B车的速度大小v2＝20 m/s，如图所示。当A、B两车相距x0＝20 m时，B车因前方突发情况紧急刹车，已知刹车过程的运动可视为匀减速直线运动，加速度大小a＝2 m/s2，从此时开始计时，求：
(1)A车追上B车之前，两者相距的最远距离Δx；
答案：56 m　
(2)A车追上B车所用的时间t。
答案：15 s
12．(18分)如图所示，在一次接力训练中，已知甲、乙两运动员经短距离加速后都能达到并保持10 m/s的速度跑完全程。设乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速运动，加速度大小为4 m/s2。乙在接力区前端听到口令时起跑，在甲、乙相遇时完成交接棒。在这次练习中，甲以v＝10 m/s的速度跑到距接力区前端s0＝12 m处向乙发出起跑口令。已知接力区的长度为L＝20 m。
(1)求此次练习中交接棒处离接力区前端(即乙出发的位置)的距离；
答案：8 m　
(2)为了达到理想成绩，需要乙恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，则甲应在接力区前端多远时对乙发出起跑口令？
答案：12.5 m　
(3)在(2)中，求乙经过接力区的时间是多少？
答案：3.25 s

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