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第六章　机械能守恒定律
第1讲　功和功率
物理
内容索引
必备知识梳理
关键能力提升
第一部分
第二部分
考点一　恒力做功的分析与计算
考点二　变力做功的分析与计算
01
02
考点三　功率的分析和计算
03
课时作业
第三部分
04
考点四　机车启动问题
课程标准 备考策略
1.理解功和功率。了解生产生活中常见机械的功率大小及其意义。 2．理解动能和动能定理。能用动能定理解释生产生活中的现象。 3．理解重力势能，知道重力势能的变化与重力做功的关系。定性了解弹性势能。 4．理解机械能守恒定律，体会守恒观念对认识物理规律的重要性。 5．能用机械能守恒定律分析生产生活中的有关问题。 实验七：验证机械能守恒定律 1.深刻理解功、功率、动能、重力势能、弹性势能等基本概念。
2．掌握功的计算方法及动能定理和机械能守恒定律的应用技巧，并能够分析与解决相关问题。
3．抓住能量转化与守恒这条主线，将解决功和能的相关问题的知识和方法融入实际问题
必备知识梳理
第
分
部
一
自主学习·基础回扣
1．功
(1)定义：物体受到力的作用，并在__________发生一段位移，就说力对物体做了功。
(2)做功的两个必要条件：①有力作用在物体上；②物体在力的方向上发生了____。
(3)公式：W＝______________，其中F是恒力，l是位移，α是____和______的夹角。
(4)单位：焦耳(J)。
力的方向上
位移
Fl cos α
力F
位移l
(5)标矢性：功是____，没有方向，但有正、负。根据W＝Fl cos α可知，
①当0°≤α<90°时，力对物体做__功，是动力，物体获得动能。
②当90°<α≤180°时，力对物体做__功。
③当α＝90°时，力对物体__做功。
2．功率
(1)定义：功W与完成这些功所用______的比值。
(2)物理意义：描述力对物体做功的____。
标量
正
负
不
时间t
快慢
(3)公式
②P＝Fv
a．v为平均速度，则P为____功率。
b．v为瞬时速度，则P为____功率。
c．当力F和速度v不在同一直线上时，可以将力F分解或者将速度v分解。
平均功率
平均
瞬时
教材链接·想一想 根据人教版教材必修第二册P81“拓展学习”中推导重力做功的特点时运用了什么方法？
提示：微元法。
1．只要物体受力的同时又发生了位移，则一定有力对物体做功。(　 　)
2．作用力做正功时，反作用力一定做负功。(　 　)
3．力对物体做功的正负是由力和位移间的夹角大小决定的。(　 　)
4．摩擦力对物体一定做负功。(　 　)
5．由P＝Fv既能求某一时刻的瞬时功率，也可以求平均功率。(　 　)
6．当F为恒力时，v增大，F的功率一定增大。(　 　)
7．汽车上坡时换成低挡位，其目的是减小速度得到较大的牵引力。(　 　)
概念辨析
×
×
√
×
√
×
√
关键能力提升
第
分
部
二
互动探究·考点精讲
考点一　恒力做功的分析与计算
1．功的正负的判断方法
(1)恒力做功的判断，依据力与位移方向的夹角来判断。
(2)曲线运动中功的判断
(3)依据能量变化来判断：功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功。此法常用于两个相联系的物体之间的相互作用力做功的判断。
2．恒力做功的计算方法
3．合力做功的计算方法
方法一：先求合力F合，再用W合＝F合l cos α求功。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功。
方法三：利用动能定理W合＝Ek2－Ek1。
考向1 正负功的判断
【典例1】　如图所示，用电梯将两箱相同的货物从一楼运送到二楼，其中图甲是用台阶式电梯运送，图乙是用履带式自动电梯运送，假设两种情况下电梯都是匀速运行，下列说法正确的是(　 　)
A．两种情况下电梯对货物的支持力都对货物做正功
B．图乙中电梯对货物的支持力对货物做正功
C．图甲中电梯对货物的支持力对货物不做功
D．图乙中电梯对货物的支持力对货物不做功
D
【解析】　在题图甲中，货物随电梯匀速上升时，货物受到的支持力竖直向上，与货物位移方向的夹角小于90°，故此种情况下支持力对货物做正功，C错误；题图乙中，货物受到的支持力与电梯接触面垂直，此时货物受到的支持力与货物位移方向垂直，故此种情况下支持力对货物不做功，A、B错误，D正确。
