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第十四章 全等三角形
章末复习
　　请你带着下面的问题，进入本章的复习吧！
　　1．你能举一些实际生活中全等形的例子吗？
　　2．全等三角形有什么性质？
　　3．从三角形的三条边分别相等、三个角分别相等中任选三个作为条件来判定两个三角形是否全等时，哪些是能够判定的？两个直角三角形全等的条件是什么？
　　请你带着下面的问题，进入本章的复习吧！
　　4．学习本章后，你对角的平分线有了哪些新的认识？你能用全等三角形证明角的平分线的性质吗？
　　5．你能举例说明证明一个几何命题的一般过程吗？
考点一　全等三角形的概念
　　例1　如图，在长方形ABCD中，AE＝BE，连接DE，CE，CE交BD于点F．
　　（1）图中有全等三角形吗？
　　（2）图中有面积相等的三角形吗？
A
B
C
D
E
F
　　解：（1）图中有2对全等三角形，△ADB≌△CBD，△ADE≌△BCE．
　　例1　如图，在长方形ABCD中，AE＝BE，连接DE，CE，CE交BD于点F．
　　（1）图中有全等三角形吗？
　　（2）图中有面积相等的三角形吗？
　　分析：全等三角形的面积相等，等底等高的三角形的面积相等．
考点一　全等三角形的概念
A
B
C
D
E
F
　　例1　如图，在长方形ABCD中，AE＝BE，连接DE，CE，CE交BD于点F．
　　（1）图中有全等三角形吗？
　　（2）图中有面积相等的三角形吗？
考点一　全等三角形的概念
　　解：（2）图中有6对面积相等的三角形，△ADB和△CBD，△ADE和△BCE，△ADE和△BDE，△BDE和△BCE，△DEC和△BCD，△ADB和△CDE．
A
B
C
D
E
F
考点一　全等三角形的概念
　　（1）能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．
　　（2）全等三角形的周长相等，面积相等；但周长（或面积）相等的两个三角形不一定是全等三角形．
　　（3）两个形状和大小完全相同的三角形便是全等三角形，与三角形的位置无关．
考点一　全等三角形的概念
　　1．如图，△ABC 沿直线BC向右平移BC的长度后与△ECD重合，则△ABC≌__________ ，两个三角形中，相等的边有__________，__________，__________，相等的角有_________________，_________________，___________________．
△ECD
A
B
C
D
E
AB＝EC
BC＝DC
∠B＝∠ECD
∠ACB＝∠D
∠A＝∠E
AC＝ED
考点二　全等三角形的性质
　　解：（1）∵△ABE≌△ACD，
　　∴CD＝BE＝6．
　　∴EC＝CD－DE＝6－2＝4．
　　∴BC＝BE＋EC＝6＋4＝10．
　　例2　如图，已知△ABE≌△ACD．
　　（1）如果BE＝6，DE＝2，求BC的长；
　　（2）如果∠BAC＝75°，∠BAD＝30°，求∠DAE的度数．
A
B
C
D
E
考点二　全等三角形的性质
　　解：（2）∵△ABE≌△ACD，
　　∴∠BAE＝∠CAD＝∠BAC－∠BAD．
　　∵∠BAC＝75°，∠BAD＝30°，
　　∴∠BAE＝75°－30°＝45°．
　　∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝45°－30°＝15°．
　　例2　如图，已知△ABE≌△ACD．
　　（1）如果BE＝6，DE＝2，求BC的长；
　　（2）如果∠BAC＝75°，∠BAD＝30°，求∠DAE的度数．
A
B
C
D
E
利用全等三角形的性质求线段长度的方法
　　（1）先确定两个三角形中边的对应关系，再由这种对应关系实现已知线段与所求线段的转换．
　　（2）若所求的线段不是全等三角形的对应边，则需要用等式的性质进行转化求解．
利用全等三角形的性质求角的度数的方法
　　（1）直接求：用全等三角形的对应角相等求角的度数．
　　（2）间接求：先求得对应角的度数，再结合邻补角、三角形内角和外角等，求出角的度数．
考点二　全等三角形的性质
考点二　全等三角形的性质
　　2．如图，若△OAD≌△OBC，∠O＝65°，∠C＝20°，则∠OAD的度数是＿＿＿＿＿＿＿．
　　解析：在△OBC中，根据三角形内角和等于180°，得∠OBC＝180°－∠O－∠C＝95°．
　　∵△OAD≌△OBC，
　　∴∠OAD＝∠OBC＝95°．
95°
A
B
C
D
E
O
　　3．如图，已知△ACE≌△DBF，CE＝BF，AE＝DF，AD＝8，BC＝2．
　　（1）求AC 的长度；
　　（2）试说明CE∥BF．
