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第九章　静电场
第6讲　专题强化：带电粒子(带电体)
在电场中运动的综合问题
物理
内容索引
热点题型突破
第一部分
题型一　带电体在等效场中的运动
题型二　带电粒子在交变电场中的运动
01
02
题型三　电场中的动力学、动量和能量问题
03
课时作业
第二部分
热点题型突破
第
分
部
一
题型探究·能力提升
题型一　带电体在等效场中的运动
1．“等效重力场”
研究处在匀强电场和重力场中带电物体的运动问题时，可以将重力场与电场合二为一，用一个“等效场”来代替，即“等效重力场”。
2．“等效重力”及“等效重力加速度”
(1)“等效重力”：将重力与静电力进行合成，如图所示，则G效＝F合。
3．等效最高点和等效最低点
【典例1】　(多选)(2022·全国甲卷)地面上方某区域存在方向水平向右的匀强电场，将一带正电荷的小球自电场中P点水平向左射出。小球所受的重力和电场力的大小相等，重力势能和电势能的零点均取在P点。则射出后(　 　)
A．小球的动能最小时，其电势能最大
B．小球的动能等于初始动能时，其电势能最大
C．小球速度的水平分量和竖直分量大小相等时，其动能最大
D．从射出时刻到小球速度的水平分量为零时，重力做的功等于小球电势能的增加量
BD
小球电势能的增加量， 故B、D正确；由以上分析可知当小球速度如图中v1所示时，此时速度水平分量与竖直分量相等，动能最小，故C错误。
1．(多选)如图所示，带电小球(可视为质点)用绝缘细线悬挂在O点，在竖直平面内做完整的变速圆周运动，小球运动到最高点时，细线受到的拉力最大。已知小球运动所在的空间存在竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E，小球质量为m，带电荷量为q，细线长为l，重力加速度为g，则(　 　)
A．小球带正电
B．静电力大于重力
C．小球运动到最低点时速度最大
对点演练
BD
D
A．从A到B过程中，小球的机械能先增大后减小
B．从A到B过程中，小球对轨道的压力先减小后增大
C．在A、B两点的速度大小满足vA>vB
题型二　带电粒子在交变电场中的运动
1．常见的交变电场类型
产生交变电场常见的电压波形：正弦波、方形波、锯齿波等。
2．交变电场中常见的粒子运动
(1)粒子做单向直线运动(一般对整段或分段研究，用牛顿运动定律结合运动学公式求解)。
(2)粒子做往返运动(一般分段研究，应用牛顿运动定律结合运动学公式或者动能定理等求解)。
(3)粒子做偏转运动(一般根据交变电场特点分段研究，应用牛顿运动定律结合运动学公式或者动能定理等求解)。
注意：对于锯齿波和正弦波等电压产生的交变电场，若粒子穿过板间的时间极短，带电粒子穿过电场时可认为是在匀强电场中运动。
3．分析思路
(1)动力学观点：根据牛顿第二定律及运动学规律分析。
(2)能量观点：应用动能定理、功能关系等分析。
(3)动量观点：应用动量定理分析。
【典例2】　如图甲所示，热电子由阴极飞出时的初速度忽略不计，电子发射装置的加速电压为U0，电容器极板长和极板间距离均为L＝10 cm，下极板接地，电容器右端到荧光屏的距离也是L＝10 cm，在电容器两极板间接一交变电压，上极板的电势随时间变化的图像如图乙所示(每个电子穿过平行板的时间都极短，可以认为在电子穿过电场的过程中电压是不变的，荧光屏足够大)。求：
(1)在t＝0.06 s时刻进入电容器的电子打在荧光屏上的何处？
【答案】　打在屏上的点位于O点上方，距O点13.5 cm　
(2)荧光屏上有电子打到的区间有多长？
【答案】　30 cm
3．(多选)如图甲所示，A、B是一对平行金属板。A板的电势φA＝0，B板的电势φB随时间t的变化规律如图乙所示。现有一电子从A板上的小孔进入两板间的电场区域内，电子的初速度和重力的影响均可忽略，则(　 　)
对点演练
BC
(1)求电子从加速电场U1飞出后的水平速度v0的大小；
题型三　电场中的动力学、动量和能量问题
电场中的力电综合问题，是指带电物体在重力、静电力等共同作用下的运动问题。解决该类问题，在正确受力分析的基础上，要正确建立带电物体在电场中的运动模型，并且与力学中的运动模型进行类比，根据其运动特点灵活应用动力学观点、能量观点和动量观点等多角度进行分析与研究。
1．动力学的观点：对于带电物体在匀强电场中做直线运动的问题，可以综合运用牛顿第二定律和运动学公式解题。
