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第四章　曲线运动
第1讲　曲线运动　运动的合成与分解
物理
内容索引
必备知识梳理
关键能力提升
第一部分
第二部分
考点一　曲线运动的条件和轨迹分析
考点二　运动的合成与分解
01
02
考点三　小船渡河模型
03
课时作业
第三部分
04
考点四　绳(杆)端速度分解模型
课程标准 备考策略
1．通过实验，了解曲线运动，知道物体做曲线运动的条件。 2．会用运动合成与分解的方法分析平抛运动。体会将复杂运动分解为简单运动的物理思想。 3．能分析生产生活中的抛体运动。 4．会用线速度、角速度、周期描述匀速圆周运动。 5．知道匀速圆周运动向心加速度的大小和方向。 6．能用牛顿第二定律分析匀速圆周运动的向心力。 7．了解生产生活中的离心现象及其产生的原因。 实验五：探究平抛运动的特点。 实验六：探究向心力与半径、角速度和质量的关系 1.掌握平抛运动的特点，会进行平抛运动有关物理量的计算。
2．掌握圆周运动中的受力分析及加速度的分析方法，注重提炼生活中的曲线运动模型。
3．掌握以探究平抛运动和圆周运动为主的实验题的基本原理、实验操作、数据处理的方法
必备知识梳理
第
分
部
一
自主学习·基础回扣
1．曲线运动
(1)速度方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线上该点的____方向。
(2)运动性质：做曲线运动的物体，速度的____时刻改变，故曲线运动一定是____运动，即必然具有加速度。
(3)曲线运动的条件
①运动学角度：物体的______方向跟速度方向不在同一条直线上。
②动力学角度：物体所受____的方向跟速度方向不在同一条直线上。
③当物体的初速度v0和所受合力F分别满足下列给定的条件时，写出物体的运动情况。
切线
方向
变速
加速度
合力
a．v0＝0，F＝0：____；
b．v0≠0，F＝0：________运动；
c．v0≠0，F≠0且恒定，两者方向相同：__________运动；
d．v0≠0，F≠0且恒定，两者方向相反：__________运动；
e．v0≠0，F≠0且恒定，两者方向不在一条直线上：__________运动；
f．v0≠0，F≠0不恒定，且大小、方向都随着时间变化：________运动。
(4)合力方向与轨迹的关系
物体做曲线运动的轨迹一定夹在____方向与____方向之间，速度方向与轨迹相切，合力方向指向轨迹的__(选填“凹”或“凸”)侧。
静止
匀速直线
匀加速直线
匀减速直线
匀变速曲线
变速曲线
合力
速度
凹
教材链接·想一想 根据人教版教材必修第二册P4“做一做”——用飞镖显示曲线运动的速度方向，试说明：曲线运动的速度方向与轨迹曲线有何关系？
提示：曲线运动的速度方向与轨迹曲线相切。
2．运动的合成与分解
(1)分运动和合运动的关系
①等时性、独立性、等效性、同一性
各分运动与合运动总是同时____，同时____，经历的时间一定____；各分运动各自____，不受其他分运动的影响；各分运动的叠加与合运动具有____的效果；各分运动与合运动是指同一物体参与的分运动和实际发生的运动，不是几个不同物体发生的不同运动。
②合运动的性质是由分运动的性质决定的。
开始
结束
相等
独立
相同
(2)运动的合成与分解
①运动的合成：由几个分运动求______，合成的方法是______________。
②运动的分解：已知合运动求______，分解时应根据运动的效果确定________的方向，然后由平行四边形定则确定大小，分解时也可按正交分解法分解，运动的分解与合成是____运算。
合运动
平行四边形定则
分运动
两分运动
互逆
1．速度发生变化的运动，一定是曲线运动。(　 　)
2．做曲线运动的物体受到的合力一定是变力。(　 　)
3．做曲线运动的物体所受合力的方向一定指向轨迹的凹侧。(　 　)
4．合运动的速度一定比分运动的速度大。(　 　)
5．只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动。(　 　)
6．分运动的位移、速度、加速度与合运动的位移、速度、加速度间满足平行四边形定则。(　 　)
概念辨析
×
×
√
×
×
√
关键能力提升
第
分
部
二
互动探究·考点精讲
考点一　曲线运动的条件和轨迹分析
1．曲线运动的条件及特点
2.合力方向与速率变化的关系
【典例1】　(多选)如图所示，将六块塑料板拼接成一弯曲轨道置于放在水平桌面的白纸之上，让一沾上墨水的小铁球从中滚过，留下曲线OABC，下列说法正确的是(　 　)
A．小球在B点的速度方向沿切线方向