A
B
C
D
E
F
考点二　全等三角形的性质
　　解：（1）∵△ACE≌△DBF，
　　∴AC＝BD．
　　∴AC－BC＝BD－BC，即AB＝DC．
　　∵AD＝8，BC＝2，∴2AB＋2＝8．
　　∴AB＝3． ∴AC＝3＋2＝5．
　　解：（2）∵△ACE≌△DBF，
　　∴∠ECA＝∠FBD．
　　∴CE∥BF．
考点二　全等三角形的性质
A
B
C
D
E
F
　　3．如图，已知△ACE≌△DBF．CE＝BF，AE＝DF，AD＝8，BC＝2．
　　（1）求AC 的长度；
　　（2）试说明CE∥BF．
考点三　全等三角形的判定
　　例3　如图，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件不能判定△ABC≌△BAD的是（　　）．
　　A．AC＝BD B．∠CAB＝∠DBA
　　C．∠C＝∠D D．BC＝AD
A
B
C
D
　　解析：已知一组对应角相等，图中有一条公共边，即已有一边及一角对应相等，选项A与两已知条件构成“SSA”，不能判定两个三角形全等；
　　选项B与两已知条件构成“ASA”，能判定两个三角形全等；
　　选项C与两已知条件构成“AAS”，能判定两个三角形全等；
　　选项D与两已知条件构成“SAS”，能判定两个三角形全等．
A
考点三　全等三角形的判定
　　判定两个三角形全等的思路：
　　（1）已知两边
　　（2）已知一边一角
　　（3）已知两角
找夹角→SAS
找第三边→SSS
边为角的对边→找另一角→AAS
边为角的邻边
找角的另一邻边→SAS
找边的另一邻角→ ASA
找边的对角→AAS
找夹边→ASA
找任一角的对边→AAS
考点三　全等三角形的判定
　　解析：由条件①，根据“ASA”可判定两个直角三角形全等；
　　由条件②，根据“HL”可判定两个直角三角形全等；
　　由条件③，根据“SAS”可判定两个直角三角形全等；
　　由条件④，根据“AAS”可判定两个直角三角形全等．
　　例4　在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，下列条件中能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的个数为（　　）．
　　①AC＝A′C′，∠A＝∠A′； ②AC＝AC，AB＝A′B′；
　　③AC＝A′C′，BC＝B′C′； ④AB＝A′B′，∠A＝∠A′．
　　A．1 B．2 C．3 D．4
D
考点三　全等三角形的判定
　　判定两个直角三角形全等的思路：
　　（1）已知一锐角
　　（2）已知一斜边
　　（3）已知一直角边
找直角与已知锐角的夹边→ASA
找锐角（或直角）的对边→AAS
找一条直角边→HL
找一组锐角→AAS
找斜边→ HL
找已知边相邻的锐角→ ASA
找已知边所对的锐角→ AAS
考点三　全等三角形的判定
　　4．如图，AC＝BD，AD⊥AC于点A，BC⊥BD于点 B．求证：Rt△ADC≌Rt△BCD．
　　证明： ∵AD⊥AC，BC⊥BD，
　　
　　∴∠A＝∠B＝90°．
　　在Rt△ADC和Rt △BCD中，
　　　　　　
　　　　　　
　　∴Rt△ADC≌Rt△BCD（HL）．
A
B
C
D
考点三　全等三角形的判定
　　5．已知△ABN 和△ACM 的位置如图，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2．求证：∠M＝∠N．
A
B
C
D
E
O
M
N
1
2
　　证明：在△ABD和△ACE中，
　　
　　
　　∴Rt△ABD≌Rt△ACE（SAS）．
　　∴∠B＝∠C．
考点三　全等三角形的判定
A
B
C
D
E
O
M
N
1
2
　　∵∠1＝∠2，
　　∴∠1＋∠DAE＝∠2＋∠DAE，
　　即∠BAN＝∠CAM．
　　在△ABN和△ACM中，
　　
　　
　　∴△ABN≌△ACM（ASA）．
　　∴∠M＝∠N．
考点三　全等三角形的判定
A
B
C
O
D
　　6．如图，AC交BD于点 O，请你从下面三项中选出两项作为条件，另一项作为结论，写出一个真命题，并加以证明．
　　（1）OA＝OC；　　（2）OB＝OD；　　（3）AB//DC．
　　解：命题：如图，AC交BD于点O，若AB∥DC，OB＝OD，则OA＝OC．
考点三　全等三角形的判定
A
B
C
O
D
　　证明：∵AB∥DC
　　∴∠B＝∠D．
　　在△AOB和△COD中，
　　
　　
　　∴△AOB≌△COD（ASA）．
　　∴OA＝OC．
还有其他答案吗？
考点四　全等三角形的实际应用