考向2 恒力做功的计算
【典例2】　(多选)如图所示，升降机内斜面的倾角θ＝30°，质量为2 kg的物体置于斜面上始终不发生相对滑动，在升降机以5 m/s的速度匀速上升4 s的过程中，g取10 m/s2，则(　 　)
A．斜面对物体的支持力做功300 J
B．斜面对物体的摩擦力做功－100 J
C．物体克服重力做功400 J
D．合力对物体做功25 J
AC
1．如图所示，质量为m的物体置于倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，在外力作用下，斜面以加速度a沿水平方向向左匀加速运动一段距离，运动中物体与斜面体始终相对静止。关于物体，下列说法正确的是(　 　)
A．摩擦力一定不做功 B．摩擦力一定做负功
C．支持力一定做正功 D．合力做功可能为零
对点演练
C
解析：当物体与斜面间的摩擦力为零时，则mg tan θ＝ma0，即当a＝a0＝g tan θ时，物体与斜面之间无摩擦力，此时摩擦力不做功；若当a>g tan θ时，物体所受摩擦力沿斜面向下，此时摩擦力与位移方向夹角小于90°，摩擦力做正功；若当a2．如图所示，水平路面上有一辆质量为M的汽车，车厢中有一个质量为m的人正用恒力F向前推车厢。在车以加速度a向前加速行驶距离L的过程中，下列说法正确的是(　 　)
A．人对车的推力F做的功为FL
B．人对车做的功为maL
C．车对人的作用力大小为ma
D．车对人的摩擦力做的功为(F－ma)L
A
考点二　变力做功的分析与计算
【典例3】　(多选)力F对物体所做的功可由公式W＝Fl cos α求得。公式中力F必须是恒力。而实际问题中，有很多情况是变力在对物体做功。如图所示，对于甲、乙、丙、丁四种情况下求解某个力所做的功，下列说法正确的是(　 　)
AB
当F为恒力时将小球从P拉到Q，F做的功是W＝Fl sin θ，而F缓慢将小球从P拉到Q，F为水平方向的变力，F做的功不能直接用力乘以位移计算，要根据动能定理求解力F做的功，即W′＝mgl(1－cos θ)，故D错误。
3．某同学用水桶从水井里提水，井内水面到井口的高度为20 m。水桶离开水面时，桶和水的总质量为10 kg。由于水桶漏水，在被匀速提升至井口的过程中，桶和水的总质量随着上升距离的变化而变化，其关系如图所示。水桶可以看成质点，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。由图像可知，在提水的整个过程中，拉力对水桶做的功为(　 　)
A．2 000 J B．1 800 J
C．200 J D．180 J
对点演练
B
4．水平桌面上，长6 m的轻绳一端固定于O点，如图所示(俯视图)，另一端系一质量m＝2.0 kg的小球。现对小球施加一个沿桌面大小不变的力F＝10 N，F拉着小球从M点运动到N点，F的方向始终与小球的运动方向成37°角。已知小球与桌面间的动摩擦因数μ＝0.2，不计空气阻力， g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则下列说法正确的是(　 　)
A．拉力F对小球做的功为16π J
B．拉力F对小球做的功为8π J
C．小球克服摩擦力做的功为16π J
D．小球克服摩擦力做的功为4π J
A
考点三　功率的分析和计算
1．平均功率的计算方法

(2)利用P＝Fv cos α，其中v为物体运动的平均速度。
2．瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝Fv cos α，其中v为t时刻的瞬时速度。
(2)利用公式P＝FvF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度。
(3)利用公式P＝Fvv，其中Fv为物体受到的外力F在速度v方向上的分力。
【典例4】　如图甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2 kg的物体在拉力F作用下由静止开始向上做匀加速直线运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知(重力加速度g取10 m/s2)(　 　)
A．物体的加速度大小为2 m/s2
B．F的大小为21 N
C．4 s末F的功率为42 W
D．4 s内F的平均功率为42 W
C
求解功率时应注意的三个问题
(1)首先要明确所求功率是平均功率还是瞬时功率。
