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第九章　静电场及其应用
1.电　荷
核心素养 素养目标
物理观念 1.知道自然界中存在两种电荷和电荷间相互作用的规律，理解电荷守恒定律. 2.理解电荷量、元电荷、比荷的概念，知道电荷量是不连续的.
科学思维 理解摩擦起电、感应起电和接触起电的区别，知道起电不是制造电荷.
科学探究 通过观察起电现象，学会分析物体起电的原因.
@一、电荷　摩擦起电
教材认知
引入　刚梳过头发的塑料梳子可以吸引轻小的纸屑，在毛衣上摩擦过的气球能使细小的水流发生弯曲，为什么会出现上述现象？
提示：塑料梳子与头发摩擦、气球与毛衣摩擦均可带电，且带电体可以吸引轻小的物体.
【知识梳理】
1.自然界中有两种电荷：　正　电荷和　负　电荷.用丝绸摩擦过的玻璃棒带正电荷，用毛皮摩擦过的橡胶棒带负电荷.
2.电荷间的相互作用：同种电荷相互　排斥　，异种电荷相互　吸引　.
3.电荷量：电荷的多少，用Q或q表示，国际单位制中的单位是　库仑　，符号是C.正电荷的电荷量为　正　值，负电荷的电荷量为　负　值.
4.摩擦起电及其原因
（1）摩擦起电：由于　摩擦　而使物体带电的方式.用毛皮摩擦过的橡胶棒带负电，用丝绸摩擦过的玻璃棒带正电.
（2）原因：当两种物质组成的物体互相摩擦时，一些受束缚较弱的电子会转移到另一个物体上.于是，原来电中性的物体由于得到电子而带　负电　，失去电子的物体则带　正电　.
【辨析】
（1）电荷的正负是人为规定的.（√）
（2）摩擦过的琥珀能够吸引羽毛，说明羽毛带了电.（×）
典题讲练
[典例1]　（多选）有一质量较小的小球A，用绝缘细线悬吊着，当用毛皮摩擦过的橡胶棒B靠近它时，看到它们先相互吸引，接触后又相互排斥.下列判断正确的是（　BD　）
A.接触前，A、B一定带异种电荷
B.接触前，A、B可能带异种电荷
C.接触前，A球一定不带任何电荷
D.接触后，A球一定带有电荷
解析：毛皮摩擦过的橡胶棒带负电荷，如果小球带电，根据异种电荷相互吸引可知，小球带正电；由于小球的质量较小，根据带电体能吸引轻小物体的性质可知，小球可能不带电；接触后又相互排斥，故接触后橡胶棒B和小球A一定带同种电荷，故B、D正确.
@二、静电感应　验电器
教材认知
引入　如图所示，取一对用绝缘柱支持的导体A和B，使它们彼此接触.起初它们不带电，贴在下部的两片金属箔是闭合的.
①手握绝缘棒把带正电荷的带电体C移近导体A，金属箔有什么变化？
②这时手持绝缘棒把导体A和B分开，然后移开C，金属箔又有什么变化？
③再让导体A和B接触，又会看到什么现象？
提示：①两侧金属箔都张开.
②金属箔仍张开，但张角变小.
③金属箔都闭合.
【知识梳理】
1.静电感应：当一个带电体靠近导体时，由于电荷间相互吸引或　排斥　，导体中的自由电荷便会趋向或远离带电体，使导体靠近带电体的一端带　异种　电荷，远离带电体的一端带　同种　电荷的现象.
2.感应起电：利用　静电感应　使金属导体带电的过程.
3.枕形导体感应起电的步骤
第一步：靠近
第二步：分开
第三步：移走
4.验电器
（1）作用：检验物体　是否带电　.
（2）原理：同种电荷相互　排斥　.
【辨析】
（1）原子是由带正电的质子、不带电的中子以及带负电的电子组成的.（　√　）
（2）只有导体才会带电，绝缘体是不会带电的.（　×　）
（3）导体和绝缘体都可以感应带电.（　×　）
典题讲练
[典例2]　（多选）如图所示，A、B为相互接触的用绝缘支柱支持的金属导体，起初它们不带电，在它们的下部贴有金属箔片，C是带正电的小球，把C移近导体A，下列说法正确的是（　AB　）
A.A、B上的金属箔片都张开
B.先把A、B分开，然后移去C，A、B上的金属箔片仍张开
C.先把C移走，再把A、B分开，A、B上的金属箔片仍张开
D.先把A、B分开，再把C移走，然后重新让A、B接触，A上的金属箔片张开，而B上的金属箔片闭合
解析：虽然A、B起初都不带电，但带正电的小球C对A、B内的电荷有力的作用，使A、B中的自由电子向左移动，使得A端积累了负电荷，B端带正电荷，其下部贴的金属箔片分别带上了与A、B同种的电荷，所以金属箔片都张开，A正确.C移到A附近，A、B上的电荷因受C的作用力不会中和，因而A、B带等量异种的感应电荷，先把A、B分开再移走C，A、B所带电荷无法中和，金属箔片仍张开，B正确.但如果先移走C，A、B上的感应电荷会马上中和，A、B不再带电，所以箔片都不会张开，C错误.先把A、B分开，再移走C，A、B仍然带电，但重新让A、B接触后，A、B上的感应电荷会完全中和，箔片都不会张开，D错误.
名师点评
感应起电的两点说明
（1）只有导体中的电子才能自由移动，绝缘体中的电子不能自由移动，所以导体能够发生感应起电，而绝缘体不能发生感应起电.
（2）凡是遇到接地的感应起电问题时，该导体与地球可视为一个大导体，而且该导体可视为近端，与带电体带异种电荷，地球就成为远端，与带电体带同种电荷，如图所示.
[训练1]　（2025·福建福州外国语学校月考）如图所示，原来不带电的金属导体MN，在其两端下面都悬挂金属验电箔，若使带负电的金属球A靠近导体M端，可能看到的现象是（　C　）
A.只有M端验电箔张开，且M端带正电
B.只有N端验电箔张开，且N端带负电
C.两端的验电箔都张开，且N端带负电，M端带正电
D.两端的验电箔都张开，且N端带正电，M端带负电
解析：使带负电的金属球A靠近导体M端，电子被排斥到N端，N端得到电子带负电，M端失去电子带正电，两端都带电，两端验电箔都张开，C正确.
[训练2]　（2025·福建厦泉五校联考期中）如图甲所示是一个原先不带电的导体，图乙中C是靠近图甲中导体的带正电的导体球.若用绝缘工具沿图示某条虚线将导体切开，导体被分为A、B两部分，这两部分所带电荷量的数值分别为QA、QB，下列结论正确的是（　D　）
A.沿虚线d切开，A带负电，B带正电，且QA＞QB
B.只有沿虚线b切开，才有A带正电，B带负电，且QA＝QB
C.沿虚线a切开，A带正电，B带负电，且QA＜QB
D.沿任意一条虚线切开，都有A带正电，B带负电，且QA＝QB
解析：导体原来不带电，由于静电感应，导体中的自由电子向B部分移动，使B部分带负电，A部分带正电.根据电荷守恒定律可知，A部分减少的电子数目和B部分增加的电子数目相同，所以沿任意一条虚线切开时，都有A带正电，B带负电，且QA＝QB，故D正确.
@三、元电荷　电荷守恒定律
教材认知
引入　验电器结构简单，同学们可以用自制的验电器进行一些探究实验.如图所示，首先使验电器带了负电荷，验电器的金属箔片张开，但是经过一段时间后可以发现该验电器的金属箔片几乎闭合了.为什么会出现这种现象？是验电器的电荷消失了吗？
提示：验电器上所带负电荷减少的主要原因是潮湿的空气可以导电，电子被导走了；该现象是由电子的转移引起的，仍然遵循电荷守恒定律.
【知识梳理】
1.电荷守恒定律
（1）内容：电荷既不会　创生　，也不会　消灭　，它只能从一个物体　转移　到另一个物体，或者从物体的一部分　转移　到另一部分；在转移过程中，电荷的　总量　保持不变.
（2）电荷守恒定律的另一表述是：一个与外界没有电荷交换的系统，电荷的　代数和　保持不变.
2.元电荷
（1）元电荷：最小的　电荷量　，即　电子　所带电荷量的大小.所有带电体所带电荷量只能是元电荷的　整数倍　.
（2）元电荷的值e＝　1.60×10－19 C　，由物理学家　密立根　测定.
（3）比荷：带电粒子的　电荷量　与其　质量　之比叫作比荷.
电子的比荷为：＝1.76×1011 C/kg.
【辨析】
（1）所谓“电荷的中和”是正、负电荷一起消失了.（　×　）
（2）电荷有正负之分，元电荷也有正负之分.（　×　）
（3）物体所带的电荷量可能为6.0×10－18 C.（　×　）
典题讲练
题型1　对元电荷的认识
[典例3]　（2025·山东济南一中高二上学期月考）关于元电荷的理解，下列表述正确的是（　B　）
A.元电荷就是电子或者质子
B.物体所带的电荷量只能是元电荷的整数倍
C.元电荷的大小是1库仑
D.只有电子和质子的带电荷量等于元电荷
解析：元电荷又称基本电荷量，在各种带电微粒中，电子电荷量的大小是最小的，人们把最小电荷量叫作元电荷，常用符号e表示，任何带电体所带电荷量都是e的整数倍.我们在计算中常取元电荷的值为e＝1.60×1 C，元电荷是基本电荷量，而不是电子或者质子，也不是只有电子和质子的带电荷量等于元电荷，故A、C、D错误，B正确.
题型2　电荷守恒定律的应用
[典例4]　半径相同的两金属小球A、B带有相同的电荷量，相隔一定的距离，今让第三个半径相同的不带电金属小球C先后与A、B接触后移开.
（1）若A、B两球带同种电荷，接触后两球的电荷量之比为多大？
答案：（1）2∶3
解析：（1）若A、B带同种电荷，设电荷量为Q，C与A接触后，由于形状、大小相同，二者均分电荷量，A、C所带的电荷量均为Q.C与B接触后均分二者电荷量，则B、C的电荷量均为×（Q＋Q）＝Q，A、B最终的电荷量之比为Q∶Q＝2∶3.
（2）若A、B两球带异种电荷，接触后两球的电荷量之比为多大？
答案：（2）2∶1
解析：（2）若A、B带异种电荷，设电荷量分别为Q、－Q，A、C接触后，均分电荷量，A、C的电荷量均变为Q.C与B接触后，均分二者的电荷量，C、B的电荷量均为×（Q－Q）＝－Q，则A、B最终的电荷量之比为Q∶＝2∶1.
名师点评
接触起电的电荷量分配原则
（1）导体接触起电时电荷量的分配与导体的形状、大小有关.完全相同的金属球接触时，电荷量平均分配；形状、大小不同的导体接触时电荷量一般不能平均分配.无论哪种情况，接触前后电荷总量不变.
　　（2）完全相同的金属球接触起电时电荷量的分配情况
　　①完全相同的两个带同种电荷的金属球，电荷量分别为Q1和Q2，接触后两球的电荷量相等.Q1'＝Q2'＝.
　　②完全相同的两个带异种电荷的金属球，电荷量分别为Q1和－Q2，接触后两球的电荷量相等.Q1'＝Q2'＝.
[训练3]　（2025·湖南湖湘名校联合体联考）已知电子的电荷量为e＝－1.60×10－19 C，A、B两个完全相同的金属小球带电荷量分别为QA＝＋3.2×10－9 C、QB＝＋1.6×10－9 C，让两个小球接触，在接触过程中（　B　）
A.球B向球A转移了2.5×109个电子
B.球B向球A转移了5×109个电子
C.球A向球B转移了2.5×109个电子
D.球A向球B转移了5×109个电子
解析：两小球接触过程中，电荷量平分，接触后两小球所带电荷量均为Q＝＝＋2.4×10－9 C，可知球B向球A转移的电子数为n＝＝5×109个，B正确.
