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第十三章 三角形
章末复习
　　请你带着下面的问题，进入本课的复习吧！
　　1．三角形的三边之间有怎样的关系？得出这个结论的依据是什么？
　　2．三角形的三个内角之间有怎样的关系？如何证明这个结论？
　　3．直角三角形的两个锐角有怎样的关系？三角形的一个外角与和它不相邻的两个内角有怎样的关系？这些结论能由三角形内角和定理得出吗？
　　
　　例 1　在△ABC 中，AB＝9，BC＝2，AC＝x．
　 （1）求 x 的取值范围；
　 （2）若△ABC 的周长为偶数，则△ABC 的周长为多少？
　　解：（1）由题意，知 9－2＜x＜9＋2，即 7＜x＜11．
　 （2）∵7＜x＜11，且△ABC的周长为偶数，
∴x 的值是 8 或 9 或 10．
　　∴△ABC 的周长为 9＋2＋8＝19（舍去）或 9＋2＋9＝20 或 9＋2＋10＝21（舍去）．
　　∴△ABC 的周长为 20．
考点一　三角形的三边关系
　　跟踪训练 1 已知等腰三角形 ABC 有两边的长度分别为 6 和 12，求它的周长．
　　解：∵△ABC为等腰三角形，且有两边的长度分别为 6 和 12，
∴ △ABC 第三边的长度为 6或 12．
若第三边的长度为 6，则 6＋6＝12，不满足三角形的三边关系，
　　∴第三边的长度为 12．
∴它的周长为 6＋12＋12＝30．
考点一　三角形的三边关系
　　三角形三边关系的两个应用
　 （1）判断三条线段能否组成三角形：将两条较短线段之和与最长线段进行比较，若两条较短线段之和大于第三条线段的长度，则能组成三角形；反之不能．
　 （2）利用三角形的三边关系：构造不等式（组），确定某一字母的取值范围或具体数值．常列不等式组为：两边之差＜第三边（未知边）＜两边之和．
考点一　三角形的三边关系
　　例 2　如图，在△ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线，AF 是中线，则下列说法中错误的是（　　）．
　　A．BF＝CF
B．∠C＋∠CAD＝90°
　　C．∠BAF＝∠CAF
D．S△ABC＝2S△ABF
C
考点二　三角形的中线、角平分线与高
D
C
E
F
B
A
　　解析：∵AF 是△ABC 的中线，∴BF＝CF，选项 A 不符合题意；
　　∵AD 是高，∴∠ADC＝90°，
　　∴∠C＋∠CAD＝90°，选项 B 不符合题意；
　　∵AE 是角平分线，
　　∴∠BAE＝∠CAE，选项 C 符合题意；
　　∵BF＝CF，
　　∴S△ABC＝2S△ABF，选项 D 不符合题意．
D
C
E
F
B
A
考点二　三角形的中线、角平分线与高
　　跟踪训练 2 如图，在△ABC 中，AM 是中线，AN 是高，如果 BM＝3.5 cm，AN＝4 cm，求△ABC 的面积．
　　解：∵AM 是中线，且 BM＝3.5 cm，
　　∴BC＝2BM＝7 cm．
　　∵AN 是高，且 AN＝4 cm，
　　∴S△ABC＝ ×BC×AN ＝ ×7×4＝14（ cm2）．
B
M
N
C
A
考点二　三角形的中线、角平分线与高
　　跟踪训练 3 如图，在△ABC 中，AD⊥BC，AE 平分∠BAC 交 BC 于点 E．
　 （1）若∠B＝30°，∠C＝70°，求∠EAD 的大小．
　 （2）若∠B＜∠C，则 2∠EAD 与∠C－∠B 是否相等？若相等，请说明理由．
B
E
D
C
A
考点二　三角形的中线、角平分线与高
　　解：（1）因为∠B＝30°，∠C＝70°，
　　所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝80°．
　　因为 AE 是∠BAC 的平分线，
　　所以∠EAC＝　∠BAC＝40°．
　　因为 AD 是高，所以∠ADC＝90°．
　　又因为∠C＝70°，
　　所以∠DAC＝90°－∠C＝20°，
　　所以∠EAD＝∠EAC－∠DAC＝40°－20°＝20°．
A
B
E
D
C
考点二　三角形的中线、角平分线与高
　　解：（2）相等．理由如下：由（1），知
　　∠EAD＝∠EAC－∠DAC＝　∠BAC－(90°－∠C)．　①
　　把∠BAC＝180°－∠B－∠C 代入 ①，
　　整理得∠EAD＝　∠C－　∠B．
　　所以 2∠EAD＝∠C－∠B．
A
B
E
D
C
考点二　三角形的中线、角平分线与高
　　三角形的高、中线与角平分线的主要应用
　 （1）依据三角形的高可求三角形的面积；
　 （2）三角形的中线把三角形的面积分为相等的两部分；
　 （3）三角形的角平分线通常结合三角形的内、外角进行有关角度的计算．
考点二　三角形的中线、角平分线与高
　　（1）解：在△ABC 中，∠A＝30°，∠B＝60°，
　　∴∠ACB＝180°－30°－60°＝90°．
　　∵CE 平分∠ACB，
　　∴∠ACE＝　∠ACB＝45°．
　　例 3　如图，在△ABC 中，∠A＝30°，∠B＝60°，CE 平分∠ACB．
　 （1）求∠ACE 的度数；
　 （2）若 CD⊥AB 于点 D，∠CDF＝75°．求证：△CFD 是直角三角形．
考点三　三角形的内角与外角
B
A
C
D
E
F
　　 （2）证明：∵CD⊥AB，∠B＝60°，
　　∴∠BCD＝90°－60°＝30°．
　　∵∠BCE＝∠ACE＝45°，
　　∴∠DCF＝∠BCE－∠BCD＝15°．
　　∵∠CDF＝75°，
　　∴∠DCF＋∠CDF＝15°＋75°＝90°．
　　∴△CFD 是直角三角形．
B
A
C
D
E
F
考点三　三角形的内角与外角
　　跟踪训练 4 如图，∠ABC 的平分线与△ABC 的外角∠ACD 的平分线相交于点 P．若∠A＝70°，求∠P 的度数．
A
B
C
D
P
考点三　三角形的内角与外角
　解：∵∠ACD 是△ABC 的外角，
　　∴∠ACD＝∠A＋∠ABC＝70°＋∠ABC．
　　∵CP 是∠ACD 的平分线，
　　∴∠DCP＝　∠ACD＝　(70°＋∠ABC)＝35°＋　∠ABC．
　　∵BP 是∠ABC 的平分线，
　　∴∠CBP＝　∠ABC．
　　∵∠DCP 是△BCP 的外角，
　　∴∠DCP＝∠CBP＋∠P＝
　　　∠ABC＋∠P＝　∠ABC＋35°，∴∠P＝35°．
A
B
C
D
P
考点三　三角形的内角与外角
　　三角形的内角和定理及外角的性质是求解与角有关问题的主要依据，在有关计算或证明中，应注意运用转化思想将相关角转化到三角形内部，明确已知角与所求角的位置关系是解题的关键．
考点三　三角形的内角与外角
与三角形有关的线段
三角形的内角和
边
中线
角平分线
三角形
高
三角形的外角和

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