(2)平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率。
(3)计算瞬时功率时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率。
易错警示
5．(多选)质量为m的物体从距地面H高处自由下落(不计空气阻力)，经过时间t，则下列说法中正确的是(　 　)
对点演练
ACD
考点四　机车启动问题
1．两种启动方式
2.三个重要关系



(3)机车以恒定功率启动时，牵引力做的功W＝Pt。由动能定理得Pt－F阻x＝ΔEk，此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小或时间。
(1)求超级电容车在此路面上行驶所能达到的最大速度是多少？
【答案】　30 m/s　
(2)若超级电容车从静止开始，保持以0.5 m/s2的加速度做匀加速直线运动，求这一过程能维持多长时间？
【答案】　40 s　
(3)若超级电容车从静止开始，保持额定功率做加速运动，50 s后达到最大速度，求此过程中超级电容车的位移。
【答案】　1 050 m
思路点拨　(1)当超级电容车速度达到最大时，超级电容车的牵引力与阻力等大、反向。
(2)超级电容车以恒定加速度启动，匀加速运动结束时，超级电容车刚好达到额定功率，应满足P＝Fv。
(3)超级电容车以恒定功率启动过程，牵引力所做的功应用W＝Pt求解。
6．(2024·广东深圳高三检测)质量为m的列车，以大小为v0的初速度在长直轨道上做匀加速直线运动，经过时间t后，列车的速度大小为v，此时牵引力的功率为P。假设列车行驶过程所受的阻力大小恒为F，则列车在时间t内(　 　)
A．牵引力逐渐减小
对点演练
B
7．一辆汽车在平直公路上由静止开始启动，汽车先保持牵引力F0不变，当速度为v1时达到额定功率P额，此后以额定功率继续行驶，最后以最大速度vm匀速行驶。若汽车所受的阻力f为恒力，汽车运动过程中的速度为v、加速度为a、牵引力为F、牵引力的功率为P，则下列图像中可能正确的是(　 　)
C
课时作业29
第
分
部
三
1．(5分)(2024·海南卷)神舟十七号载人飞船返回舱于2024年4月30日在东风着陆场成功着陆，在飞船返回至离地面十几公里时打开主伞飞船快速减速，返回舱速度大大减小，在减速过程中(　 　)
A．返回舱处于超重状态
B．返回舱处于失重状态
C．主伞的拉力不做功
D．重力对返回舱做负功
A
解析：返回舱在减速过程中，加速度方向竖直向上，处于超重状态，故A正确，B错误；主伞的拉力方向与返回舱运动的方向相反，对返回舱做负功，故C错误；返回舱的重力方向与返回舱的运动方向相同，重力对返回舱做正功，故D错误。
2．(5分)(2023·湖北卷)两节动车的额定功率分别为P1和P2，在某平直铁轨上能达到的最大速度分别为v1和v2。现将它们编成动车组，设每节动车运行时受到的阻力在编组前后不变，则该动车组在此铁轨上能达到的最大速度为(　 　)
D
3．(5分)(2024·山西六校高三联考)某块石头陷入淤泥过程中，其所受的阻力F与深度h的关系为F＝kh＋F0(k、F0已知)，石头沿竖直方向做直线运动，当h＝h0时，石头陷入淤泥过程中克服阻力做的功为(　 　)
A．F0h0 B．kF0
C
4．(5分) (2023·北京卷)如图所示，一物体在力F作用下沿水平桌面做匀加速直线运动。已知物体质量为m，加速度大小为a，物体和桌面之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，在物体移动距离为x的过程中(　 　)
A．摩擦力做功大小与F方向无关
B．合力做功大小与F方向有关
C．F为水平方向时，F做功为μmgx
D．F做功的最小值为max
D
解析：设力F与水平方向的夹角为θ，则摩擦力为Ff＝μ(mg－F sin θ)，摩擦力做的功为Wf＝μ(mg－F sin θ)x，即摩擦力做的功与F的方向有关，A错误；合力做的功为W＝F合x＝max，可知合力做功大小与力F方向无关，B错误；当力F水平时，则F＝ma＋μmg，力F做的功为WF＝Fx＝(ma＋μmg)x，C错误；因合力做的功为max，大小一定，而合力的功等于力F做的功与摩擦力Ff做的功的代数和，当F sin θ＝mg时，摩擦力Ff＝0，则此时摩擦力做的功为零，此时力F做功最小，最小值为max，D正确。