@随堂检测
1.（2025·江苏吴江汾湖高级中学期末）保护知识产权，抵制盗版是我们每个公民的责任与义务；盗版书籍影响我们的学习效率甚至会给我们的学习带来隐患.小华有一次不小心购买了盗版的物理参考书，做练习时，他发现有一个关键数字看不清，拿来问老师，如果你是老师，你认为可能是下列几个数字中的哪一个（　B　）
A.6.2×10－19 C B.6.4×10－19 C
C.6.6×10－19 C D.6.8×10－19 C
解析：电子电荷量的大小是最小的，人们把最小的电荷量叫元电荷，其数值为e＝1.60×10－19 C，物体的带电量都为e的整数倍，将四个选项中的电荷量除以e得数为整数的为正确的数字，只有6.4×10－19 C满足条件.故选B.
2.一带负电绝缘金属小球放在潮湿的空气中，经过一段时间后，发现该小球上的电荷几乎不存在了，这说明（　C　）
A.小球上原有的负电荷逐渐消失了
B.在此现象中，电荷不守恒
C.小球上负电荷减少的主要原因是潮湿的空气将电子导走了
D.该现象是由于正电荷的转移引起的，仍然遵循电荷守恒定律
解析：根据电荷守恒定律，电荷不能消灭，也不能创生，只会发生转移.该现象是潮湿的空气将电子导走了，是由于电子的转移引起的，仍遵守电荷守恒定律，故C正确，A、B、D错误.
3.原来甲、乙、丙三物体都不带电，今使甲、乙两物体相互摩擦后，乙物体再与丙物体接触，最后，得知甲物体带正电荷1.6×10－9 C，丙物体带电荷量的大小为8×10－10 C.则对于最后乙、丙两物体的带电情况，下列说法中正确的是（　A　）
A.乙物体一定带有负电荷8×10－10 C
B.乙物体可能带有负电荷2.4×10－15 C
C.丙物体一定带有正电荷8×10－10 C
D.丙物体一定带有负电荷8×10－16 C
解析：由题意可知，甲、乙两物体相互摩擦后，甲物体带正电1.6×10－9 C，则乙带负电1.6×10－9 C，若乙物体再与丙物体接触，则乙、丙两物体均带负电，由于丙物体带电荷量的大小为8×10－10 C，则乙也一定带负电，大小为8×10－10 C，故A正确.
4.（2025·广西藤县第七中学月考）如图所示，放在绝缘支架上带正电的导体球A，靠近放在绝缘支架上不带电的导体B，导体B用导线经开关接地，现把S先合上再断开，再移走A，则导体B（　B　）
A.不带电 B.带负电 C.带正电 D.不能确定
解析：当闭合开关S时，由于静电感应，金属导体B右端带的正电荷会被从大地上来的负电荷中和，所以导体B右端不再带有电荷，左端带负电，再断开S，移走A，则导体B带负电.故选B.
5.（2025·浙江宁波宁海中学月考）M和N是两个不带电的物体，它们互相摩擦后M带正电荷且所带电荷量为1.6×10－10 C，下列说法正确的是 （　B　）
A.摩擦的过程中电子从N转移到M
B.N在摩擦后一定带负电荷且所带电荷量为1.6×10－10 C
C.M在摩擦过程中失去1.6×10－10个电子
D.元电荷就是电子，元电荷数值是由美国物理学家密立根测得的
解析：M和N摩擦后M带正电荷，说明M失去电子，电子从M转移到N，故A错误；根据电荷守恒定律，M和N这个与外界没有电荷交换的系统原来电荷量的代数和为0，摩擦后电荷量的代数和应仍为0，所以N在摩擦后一定带负电荷且所带电荷量为1.6×10－10 C，故B正确；元电荷的值为1.60×10－19 C，摩擦后M带正电荷且所带电荷量为1.6×10－10 C，所以M在摩擦过程中失去109个电子，故C错误；元电荷是电子所带的电荷量，元电荷数值是由美国物理学家密立根测得的，故D错误.
@课时作业（一）
[基础训练]
1.（2025·山西大同月考）人们对电现象的初步认识，可追溯到公元前6世纪.古希腊学者泰勒斯那时已发现并记载了摩擦过的琥珀能吸引轻小物体.我国东汉时期，王充在《论衡》一书中所提到的“顿牟掇芥”等问题，也是说摩擦琥珀能吸引轻小物体.关于物体带电，下列说法正确的是（　A　）
A.电荷在转移的过程中，电荷的总量是不变的
B.自然界只有两种电荷，点电荷和元电荷
C.物体通常呈现电中性，是因为物体内不存在电荷
D.摩擦起电、接触起电、感应起电的带电实质是创造电荷，或电荷消失
解析：根据电荷守恒定律，电荷在转移的过程中，电荷的总量是不变的，A正确；自然界只有两种电荷，正电荷和负电荷，B错误；物体通常呈现电中性，是因为物体内正、负电荷数量相等，C错误；摩擦起电、接触起电、感应起电的带电实质是电子发生转移，电荷不会创生或消灭，D错误.
2.如图所示，将因摩擦而带电的塑料丝靠近带电的PVC管，塑料丝“躲开”状似章鱼，这种现象称为“静电章鱼”.由此现象可以判断（　C　）
A.塑料丝和PVC管都带正电
B.塑料丝和PVC管都带负电
C.塑料丝和PVC管带同种电荷
D.塑料丝和PVC管带异种电荷
解析：塑料丝“躲开”PVC管，根据同种电荷相互排斥可知，塑料丝和PVC管带同种电荷；由于不知道塑料丝与哪一种物体摩擦而带电，所以不能判断塑料丝是带正电还是带负电，故C正确，A、B、D错误.
3.把一个带电棒移近并接触一个带正电的验电器的过程中，金属箔片先闭合后又张开，说明棒上带的是（　B　）
A.正电荷 B.负电荷
C.可以是正电荷，也可以是负电荷 D.带电棒上先带正电荷，后带负电荷
解析：金属箔片开始时带正电，带电棒靠近并接触验电器时，金箔先闭合，后张开，说明金属箔片所带正电荷先被中和，而带电棒电荷量较大，中和后的剩余电荷再分配，使金箔又带上电荷，由此判断，带电棒带负电荷，选项B正确.
4.（2025·合肥一中高二第一学期期末联考）如图所示，摩擦过的琥珀靠近桌面上的碎纸屑时，发现纸屑飞起来与琥珀接触后又快速地离开，关于这个现象，下列说法正确的是（　D　）
A.摩擦过的琥珀不带电
B.碎纸屑原来带正电
C.纸屑飞起来是万有引力的结果
D.纸屑与琥珀接触后又快速地离开是因为纸屑带上了琥珀同种电荷
解析：摩擦过的琥珀带了电荷，从而会吸引轻小物体，当纸屑被吸到琥珀上时，电荷会发生转移，从而使原来不带电的纸屑也带上了同种电荷，由于同种电荷互相排斥而快速地离开.故选D.
5.（2025·四川成都石室中学月考）（多选）下列关于几种起电方式的说法错误的是（　AD　）
A.感应起电说明电荷可以从带电的物体转移到原来不带电的物体
B.摩擦起电时，失去电子的物体带正电，得到电子的物体带负电
C.摩擦起电和感应起电都是因为电子的转移，只不过前者是电子从一个物体转移到另一个物体上，而后者则是电子从物体的一部分转移到另一部分
D.一个带电体接触一个不带电的导体，两个物体可能带上异种电荷
解析：感应起电的实质是电荷从物体的一部分转移到另一部分，故A错误；摩擦起电的实质是电子从一个物体转移到另一个物体，物体原来呈现电中性，所以失去电子的物体带正电，得到电子的物体带负电，故B正确；摩擦起电和感应起电都是因为电子的转移，只不过前者是电子从一个物体转移到另一个物体上，而后者则是电子从物体的一部分转移到另一部分，故C正确；一个带电体接触一个不带电的导体，属于接触起电，接触起电的两个物体只能带上同种电荷，故D错误.故选A、D.
6.如图所示，用带正电的带电体A靠近（不接触）不带电的验电器的金属球，则（　C　）
A.验电器的金属箔片张开，因为整个验电器都带上了正电荷
B.验电器的金属箔片张开，因为整个验电器都带上了负电荷
C.验电器的金属箔片张开，因为验电器的两金属箔片都带上了正电荷
D.验电器的金属箔片不张开，因为带电体A没有和验电器的金属球接触
解析：带正电的带电体A靠近不带电的验电器的金属球，因为异种电荷相互吸引，电子受到吸引移动到金属球上，所以金属球带负电荷，金属箔片失去电子带正电荷，由于同种电荷相互排斥，金属箔片张开，故C正确，A、B、D错误.
7.有两个完全相同的带电绝缘金属球A、B，分别带有电荷量QA1＝6.4×10－9 C和QB1＝－3.2×10－9 C，让两个绝缘金属小球接触后再分开，则：
（1）分开后小球A、B的带电荷量QA2和QB2分别为多少？
答案：（1）1.6×10－9 C　1.6×10－9 C
解析：（1）当两个小球接触时，带电荷量少的B小球上的负电荷先被中和，剩余的正电荷再重新分配.由于两个小球完全相同，所以剩余的正电荷必均分，即接触后两小球所带的电荷量QA2＝QB2＝ C＝1.6×10－9 C.
（2）在接触的过程中，电子如何转移且转移了多少个（元电荷e＝1.6×10－19 C）？
答案：（2）电子由B球向A球转移，共转移了3.0×1010个
解析：（2）在两个小球接触的过程中，电子由B球转移到A球，使B球在自身电荷被中和后带QB2的正电荷，因此，共转移电子的电荷量大小ΔQ＝｜QB1｜＋｜QB2｜＝3.2×10－9 C＋1.6×10－9 C＝4.8×10－9 C.转移的电子数N＝＝3.0×1010（个），即电子由B球向A球转移，共转移了3.0×1010个.
[能力提升]
8.用金属做成一个不带电的圆环，放在干燥的绝缘桌面上.小明同学用绝缘材料做的笔套与头发摩擦后，将笔套自上向下慢慢靠近圆环，当距离约为0.5 cm时圆环被吸引到笔套上，如图所示.对上述现象的判断与分析，下列说法不正确的是（　D　）
A.摩擦使笔套带电
B.笔套靠近圆环时，圆环上、下感应出的电荷是异种的
C.圆环被吸引到笔套的过程中，圆环所受静电力的合力大于圆环的重力
D.笔套碰到圆环后，笔套所带的电荷立刻被全部中和
解析：笔套与头发摩擦后，摩擦使笔套带电，故A正确，不符合题意；带电的笔套靠近圆环，圆环上下感应出异种电荷，圆环上部电荷与笔套电荷相反，由于圆环整体电荷守恒，则下部为与上部相反的电荷，故B正确，不符合题意；当距离约为0.5 cm时圆环被吸引到笔套上，则圆环所受静电力的合力大于圆环的重力，使其产生向上的加速度，故C正确，不符合题意；圆环中的总电荷量为零，不能中和笔套所带电荷，笔套碰到圆环后，笔套和圆环将带同种电荷，故D错误，符合题意.故选D.
9.蜜蜂飞行过程中身上会积累少量正电荷，蜜蜂传播花粉时就利用了这些电荷.当蜜蜂飞到花蕊附近时，花粉颗粒会粘附在蜜蜂身上.当蜜蜂接近下一朵花时，部分花粉会留在下一朵花的花蕊上，完成授粉.一只原来电中性的蜜蜂在飞行过程中带上了＋3.04×10－11 C的电量，这是由于它（　B　）
A.失去了1.9×108个质子 B.失去了1.9×108个电子
C.得到了1.9×108个电子 D.得到了1.9×108个质子
解析：物体带电的实质为电子的得失，电中性的蜜蜂带上正电说明失去电子，根据n＝＝个＝1.9×108个，可知原来电中性的蜜蜂失去了1.9×108个电子.故选B.