B．小球离开C点后做直线运动
C．若拆去5、6两塑料板，小球离开B点后仍沿原曲线运动
D．若拆去3、4、5、6塑料板，小球离开A点后将做直线运动
ABD
【解析】　小球做曲线运动的速度方向沿所在位置轨迹的切线方向，故A正确；小球离开C点后，所受合力(摩擦力)方向与速度方向在同一直线上，所以小球离开C点后做直线运动，故B正确；若拆去5、6两塑料板，小球离开B点后将沿离开时的速度方向做直线运动，故C错误；若拆去3、4、5、6塑料板，小球离开A点后将沿离开时的速度方向做直线运动，故D正确。
1．(2025·山东济南高三阶段检测)如图所示，曲线表示足球(视为质点)在空中飞行的轨迹，其中一条虚线是轨迹的切线。下列表示足球在飞行过程中所受重力和空气阻力的示意图，正确的是(　 　)
对点演练
C
解析：重力方向竖直向下，速度方向为轨迹的切线方向，阻力方向与速度方向相反，故选C。
2．(多选)光滑水平面上一运动质点以速度v0通过点O，如图所示，与此同时给质点加上沿x轴正方向的恒力Fx和沿y轴正方向的恒力Fy，则(　 　)
A．因为有Fx，质点一定做曲线运动
B．如果Fy＜Fx，质点向y轴一侧做曲线运动
C．如果Fy＝Fx tan α，质点做直线运动
D．如果Fx tan α＞Fy，质点向x轴一侧做曲线运动
CD
解析：如果Fx、Fy二力的合力沿v0方向，即Fy＝Fx tan α，则质点做直线运动，A错误，C正确；若Fx tan α＞Fy，则合力方向在v0方向与x轴正方向之间，所以运动轨迹向x轴一侧弯曲，质点做曲线运动，若Fx tan α＜Fy，则合力方向在v0方向与y轴正方向之间，所以运动轨迹向y轴一侧弯曲，质点做曲线运动，因不知α的大小，所以只凭Fx、Fy的大小关系不能确定F合与v0的方向关系，故B错误，D正确。
考点二　运动的合成与分解
1．合运动和分运动的关系
(1)等时性：各个分运动与合运动总是同时开始，同时结束，经历的时间相等(不同时间的运动不能合成)。
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，互不影响。
(3)等效性：各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果。
(4)同一性：各分运动与合运动是指同一物体参与的分运动和实际发生的运动，不是几个不同物体发生的不同运动。
2．运动的合成与分解的运算法则
运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，所以合成与分解都遵守平行四边形定则。
3．合运动的性质判断
【典例2】　质量为2 kg的物体在xOy平面内运动，它在x方向的速度—时间图像和y方向的位移—时间图像如图甲、乙所示，下列说法正确的是(　 　)
A．物体的初速度大小为4 m/s
B．2 s末物体速度大小为6 m/s
C．物体所受的合力大小为3 N
D．物体2 s内运动的位移大小为9 m
C
3．(多选)跳伞表演是观赏性很强的体育项目，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中会受到水平风力的影响，如图所示，下列说法中正确的是(　 　)
A．风力越大，运动员下落时间越长
B．风力越大，运动员着地速度越大
C．运动员下落时间与风力无关
D．运动员着地速度与风力无关
BC
对点演练
解析：运动员下落过程中同时参与两个分运动，由于竖直分运动不受水平分运动的干扰，故下落时间与风速无关，故A错误，C正确；运动员落地速度由水平分速度和竖直分速度合成，水平分速度由风速决定，故风速越大，合速度越大，故B正确，D错误。
4．在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上做初速度为零、加速度为a的匀加速运动，同时人顶着直杆以速度v0水平匀速移动，经过时间t，猴子沿杆向上移动的高度为h，人顶杆沿水平地面移动的距离为s，如图所示。关于猴子的运动情况，下列说法中正确的是(　 　)
A．猴子相对地面的运动轨迹为直线
B．猴子相对地面做变加速曲线运动
C．t时刻猴子对地的速度大小为v0＋at
D
考点三　小船渡河模型
1．三种速度：船在静水中的速度v船、水的流速v水、船的实际速度v合。
2．三种情境
【典例3】　小船在200 m宽的河中横渡，水流速度为2 m/s，船在静水中的速度为4 m/s。
(1)若小船的船头始终正对对岸，它将在何时、何处到达对岸？
(2)要使小船到达正对岸，应如何航行？历时多长？
(3)若水流速度是5 m/s，船在静水中的速度是3 m/s，则怎样渡河才能使船漂向下游的距离最短？最短距离是多少？
【答案】　见解析
求解小船渡河问题的三点注意
