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第六章　机械能守恒定律
第4讲　功能关系　能量守恒定律
物理
内容索引
必备知识梳理
关键能力提升
第一部分
第二部分
考点一　对功能关系的理解
考点二　能量守恒定律的理解和应用
01
02
课时作业
第三部分
必备知识梳理
第
分
部
一
自主学习·基础回扣
1．功能关系
(1)内容
①功是________的量度，即做了多少功，就有多少能量发生了转化。
②做功的过程一定伴随有能量的转化，而且能量的转化必须通过做功来实现。
能量转化
(2)做功对应变化的能量形式
①合力的功影响物体的____的变化。
②重力的功影响物体________的变化。
③弹簧弹力的功影响________的变化。
④除重力或系统内弹力以外的力做功影响物体______的变化。
⑤滑动摩擦力的功影响________的变化。
⑥静电力的功影响______的变化。
⑦分子力的功影响________的变化。
动能
重力势能
弹性势能
机械能
系统内能
电势能
分子势能
2．两种摩擦力做功特点的比较
项目 静摩擦力做功 滑动摩擦力做功
不同点 能量的 转化方面 只有机械能从一个物体转移到另一个物体，而没有机械能转化为其他形式的能 (1)将部分机械能从一个物体转移到另一个物体
(2)一部分机械能转化为内能，此部分能量就是系统____能的损失量
一对摩擦 力做的 总功方面 一对静摩擦力做功的代数和总______ 一对滑动摩擦力做功的代数和总是____
机械
等于0
负值
项目 静摩擦力做功 滑动摩擦力做功
相同点 正功、负功、 不做功方面 两种摩擦力对物体可以做正功，也可以做负功，还可以不做功 3.能量守恒定律
(1)内容：能量既不会凭空____，也不会凭空消失，它只能从一种形式____为另一种形式，或者从一个物体____到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量________。
(2)表达式：ΔE减＝__________。
产生
转化
转移
保持不变
ΔE增
1．一个物体的能量增加，必定有别的物体能量减少。(　 　)
2．合力做的功等于物体机械能的改变量。(　 　)
3．克服与势能有关的力(重力、弹簧弹力、静电力等)做的功等于对应势能的增加量。(　 　)
4．滑动摩擦力做功时，一定会引起机械能的转化。(　 　)
5．在物体的机械能减少的过程中，动能有可能是增大的。(　 　)
6．重力和弹簧弹力之外的其他力做功的过程是机械能和其他形式能转化的过程。(　 　)
概念辨析
√
×
√
√
√
√
关键能力提升
第
分
部
二
互动探究·考点精讲
考点一　对功能关系的理解
1．对功能关系的理解
(1)做功的过程是能量转化或转移的过程。不同形式的能量发生相互转化或转移是通过做功来实现的。
(2)功是能量转化的量度，功和能的关系，一是体现为不同的力做功，对应不同形式的能转化，具有一一对应关系；二是做功的多少与能量转化的多少在数量上相等。
2．力学中几种常见的功能关系
考向1 对功能关系的理解
【典例1】　(多选)如图所示，在竖直平面内有一半径为R的圆弧轨道，半径OA水平、OB竖直，一个质量为m的小球自A的正上方P点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力。已知AP＝3R，重力加速度为g，则小球从P点到B点的运动过程中(　 　)
A．重力势能减少2mgR
B．机械能减少2mgR
C．动能增加mgR
AD
考向2 功能关系与图像的综合
【典例2】　(多选)(2025·湖南株洲高三月考)从地面竖直向上抛出一物体，其机械能E总等于动能Ek与重力势能Ep之和，取地面为零势能参考平面，该物体的E总和Ep随它离开地面的高度h的变化如图所示。重力加速度g取10 m/s2，根据图中数据可知(　 　)
A．物体的质量为2 kg
B．物体上升过程中所受阻力大小为4 N
C．在物体上升至h＝2 m处，物体的动能为40 J
D．在物体上升后返回至h＝2 m处，物体的动能为30 J