5．(5分) (2023·山东卷)《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里引水的场景。引水过程简化如下：两个半径均为R的水轮，以角速度ω匀速转动。水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，与水轮间无相对滑动，每个水筒离开水面时装有质量为m的水，其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田，当地的重力加速度为g，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为(　 　)
B
6．(5分)(2024·黑龙江大庆高三模拟)一质量为4 kg的物体，在粗糙的水平面上受水平恒定的拉力F作用做匀速直线运动。物体运动一段时间后拉力逐渐减小，当拉力减小到零时，物体刚好停止运动。如图所示为拉力F随位移x变化的关系图像，重力加速度g取10 m/s2，则可以求得(　 　)
A．物体做匀速直线运动的速度大小为4 m/s
B．整个过程拉力对物体所做的功为4 J
C．整个过程摩擦力对物体所做的功为－8 J
D．整个过程合力对物体所做的功为－4 J
D
7．(5分) (多选)(2024·河南开封高三检测)发展新能源汽车是当前一项国家战略，更是世界发展的潮流。假设有一辆纯电动客车质量m＝1×103 kg，客车沿平直的公路以恒定功率P从静止开始启动，如图所示为牵引力F与速度v的关系图像，加速过程在图中的B点结束，所用的时间t＝10 s，10 s后客车做匀速运动。若客车所受阻力始终不变，下列说法正确的是(　 　)
A．客车的功率P＝64 kW
B．图中A点对应的时刻为5 s
C．图中A点对应时刻客车的加速度大小为4 m/s2
D．0～10 s客车通过的路程为128 m
ACD
8．(5分)如图1所示，物体受到水平推力F的作用在粗糙水平面上做直线运动。监测到推力F、物体速度v随时间t变化的规律如图2、3所示，g取10 m/s2，则(　 　)
A.第1 s内推力做的功为1 J
B．第2 s内物体克服摩擦力做的功为2 J
C．第1.5 s时推力F做功的功率为2 W
D．第2 s内推力F做功的平均功率为1.5 W
B
9．(5分)如图甲所示，某水电站建筑工地用发动机沿倾斜光滑轨道将建材拉到大坝顶上，已知轨道的倾角θ＝37°，每次从大坝底端由静止向上拉建材的过程中，发动机所做的功与位移的关系如图乙所示。图乙中的图线为直线，当x＝6 m时发动机达到额定功率。已知每个建材的质量m＝100 kg，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。下列说法正确的是(　 　)
A．发动机的额定功率为5 600 W
B．发动机的额定功率为9 432 W
C．从x＝0到x＝6 m过程中，发动机的平均功率为2 700 W
D．从x＝0到x＝6 m过程中，发动机的平均功率为4 671 W
C
10．(5分)(多选)质量m＝200 kg的小型电动汽车在平直的公路上由静止启动，如图甲表示汽车运动的速度与时间的关系，图乙表示汽车牵引力的功率与时间的关系。设汽车在运动过程中阻力不变，在18 s末汽车的速度恰好达到最大，则下列说法正确的是(　 　)
A．汽车受到的阻力为800 N
B．8～18 s过程中汽车牵引力逐渐增大
C．0～8 s过程中汽车牵引力做的功为6.4×104 J
D．0～18 s过程中汽车的位移大小为127.5 m
AD
11．(15分)质量为1.0×103 kg的汽车，沿倾角为30°的斜坡由静止开始运动，汽车在运动过程中所受摩擦阻力大小恒为2 000 N，汽车发动机的额定输出功率为5.6×104 W，开始时以a＝1 m/s2的加速度做匀加速直线运动(g取10 m/s2)。求：
(1)汽车做匀加速运动的时间t1；
解析：由牛顿第二定律得F－mg sin 30°－Ff＝ma，设匀加速运动过程的末速度为v，则有P＝Fv，v＝at1，解得t1＝7 s。
答案：7 s　
(2)汽车所能达到的最大速度；
解析：当汽车达到最大速度vm时，a＝0，则有P＝(mg sin 30°＋Ff)vm，解得vm＝8 m/s。
答案：8 m/s　
(3)若斜坡长143.5 m，且认为汽车到达坡顶之前已达到最大速率，汽车从坡底到坡顶需多长时间？
答案：22 s

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