2．能量的观点：对于带电物体在电场中的运动过程涉及能量的问题，可以应用动能定理、功能关系、能量守恒定律等灵活解题。
3．动量的观点：对于带电物体在电场中的运动过程涉及动量的问题，可以应用动量定理、动量守恒定律等灵活解题。
【典例3】　(2024·福建厦门高三质检)如图所示，质量为9m的靶盒(可视为质点)带正电，电荷量为q，静止在光滑水平面上的O点。O点右侧存在电场强度大小为E、方向水平向左的匀强电场。在O点左侧有一质量为m的子弹，以速度v0水平向右打入靶盒后与靶盒一起运动。已知子弹打入靶盒的时间极短，子弹不带电，且靶盒带电荷量始终不变，不计空气阻力。
(1)求子弹打入靶盒后的瞬间，子弹和靶盒共同的速度大小v1；
【解析】　子弹打入靶盒过程中，由动量守恒定律得mv0＝10mv1，解得v1＝0.1v0。
【答案】　0.1v0　
(2)求子弹打入靶盒后，靶盒向右离开O点的最大距离s；
(3)若靶盒回到O点时，第2颗完全相同的子弹也以速度v0水平向右打入靶盒，求第2颗子弹对靶盒的冲量大小I。
【解析】　第1颗子弹打入靶盒后，靶盒将先向右减速后反向加速，返回O点时速度大小仍为v1，设第2颗子弹打入靶盒后速度为v2，取向右为正方向，由动量守恒定律得mv0－10mv1＝11mv2，解得v2＝0，
以靶盒与第1颗子弹为整体，由动量定理得I＝0－(－10mv1)，解得I＝mv0。
【答案】　mv0
5．(2025·河南开封高三联考)如图所示，长s＝0.5 m的粗糙水平面AB上有一水平向右的匀强电场E1＝60 V/m。一电荷量q＝＋0.02 C、质量m1＝0.2 kg的物块从A点由静止开始运动，从B点飞入竖直向下的匀强电场E2，并恰好落在质量m2＝0.3 kg的绝缘篮中，与绝缘篮粘在一起。绝缘篮通过长L＝0.1 m的轻绳(不可伸长)与一质量m3＝0.5 kg的滑块相连，滑块套在一水平固定的光滑细杆上，可自由滑动。已知物块与水平面AB间的动摩擦因数μ＝0.2，绝缘篮距B点的竖直距离y＝0.1 m，水平距离x＝0.2 m，重力加速度g取10 m/s2，物块、绝缘篮、滑块均可视为质点。求：
对点演练
(1)物块从B点飞出时的速度大小；
答案：2 m/s　
(2)竖直匀强电场E2的大小；
答案：100 N/C　
(3)轻绳再次摆到竖直位置时轻绳对绝缘篮的拉力大小。
解析：物块飞入篮中与绝缘篮组成的系统在水平方向动量守恒，则有m1vB＝(m1＋m2)v1，
解得v1＝0.8 m/s，
绝缘篮与物块摆到一定高度再落回最低点过程中，绝缘篮、物块和滑块组成的系统在水平方向动量守恒，则有
(m1＋m2)v1＝(m1＋m2)v2＋m3v3，
根据能量守恒定律可得
答案：10.2 N
课时作业48
第
分
部
二
D
A．一开始向左运动，最后打到A板上
B．一开始向右运动，最后打到A板上
C．一开始向左运动，最后打到B板上
D．一开始向右运动，最后打到B板上
2．(5分)如图所示，A、B、C、D、E、F、G、H是竖直光滑绝缘圆轨道的八等分点，AE竖直，空间存在平行于圆轨道面的匀强电场，从A点静止释放一质量为m的带电小球，小球沿圆弧恰好能到达C点。若在A点给带电小球一个水平向右的冲量，让小球沿轨道做完整的圆周运动，则小球在运动过程中(　 　)
A．在E点的动能最小
B．在B点的电势能最大
C．在C点的机械能最大
D．在F点的机械能最小
C
解析：从A点静止释放一质量为m的带电小球，小球沿圆弧轨道恰好能到达C点，可知静电力和重力的合力方向沿FB方向斜向下，可知B点为“等效最低点”，F点为“等效最高点”，可知小球在F点速度最小，动能最小，A错误；由平衡条件可知，静电力水平向右，可知小球在G点电势能最大，在C点电势能最小，B错误；因小球的电势能与机械能之和守恒，可知在C点机械能最大，在G点机械能最小，C正确，D错误。
3．(5分)如图所示，一带电的平行板电容器固定在绝缘底座上，底座置于光滑水平面上，一光滑绝缘轻杆左端固定在电容器的左极板上，并穿过右极板上的小孔，电容器极板连同底座总质量为2m，底座锁定在水平面上时，套在杆上质量为m的带电环以某一初速度由小孔进入电容器后，最远能到达距离右极板为d的位置。底座解除锁定后，将两极板间距离变为原来的2倍，其他条件不变，则带电环进入电容器后，最远能到达的位置距离右极板(　 　)
C
4．(5分)(多选)如图甲为两水平金属板，在两板间加上周期为T的交变电压u，电压u随时间t变化的关系图线如图乙所示。质量为m、重力不计的带电粒子以初速度v0沿中线射入两板间，经时间T从两板间飞出。下列关于粒子运动的描述正确的是(　 　)