10.（多选）甲、乙、丙三个物体最初均不带电，乙、丙是完全相同的导体，今使甲、乙两个物体相互摩擦后，乙物体再与丙物体接触后再分开，最后，得知甲物体所带电荷量为＋1.6×10－15 C，则对于最后乙、丙两个物体的带电情况，下列说法中正确的是（　AD　）
A.乙物体一定带有电荷量为8×10－16 C的负电荷
B.乙物体可能带有电荷量为2.4×10－15 C的负电荷
C.丙物体一定带有电荷量为8×10－16 C的正电荷
D.丙物体一定带有电荷量为8×10－16 C的负电荷
解析：甲、乙、丙三个物体原来都不带电，甲、乙两个物体相互摩擦导致甲物体失去电子而带1.6×10－15 C的正电荷，乙物体得到电子而带1.6×10－15 C的负电荷；乙物体与不带电的丙物体相接触，由于乙、丙两物体完全相同，乙、丙两物体接触后再分开，乙、丙两物体分别带等量负电荷，由电荷守恒定律可知乙、丙两物体最终所带电荷量均为8×10－16 C，A、D正确.
11.干燥的天气一个人脱了鞋在地毯上走，身上聚集了－4.8×10－5 C的电荷.若电子质量me＝9.1×10－31 kg，电子电荷量e＝－1.6×10－19 C.则：
（1）多少个电子的电荷量等于－3.2×10－5 C？
答案：（1）2×1014个
解析：（1）每个电子电荷量为e＝－1.6×10－19 C，
则－3.2×10－5 C的电荷量需要的电子数为n＝＝2×1014个.
（2）此人身上有多少个剩余电子？
答案：（2）3×1014个
解析：（2）此人身上有电子数为n'＝＝3×1014个.
（3）他的质量增加了多少？
答案：（3）2.73×10－16 kg
解析：（3）电子质量me＝9.1×10－31 kg，
所以他的质量增加m＝3×1014×9.1×10－31 kg＝2.73×10－16 kg.
2.库仑定律
核心素养 素养目标
物理观念 1.知道点电荷的概念和带电体简化为点电荷的条件. 2.理解库仑定律的内容和公式.
科学思维 1.通过与质点模型类比，体会带电体简化为点电荷的条件. 2.理解静电力的概念，会用库仑定律进行相关计算.
科学态度 与责任 体会库仑扭秤实验的设计思路与实验方法，体会物理学的和谐统一之美，提高学习物理的兴趣.
@一、电荷间的作用力　点电荷
教材认知
引入　如图，带正电的带电体C置于铁架台旁.
（1）把系在丝线上带正电的小球先后挂在P1、P2、P3位置，发现摆线偏角θ减小，此现象说明什么？
（2）在P1位置，增大小球所带电荷量，发现摆线偏角增大，说明什么？
（3）通过以上探究总结电荷之间作用力的大小与哪些因素有关？
提示：（1）对小球受力分析知，静电力F＝mgtan θ，偏角减小，静电力F减小.
（2）静电力F增大.
解析：（3）电荷之间作用力的大小与电荷量和电荷间的距离有关，且静电力随着电荷量的增加而增大，随着距离的增大而减小.
【知识梳理】
1.库仑定律
（1）内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的　电荷量的乘积　成正比，与它们的距离的　二次方　成反比，作用力的方向在　它们的连线上　，这个规律叫作库仑定律.这种电荷之间的相互作用力叫作　静电力　或　库仑力　.
（2）表达式：F＝　k　，其中r指的是两点电荷间的距离；k＝　9.0×109　 N·m2/C2，叫作静电力常量.
（3）适用条件：①　在真空中　；②　静止点电荷之间　.
2.点电荷
（1）定义：当带电体之间的距离比它们自身的大小　大得多　，以致带电体的　形状　、　大小　及　电荷分布状况　对它们之间的作用力的影响可以忽略时，这样的带电体可以看作带电的点，叫作　点电荷　.
（2）带电体看成点电荷的条件：带电体本身的大小　远小于　它们之间的距离.
（3）点电荷是一个　理想化模型　，与力学中的质点类似.
【辨析】
（1）只要是体积很小的带电体就能看作点电荷.（　×　）
（2）两电荷的电荷量越大，它们间的静电力就越大.（　×　）
（3）两点电荷之间的作用力是相互的，其方向相反，但电荷量大的电荷对电荷量小的电荷作用力大.（　×　）
典题讲练
题型1　对点电荷的理解
[典例1]　（多选）下列关于点电荷的说法正确的是（　AD　）
A.两个带电体无论多大，只要它们之间的距离远大于它们的大小，这两个带电体就可以看作点电荷
B.一个带电体只要它的体积很小，则在任何情况下，都可以看作点电荷
C.一个体积很大的带电体，在任何情况下，都不能看作点电荷
D.两个带电的金属小球，不一定能将它们作为电荷集中在球心的点电荷处理
解析：无论两带电体自身大小怎样，当两带电体之间的距离远大于它们的大小，带电体本身的大小对于所研究的问题影响很小时，可把带电体看作点电荷，选项A正确，C错误；尽管带电体很小，但两带电体相距很近，以至于本身的大小和形状对问题的影响不能忽略，两带电体也不能被看作点电荷，选项B错误；两个带电金属小球，若离得很近，两球所带的电荷在静电力作用下会分布不均，电荷的分布影响到静电力的大小，若带同种电荷，相互排斥，等效的点电荷间距大于球心距离；若带异种电荷，相互吸引，等效的点电荷间距小于球心距离，选项D正确.
名师点评
对点电荷的两点理解
（1）带电体能否看作点电荷，不取决于带电体的大小，而取决于它们的大小、形状与距离相比能否忽略.
　　（2）同一带电体，在不同问题中有时可以看作点电荷，有时不可以看作点电荷.
题型2　对库仑定律的理解
[典例2]　下列对于库仑定律的理解错误的是（　B　）
A.库仑定律适用于真空中的点电荷
B.当半径为r的两带电小球相距为r时，可用库仑定律计算它们间的静电力
C.在干燥空气中的两个点电荷间的静电力可用库仑定律计算
D.相互作用的两个点电荷，不论它们的电荷量是否相同，它们各自所受的库仑力大小一定相等
解析：库仑定律适用于真空中的静止的点电荷，A正确；当半径为r的两带电小球相距为r时，此时两小球不能看成点电荷，故不可以用库仑定律计算它们之间的静电力，B错误；在干燥空气中的两个点电荷间的静电力，也可用库仑定律计算，C正确；两点电荷之间的库仑力是作用力和反作用力，根据牛顿第三定律，它们总是大小相等的，D正确.
[训练1]　两个半径为R的带电金属球所带同种电荷的电荷量分别为q1和q2，当两球心相距3R时，相互作用的静电力大小为 （　C　）
A.F＝k B.F＞k
C.F＜k D.无法确定
解析：当两球心相距3R时，两球不能被看成点电荷，因为是同种电荷，同种电荷相互排斥，故静电力大小F＜k，C正确.
@二、库仑的实验
教材认知
【知识梳理】
1.实验装置：库仑扭秤（如图所示）.
2.实验技巧
（1）将微小量放大——通过悬丝扭转的　角度　比较库仑力的　大小　.
（2）电荷量的确定——库仑运用把一个带电小球与另一个不带电的　完全相同　的金属小球接触，前者的电荷量就会分给后者一半的方法，把带电小球的电荷量q分为、、、…，巧妙地解决了当时小球带电荷量不能测量的问题.
3.实验方法：控制变量法、微小量放大法.
4.实验步骤
（1）保持A和C的电荷量不变，改变A和C之间的距离，记录每次悬丝扭转的角度，便可找出力F与距离r之间的关系.
（2）保持A和C之间的距离不变，改变A和C的电荷量，记录每次悬丝扭转的角度，便可找出力F与电荷量q之间的关系.
5.实验结论
（1）两小球上的电荷量不变时，力F与距离r的二次方成　反比　，F∝　　.
（2）两小球间的距离不变时，力F与电荷量q1和q2的乘积成　正比　，F∝　q1q2　.
典题讲练
[典例3]　如图所示的仪器叫作库仑扭秤，是法国科学家库仑精心设计的，用来研究静电力的规律，下列说法正确的是 （　A　）
A.装置中A、C为带电金属球，B为不带电的平衡小球
B.在实验过程中一定要使A、B球带同种等量的电荷
C.库仑通过该实验计算出静电力常量k的值
D.本实验中必须准确测出每一个带电小球的电荷量
解析：根据库仑扭秤实验可知，A、C为带电金属球，通过C对A的作用力使悬丝扭转，而B为不带电的平衡小球，故A正确；实验中通过改变A、C的电荷量，从而改变悬丝的扭转角度，因此实验中，B球不带电，故B错误；库仑在实验中并没有测出静电力常量k的值，故C错误；该实验验证了电荷间的相互作用力与距离平方成反比，与电荷量的乘积成正比，并没有测出每一个带电小球的电荷量，故D错误.
@三、静电力的计算
教材认知
【知识梳理】
1.公式：F＝　k　，式中F叫作库仑力或静电力，可以是引力，也可以是斥力；r为两点电荷间的距离；q1、q2分别为两点电荷所带的电荷量；k为静电力常量，k＝9.0×109 N·m2/C2.
2.方向：在两点电荷的连线上，同种电荷互相　排斥　，异种电荷互相　吸引　.
3.适用条件：（1）　真空中　；（2）　点电荷　.
4.两个点电荷间的作用力不会因第三个点电荷的存在而有所改变.
5.两个或者两个以上点电荷对某一个点电荷的作用力等于各点电荷单独对这个点电荷的作用力的　矢量和　.
典题讲练
[典例4]　如图所示，在边长为l的正方形的每个顶点都放置一个点电荷，其中a和b电荷量均为＋q，c和d电荷量均为－q.则a电荷受到的其他三个电荷的静电力的合力大小是（　D　）
A.0 B. C. D.
解析：a和b电荷量为＋q，c和d电荷量为－q，则c、d电荷对a电荷的库仑力为引力，b电荷对a电荷的库仑力为斥力.根据库仑定律，｜Fca｜＝；｜Fba｜＝｜Fda｜＝k；根据力的合成法则，a电荷所受的静电力大小为F＝，故A、B、C错误，D正确.
名师点评
静电力叠加的计算技巧
（1）静电力叠加遵循平行四边形定则，先求出点电荷所受的每一个静电力，再应用平行四边形定则求合力.
（2）注意两个等大的力的合成，合力一定沿其角平分线方向，可利用对称性求解.
（3）计算静电力时，不但要求出静电力的大小，还要说明静电力的方向.
[训练2]　如图所示，三个固定的带电小球a、b和c，相互间的距离分别为ab＝5 cm，bc＝3 cm，ca＝4 cm.小球c所受库仑力的合力的方向平行于a、b的连线.设小球a、b所带电荷量的比值的绝对值为k，则（　D　）
A.a、b带同种电荷，k＝ B.a、b带异种电荷，k＝
C.a、b带同种电荷，k＝ D.a、b带异种电荷，k＝
解析：如果a、b带同种电荷，则a、b两小球对c的作用力均为斥力或引力，此时c在垂直于a、b连线的方向上的合力一定不为零，则a、b必带异种电荷，A、C错误；不妨设a对c的作用力为斥力，则b对c的作用力一定为引力，如图所示，由题意知c所受库仑力的合力方向平行于a、b的连线，则Fa、Fb在垂直于a、b连线方向上的合力为零，由几何关系可知＝＝，又由库仑定律得＝·，联立解得＝，B错误，D正确.
@四、静电力作用下带电体的平衡
教材认知
【知识梳理】
分析静电力作用下点电荷的平衡问题时，方法仍然与力学中分析物体的平衡方法一样，具体步骤如下：
（1）确定研究对象：有几个物体相互作用时，要依据题意，用“整体法”或“隔离法”选取合适的研究对象.
（2）对研究对象进行受力分析，此时多了静电力（F＝k）.
（3）根据F合＝0列方程，若采用正交分解，则有Fx＝0，Fy＝0.
（4）解方程求出未知量.
典题讲练
题型1　三个自由电荷的平衡问题
[典例5]　如图所示，带电荷量分别为＋q和＋4q的两点电荷A、B，相距L，问：
（1）若A、B固定，在何处放置点电荷C，才能使C处于平衡状态？
答案：见解析
解析：（1）由平衡条件，对C进行受力分析，设C在A、B的连线上且在A的右边，与A相距r，则＝
解得：r＝，即应放置在A的右边，与A相距处.
