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第十八章 分式 章末复习
　　请你带着下面的问题，进入本课的复习吧！
　　1．如何用式子形式表示分式的基本性质和运算法则？通过比较分数和分式的基本性质和运算法则，你有什么认识？类比的方法在本章的学习中起什么作用？
　　2．分式怎样约分和通分？依据是什么？
　　3．n是正整数时，a－n（a≠0）表示什么意思？整数指数幂有哪些运算性质？
　　请你带着下面的问题，进入本课的复习吧！
　　4．怎样解分式方程？解分式方程要注意什么？为什么解分式方程要检验？
　　5．方程是一种刻画实际问题中数量关系的重要数学模型，你能结合利用分式方程解决实际问题的实例，谈谈你的体会吗？
考点一　分式的概念与基本性质
　　例1　式子 ， ， ， ， 中，哪些是整式？哪些是分式？
判定分式的两个条件
（1）式子为 的形式，A，B 为整式；
（2）分母 B 中必须含有字母．
　　解：式子 ， ， 是分式； ， 是整式．
考点一　分式的概念与基本性质
　　例2　若把分式 中的 x，y都扩大到原来的5倍，则分式的
值（　　）．
　　A．扩大到原来的5倍 B．缩小为原来的
　　C．不变 D．无法确定
C
约分
最简分式
　　解析：分式的基本性质： ＝ 　　 ， ＝ ，其中 A，B，C （C≠0）为整式．
　　 ＝ ＝ ，分式的值不变．
考点一　分式的概念与基本性质
　　解析： ， ， 三个式子是分式；
　　－ ， －y2， 三个式子的分母中都不含字母，故不是分式．
　　1．在式子 ，－ ， －y2， ， ， 中，分式的个数是（　　）．
　　A．1 B．2 C．3 D．4
C
　　2．若分式 中的 a，b 的值同时扩大到原来的10倍，则分式的值（　　）．
　　A．变为原来的20倍 B．变为原来的10倍
　　C．变为原来的 D．不变
B
　　解析：由题意得 　　 ＝ ＝10· ，分式的值变为原来的10倍．
考点一　分式的概念与基本性质
考点二　分式有（无）意义和值为0的条件
　　例3　当 x 取________时，分式 无意义；
　　当 x 取________时，分式 的值为 0 ．
　　解析：当3x－1＝0，即 x＝ 时，分式 无意义；
　　因为分式 的值为 0，
　　所以|x|－1＝0，且1－x≠0，
　　解得x＝－1．
－1
考点二　分式有（无）意义和值为0的条件
分式有（无）意义及分式值为0的条件
（1）分式无意义 分母为0.
（2）分式有意义 分母不为0.
（3）分式值为0 分子为0，且分母不为0．
　　3．若分式 的值为0，则 x 的值为（　　）．
　　A．－2 B．0 C．2 D．±2
C
　　解析：由题意得 x2－4＝0，且 x＋2≠0，
　　解得 x＝2．
　　故当 x＝2时，分式 的值为 0．
考点二　分式有（无）意义和值为0的条件
考点二　分式有（无）意义和值为0的条件
　　4．已知当 x＝－2 时，分式 无意义，求 a 的值．
　　解：若分式没有意义，则 x＋a＝0．
　　当 x＝－2 时，－2＋a＝0，
　　所以 a＝2．
考点三　分式的混合运算
　　例4　计算 　　 ．
　　解：方法1：
＝
＝
＝
再进行分式除法运算
先将括号里面通分后进行分式加法运算
＝ ．
　　例4　计算 　　 ．
　　解：方法2：
＝
＝
＝ ＋
再根据乘法对加法的分配律进行计算
先把除法运算化为乘法运算
＝ ．
考点三　分式的混合运算
分式的混合运算要注意什么？
　　（1）注意运算顺序：含有加、减、乘、除、乘方的混合运算，应先算乘方，再算乘除，然后算加减，有括号的先算括号里面的；
　　（2）注意转化：分式的除法运算要转化为乘法运算，异分母分式相加减要转化为同分母分式相加减；
　　（3）注意必要的因式分解：若分子、分母中有多项式，应先进行因式分解；
　　（4）注意化简：若分子、分母中有公因式，应先约分，最后结果要化为最简分式或整式．
考点三　分式的混合运算
　　5．计算 　　　　　 的结果为（　　）．
　　A． B． C． D．a
B
　　解析：原式＝
＝
＝
＝ ．
考点三　分式的混合运算
　　6．先化简 ，再从－1，0，1这三个数中，选择一个你认为合适的数作为 x 的值代入求值．
　　解： ＝
＝ ＝x2＋1．
　　由各分式的分母不能为 0，知 x 不能取±1，故 x＝0，　　　
　　所以原式＝02＋1＝1．　　　
考点三　分式的混合运算
　　例5　计算：
　　（1）(a－1b2c－3)3 ； （2）a－2b3·(a－1b－2)3；
　　（3）(3×10－5)2÷(3×10－2)2； （4） ＋ － ．
考点四　负整数指数幂及其应用
　　解：（1）(a－1b2c－3)3＝(a－1)3(b2)3(c－3)3＝a－3b6c－9＝ ；
　　 （2）a－2b3·(a－1b－2)3＝a－2b3·a －3b－6＝a－5b－3＝ ；
考点四　负整数指数幂及其应用
　　例5　计算：
　　（1）(a－1b2c－3)3 ； （2）a－2b3·(a－1b－2)3；
　　（3）(3×10－5)2÷(3×10－2)2； （4） ＋ － ．