A．t＝0时入射的粒子，离开电场时偏离中线的距离最小
B．无论哪个时刻入射的粒子，离开电场时的速度方向都沿水平方向
D．无论哪个时刻入射的粒子，离开电场时的速度大小都相等
BD
5．(5分) (多选)如图所示，空间有沿水平方向的匀强电场E(未画出)，长为L的绝缘轻质细线一端固定在天花板上O点，另一端系质量为m、电荷量为q的带正电小球，现由图示A位置静止释放小球，小球沿圆弧经最低点C恰好能到达B点。已知OB与竖直方向的夹角θ＝37°且sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度为g，忽略空气阻力。下列说法正确的是(　 　)
AC
6．(12分)(2025·江西南昌十校联考)在一横截面为正方形的柱形区域内有匀强电场，正方形边长为L，如图所示，电场线为与AC平行的一簇平行线，P为AB边的中点，质量为m、电荷量为q(q＞0)的带电粒子自P点以大小不同的速度进入电场，速度方向与电场方向垂直。已知进入电场时速率为v0的粒子恰好由C点离开电场，运动中粒子仅受静电力作用。
(1)求电场强度的大小；
(2)为使粒子从DC边的中点Q离开电场，该粒子进入电场的速度为多大；
(3)若粒子从P进入电场到D点离开，则粒子在此过程中所受静电力的冲量为多大。
D
8．(5分)如图甲所示为粒子直线加速器原理图，它由多个横截面积相同的同轴金属圆筒依次组成，序号为奇数的圆筒与序号为偶数的圆筒分别和交变电源相连，交变电源两极间的电势差的变化规律如图乙所示。在t＝0时，奇数圆筒比偶数圆筒电势高，此时和偶数圆筒相连的金属圆板(序号为0)的中央有一自由电子由静止开始在各间隙中不断加速。若电子的质量为m、电荷量为e，交变电源的电压为U，周期为T。不考虑电子的重力和相对论效应，忽略电子通过圆筒间隙的时间。下列说法正确的是(　 　)
C
AD
10．(12分)如图甲所示，电子枪的金属丝K连续不断地逸出电子，电子初速度不计，经M、N两金属极板之间的电场加速后，沿A、B两水平金属极板间的中心线OP射入极板间的偏转电场，UMN＝－U0。A、B两极板间的距离为d，两极板间的电势差uAB随时间t的变化图像如图乙所示，图中U1已知，uAB的变化的周期为3t0。两极板间的电场视为匀强电场，t＝0时刻射入A、B两极板间的电子在偏转电场中经4t0后从极板右侧射出。已知电子的质量为m、电荷量为－e，重力不计，打到极板上的电子均被吸收，不计电子之间的相互作用力。
(1)求A、B金属极板的长度L；
(2)求t＝0时刻射入偏转电场的电子，从极板右侧射出时相对中线OP在竖直方向的位移偏移量y；
(3)仅上下调整A、B两水平极板的位置，保证电子仍然能沿OP方向射入偏转电场，要使从极板右侧射出的电子速度均水平，求A、B两极板间的最小距离d1。
解析：仅上下调整A、B两水平极板的位置，满足电子仍然能沿OP方向射入偏转电场，使从极板右侧射出的电子速度均水平，则A、B两极板间的距离最小的条件是(2＋3n)t0(n＝0，1，2，…)时刻入射的粒子恰好飞出电场，其他时刻入射的粒子全部打在极板上被吸收，第1个t0时间内的竖直
11．(16分)(2025·山东济南高三期中)如图所示，空间有一水平向右的匀强电场，电场强度的大小为E＝1.0×104 V/m。该空间有一个半径为R＝2 m的竖直光滑绝缘圆环的一部分，圆环与光滑水平面相切于C点，A点所在的半径与竖直直径BC成37°角。质量为m＝0.04 kg、电荷量为q＝＋6×10-5 C的带电小球2(可视为质点)静止于C点。轻弹簧一端固定在竖直挡板上，另一端自由伸长时位于P点。质量也为m＝0.04 kg的不带电小球1挨着轻弹簧右端，现用力缓慢压缩轻弹簧右端到P点左侧某点后释放。小球1沿光滑水平面运动到C点与小球2发生碰撞，碰撞时间极短，碰后两小球黏合在一起且恰能沿圆弧到达A点。P、C两点间距离较远，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：
(1)黏合体在A点的速度大小；
答案：5 m/s　
(2)弹簧的弹性势能；
答案：9.2 J　
(3)小球黏合体由A点到达水平面运动的时间。
解析：如图乙所示，黏合体过A点后在竖直方向上做匀加速运动，
竖直方向上的初速度为
v0＝vA sin 37°＝3 m/s，
由竖直方向做匀加速运动可得
答案：0.6 s

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