（2）若A、B不固定，在何处放一个什么性质的点电荷，才可以使三个点电荷都处于平衡状态？
解析：（2）设放置的点电荷的电荷量为Q，分别对A、B受力分析，根据平衡条件
对电荷A：＝
对电荷B：＝
联立可得：r'＝，Q＝q（负电荷）
即应在AB连线上且在A的右边，距A点电荷处放置一个电荷量为q的负电荷.
名师点评
在同一直线上三个自由点电荷的平衡问题
（1）条件：每个点电荷受到的两个库仑力必须大小相等，方向相反.
（2）规律
“三点共线”——三个点电荷分布在同一条直线上；
“两同夹异”——两侧的点电荷电性相同，中间的点电荷的电性一定与两侧的相反；
“两大夹小”——中间电荷的电荷量最小；
“近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷.
（3）三个点电荷的电荷量满足＝＋.
题型2　库仑定律与力学的综合问题
[典例6]　（2024·全国新课标卷）如图，两根不可伸长的等长绝缘细绳的上端均系在天花板的O点上，下端分别系有均带正电荷的小球P、Q；小球处在某一方向水平向右的匀强电场中，平衡时两细绳与竖直方向的夹角大小相等.则（　B　）
A.两绳中的张力大小一定相等
B.P的质量一定大于Q的质量
C.P的电荷量一定小于Q的电荷量
D.P的电荷量一定大于Q的电荷量
解析：设细绳与竖直方向的夹角均为θ，两球之间的库仑力大小为F，将两球的库仑力与电场力合成为一个力，将四力平衡转化为三力平衡，如图所示，FQ＝，FP＝，则两绳中的张力大小关系为FQ＜FP，A错误；由mQg＝，mPg＝，可知mP＞mQ，B正确；F＝mQgtan θ＋qQE＝mPgtan θ－qPE，只根据mP＞mQ无法确定qP与qQ的大小关系，C、D错误.
@随堂检测
1.下列说法正确的是（　D　）
A.点电荷是一种理想化模型，真正的点电荷是可以在自然界找到的
B.点电荷就是体积和电荷量都很小的带电体
C.根据F＝k可知，当r→0时，F→∞
D.一个带电体能否看成点电荷，不是看它的尺寸大小，而是看它的形状和大小对所研究的问题的影响是否可以忽略不计
解析：点电荷是一种理想化模型，真正的点电荷实际上并不存在，选项A错误；当两个带电体的形状对它们之间的相互作用力的影响可忽略时，这两个带电体可看作点电荷，与体积大小无直接关系，选项B错误；库仑定律只适用于真空中的静止的点电荷，当距离很小时，带电体不能再看作点电荷，故库仑定律不再适用，选项C错误；一个带电体能否看成点电荷，不是看它的尺寸大小，而是看它的形状和大小对所研究的问题的影响是否可以忽略不计，选项D正确.
2.真空中有两个完全相同的均匀带电金属小球（可视为点电荷），带电量分别为－Q和＋3Q，将它们放在相距为r的两点，它们之间库仑力的大小为F；若将它们接触一下，再放回原来的位置，它们之间库仑力的大小是（　B　）
A.F B.F C.F D.3F
解析：由库仑定律可得F＝k，当它们接触后电荷要先中和再均分，故电荷量都变为Q，则库仑力为F'＝k＝，故B正确，A、C、D错误.故选B.
3.如图所示，在一条直线上的三点分别放置QA＝＋3×10－9 C、QB＝－4×10－9 C、QC＝＋3×10－9 C的A、B、C点电荷，则作用在点电荷A上的库仑力的大小为（　A　）
A.9.9×10－4 N B.9.9×10－3 N
C.1.17×10－4 N D.2.7×10－4 N
解析：A受到B、C点电荷的库仑力如图所示，根据库仑定律有FBA＝＝ N＝1.08×10－3 N，
FCA＝＝ N＝9×10－5 N，
规定沿这条直线由A指向C为正方向，则点电荷A受到的合力大小为FA＝FBA－FCA＝（1.08×10－3－9×10－5） N＝9.9×10－4 N，故选项A正确.
4.如图所示，质量为m、电荷量为q的带电小球A用绝缘细线悬挂于O点，带有电荷量也为q的小球B固定在O点正下方绝缘柱上.绝缘细线长为l，O点与小球B的间距为 l，当小球A平衡时，悬线与竖直方向夹角θ＝30°.带电小球A、B均可视为点电荷，静电力常量为k.则（　B　）
A.A、B间库仑力大小F＝
B.A、B间库仑力大小F＝
C.细线拉力大小FT＝
D.细线拉力大小FT＝mg
解析：带电小球A受力如图所示，OC＝l，即C点为OB中点，根据对称性AB＝l.由库仑定律知A、B间库仑力大小F＝，细线拉力FT＝F＝，选项A、C错误；根据平衡条件得Fcos 30°＝mg，得F＝，细线拉力FT＝，选项B正确，D错误.
5.（2025·广东惠州一中期末）如图所示，带电荷量分别为qa、qb、qc的小球a、b、c（均可视为点电荷），固定在等边三角形的三个顶点上，a球所受库仑力的合力F方向垂直于a、b的连线，则：
（1）a、b间为　引力　，a、c间为　斥力　.（均填“引力”或“斥力”）
解析：（1）设等边三角形的边长为r，由题意可知a球所受库仑力的合力F方向垂直于a、b的连线向下，故b对a为向右的引力，c对a为斜向左下的斥力.
（2）＝　2　.
解析：（2）由力的分解可知 Faccos 60°＝Fab，故 Fac＝2Fab，又Fac＝k，Fab＝k，联立可得qc＝2qb，即＝2.
@课时作业（二）
[基础训练]
1.关于库仑定律，下列说法中正确的是（　D　）
A.库仑定律适用于点电荷，点电荷其实就是体积很小的球体
B.根据F＝k，当两电荷的距离趋近于零时，静电力将趋向无穷大
C.若点电荷q1的电荷量大于q2的电荷量，则q1对q2的静电力大于q2对q1的静电力
D.库仑定律和万有引力定律的表达式相似，都是平方反比定律
解析：库仑定律适用于点电荷，点电荷并不是体积很小的球体，故A错误；当两个点电荷距离趋于零时，两带电体已不能看成点电荷了，公式F＝k不适用了，故静电力并不是趋于无穷大，故B错误；两点电荷之间的作用力是相互的，根据牛顿第三定律，无论点电荷q1的电荷量与q2的电荷量大小如何，q1对q2的静电力大小上总等于q2对q1的静电力，故C错误；库仑定律的表达式为F＝k，万有引力定律的表达式为F＝G，故两表达式相似，都是平方反比定律，故D正确.
2.如图所示，两个带电球，大球的电荷量大于小球的电荷量，可以肯定（　D　）
A.两球都带正电
B.两球都带负电
C.大球受到的静电力大于小球受到的静电力
D.两球受到的静电力大小相等
解析：由题图可知，两带电球相互排斥，则说明两球一定带有同种电荷，但不能确定是正电荷还是负电荷，故A、B错；两带电球间的静电力具有一般力的共性，符合牛顿第三定律，故选项C错，D对.
3.如图所示，三个完全相同的金属小球a、b、c位于等边三角形的三个顶点上.a和c带正电，b带负电，a所带电荷量的大小比b的小.已知c受到a和b的静电力的合力可用图中四条有向线段中的一条来表示，它应是（　B　）
A.F1 B.F2 C.F3 D.F4
解析：由题意知c受a的斥力为F斥，受b的吸引力为F引，若F斥＝F引，则两力的合力水平向右，由于F引＞F斥，则c球所受静电力的合力应为F2，B正确.
4.两个质量分别为m1和m2的小球，各用长为L的绝缘细线悬挂在同一点.两球带同种电荷，如图所示，若m1＝m2，q1＞q2，则两细线与竖直方向间的夹角θ1和θ2的关系为（　C　）
A.θ1＞θ2 B.θ2＞θ1
C.θ1＝θ2 D.无法确定
解析：两球所受的库仑力大小相等、方向相反，又因两球均处于平衡状态，故可以根据各自所受合力为零判断两个角度的大小.对小球进行受力分析，根据平衡条件可得：tan θ1＝，tan θ2＝，m1＝m2，则θ1＝θ2，选项C正确.
5.（2025·哈尔滨市期中）如图，在真空中有两个点电荷，Q1＝4.0×10－8 C，Q2＝－1.0×10－8 C，分别固定在x轴的坐标为0和6 cm的位置上，在Q1Q2连线上某位置再放置一点电荷，使其仅在Q1、Q2作用下处于平衡状态，则下列说法中正确的是（　D　）
A.该位置处于Q1、Q2之间
B.该位置处于Q1左侧
C.该位置在x＝4 cm处
D.该位置在x＝12 cm处
解析：若电荷位于Q1的左侧，则可知Q1对电荷的作用力总大于Q2对电荷的作用力，不能达到平衡状态，如果在Q1、Q2之间，Q1、Q2对电荷的库仑力方向相同，不能平衡.在Q2右侧时Q1、Q2对电荷的库仑力方向相反，大小能满足相等关系，选项A、B错误；该电荷在Q2的右侧，设其电荷量为q，坐标为x，则有k＝k，解得x＝12 cm，选项C错误，D正确.
6.（2025·黑龙江大庆石油高级中学段考）真空中有两个半径均为r的完全相同的金属小球A和B、带电荷量分别为－3q和5q，当两小球间的距离为L（L远大于r）时，两小球之间的静电力大小为F.现将A和B接触后分开，再使A、B之间距离增大为原来的2倍，则它们之间的静电力大小为（　C　）
A.F B.F C.F D.60F
解析：由库仑定律可得F＝＝，将A和B接触后分开，此时A、B的电荷量均为q，再使A、B之间距离增大为原来的2倍，则它们之间的静电力大小为F'＝＝＝F，故选C.
7.如图所示，电荷量分别为q和－q（q＞0）的点电荷固定在正方体（边长为l）的两个顶点上，a、b是正方体的另外两个顶点，已知静电力常量为k，若将一带电荷量大小为Q的点电荷放置在a点，则 （　C　）
A.Q受到的库仑力方向可能由a指向b
B.Q受到的库仑力方向可能由b指向a
C.Q受到的库仑力大小为
D.Q受到的库仑力大小为
解析：Q可能带正电，也可能带负电，根据力的合成可知，Q受到的库仑力不可能沿ab方向，故A、B错误；Q受到的库仑力大小为F＝＝，故C正确，D错误.
8.如图所示，A、B两带电小球的质量分别为m1、m2，电荷量分别为q1、q2，两小球用绝缘细线悬挂于O点，平衡时A、B两球处于同一高度，与竖直方向的夹角分别为30°、60°，已知细线OA长为l，重力加速度为g，静电力常量为k.则（　B　）
A.A、B间库仑力大小为m2g
B.细线OA的弹力大小为m1g
C.A、B间库仑力大小为k
D.A、B的质量之比为m1∶m2＝2∶1
解析：以B球为研究对象，受力分析如图甲所示，可知A、B间库仑力大小为F＝m2gtan 60°＝m2g，A错误；以A球为研究对象，受力分析如图乙所示，可知A、B间库仑力大小F＝F'＝m1gtan 30°＝m1g，细线OA的弹力大小T1＝＝m1g，B正确；由几何关系可知，A、B之间距离为2l，由库仑定律可知，两球间库仑力大小为F＝＝k，C错误；由前面分析可知F＝m2g＝m1g，可得A、B的质量之比为m1∶m2＝3∶1，D错误.