AD
1．(2024·安徽卷)在某地区的干旱季节，人们常用水泵从深水井中抽水灌溉农田，简化模型如图所示。水井中的水面距离水平地面的高度为H，出水口距水平地面的高度为h，与落地点的水平距离约为l。假设抽水过程中H保持不变，水泵输出能量的η倍转化为水被抽到出水口处增加的机械能。已知水的密度为ρ，水管内径的横截面积为S，重力加速度为g，不计空气阻力。则水泵的输出功率约为(　 　)
对点演练
B
2．(2025·山东济南高三阶段检测)如图所示，一轻弹簧竖直放置，下端固定在水平地面上，自然伸长时弹簧上端处于A点。t＝0时将小球从A点正上方O点由静止释放，t1时到达A点，t2时弹簧被压缩到最低点B。以O为原点、向下为正方向建立x坐标轴，以B点为重力势能零点，弹簧形变始终处于弹性限度内。小球在运动过程中的动能Ek、重力势能Ep1、机械能E0及弹簧的弹性势能Ep2变化图像可能正确的是(　 　)
B
3．(多选)如图所示，载有防疫物资的无人驾驶小车，在水平MN段以恒定功率200 W、速度5 m/s匀速行驶，在斜坡PQ段以恒定功率570 W、速度2 m/s匀速行驶。已知小车总质量为50 kg，MN＝PQ＝20 m，PQ段的倾角为30°，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。下列说法正确的有(　 　)
A．从M到N，小车牵引力大小为40 N
B．从M到N，小车克服摩擦力做功800 J
C．从P到Q，小车重力势能增加1×104 J
D．从P到Q，小车克服摩擦力做功700 J
ABD
考点二　能量守恒定律的理解和应用
1．理解
(1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
(2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
2．表达式：ΔE减＝ΔE增。
3．解题的步骤
(1)分清有几种形式的能在变化，如动能、势能(包括重力势能、弹性势能、电势能)、内能等。
(2)明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量减少，并且列出减少的能量ΔE减和增加的能量ΔE增的表达式。
(3)列出能量守恒关系式：ΔE减＝ΔE增。
【典例3】　风能是一种清洁的可再生能源。如图所示，风力发电机是一种将风能转化为电能的装置，其主要部件包括风轮机、齿轮箱、发电机等。某两台风力发电机的风轮叶片长度之比为2∶3，转化效率相等。若均保持风从正面吹向叶片，则在相同风力环境下，这两台风力发电机的输出电功率之比为(　 　)
A．3∶2 B．2∶3
C．4∶9 D．8∶27
C
【典例4】　(2024·江苏卷)如图所示，粗糙斜面的动摩擦因数为μ，倾角为θ，斜面长为L。一个质量为m的物块，在电动机作用下，从A点由静止加速至B点时达到最大速度v，之后做匀速运动至C点，关闭电动机，从C点又恰好到达最高点D。求：
(1)CD段长x；
(2)BC段电动机的输出功率P；
【解析】　物块在BC段做匀速运动，得电动机的牵引力为F＝mg sin θ＋μmg cos θ，由P＝Fv得P＝mgv(sin θ＋μcos θ)。
【答案】　mgv(sin θ＋μcos θ)　
(3)全过程物块增加的机械能E1和电动机消耗的总电能 E2的比值。
4．电动车配有把机械能转化为电能的“能量回收”装置。某次测试中电动车沿倾角为15°的斜坡向下运动，初动能为1.0×105 J。第一次让车无动力自由滑行，其动能Ek与位移x的关系如图中直线①所示；第二次让车无动力并开启“能量回收”装置滑行，其动能Ek与位移x的关系如图中曲线②所示。假设机械能回收效率为90%，重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是(　 　)
A．图中①对应过程电动车所受合力越来越大
B．可求图中②对应过程下滑200 m回收的电能
C．图中②对应过程下滑100 m后不再回收能量
D．由题中及图像信息可求出电动车的质量
对点演练
B