　　解：（3）(3×10－5)2÷(3×10－2)2 ＝9×10－10÷(9×10－4)　　
　　　　　 ＝10－6 ＝ ；
　　 （4） ＋ － ＝ ＋1－ ＝ ＝ ．
考点四　负整数指数幂及其应用
零指数幂、负整数指数幂的运算技巧
　　（1）遇到零指数幂，关键看底数是不是 0，若底数不为 0，则无论底数是何值，其结果都是 1．
　　（2）若负整数指数幂的底数是分数，将负整数指数幂转化为正整数指数幂时，需要把底数的分子与分母交换位置．
考点四　负整数指数幂及其应用
　　例6　某种细胞的直径是 0.000 000 95 m，将 0.000 000 95 用科学记数法表示为（　　）．
　　A．9.5×10－7 B．9.5×10－8
　　C．0.95×10－7 D．95×10－8
A
　　解析： 0.000 000 95＝9.5×10－7．
　　用科学记数法表示小于 1 的正数时，可表示为 a×10－n 的形式，n 为原数左边第一个不为 0 的数字前面所有 0 的个数（包括小数点前的 0）．
考点四　负整数指数幂及其应用
　　7．计算：
　　（1） ；（2）m2n7·(m2n3)－2；（3）a2b－4÷(a－3b)3．
　　解：（1） ＝32a2b－2＝9a2b－2＝ ；
　　 （3）a2b－4÷(a－3b)3＝a2b－4÷(a－9b3)＝a11b－7＝ ．
　　 （2）m2n7·(m2n3)－2＝m2n7·m－4n－6＝m－2n＝ ；
考点四　负整数指数幂及其应用
　　8．随着微电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占 0.000 000 69 mm2，这个数用科学记数法表示为（　　）．
　　A．6.9×10－6 B．69×10－6
　　C．6.9×10－7 D．0.69×10－8
C
　　解析：将 0.000 000 69 的小数点向右移动7位，得到整数位数只有一位的正数6.9，所以0.000 000 69＝6.9×10－7．
考点五　分式方程
　　例7　解下列方程：
　　（1） － ＝3； （2） － ＝ ．
　　解：（1）方程两边乘 2x－1，得
　2x－5＝3(2x－1)．
　　解得 x＝－ ．
　　检验：当 x＝－ 时，2x－1≠0．
　　所以，原分式方程的解为 x ＝－ ．
考点五　分式方程
　　例7　解下列方程：
　　（1） － ＝3； （2） － ＝ ．
　　解：（2）方程两边乘 x(x＋1)(x－1)，得
7(x－1)－6x＝－3(x＋1)．
　　解得 x＝1．
　　检验：当 x＝1 时， x(x＋1)(x－1)＝0．
　　所以 x＝1 不是原分式方程的解．
　　所以，原分式方程无解．
考点五　分式方程
检验分式方程的解的方法
　　（1）公分母检验法是把求得的解代入最简公分母中进行检验，使最简公分母的值为 0 的解不是原分式方程的解．此方法比较简单，因此比较常用．
　　（2）直接检验法是把求得的解分别代入原分式方程的左边和右边进行检验．直接检验法不仅能检验求得的解是不是原分式方程的解，而且能检验求得的解是否正确．
　　9．解方程 － ＝－1．
　　解：方程两边乘 3x－6，得
　3(5x－4)－(4x＋10)＝－(3x－6)．
　　解得 x＝2．
　　检验：当x＝2时，3x－6＝0．
　　因此 x＝2 不是原分式方程的解．
　　所以，原分式方程无解．
考点五　分式方程
考点六　分式方程的实际应用
　　例8　A，B 两种型号的机器加工同一种零件，已知 A 型机器比 B 型机器每小时多加工 20 个零件，A 型机器加工 400 个零件所用时间与 B 型机器加工 300 个零件所用时间相同，求 A 型机器每小时加工零件的个数．
　　解：设A 型机器每小时加工零件x个．
　　根据题意，得 ＝ ．
　　解得 x＝80．
　　经检验，x＝80 是原分式方程的解，且符合实际意义．
　　答：A 型机器每小时加工零件 80 个．
　　利用分式方程解决实际问题时，需要注意什么？
　　（1）要准确找出等量关系；
　　（2）熟知行程问题、工程问题、销售问题等问题中常用的等量关系；
　　（3）不要忘记检验，既要检验所得的解是不是分式方程的解，又要检验该解是否符合实际意义．
考点六　分式方程的实际应用
　　10．某商场购进甲、乙两种商品，乙商品的单价是甲商品单价的 2倍，购买 240 元甲商品的数量比购买 300 元乙商品的数量多 15 件，求两种商品的单价各为多少元．
　　解：设甲商品的单价为 x 元，则乙商品的单价为 2x 元．
　　根据题意，得 － ＝15．
　　解得 x＝6．
　　经检验，x＝6 是原分式方程的解，且符合题意．
　　当x＝6时， 2x＝2×6＝12．
　　答：甲、乙两种商品的单价分别为 6 元、12 元．
考点六　分式方程的实际应用
实际问题的答案
实际问题
分式
分式方程
分式方程的解
分式的基本性质
通分
分式的加减
约分
分式的乘除
整数指数幂的运算
分式的混合运算

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