[能力提升]
9.（2025·四川成都外国语学校月考）三个相同的金属小球1、2、3分别置于绝缘支架上，各球之间的距离远大于小球的直径.球1所带电荷量为q，球2所带电荷量为nq，球1和球2带同种电荷，球3不带电且离球1和球2很远，此时球1、2之间作用力的大小为F.现使球3先与球2接触，再与球1接触，然后将球3移至远处，此时球1、2之间作用力的大小仍为F.由此可知（　D　）
A.n＝3 B.n＝4
C.n＝5 D.n＝6
解析：设球1、2之间距离为r，则球1、2之间作用力大小为F＝k，球3与2接触后，它们带的电荷量均为，球3再与球1接触，它们所带的电荷量均为，将球3移至远处后，球1、2之间作用力大小为F＝k，联立解得n＝6，D正确.
10.（2025·湖北高二期末）（多选）如图所示，光滑绝缘圆环竖直放置，a、b、c为三个套在圆环上可自由滑动的空心带电小球，已知小球c位于圆环最高点，a、c连线与竖直方向成60°角，bc连线与竖直方向成30°角，三个小球均处于静止状态.下列说法正确的是（　AD　）
A.a、b小球一定带同种电荷
B.a、c小球可能带同种电荷
C.a、b小球所带电荷量之比为
D.a、b小球所带电荷量之比为
解析：a受到重力、环的支持力以及b、c对a的库仑力，重力的方向在竖直方向上，环的支持力以及b对a的库仑力均沿圆环直径方向，故c对a的库仑力为引力，同理可知，c对b的库仑力也为引力，所以a与c的电性一定相反，a与b的电性一定相同，选项A正确，B错误；对c小球受力分析，将力沿水平方向和竖直方向正交分解后可得ksin 60°＝ksin 30°，又由几何关系知rac∶rbc＝1∶，解得qa∶qb＝∶9，选项C错误，D正确.
11.如图所示，光滑绝缘细杆竖直固定放置，与以正电荷Q为圆心、半径为L的圆交于B、C两点，质量为m、电荷量为＋q的有孔小球（可视为点电荷），从杆上的A点无初速度滑下，一直加速向下运动，已知AB＝BC＝3L，静电力常量为k，重力加速度为g，求：
（1）在B点杆对小球的弹力；
答案：（1），方向水平向左
解析：（1）在B点对小球受力分析，如图所示，受到的库仑力大小为FB＝＝，
设小球在B点的库仑力与竖直细杆的夹角为θ，
由几何关系得cos θ＝＝，
则θ＝，
把FB分别沿水平方向、竖直方向分解，水平方向由二力平衡可得在B点杆对小球的弹力为FN＝FBsin θ，
联立可得FN＝，方向水平向左.
（2）小球在B、C两点的加速度大小之比.
答案：（2）
解析：（2）在B点，由牛顿第二定律可得
mg－FBcos θ＝ma1，
在C点，由牛顿第二定律可得mg＋FCcos θ＝ma2，
由对称性可知FB＝FC，
联立可得＝.
3.电场　电场强度
核心素养 素养目标
物理观念 1.知道电场的概念以及电场的基本性质. 2.知道电场强度的定义、定义式和电场强度的矢量性.
科学思维 能应用电场强度的叠加原理计算两个及两个以上电荷产生的电场在空间某点的电场强度.
科学态度 与责任 体会电场的客观性与电场线的模拟性，激发学习物理的求知欲.
@一、电场　电场强度
教材认知
引入　把同一试探电荷放在电场中的不同位置，由图可知，该试探电荷在不同点所受的静电力的大小和方向不相同，这说明各点的电场的强弱和方向不相同.
（1）用什么物理量表征电场的强弱？如何定义这个物理量？
（2）同一位置，放不同试探电荷，试探电荷受力越大，则该位置场强越强吗？
提示：（1）电场强度，可以通过试探电荷受力来定义.
（2）E与F无关，与试探电荷q无关.
【知识梳理】
1.电场
产生 电荷周围存在着的一种特殊　物质　
性质 对放入电场中的电荷有　力　的作用
力的 分析 电荷间通过电场产生静电力
静电场 　静止　电荷产生的电场
2.电场强度
（1）场源电荷和试探电荷
　场源　电荷是激发或产生我们正在研究的电场的电荷.　试探　电荷是用来检验电场是否存在及其　强弱　分布情况的电荷.
（2）电场强度
定义 放入电场中某一点的试探电荷受到的静电力跟它的电荷量的比值，叫作该点的电场强度
公式 E＝　　
单位 牛每库，符号是　N/C　
标矢性 　矢量　，有大小、方向
方向 物理学中规定，电场中某点的电场强度的方向与　正电荷　在该点所受的静电力的方向相同
意义 电场强度是反映电场本身的力的性质的物理量，与试探电荷的电荷量及其受到的静电力大小　无关　
【辨析】
（1）E＝中的q是场源电荷.（　×　）
（2）若在电场中某点放置负试探电荷，则该点的电场强度方向与放置正试探电荷时相反.（　×　）
（3）若在电场中的某点不放试探电荷，则该点的电场强度为0.（　×　）
典题讲练
[典例1]　如图所示，在一带负电荷的导体A附近有一点B，如在B处放置一个q1＝－2.0×10－8 C的电荷，测出其受到的静电力F1大小为 4.0×10－6 N，方向如图（B处所放电荷不影响导体 A上的电荷分布），则：
（1）B处电场强度多大？方向如何？
答案：（1）200 N/C　方向与F1方向相反
解析：（1）由电场强度公式可得EB＝＝ N/C＝200 N/C，
因为B处是负电荷，所以 B 处电场强度方向与 F1方向相反.
（2）如果换成一个q2＝＋4.0×10－7 C的电荷放在B点，其受力多大？此时B处电场强度多大？
答案：（2）8.0×10－5 N　200 N/C
解析：（2）q2在 B点所受静电力大小
F2＝q2EB＝4.0×10－7×200 N＝8.0×10－5 N，方向与电场强度方向相同，也就是与F1方向相反，此时B处电场强度大小仍为200 N/C，方向与F1方向相反.
（3）如果将 B处电荷拿走，B 处的电场强度是多大？
答案：（3）200 N/C
解析：（3）某点电场强度大小与有无试探电荷无关，故将B处电荷拿走，B处电场强度大小仍为200 N/C.
名师点评
对电场的基本认识
（1）电场强度是描述电场性质的物理量，由电场本身决定，与放入的试探电荷无关.
（2）电场的基本性质是对放入电场中的电荷有力的作用，其大小F＝E·q，力的方向与电荷正、负有关.
（3）电场是客观存在的物质.
[训练1]　关于电场强度的定义式E＝，下列说法正确的是（　D　）
A.该定义式只适用于点电荷产生的电场
B.F是试探电荷所受到的力，q是产生电场的电荷的电荷量
C.场强的方向与F的方向相同
D.由该定义式可知，场中某点电荷所受的静电力大小与该点场强的大小成正比
解析：定义式E＝对任何电场都适用，所以A错；公式中F指试探电荷在这一点所受的静电力大小，q是指试探电荷的电荷量，所以B错；场强方向与正电荷在该点所受力F的方向相同，与负电荷所受力F的方向相反，所以C错；由定义式可得，F与E成正比，所以D对.
[训练2]　（2025·河南部分学校联考）将一电荷量为q的试探电荷放置在电场中的某点，受到的静电力为F.下列说法正确的是（　A　）
A.该点的电场强度大小为
B.若将试探电荷的电荷量加倍，该点的电场强度大小变为
C.若将试探电荷的电荷量变为－q，该点的电场强度的方向反向
D.若将试探电荷移走，该点的电场强度变为0
解析：将一电荷量为q的试探电荷放置在电场中的某点，受到的静电力为F，根据电场强度定义可知该点的电场强度大小为E＝，A正确；电场强度只由电场自身决定，与试探电荷的电荷量及电性无关，若将试探电荷的电荷量加倍，该点的电场强度大小仍为，B错误；若将试探电荷的电荷量变为－q，该点的电场强度的方向不变，C错误；若将试探电荷移走，该点的电场强度大小仍为，D错误.
@二、点电荷电场及场强叠加
教材认知
【知识梳理】
1.点电荷的电场
（1）场强公式：E＝　k　，其中k是静电力常量，Q是　场源电荷　的电荷量.
（2）适用条件：真空中的　点电荷　.
2.电场强度的叠加
（1）叠加原理：如果场源是多个点电荷，则电场中某点的电场强度等于各个点电荷单独在该点产生的电场强度的　矢量和　.
（2）合成法则：同一直线上的场强的叠加，可简化为求代数和；不在同一直线上的两个或多个场强的叠加，用　平行四边形定则　求合场强.
【辨析】
（1）根据公式E＝可知，电场中某点的电场强度与场源电荷所带的电荷量Q成正比，与r2成反比.（　√　）
（2）由公式E＝可知，放入点电荷电场中某点试探电荷的电荷量越大，则该点的电场强度越大.（　×　）
典题讲练
[典例2]　（2023·全国乙卷）如图，等边三角形ABC位于竖直平面内，AB边水平，顶点C在AB边上方，3个点电荷分别固定在三角形的三个顶点上.已知AB边中点M处的电场强度方向竖直向下，BC边中点N处的电场强度方向竖直向上，A点处点电荷的电荷量的绝对值为q，求：
（1）B点处点电荷的电荷量的绝对值并判断3个点电荷的正负；
答案：（1）q　3个点电荷均带正电
解析：（1）由M点的电场强度方向竖直向下可知，A、B处点电荷在M处的合场强为零，C处点电荷在M处的场强竖直向下，故可判断C点处的点电荷带正电，且A、B处点电荷所带电荷量大小相等，即｜qA｜＝｜qB｜＝q，
由N处的场强竖直向上可知，B、C在N处的合场强由B指向C，则B处点电荷带正电，
A在N处的场强由A指向N，则A处点电荷也带正电，
由上述分析可知，A、B、C三处的点电荷均带正电.
（2）C点处点电荷的电荷量.
答案：（2）
解析：（2）作出A处点电荷在N处的场强、B和C处点电荷在N处的合场强，与N处的竖直向上的电场强度满足平行四边形定则，如图所示，设正三角形边长为a，根据点电荷的场强公式E＝，结合几何关系可得，
A点处的点电荷在N处产生的场强大小EA＝，
B点处的点电荷在N处产生的场强大小EB＝，
C点处的点电荷在N处产生的场强大小EC＝，
B、C点处的点电荷在N处产生的合场强EBC＝EB－EC，
根据几何关系可得tan 30°＝，
联立解得qC＝.
名师点评
电场强度叠加的技巧
（1）电场强度是矢量，在求多个点电荷在空间某点产生的电场强度时，应该根据平行四边形定则求出其大小和方向.
（2）当两矢量满足大小相等、方向相反、作用在同一直线上时，两矢量合成叠加，合矢量为零，这样的矢量称为“对称矢量”，在电场的叠加中，注意图形的对称性，发现对称矢量可简化计算.
[训练3]　（2025·福建泉州期中）（多选）如图所示，真空中A、B、C、D四点共线且相邻两点距离相等.先在A点固定一点电荷，电荷量为＋Q，测得B点电场强度大小为E，若再将另一等量异种点电荷放在D点，则（　AC　）
A.B点电场强度大小为E B.C点电场强度大小为E
C.B点电场强度方向向右 D.C点电场强度方向向左
解析：设AB＝BC＝CD＝L，由题意可知，＋Q在B点产生的电场强度大小为E，方向水平向右，由点电荷的场强公式得E＝k，－Q在B点产生的电场强度大小为E1＝k＝E，方向水平向右，所以B点的电场强度大小为EB＝E＋E＝E，方向水平向右，A、C正确；根据对称性可知，C点与B点的电场强度大小相等，均为E，方向水平向右，B、D错误.
[训练4]　（2025·合肥高二期中联考）如图所示，12个带电量均为＋q的点电荷，均匀对称地分布在半径为r的圆周上，某时刻，P、Q两处的点电荷电量突然减为零，则O点的电场强度大小为（　A　）
A. B. C. D.
解析：P、Q两处的点电荷在O点激发的电场强度大小相等，即E＝，P、Q两处的点电荷在O点的合场强为E合＝2Ecos60o＝，P、Q两处的点电荷电量突然减为零时，O点的电场强度大小为E合'＝E合＝，故选A.
