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数学活动　探究比例的性质
　　在比例里，两个外项的积等于两个内项的积．
　　1．比例的基本性质
　　如果 a∶b＝c∶d（b，d不为0），那么 ad＝bc．也可以写成：
如果 ＝ （b，d不为0），那么 ad＝bc.
　　 2．用字母表示比例的基本性质
　　反过来，如果 ad＝bc（a，b，c，d 不为0），那么 ＝ .
思考
　　若 ＝ （其中 a，b，c，d 均不为 0），下列各组中的两个分式之间分别有什么关系？
　　（1） 和 ； （2） 和 ；
　　（3） 和 ； （4） 和 （a≠b，c≠d）．
　　分析：用特殊值法进行试验．
　　找几组都不为 0 的数 a，b，c，d，使得 ＝ 成立（即a，b，c，d 成比例）．
探究
　　（1）取 a＝1，b＝2，c＝3，d＝6；
　　（2）取 a＝1，b＝3，c＝2，d＝6；
　　（3）取 a＝4，b＝1，c＝12，d＝3．
取特殊值试验时，为避免偶然性，多取几组值试验．
　　由这几组数值计算下面各组中的两个分式的值，看看它们之间有什么关系．
　　（1） 和 ； （2） 和 ；
　　（3） 和 ； （4） 和 （a≠b，c≠d）．
探究
分式 1 分式 2 关系
＝ ＝
＝ ＝
＝ ＝
＝ ＝
　　（1）取 a＝1，b＝2，c＝3，d＝6；
　　（2）取 a＝1，b＝3，c＝2，d＝6；
分式 1 分式 2 关系
＝ ＝
＝ ＝
＝ ＝
＝ ＝
　　（3）取 a＝4，b＝1，c＝12，d＝3．
分式 1 分式 2 关系
＝ ＝
＝ ＝
＝ ＝
＝ ＝
猜想
　　你能运用分式的基本性质和运算法则对以上猜想进行证明吗？
　　当 ＝ （其中 a，b，c，d 均不为 0）时，有：
　　（1） ＝ ； （2） ＝ ；
　　（3） ＝ ； （4） ＝ （a≠b，c≠d）．
　　（1）如果 ＝ （a，b，c，d 均不为 0），那么 ＝ ．
证明
　　证明：∵ ＝ ，
　　∴ ad＝bc．
　　方程两边同时除以 cd，得
＝ ．
　　（2）如果 ＝ （a，b，c，d 均不为 0），那么 ＝ ．
　　证明：∵ ＝ ，
　　 ∴ bc＝ad．
　　方程两边同时除以 ac，得
＝ ．
　　（3）如果 ＝ （a，b，c，d 均不为 0），那么 ＝ ．
　　证明：∵ ＝ ，
　　 ∴方程两边同时加 1，得
＋1＝ ＋1，
　　即 ＝ ．
＋1
＋1
　　证明：∵ ＝ ，
　　∴ ＋1＝ ＋1， －1＝ －1，
　　即 ＝ ， ＝ ．
　　（4）如果 ＝ （a≠b≠0，c≠d≠0），那么 ＝ ．
　　由 ＝ ，得 ＝ ；
　；由 ＝ ，得 ＝ ．
　　∴ ＝ ．
　　∴ ＝ ．
　　除了上面的证明方法，你还有其他方法对以上猜想进行证明吗？
思考
　　可以利用作差法“若A－B＝0，则A＝B”对以上猜想进行证明．
例如，
　　求证：如果 ＝ （a，b，c，d 均不为 0），那么 ＝ ．
　　证明：∵ ＝ ， ∴ ad＝bc．
　　∴ － ＝ ＝0，　∴ ＝ ．
结论
　　更比式： ＝ ；
　　反比式： ＝ ；
　　合比式： ＝ ；
　　合分比式： ＝ （a≠b，c≠d）．
　　如果 ＝ （其中 a，b，c，d 均不为 0），那么
追问
　　如果 ＝ （其中a，b，c，d 均不为 0），那么 ＝ ．
　　证明：∵ ＝ ，
　　 ∴方程两边同时减 1，得
－1＝ －1，
　　即 ＝ ．
分比式
获得数学结论的一种重要途径：
　　先通过合情推理提出猜想，再通过逻辑推理证明猜想，最后得出结论．
　　例1　若 ＝ ，则 ＝ ．
　　解析： ＝ ， 由合比式可得 ＝ ＝ ．
　　你还有其他方法吗？
　　例2　若 x∶y∶z＝3∶4∶7，且 2x－y＋z＝18，则 x＋2y－z＝________．
　　分析：出现连比，可设参数k，把 2x－y＋x＝18 转化为关于参数 k 的一元一次方程．
　　解析： 设x＝3k，则 y＝4k，z＝7k．
　　∵ 2x－y＋z＝18，
　　∴ 2x－y＋z＝6k－4k＋7k＝9k＝18，
　　∴ k＝2． ∴ x＝6，y＝8，z＝14．
　　∴ x＋2y－z＝ 6＋2×8－14＝8．
　　例2　若 x∶y∶z＝3∶4∶7，且 2x－y＋z＝18，则 x＋2y－z＝________．
8
归纳
若多个比值相等，巧设参数来消元
　　当一道题中出现多个未知数时，常用消元法来求代数式的值；当条件中出现多个比值相等时，用中间量法巧设其比值为参数，进而求解各未知数的值，这是首选的方法．
　　例3　若 ＝ （其中 a，b，c，d 均不为 0，且b＋d≠0），请判断 和 的大小关系，并证明你的结论．
　　证明：∵ ＝ ， ∴ ad＝bc．
　　∴ － ＝ ＝ ＝0，
　　∴ ＝ ．
　　解： ＝ ．
等比性质
　 如果 ＝ ＝ ＝…＝ ＝k（b＋d＋f＋…＋n≠0），那么 ＝ ＝ ＝ ＝…＝ ＝k．
比例的性质
更比式
合比式
反比式
探究比例的性质
合分比式
等比性质
分比式

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