(1)物体A向下运动至刚到C点时的速度大小；
答案：2 m/s　
(2)弹簧的最大压缩量；
答案：0.4 m　
(3)弹簧的最大弹性势能。
答案：6 J
课时作业32
第
分
部
三
1．(5分)(2023·浙江1月选考)一位游客正在体验蹦极，绑上蹦极专用的橡皮绳后从跳台纵身而下。游客从跳台下落直到最低点过程中(　 　)
A．弹性势能减小
B．重力势能减小
C．机械能保持不变
D．绳一绷紧动能就开始减小
B
解析：游客从跳台下落，开始阶段橡皮绳未拉直，只受重力作用做自由落体运动，下落到一定高度时橡皮绳开始绷紧，游客受重力和向上的弹力作用，弹力从零逐渐增大，游客所受合力先向下减小后向上增大，速度先增大后减小，到最低点时速度减小到零，弹力达到最大值，橡皮绳的弹性势能达到最大值，橡皮绳绷紧后弹性势能一直增大，A错误；游客高度一直降低，重力一直做正功，重力势能一直减小，B正确；下落阶段待橡皮绳绷紧后开始对游客做负功，游客机械能减少，C错误；橡皮绳刚绷紧开始一段时间内，弹力小于重力，合力向下做正功，游客向下运动的速度逐渐增大，游客的动能逐渐增大；当弹力等于重力时，游客向下运动的速度最大，游客的动能最大；游客再向下运动，弹力大于重力，合力向上对游客做负功，游客的动能逐渐减小，D错误。
2．(5分)(2024·浙江1月选考)如图所示，质量为m的足球从水平地面上位置1被踢出后落在位置3，在空中达到最高点2的高度为h，则足球(　 　)
A．从1到2动能减少mgh
B．从1到2重力势能增加mgh
C．从2到3动能增加mgh
D．从2到3机械能不变
B
解析：由足球的运动轨迹可知，足球在空中运动时一定受到空气阻力作用，则从1到2足球重力势能增加mgh，动能减少量大于mgh，A错误，B正确； 从2到3由于空气阻力作用，则足球机械能减小，重力势能减小mgh，则动能增加小于mgh，C、D错误。
AB
B
5．(5分)“奋进号”潮流能发电机组是世界上单台容量最大的潮流能发电机组，它的吊装如图所示，其核心部件是“水下大风车”——水轮机，它的叶片转动时可形成半径为5 m的圆面。某次涨潮期间，该区域海水的潮流速度是1 m/s，流向恰好跟叶片转动的圆面垂直，已知海水密度为1×103 kg/m3，假设这台水轮机能将此圆面内20%的潮流能转化为电能，则这台潮流能发电机组发电的功率约为(　 　)
A．3.9×103 W B．7.9×103 W
C．3.9×104 W D．7.9×104 W
B
6．(5分) (多选)如图所示，轻弹簧一端固定在倾角为θ的斜面底端。一质量为m的物体从距弹簧上端d处由静止释放，向下运动位移L后停在最低点。已知弹簧始终在弹性限度内，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。则物体向下运动过程( 　)
A．摩擦产生的热量为μmgL cos θ
B．物体机械能的减少量为mgL sin θ
C．物体的最大动能为mgd sin θ－μmgd cos θ
D．弹簧弹性势能的最大值为mgL sin θ－μmgL cos θ
ABD
解析：根据功能关系得摩擦产生的热量为Q＝fΔx＝μmgL cos θ，故A正确；物体从最高点运动到最低点，初、末动能相等，则物体机械能的减少量即为重力势能的减少量，为mgL sin θ，故B正确；物体速度最大时，动能最大，而速度最大时，物体所受合力为零，此时弹簧一定发生形变，而C项中mgd sin θ－μmgd cos θ是物体在弹簧原长位置具有的动能，故C错误；当弹簧被压缩到最短时，弹簧弹性势能最大，根据能量守恒定律，物体的重力势能转化为内能和弹簧的弹性势能，即mgL sin θ＝Q＋Ep，解得Ep＝mgL sin θ－μmgL cos θ，故D正确。
7．(5分)(多选)一滴雨滴在空中由静止开始竖直下落，雨滴只受空气阻力和重力作用，且受到的空气阻力与速率成正比，t0时刻(下落高度为h0)，雨滴开始匀速下落。以地面为重力势能参考平面，下列关于雨滴下落过程中，它的重力势能Ep与下落高度h图像、重力势能Ep与时间t图像、动能Ek与下落高度h图像、机械能E与下落高度h图像，可能正确的是(　 　)