@三、对电场线的理解及应用
教材认知
引入　（1）电荷周围存在着电场，法拉第采用什么简洁方法来描述电场？
（2）在实验室，可以用实验模拟电场线：把头发碎屑悬浮在蓖麻油里，加上电场，头发碎屑的排列显示了电场线的形状，这能否说明电场线是实际存在的线？
提示：（1）法拉第采用了画电场线的方法描述电场.
（2）不能，电场线实际不存在，但可以用实验模拟.
【知识梳理】
1.电场线
电场线是画在电场中的一条条有　方向　的曲线，曲线上每点的　切线　方向表示该点的电场强度方向.
2.电场线的特点
（1）不闭合：电场线起始于　正电荷　（或无穷远处），终止于无穷远处（或负电荷）.
（2）不相交：在电场中两条电场线　不相交　.
（3）同一电场中，电场线密的地方　场强大　.
（4）电场线上某点的切线方向表示该点的　场强方向　.
（5）不是电场里实际存在的线，是一种　理想化　模型.
3.常见电场的电场线
电场 电场线图样 简要描述
正点电荷 “光芒四射”，发散状
负点电荷 “众矢之的”，会聚状
等量正点电荷 “势不两立”，相斥状
等量异种点电荷 “手牵手，心连心”，相吸状
带电平行金属板 等间距、平行状 （两板之间，除边缘外）
典题讲练
[典例3]　（2025·江西金太阳高二联考）（多选）用电场线能很直观、很方便地比较电场中各点场强的强弱，如图甲是等量异种点电荷形成电场的电场线，图乙是场中的一些点：O是电荷连线的中点，E、F是连线中垂线上相对O对称的两点，B、C和A、D也相对O对称.则（　AC　）
甲 乙
A.B、C两点场强大小相等，方向相同
B.A、D两点场强大小相等，方向相反
C.E、O、F三点比较，O点场强最强
D.B、O、C三点比较，O点场强最强
解析：根据等量异种点电荷电场的分布情况可知，B、C两点对称分布，场强大小相等，方向相同，选项A正确；根据对称性可知，A、D两处电场线疏密程度相同，A、D两点场强大小相同，方向相同，选项B错误；E、O、F三点中O点场强最强，选项C正确；B、O、C三点比较，O点场强最小，选项D错误.
名师点评
（1）等量异种点电荷中垂线上各点电场强度方向相同，且均与中垂线垂直.
（2）等量同种点电荷中垂线上电场强度有两个极值点，且关于两电荷连线中点对称.
[训练5]　在下图各电场中，A、B两点电场强度相同的是（　C　）
A B C D
解析：题图A中，A、B是离点电荷等距的两点，根据E＝k知，电场强度大小相等，但电场强度是矢量，方向不同，则电场强度不同，故A错误；图B中，根据E＝k可知，A点的电场强度大于B点的电场强度，故B错误；图C是匀强电场，A、B两点的电场强度相同，故C正确；图D中，A、B两点电场线方向不同，疏密程度也不同，则电场强度不同，故D错误.
[训练6]　（2025·广东茂名高二上月考）（多选）两点电荷形成电场的电场线分布如图所示，A、B是电场线上的两点，下列说法正确的是 （　AC　）
A.两点电荷的电性相反
B.两点电荷所带的电荷量相等
C.A点的电场强度比B点的电场强度大
D.A点的电场强度比B点的电场强度小
解析：根据题图和点电荷的电场分布可知，右侧点电荷带正电，左侧点电荷带负电，即两点电荷的电性相反，A正确；若两点电荷所带的电荷量相等，则左右电场线的分布关于点电荷连线的中垂线对称，根据题图可知，右侧点电荷周围的电场线分布比左侧点电荷周围电场线分布密集一些，则右侧点电荷的电荷量大于左侧点电荷的电荷量，即两点电荷所带的电荷量不相等，B错误；电场线分布的疏密程度能够表示电场的强弱，根据题图可知，A点的电场线分布比B点的电场线分布密集，则A点的电场强度比B点的电场强度大，C正确，D错误.
@随堂检测
1.关于E＝k，下列说法正确的是（　D　）
A.以点电荷Q为中心、r为半径的球面上，各处的场强相同
B.当r→0时，E→∞；当r→∞时，E→0
C.在点电荷Q产生的电场中，各点的场强方向一定是背离点电荷Q
D.在点电荷Q产生的电场中，某点的场强大小与Q的大小成正比，与r2成反比
解析：场强是矢量，以点电荷Q为中心、r为半径的球面上，各处的场强大小相等，方向不同，所以各处的场强不同，故A错误；当r→0时，点电荷的场强公式E＝k已经不再适用，故B错误；在点电荷Q产生的电场中，各点的场强方向与点电荷的电性有关，在正点电荷产生的电场中，各点的场强方向背离点电荷Q，在负点电荷产生的电场中，各点的场强方向指向点电荷Q，故C错误；在点电荷Q产生的电场中，场强公式为E＝k，则某点的场强大小与Q的大小成正比，与r2成反比，故D正确.
2.（2025·北京101中学月考）（多选）如图所示是某一点电荷的电场线分布图，下列表述正确的是（　BD　）
A.该点电荷带正电
B.该点电荷带负电
C.a点和b点电场强度的方向相同
D.a点的电场强度Ea大于b点的电场强度Eb
解析：由题图可知，电场线指向该点电荷，故该点电荷是负点电荷，A错误，B正确；因a、b两点的电场线的方向不同，故a点和b点电场强度的方向不同，C错误；a点处的电场线比b点的密，故Ea＞Eb，D正确.
3.如图所示，A、B、C三点的连线构成一个等腰直角三角形，∠A是直角.在B点放置一个电荷量为＋Q的点电荷，测得A点的电场强度大小为E.若保留B点的电荷，再在C点放置一个电荷量为－Q的点电荷，则A点的电场强度大小等于（　C　）
A.0 B.E C.E D.2E
解析：正电荷Q在A点产生的电场强度为E，沿BA方向，负电荷－Q在A点产生的电场强度也为E，方向沿AC方向，根据电场强度的叠加可知E合＝＝E，故C正确，A、B、D错误.
4.（2025·四川成都月考）如图所示是静电场中的一部分电场线分布，下列说法中正确的是（　C　）
A.这个电场可能是由负点电荷产生的
B.点电荷仅在电场力的作用下，在A点的加速度比在B点的加速度小
C.点电荷在A点受到的电场力比在B点受到的电场力大
D.负电荷在B点受到的电场力的方向沿电场线上该点的切线方向
解析：负点电荷电场中电场线是从无穷远发出，到负电荷终止，电场线是直线，故A错误；电场线密的地方电场强度大，电场线疏的地方电场强度小，由题图可知，A点比B点场强大，点电荷在A点受到的电场力比在B点受到的电场力大，由牛顿第二定律可知，点电荷仅在电场力的作用下，在A点的加速度比在B点的加速度大，故C正确，B错误；电场线的切线方向为该点场强的方向，负电荷在B点处受到的电场力的方向与场强的方向相反，D错误.
5.（2025·重庆铜梁一中月考）（多选）如图所示，真空中有A、B、C三个带正电的点电荷，它们固定在边长为L的等边三角形的三个顶点上，每个点电荷的电荷量都是q，O点是三角形底边的中点，静电力常量为k.下列说法正确的是（　BD　）
A.点电荷B、C对A的静电力的合力大小为
B.点电荷B、C对A的静电力的合力大小为
C.O点的电场强度大小为
D.O点的电场强度大小为
解析：由题意可得，两点电荷B、C对A的静电力大小均为F＝k，三个带正电的点电荷构成等边三角形，由几何知识可得点电荷B、C对A的静电力的合力大小为F合＝2Fcos 30°＝，A错误，B正确；三个点电荷在O点产生的电场强度方向如图所示，根据点电荷场强公式E＝，可知点电荷B和点电荷C在O点的电场强度大小相等、方向相反，二者的矢量和为零，点电荷A在O点的电场强度即为O点的合电场强度，大小为EO＝，又rAO＝Lsin 60°＝L，联立可得EO＝，C错误，D正确.
@课时作业（三）
[基础训练]
1.（2025·湖南名校联考联合体联考）下列关于电场线的说法中错误的是 （　C　）
A.电场线是为了表示电场的强弱和方向而人为引入的假想曲线
B.电场线越密的地方，同一电荷所受电场力越大
C.正电荷只在电场力作用下一定沿电场线运动
D.静电场的电场线是不闭合的
解析：电场线是为了表示电场的强弱和方向而人为引入的假想曲线，A正确；电场线越密的地方场强越大，同一电荷所受电场力越大，B正确；正电荷只在电场力作用下，当电场线是直线且正电荷从静止开始运动或初速度沿电场线时才会沿电场线运动，C错误；静电场的电场线是不闭合的，D正确.故选C.
2.a和b是点电荷电场中的两点，如图所示，a点电场强度Ea与ab连线的夹角为60°，b点电场强度Eb与ab连线的夹角为30°，关于此电场，下列分析正确的是（　D　）
A.这是一个正点电荷产生的电场，Ea∶Eb＝1∶
B.这是一个正点电荷产生的电场，Ea∶Eb＝3∶1
C.这是一个负点电荷产生的电场，Ea∶Eb＝∶1
D.这是一个负点电荷产生的电场，Ea∶Eb＝3∶1
解析：设点电荷的电荷量为Q，将Ea、Eb延长相交，交点即为点电荷Q的位置，如图所示，由图可知电场方向指向场源电荷，故这是一个负点电荷产生的电场，A、B错误；设a、b两点到Q的距离分别为ra和rb，由几何知识得ra∶rb＝1∶，由E＝k可得Ea＝3Eb，即Ea∶Eb＝3∶1，C错误，D正确.
3.（多选）“空间电场防病促生”技术的基本原理是通过直流电源在悬挂电极和地面之间产生空间电场，其作用之一是加速植物体内带正电的钾、钙离子等向根部聚集，促进植物快速生长.图中实线为该空间电场线的示意图.下列说法正确的是（　AC　）
A.悬挂电极应接电源正极
B.图中所示的A、B两点场强相同
C.钾、钙离子向根部聚集过程中电场力减小
D.空气中带负电的尘埃微粒在B点所受电场力的方向沿B点切线方向
解析：植物体内带正电的钾、钙离子等向根部聚集，可知钾、钙离子等受到的电场力向下，故悬挂电极应接电源正极，A正确；根据对称性可知，A、B两点的场强大小相等，但是方向不同，B错误；钾、钙离子向根部聚集过程中，电场线变稀疏，受到的电场力减小，C正确；空气中带负电的尘埃微粒在B点所受电场力的方向沿B点切线的反方向，D错误.故选AC.
4.如图所示为金属球放入匀强电场后电场线的分布情况.设该电场中A、B两点的电场强度大小分别为EA、EB，则A、B两点（　D　）
A.EA＝EB，电场方向相同
B.EA＜EB，电场方向相同
C.EA＞EB，电场方向不同
D.EA＜EB，电场方向不同
解析：电场线的疏密表示电场强弱，由题图可知，B点处密集，A点处稀疏，故EA＜EB；又电场方向为电场线的切线方向，A、B两点的电场方向不同，故A、B、C错误，D正确.
5.（2025·杭州高二检测）如图所示，M、N和P是以MN为直径的半圆弧上的三点，O点为半圆弧的圆心，∠MOP＝60°.电荷量相等、符号相反的两个点电荷分别置于M、N两点，这时O点电场强度的大小为E1；若将N点的点电荷移至P点，则O点电场强度的大小变为E2.则E1与E2之比为（　B　）
A.1∶2 B.2∶1 C.2∶ D.4∶
解析：两个点电荷分别在M点和N点时，每个点电荷在O点产生的电场强度的大小相等、方向相同，所以EM＋EN＝E1，得EM＝EN＝.将N点处的点电荷移至P点时，假设M点的电荷为正电荷，则O点的电场强度如图所示.M点和P点的点电荷在O点产生的电场强度的大小仍相等，夹角为120°，所以O点的电场强度E2＝EM＝，即＝，B正确.