(1)船的航行方向是船头指向，是分运动；船的运动方向是船的实际运动方向，是合运动，一般情况下与船头指向不一致。
(2)渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关，与水流速度无关。
(3)船渡河位移最小值与v船和v水大小关系有关，v船＞v水时，河宽即为最小位移；v船＜v水时，应利用图解求极值的方法处理。
易错警示
5．近年来，我国各地都有组织游泳横渡江河的活动以倡导环保意识和体育精神。在一次横渡河流的游泳活动中，人在静水中的速度为1.25 m/s，要渡过宽为500 m、水流速度为1.0 m/s的河流，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，则下列说法正确的是(　 　)
A．人游到对岸的最短时间为400 s
B．人面对正对岸游动，其实际路线是曲线
C．人沿着与上游河岸夹角53°的方向游泳时，可以到达正对岸
D．人不可能垂直游到正对岸
对点演练
A
6．(多选)潜艇从海水的高密度区驶入低密度区过程称为“掉深”。如图甲所示，某潜艇在高密度区水平向右匀速航行，t＝0时，该潜艇开始“掉深”。图乙为其竖直方向的vy－t图像，水平速度vx＝10 m/s保持不变。潜艇可视为质点，则 “掉深”后的0～30 s内，潜艇(　 　)
A．做匀变速直线运动
B．0～10 s内的速度变化量为0
CD
考点四　绳(杆)端速度分解模型
1．模型分析
(1)“绳杆模型”：绳或杆两端物体沿绳或沿杆方向的速度分量大小相等。
(2)“接触模型”：垂直于接触面方向上的速度相等。
2．常见的模型分解示例(如图所示)
【典例4】　如图甲所示为一款发动机的机械传动装置的示意图，可简化为图乙，曲轴OA绕固定的O点自由转动，通过连杆AB使活塞左右滑动。已知曲轴OA长为0.2 m，连杆AB长为0.6 m，曲轴绕O点沿顺时针方向匀速转动的角速度为60π rad/s，下列说法正确的是(　 　)
A．活塞的最大速度为12π m/s
B．当OA与AB共线时，活塞的加速度为0
C．当OA杆与AB垂直时，活塞的速度小于12π m/s
D．当OA杆与AB垂直时，活塞的速度大于12π m/s
D
7．如图所示，重物M沿竖直杆下滑，并通过一根不可伸长的细绳带动小车沿水平面向右运动。若当滑轮右侧的绳与竖直方向成β角，且重物下滑的速率为v时，滑轮左侧的绳与水平方向成α角，则小车的速度为(　 　)
对点演练
D
课时作业20
第
分
部
三
1．(5分)关于物体做曲线运动的条件，下列说法正确的是(　 　)
A．物体在恒力作用下不可能做曲线运动
B．做曲线运动的物体，在一段时间内路程可能为零
C．合力的方向与物体速度的方向既不相同又不相反时，物体一定做曲线运动
D．变速运动都是曲线运动
C
解析：物体在恒力作用下可做曲线运动，如匀变速曲线运动，故A错误；路程是指物体实际运动轨迹的长度，所以做曲线运动的物体在一段时间内路程不可能为零，故B错误；合力的方向与物体速度的方向既不相同、也不相反，即合力与速度不在同一条直线上时，物体做曲线运动，故C正确；变速运动可能是直线运动，也可能是曲线运动，故D错误。
2．(5分)(2023·全国乙卷)小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增加。如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力，下列四幅图可能正确的是(　 　)
D
解析：小车做曲线运动，所受合力指向曲线的凹侧，故A、B错误；小车沿轨道从左向右运动，动能一直增加，故合力方向与速度方向的夹角为锐角，C错误，D正确，故选D。
3．(5分)(多选)如图所示为一质点做匀变速运动的轨迹示意图，质点运动到D点时速度方向与加速度方向恰好垂直，则质点从A点运动到E点的过程中，下列说法正确的是(　 　)
A.质点经过C点的速率比D点的大
B．质点经过A点时的动能小于经过D点时的动能
C．质点经过D点时的加速度比B点的加速度大
D．质点从B到E过程中加速度方向与速度方向的夹角一直减小
AD
解析：质点运动到D点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，速度方向沿D点轨迹的切线方向，则知加速度的方向斜向左上方，合力的方向也斜向左上方，质点做匀变速曲线运动，合力恒定不变，质点由A到D过程中做减速运动，合力做负功，由动能定理可得，质点在C点的速度比在D点的速度大，质点经过A点时的动能大于经过D点时的动能，故A正确，B、C错误；质点从B到E过程中加速度方向与速度方向的夹角一直减小，故D正确。