　　例5　如图，要在湖的两岸 A，B 间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接测量 A，B 两点间的距离．请你用学过的数学知识按以下要求设计一个测量方案：
　　（1）画出测量示意图，写出测量步骤（测量数据用字母表示）；
　　（2）计算AB的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）．
　　分析：解题的关键是设计全等三角形，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．
A
B
A
B
　　解：（1）在陆地上找到可以直接到达 A，B 的一点 O，
　　连接BO并延长至点 D，使OD＝OB，
　　连接AO并延长至点 C，使OC＝OA，
　　测出CD的长记为 a．
O
C
D
a
考点四　全等三角形的实际应用
A
B
O
C
D
a
考点四　全等三角形的实际应用
　　（2）计算AB的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）．
　　解：（2）由测量方案，得OC＝OA，OD＝OB．
　　在△COD和△AOB中，
　　
　　
　　∴△AOB≌△COD．
　　∴AB＝CD＝a．
考点四　全等三角形的实际应用
　　利用全等三角形解决实际问题，关键是在实际问题中提炼出全等三角形模型，从而利用三角形全等的判定与性质解决实际问题．
　　基本解题思路：建立数学模型→构造全等三角形→证明线段相等解决问题．
考点四　全等三角形的实际应用
　　7．如图，树AB与树CD之间相距13 m，小华从点 B 沿BC走向点 C，行走一段时间后他到达点 E，此时他仰望两棵树的顶点 A 和 D，且两条视线的夹角正好为90°，EA＝ED．已知树AB的高为5 m，小华行走的速度为1 m/s，求小华从点 B 走到点 E 所用的时间．
B
C
A
D
E
　　解：∵∠AED＝90°，
　　∴∠AEB＋∠DEC＝90°．
　　∵∠ABE＝90°，
　　∴∠A＋∠AEB＝90°．
　　∴∠A＝∠DEC．
　　在△ABE和△ECD中，
　　∴△ABE≌△ECD（AAS）．
　　∴EC＝AB＝5 m．
　　∵BC＝13 m，
　　∴BE＝8 m．
　　∴小华从点 B 走到点 E 所用的时间是8÷1＝8（s）．
B
C
A
D
E
考点四　全等三角形的实际应用
考点五　角的平分线的性质和判定的应用
　　例6　如图，∠1＝∠2，点 P 为BN上的一点，∠PCB＋∠BAP＝180 °，求证：PA＝PC．
　　分析：由角的平分线的性质易想到过点 P 向∠ABC的两边作垂线段PE，PF，构造角的平分线的基本图形．
E
F
B
A
C
N
1
2
P
　　证明：过点 P 作PE⊥BA，PF⊥BC，垂足分别为 E，F．
　　∵∠1＝∠2，PE⊥BA，PF⊥BC，
　　∴PE＝PF，∠PEA＝∠PFC＝90°．
　　∵∠PCB＋∠BAP＝180°，∠BAP＋∠EAP＝180°．
　　∴∠EAP＝∠PCB．
　　在△APE和△CPF中，
　　∴△APE≌△CPF（AAS）．
　　∴AP＝CP．
考点五　角的平分线的性质和判定的应用
E
F
B
A
C
N
1
2
P
考点五　角的平分线的性质和判定的应用
　　角的平分线的性质和判定都是证明线段或角相等的重要依据，在应用角的平分线的性质和判定时，常常结合全等三角形等有关知识来推导所求证的结论．在解题过程中往往需要添加辅助线来解决问题，通常从角的平分线上的已知点向角的两边作垂线．
考点五　角的平分线的性质和判定的应用
　　8．如图，已知△ABC的周长是24 cm，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝2 cm，求△ABC的面积．
B
C
A
D
O
　
　解：连接OA，作OE⊥AB于点 E，作OF⊥AC于点 F．
　　∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点 D，
　　∴OD＝OE＝OF＝2 cm．
　　∴S△ABC＝S△OAB＋S△OAC＋S△OBC
　　　　　 ＝ AB·OE＋ AC·OF＋ BC·OD
　　　　　 ＝ (AB＋AC＋BC)·OD
　　　　　 ＝ ×24×2
　　　　　 ＝24 （cm2）．
B
C
A
D
O
E
F
考点五　角的平分线的性质和判定的应用
解决问题
全等三角形
性质
判定
角的平分线的性质和判定
角边角（ASA）
边角边（SAS）
全等形
边边边（SSS）
角角边（AAS）
斜边、直角边（HL）
对应角相等
对应边相等
证明直角三角形全等的特殊方法

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