6.如图甲所示，AB是一个点电荷形成的电场中的一条电场线，图乙则是放在电场线上a、b处的试探电荷的电荷量与所受静电力大小间的函数图像（F－q图像），指定电场方向由A指向B为正方向，由此可以判定（　D　）
A.场源电荷是正电荷，位置在A侧
B.场源电荷是正电荷，位置在B侧
C.场源电荷是负电荷，位置在A侧
D.场源电荷是负电荷，位置在B侧
解析：F－q图像的斜率表示电场强度的大小，图线b的斜率大于a的斜率，说明b处场强大于a处场强，若电场是由点电荷产生的，说明b离场源较近，又由于场强为正值，即由A指向B，因此场源电荷为负电荷，故D正确.
7.（多选）如图所示，＋Q和－Q为真空中的两个点电荷，abcd是以点电荷＋Q为中心的正方形，c位于两点电荷的连线上.以下说法正确的是（　AC　）
A.a、b、c、d四点中c点场强最大
B.b、d两点的场强大小相等、方向相反
C.a、b、c、d四点中a点的场强最小
D.a、b、c、d四点的场强大小相等
解析：根据电场强度的对称性和叠加性原理可知，b、d两点场强大小相等，方向不同，b点场强方向斜向右上方，d点的场强方向斜向右下方，a点的场强最小，c点的场强最大，故选项A、C正确，B、D错误.
8.如图所示，真空中，电荷量分别为＋Q和－Q的点电荷A、B相距r，静电力常量为k，求：
（1）两点电荷连线的中点O处的电场强度大小和方向；
答案：（1）　方向由A→B
解析：（1）如图甲所示，A、B两点电荷在O点产生的电场强度方向相同，均由A→B.A、B两点电荷分别在O点处的电场强度大小EA＝EB＝＝，则O点处的电场强度大小为EO＝EA＋EB＝，方向由A→B.
（2）在两点电荷连线的中垂线上，距A、B两点电荷都为r的O'点的电场强度大小和方向.
答案：（2）　方向平行于A、B连线向右
解析：（2）如图乙所示，EA'＝EB'＝.由矢量图结合几何关系可知，O'点的电场强度大小EO'＝EA'＝EB'＝，方向平行于A、B连线向右.
[能力提升]
9.（多选）电场线能直观反映电场的分布情况.如图甲是等量同种正点电荷形成电场的电场线，图乙是电场中的一些点；O点是电荷连线的中点，E、F是连线中垂线上关于O对称的两点，B、C和A、D是两点电荷连线上关于O对称的两点.则（　BC　）
A.E、F两点电场强度相同
B.A、D两点电场强度大小相等
C.B、O、C三点中，O点电场强度最小
D.从E向O运动的电子受到的静电力逐渐减小
解析：等量正点电荷中垂线上电场方向从连线中点垂直于连线指向无穷远处，E、F两点电场强度方向相反，A错误；根据电场线的对称性和方向特点，A、D两点电场强度大小相等，B正确；B、O、C三点中，根据电场强度的叠加知O点电场强度为零，而B、C两点合电场强度不为零，所以O点电场强度最小，C正确；从O沿OE向无穷远，存在一电场强度最大处，可能在O、E之间，则从E向O运动的电子受到的静电力可能先增大后减小，D错误.
10.（2025·四川绵阳盐亭中学期中）（多选）如图所示，真空中有两个点电荷Q1＝＋4.0×10－8 C和Q2＝－1.0×10－8 C，分别固定在x轴的坐标为0和6 cm的位置上.以下说法正确的是（　ACD　）
A.在x＝12 cm的位置电场强度为0
B.在x＝4 cm的位置电场强度为0
C.若在x＝8 cm的位置放一正电荷，所受电场力方向沿x轴负方向
D.若在x＝14 cm的位置放一负电荷，所受电场力方向沿x轴负方向
解析：在0～6 cm的范围内，两点电荷产生的场强方向相同，均沿x轴正方向，故合场强水平向右，因此场强一定不为零，故B错误；设合场强为零的坐标为x（x＞6 cm），由k＝k，可得x＝12 cm，故A正确；根据电场的叠加可知6 cm＜x＜12 cm区间场强沿x轴负方向，若在x＝8 cm的位置放一正电荷，所受电场力方向沿x轴负方向，故C正确；根据电场的叠加可知x＞12 cm区间场强沿x轴正方向，若在x＝14 cm的位置放一负电荷，所受电场力方向沿x轴负方向，故D正确.
11.（2025·三明高二期末）如图所示，真空中有一等边三角形ABC，边长 d＝0.30 m.在A点固定一电荷量q1＝＋3.0×10－6 C的点电荷，静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，求：
（1）点电荷q1在C处产生电场的电场强度E1的大小；
答案：（1）3×105 N/C
解析：（1）点电荷q1在C处产生的电场强度方向由A指向C，由点电荷电场强度公式有E1＝k，代入数据得E1＝3×105 N/C.
（2）在B点固定另一个q2＝－3.0×10－6 C的点电荷，则C处合电场强度E的大小及方向；
答案：（2）3×105 N/C　平行于 AB连线向左
解析：（2）点电荷q2在C处产生的电场强度大小E2＝E1，方向由C指向B，根据平行四边形定则有E＝2E1cos 60°，代入数据得E＝3×105 N/C，方向平行于AB连线向左.
（3）在（2）条件下，试探电荷q3＝＋5.0×10－7 C放在C处受到的静电力F大小.
答案：（3）0.15 N
解析：（3）电荷q3在C处受到的静电力大小F＝qE，代入数据得F＝0.15 N.
微专题（一）：电场的力的性质
核心素养 素养目标
物理观念 熟练运用库仑定律解决电荷间相互作用的相关问题，进一步加深对场强叠加观念的理解.
科学思维 1.应用共点力平衡条件解决库仑力平衡问题. 2.能够应用牛顿第二定律解决电场中力和运动关系的问题.
@一、静电力作用下的平衡问题
专题总结
1.带电体在多个力作用下处于平衡状态，带电体所受合外力为零，因此可用共点力平衡的知识分析，常用的方法有正交分解法、合成法等.
2.解决静电力平衡问题的基本思路
（1）确定研究对象.
（2）分析研究对象的受力，画出力的示意图.
（3）运用合成法和分解法，找到已知量和未知量的关系.
（4）列方程求解.
典题讲练
[典例1]　质量相等可视为点电荷的A、B、C三个带电绝缘小球如图所示，其中A小球带正电并固定在竖直绝缘弹簧下端，当A、B、C三个小球的球心距离均为L时，B、C小球带电荷量相等并悬在空中处于静止状态，下列说法正确的是（　C　）
A.弹簧弹力大于三个小球的总重力
B.A小球受三个作用力
C.A小球带的电荷量是B小球带的电荷量的2倍
D.剪断弹簧后三个小球一起做自由落体运动
解析：把三个小球看成整体，可得弹簧弹力大小等于三个小球的总重力大小，选项A错误；分析A小球的受力，有重力、两个库仑力和弹簧弹力，共四个力，选项B错误；根据受力平衡可得B、C两小球带等量的负电荷，设A、B两小球的电荷量的绝对值分别为qA、qB，A、B两小球之间的库仑力FAB＝k，B、C两小球之间的库仑力FBC＝k，θ＝60°，分析B小球受力，如图所示，可得FABcos θ＝FBC，解得qA＝2qB，选项C正确；剪断弹簧后A小球受重力和B、C两小球对A小球的库仑力，A小球下落的加速度大于重力加速度，剪断弹簧瞬间B、C两小球受力不变，加速度为零，选项D错误.
[训练1]　质量为m、带电荷量为＋q的小球悬挂在天花板上，带负电的点电荷Q1与q的水平距离为r时，绳子与竖直方向的夹角为30°，带负电的点电荷Q2与q的水平距离为r时，绳子与竖直方向的夹角为60°.则两点电荷的电荷量之比Q1∶Q2为（　A　）
　
A.1∶3 B.∶1
C.3∶1 D.1∶
解析：带电小球受重力mg、绳子拉力T、电荷Q1对小球的库仑力F，如图所示，带电小球受力平衡，由平衡条件可知F＝mgtan 30°，由库仑定律可得F＝k，Q1＝＝＝，同理可得Q2＝＝＝，则两点电荷的电荷量之比为Q1∶Q2＝1∶3，B、C、D错误，A正确.
@二、电场线与带电粒子在电场中的运动轨迹
专题总结
1.带电粒子仅受静电力作用做曲线运动时，静电力指向轨迹曲线的内侧.静电力沿电场线方向或电场线的切线方向，粒子速度方向沿轨迹的切线方向.
2.分析方法
（1）由轨迹的弯曲情况，结合电场线确定静电力的方向；
（2）由静电力和电场线的方向可判断电荷的正负；
（3）由电场线的疏密程度可确定静电力的大小，再根据牛顿第二定律，可判断带电粒子加速度的大小；
（4）根据力和速度的夹角，由静电力做功的正负，动能的增大还是减小，可以判断速度变大还是变小，从而确定不同位置的速度大小关系.
典题讲练
[典例2]　（2025·景德镇市期末）某电场的电场线分布如图所示，虚线为某带电粒子只在静电力作用下的运动轨迹，a、b、c是轨迹上的三个点，则（　C　）
A.粒子一定带负电
B.粒子一定是从a点运动到b点
C.粒子在c点的加速度一定大于在b点的加速度
D.粒子在电场中c点的速度一定大于在a点的速度
解析：做曲线运动的物体，所受合力指向运动轨迹的内侧，由此可知，带电粒子受到的静电力的方向为沿着电场线向左，所以粒子带正电，A错误；粒子不一定是从a点沿轨迹运动到b点，也可能是从b点沿轨迹运动到a点，B错误；由电场线的分布可知，粒子在c点处所受静电力较大，加速度一定大于在b点的加速度，C正确；若粒子从c点运动到a点或b点，静电力与速度方向成锐角，所以粒子做加速运动，若粒子从a点或b点运动到c点，静电力与速度方向成钝角，所以粒子做减速运动，故粒子在c点的速度一定小于在a点的速度，D错误.
[训练2]　（2025·河南开封高二上月考）如图所示，实线为不知方向的三条电场线，从电场中M点以相同速度垂直于电场线方向飞出a、b两个带电粒子，仅在电场力作用下的运动轨迹如图中虚线所示.则 （　C　）
A.a一定带正电，b一定带负电
B.a的速度将减小，b的速度将增大
C.a的加速度将减小，b的加速度将增大
D.两个粒子的动能，一个增加一个减少
解析：电场线方向未知，仅凭粒子受力情况无法确定a、b的正负，A错误；运动轨迹向电场力的方向弯曲，电场力对两个粒子均做正功，两个粒子的动能均增加，两个粒子的速度均增大，B、D错误；电场线越密，电场强度越大，电场力越大，加速度越大，则a的加速度将减小，b的加速度将增大，C正确.
专题检测
1.（多选）如图所示，可视为点电荷的小物体A、B分别带负电和正电，B固定，其正下方的A静止在绝缘斜面上，则A受力个数可能为（　AC　）
A.2 B.3 C.4 D.5
解析：小物体A必定受到重力和小物体B对它的库仑力，这两个力方向相反，若两者恰好相等，则A只受这两个力作用.若向上的库仑力小于A的重力，则A还将受到斜面的支持力，这三个力不能平衡，用假设法可得A必定还受到斜面的静摩擦力，所以A受到的力可能是2个，也可能是4个，故选A、C.
2.（2025·安徽县中联盟高二联考）一带电粒子在电场中仅受静电力作用，做初速度为零的直线运动，取该直线为x轴，起始点O为坐标原点，其速度v与位移x的关系如图所示，则该电场的电场线分布可能是（　B　）
解析：根据公式v2－＝2ax，可知匀变速直线运动的v2－x图像才是直线，故A错误；题图v－x图像是直线，说明速度随着位移均匀增加，相同位移速度增加量相等，又是加速运动，故增加相等的速度需要的时间逐渐减小，故加速度逐渐增大，粒子所受的静电力逐渐增大，电场线越来越密集，故B正确，C、D错误.