AD
8．(5分) (多选)如图所示，楔形木块abc固定在水平面上，粗糙斜面ab与水平面的夹角为60°，光滑斜面bc与水平面的夹角为30°，顶角b处安装一定滑轮。质量分别为M、m(M>m)的两滑块A和B，通过不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接，轻绳与斜面平行。两滑块由静止释放后，沿斜面做匀加速直线运动，A、B不会与定滑轮碰撞。若不计滑轮的质量和摩擦，在两滑块沿斜面运动的过程中(　 　)
A.轻绳对滑轮作用力的方向竖直向下
B．拉力和重力对A做功之和大于A动能的增加量
C．拉力对A做的功等于A机械能的增加量
D．两滑块组成的系统损失的机械能等于A克服摩擦力做的功
BD
解析：根据题意可知，两段轻绳的夹角为90°，轻绳拉力的大小相等，根据平行四边形定则可知，合力方向与轻绳方向的夹角为45°，所以轻绳对滑轮作用力的方向不是竖直向下的，故A错误；对A受力分析，受到重力、斜面的支持力、轻绳的拉力以及斜面的滑动摩擦力作用，根据动能定理可知，A动能的增加量等于拉力、重力以及摩擦力做功之和，而摩擦力做负功，则拉力和重力对A做功之和大于A动能的增加量，故B正确；根据除由重力和弹力之外的力对物体做的功等于物体机械能的变化量可知，拉力和摩擦力对A做的功之和等于A机械能的增加量，故C错误；对两滑块组成的系统分析可知，除了重力之外只有摩擦力对A做功，所以两滑块组成的系统损失的机械能等于A克服摩擦力做的功，故D正确。
9．(5分) (多选)(2023·全国乙卷)如图所示，一质量为M、长为l的木板静止在光滑水平桌面上，另一质量为m的物块(可视为质点)从木板上的左端以速度v0开始运动。已知物块与木板间的滑动摩擦力大小为Ff，当物块从木板右端离开时(　 　)
A．木板的动能一定等于Ffl
B．木板的动能一定小于Ffl
BD
10．(5分)如图甲所示，一个可视为质点的小球从地面竖直上抛，小球的动能Ek随它距离地面的高度h的变化关系如图乙所示，取小球在地面时的重力势能为零，小球运动过程中受到的空气阻力大小恒定，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　 　)
C
11．(15分)如图所示，一倾角为θ的光滑斜面上有50个减速带(图中未完全画出)，相邻减速带间的距离均为d，减速带的宽度远小于d；一质量为m的无动力小车(可视为质点)从距第一个减速带L处由静止释放。已知小车通过减速带损失的机械能与到达减速带时的速度有关。观察发现，小车通过第30个减速带后，在相邻减速带间的平均速度均相同。小车通过第50个减速带后立刻进入与斜面光滑连接的水平地面，继续滑行距离s后停下。已知小车与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。
(1)求小车通过第30个减速带后，经过每一个减速带时损失的机械能；
解析：设小车通过第30个减速带后，经过每个减速带损失的机械能为ΔE。对小车从刚通过第30个减速带到刚通过第31个减速带的过程，由动能定理可知mgd sin θ－ΔE＝0，解得ΔE＝mgd sin θ。
答案：mgd sin θ
(2)求小车通过前30个减速带的过程中在每一个减速带上平均损失的机械能；
(3)若小车在前30个减速带上平均每一个减速带损失的机械能大于之后每一个减速带上损失的机械能，则L应满足什么条件？
12．(15分)如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的半圆形轨道在B点衔接，轨道半径为R，一个质量为m的静止物块在A处压缩弹簧，在弹力的作用下获某一向右的速度，当它经过B点进入导轨瞬间对导轨的压力为其重力的7倍，之后向上运动恰能完成半圆周运动到达C点，求：
(1)开始时弹簧储存的弹性势能；
答案：3mgR　
(2)物块从B点到C点克服阻力做的功；
(3)物块离开C点后落回水平面时的水平距离及动能的大小。

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