4．(5分)某市进行防溺水安全演练，消防员计划以一定的速度驾驶皮艇用最短时间救援被困于礁石上的人员，如图所示，假设河中各处水流速度相等，下列关于救援时皮艇位置及头部指向的说法正确的是(　 　)
A．应在河岸A处沿v1方向进行救援
B．应在河岸A处沿v2方向进行救援
C．应在河岸B处沿v3方向进行救援
D．应在河岸B处沿v4方向进行救援
A
解析：若救援所用时间最短，则皮艇的头部指向应与河岸垂直，且出发点应位于礁石上游，故选A。
5．(5分)植树可以绿化和美化家园，还可以扩大山林资源、防止水土流失、保护农田、调节气候、促进经济发展，是一项利于当代造福子孙的宏伟工程。如图所示，在某次植树活动中，工作人员先把树根部放入土坑中，再用双手把树扶起到竖直状态，工作人员以速度v向左匀速运动扶正树苗时，可认为树苗绕和地面的接触点O做圆周运动。手与树苗接触点的高度为h，若某时刻树苗与地面的夹角为θ，树苗转动的角速度ω为(　 　)
B
6．(5分)如图所示，工厂生产流水线上的工件以3m/s的速度连续不断地向右匀速运动，在切割工序的P处，割刀的速度大小为6 m/s(相对地)。为了使割下的工件都成规定尺寸的矩形，关于割刀相对工件的速度大小和方向，下列判断正确的是(　 　)
B
7．(5分)(2023·江苏卷)达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形的是(　 　)
D
8．(5分)解放军某部在某次登岛演习过程中要渡过一条宽度为d的小河。现有甲、乙两个战斗小组分别乘两只小船渡河，船头朝向如图所示，渡河时两小船船头与河岸夹角都是θ角，两船在静水中的速率都为v，水流速率为v0，此时甲船恰好能到小河正对岸的A点，则(　 　)
C
9．(5分)如图所示，套在竖直细杆上的轻环A由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连，施加外力让A沿杆以速度v匀速上升，从图中M位置上升至与定滑轮的连线处于水平的N位置，已知AO与竖直杆成θ角，则(　 　)
B．A匀速上升时，重物B也匀速下降
C．重物B下降过程，绳对B的拉力大于B的重力
D．A运动到位置N时，B的速度最大
C
解析：对于A，它的速度如图中标出的v，这个速度看成是A的合速度，其分速度分别是v1、v2，其中v2等于B的速率(沿同一根绳子方向的速度大小相同)，故A刚开始上升时B的速度大小vB＝v cos θ，A错误；由于A匀速上升，θ增大，所以vB减小，B错误；B向下做减速运动，具有向上的加速度，处于超重状态，绳对B的拉力大于B的重力，C正确；当A运动至位置N时，θ＝90°，vB＝0，D错误。
10．(5分)(多选)我国少数民族运动会上，设有跑马射箭项目(如图甲所示)。运动员需骑马在直线跑道上奔驰，在指定位置弯弓放箭，射击侧方的固定靶标。如图乙所示，假设无风的天气运动员骑马沿直线跑道奔驰的速度大小与静止时射出弓箭的速度大小相等，已知弓箭放出时指向固定标靶的速度为v，且与直线跑道的夹角为30°，直线跑道到固定靶标的最短距离为d，下列说法正确的是(　 　)
BD
11．(5分)(多选)通过北斗卫星定位系统可以记录飞机的海拔h、水平方向的速率v等实时数据。一架飞机从静止开始滑跑起飞，用记录数据拟合得到h－t、v－t图线分别如图甲、乙所示，图甲中40～70 s时间内的图线为抛物线，其余图线均为直线。根据图中数据可知(　 　)
A．前100 s时间内，飞机爬升的高度约为1 600 m
B．40～70 s时间内，飞机的加速度大小为0.2 m/s2
C．70～100 s时间内，飞机做匀速直线运动
D．100～150 s时间内，飞机做匀加速曲线运动
BCD
速直线运动，由题图乙可知70～100 s时间内飞机在水平方向做匀速直线运动，则飞机的合运动为匀速直线运动，故C正确；题图甲中100～150 s时间内图线为直线，飞机在竖直方向做匀速直线运动，由题图乙可知100～150 s时间内飞机在水平方向做匀加速直线运动，则飞机的合运动为匀加速曲线运动，故D正确。
12．(5分)(多选)(2024·安徽卷)一倾角为30°足够大的光滑斜面固定于水平地面上，在斜面上建立xOy直角坐标系，如图甲所示。从t＝0开始，将一可视为质点的物块从O点由静止释放，同时对物块施加沿x轴正方向的力F1和F2，其大小与时间t的关系如图乙所示。已知物块的质量为1.2 kg，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。则(　 　)
A．物块始终做匀变速曲线运动
B．t＝1 s时，物块的y坐标值为2.5 m
BD

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