3.（2025·辽宁实验中学期中）如图所示，在足够大的真空空间中存在水平向右的匀强电场，若用绝缘细线将质量为m的带正电荷的小球悬挂在电场中，静止时细线与竖直方向的夹角θ＝37°.若将该小球从电场中的某点竖直向上抛出，初速度大小为v0，则小球在运动过程中的最小速率为（　B　）
A.0.5v0 B.0.6v0 C.0.7v0 D.0.8v0
解析：静止时细线与竖直方向的夹角θ＝37°，小球的受力如图甲所示，可知电场力与重力的合力方向斜向下偏右，与竖直方向成37°；若将该小球从电场中的某点竖直向上抛出，初速度大小为v0，将小球的运动分解为沿合力方向的分运动和垂直于合力方向的分运动，如图乙所示，可知小球在垂直于合力方向做匀速直线运动，故当沿合力方向的分速度为零时，小球的速度具有最小值，则有vmin＝v0x＝v0sin 37°＝0.6v0，选项B正确.
甲 乙
4.如图所示，QA＝2×10－8 C，QB＝－2×10－8 C，A、B等高且相距3 cm；在水平方向匀强电场的作用下A、B保持相对静止，绝缘悬线沿竖直方向.求：
（1）匀强电场场强大小及方向；
答案：（1）2×105 N/C　方向水平向左　
解析：（1）由A受力平衡可知，匀强电场的方向水平向左，对A有：k＝QA·E匀，所以E匀＝k＝ N/C＝2×105 N/C.
（2）A、B中点处电场的场强大小及方向.
答案：（2）1.4×106 N/C　方向水平向右
解析：（2）A、B中点处的场强E＝EA＋EB－E匀＝－E匀＝1.4×106 N/C，方向水平向右.
@课时作业（四）
[基础训练]
1.如图所示，M、N为某电场中的两点，下列说法正确的是（　D　）
A.该电场是匀强电场
B.该电场一定是点电荷产生的电场
C.M点的电场强度比N点的小
D.在M点放一个负电荷，其电场力的方向与电场方向相反
解析：由题图所示，结合匀强电场的特点可知，该电场一定不是匀强电场，故A错误；点电荷的电场为均匀的、辐射状的电场，由题图可知，该电场不是点电荷的电场，故B错误；M、N是同一电场中的两点，由题图看出，M处电场线密，N处电场线疏，则M处电场强度大于N处电场强度，故C错误；在M点放一个负电荷，其电场力的方向与电场方向相反，D正确.故选D.
2.（2025·四川宜宾一中高二月考）某电场的电场线分布如图所示，在A点给一带负电的粒子水平向右的初速度，使其仅在静电力作用下运动到B点，这个过程中粒子的v－t图像可能正确的是（　C　）
解析：负电荷所受的静电力沿电场线反方向，在A点给一带负电的粒子水平向右的初速度，粒子所受静电力方向向右，则粒子向右做加速运动，由电场中电场线越密的地方电场强度越大，可知从A到B电场强度逐渐减小，故粒子向右做加速度逐渐减小的加速运动，C正确.
3.如图所示，一电子沿等量异种点电荷连线的中垂线由A→O→B做匀速运动，电子重力不计，则电子除受静电力外，所受的另一个力的大小和方向变化情况是（　B　）
A.先变大后变小，方向水平向左
B.先变大后变小，方向水平向右
C.先变小后变大，方向水平向左
D.先变小后变大，方向水平向右
解析：在AOB线上的电场强度方向水平向右，且O点的电场强度最大，可知电子沿等量异种点电荷连线的中垂线由A→O→B做匀速运动的过程中，受力平衡，因所受的静电力先变大后减小，方向水平向左，则所受的另一个力的大小也是先变大后变小，方向水平向右，故B正确.
4.如图所示，实线是电场线，一带电粒子只在静电力的作用下沿虚线由A运动到B的过程中，其速度大小随时间变化的图像正确的是（　B　）
A B C D
解析：由题图可看出，A点处电场线最密集，故电场强度最大，静电力最大，故加速度最大，所以粒子从A到B的过程中加速度逐渐减小，由粒子的运动轨迹向右下方弯曲可知，带电粒子所受静电力的方向与电场强度方向相反，静电力方向与速度方向夹角大于90°，故静电力做负功，速度减小，所以粒子做加速度减小的减速运动，故B正确.
5.（多选）两个点电荷电场的部分电场线如图所示，一带电粒子仅在静电力的作用下由a点运动到c点的轨迹如图中虚线所示，则下列说法正确的是（　BC　）
A.粒子带负电
B.正电荷的电荷量大于负电荷的电荷量
C.粒子在b点的速度小于在c点的速度
D.粒子在b点的加速度小于在c点的加速度
解析：由粒子仅在静电力的作用下做曲线运动，静电力需指向曲线弯曲的凹侧，由图可知，静电力方向与电场方向相同，可知，粒子带正电，故A错误；由图可知，正电荷附近电场线较密，说明正电荷的电荷量大于负电荷的电荷量，故B正确；粒子由b到c的过程中，静电力做正功，粒子的动能增加，则粒子在b点的动能小于在c点的动能，则粒子在b点的速度小于在c点的速度，故C正确；由电场线越密电场强度越大可知，b点的电场强度大于c点的电场强度，则粒子在b点的加速度大于在c点的加速度，故D错误.故选B、C.
6.（2025·福建省福州市第十一中学高二期中）（多选）真空中某竖直平面内存在一水平向右的匀强电场，一质量为m、带电荷量为q的带电微粒恰好能沿如图所示虚线（与水平方向成θ角）由A向B做直线运动，已知重力加速度为g，则（　AD　）
A.微粒一定带负电
B.微粒一定做匀速直线运动
C.匀强电场的电场强度大小为
D.微粒运动的加速度大小为
解析：微粒做直线运动的条件是速度方向和所受合外力的方向在同一条直线上或合外力为零，微粒受到竖直向下的重力，只有微粒受到水平向左的静电力才可能使得合力方向与速度方向在同一条直线上且方向相反，由此可知微粒所受的静电力的方向与电场强度方向相反，则微粒带负电，故A正确；微粒受到向左的静电力与竖直向下的重力，合力的方向与初速度方向相反，所以运动过程中微粒做匀减速直线运动，故B错误；根据上述分析可知qEtan θ＝mg，则E＝，故C错误；根据牛顿第二定律有＝ma，可得a＝，故D正确.
7.（2025·山东济南一中高二月考）长为 L 的绝缘细线下端系一带正电的小球，其带电荷量为 Q，悬于 O 点，如图所示.当在 O 点固定另一个正电荷时，小球静止在A处，细线拉力大小是其重力大小的两倍.现将小球拉至图中 B 处（θ＝60°），放开小球让它摆动.（静电力常量为 k，g 为重力加速度）　
（1）固定在 O 处的正电荷带的电荷量为多少？　
答案：（1）
解析：（1）小球静止在A处时受到重力mg、静电力F和细线拉力F拉.由平衡条件得 F拉＝F＋mg
由库仑定律得 F＝k
又知F拉＝2mg
联立解得 q＝.
（2）小球摆回到A处时，悬线拉力为多大？
答案：（2）3mg
解析：（2）小球由B摆回至A的过程中只有重力做功，所以机械能守恒，有mgL（1－cos θ）＝mv2
小球摆至A处时，由牛顿第二定律得 F拉'－mg－F＝m
联立解得 F拉'＝3mg.
[能力提升]
8.如图所示，一带电粒子以某速度进入水平向右的匀强电场中，在电场力作用下形成图中所示的运动轨迹.M和N是轨迹上的两点，其中M点在轨迹的最右端.不计重力，下列表述错误的是（　A　）
A.粒子带正电
B.粒子在M点的速率最小
C.粒子在电场中的加速度不变
D.粒子在电场中的电势能先增加后减小
解析：粒子做曲线运动，受电场力指向曲线弯曲的内侧，所以粒子所受的电场力沿电场的反方向，则带负电，故A错误，符合题意；粒子受到的电场力水平向左，在向右运动的过程中，电场力对粒子做负功，粒子的速度减小，运动到M点时，粒子的速度最小，故B正确，不符合题意；粒子在电场中只受恒定的电场力作用，所以粒子的加速度不变，故C正确，不符合题意；粒子向右运动时电场力做负功，电势能增加，粒子向左运动时电场力做正功，电势能减小，故D正确，不符合题意.故选A.
9.（多选）如图所示，在一电场强度沿纸面方向的匀强电场中，用一绝缘细线系一带电小球，小球的质量为m，电荷量为q.为了保证当细线与竖直方向的夹角为60°时，小球处于平衡状态，则匀强电场的场强大小可能为　（　ACD　）
A. B.
C. D.
解析：取小球为研究对象，它受到重力mg、细线的拉力F和静电力Eq的作用.因小球处于平衡状态，则它受到的合外力等于零，由平衡条件知，F和Eq的合力与mg是一对平衡力.根据力的平行四边形定则可知，当静电力Eq的方向与细线拉力方向垂直时，静电力最小，如图所示，则Eq＝mgsin 60°，得最小场强E＝.所以选项A、C、D正确.
10.（2025·合肥一中高二第一学期期中联考）如图所示，一带电量为q的带正电小球用长为L的绝缘绳悬挂，匀强电场方向水平向右.小球的质量为m，平衡时小球偏离竖直方向的夹角为θ＝37°，重力加速度为g，sin 37°＝0.6.求：
（1）绝缘绳上的拉力为多大？
答案：（1）
解析：（1）解析：（2）小球受拉力、水平向右的电场力、竖直向下的重力处于平衡状态，有Eq＝mgtan 37°，T＝，得T＝，E＝.
（2）匀强电场的电场强度为多大？
答案：（2）
解析：（1）解析：（2）小球受拉力、水平向右的电场力、竖直向下的重力处于平衡状态，有Eq＝mgtan 37°，T＝，得T＝，E＝.
（3）若将电场方向改为竖直向上，使小球做圆锥摆运动，悬线与竖直方向的夹角仍为θ＝37°，则小球做圆周运动的角速度为多大？
答案：（3）
解析：（3）若将电场方向改为竖直向上，受电场力方向竖直向上.小球做圆锥摆运动，由拉力沿圆心方向的分力提供向心力，有T1sin 37°＝mω2r，其中r＝Lsin 37°
这时竖直方向由平衡条件有T1cos 37°＋Eq＝mg
联立得ω＝.
4.静电的防止与利用
核心素养 素养目标
物理观念 1.知道什么是静电平衡状态，能说出处于静电平衡状态的导体中电场的性质. 2.知道静电(共11张PPT)
第九章　静电场及其应用
章末整合提升
[素养提升]
提升一　求解电场强度的特殊方法
1. 对称法
在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情境变换为简单的或熟悉的电场情境进行分析求解.
2. 补偿法
有时由题给条件建立的模型不是一个完整的模型，这时需要给原来的问题补充一些条件，组成一个完整的新模型.这样，求解原模型的问题就变为求解新模型与补充条件的差值问题.如采用补偿法将有缺口的带电圆环补全为圆环，或将半球面补全为球面，从而将问题化难为易.
3. 微元法
当一个带电体的体积较大，不能视为点电荷时，求这个带电体产生的电场在某处的电场强度时，可用微元法的思想把带电体分成很多小块，只要每块足够小，就可以看成点电荷，用点电荷电场叠加的方法计算.
题型1　补偿法的应用
A
题型2　对称法的应用
B
BD
D. P点电场强度的方向沿x轴的负方向
提升二　电场中的动力学问题
　带电体在电场中的加速问题与力学问题分析方法完全相同，带电体的受力仍然满足牛顿第二定律，在进行受力分析时不要漏掉静电力.
A
（1）原来的电场强度大小（用字母表示）；
（2）小物块运动的加速度；
答案：（2）3 m/s2，方向沿斜面向下
（3）小物块2 s末的速度大小和2 s内的位移大小.
答案：（3）6 m/s　6 m

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