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5.1　方程
5.1.1　从算式到方程
第五章　一元一次方程
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学习目标
课堂探究
学后反思
课后作业
学习目标
1.通过算式与方程方法的使用与比较,体验用方程解决某些问题的优越性,提高解决实际问题的能力;
2.掌握方程、方程的解以及一元一次方程的定义,学会判断某个数值是不是一元一次方程的解;
3.初步学会如何寻找问题中的等量关系,并列出方程, 体会数学与生活的密切联系.
课堂探究
问题一
请用不同方法列式:
一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶.客车每小时比卡车多走10 km,问:多少小时后客车比卡车多走了70 km
探究1-1:一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶.客车的行驶速度是70 km/h,卡车的行驶速度是60 km/h,客车比卡车早1 h经过B地.问:A,B两地间的路程是多少
探究1-2:对于上面的问题,你还能列出其他方程吗 如果能,你依据的是哪个相等关系
探究1-3:小组讨论,比较一下算式和方程各有什么特点.
问题二
根据下列问题,设未知数并列出方程.
(1)用一根长24 cm的铁丝围成一个正方形,正方形的边长是多少
(2)一台计算机已使用1 700 h,预计每月再使用150 h,经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2 450 h
(3)某校女生占全体学生人数的52%,比男生多80人,这个学校有学生多少人
探究2-1:你能解释这些方程中等号两边各表示什么意思吗
探究2-2:和小组成员共同讨论总结上面所列的方程的共同点.
问题三
思考:x=1 000和x=2 000中哪一个是方程0.52x-(1-0.52)x=80的解
学后反思
和同小组成员说说:怎么认识“从算式到方程”是数学的进步 如何用方程表示实际问题中的数量关系 通过今天的学习,你觉得最大的收获是什么 你还有什么疑问或想法
1.若关于x的方程2xm-3+4=7是一元一次方程,则 m=　 　.
2.一艘船从甲地到乙地顺流而行,用了3 h,从乙地到甲地逆流而行,
多用了1.5 h,已知水流的速度是4 km/h,设船在静水中的平均速度为
a km/h,可列方程为　 　.
3.下列式子是一元一次方程的有　 　(填序号).
课后作业
基础题
4
3(a+4)=(3+1.5)(a-4)
①②④⑥
4.甲种铅笔每支0.3元,乙种铅笔每支0.6元,用9元买了两种铅笔共20支,两种铅笔各买了多少支 (设未知数,只列方程)
解:设甲种铅笔买了x支,则乙种铅笔买了(20-x)支,则0.3x+0.6(20-x)=9.
(2)因为m=-1,所以该一元一次方程为-2x+5=0.
(3)由(2)得x=2.5,所以x=1,x=3不是该方程的解,x=2.5是该方程的解.
1.3×2□+5=□2,“□”内要求填写同一个数字,若设“□”内数字为x,则下面列出的方程正确的是( )
A.3×2x+5=2x B.3×20x+5=10x×2
C.3×20+x+5=20x D.3×(20+x)+5=10x+2
拓展题
D
2.已知当x=2时,关于x的二次多项式a(x3-x2+2x)+6(2x2+x)+x3-b的值为-17.
(1)求a的值;
(2)当x=-2时,求该多项式的值.
解:(1)-1　(2)-33
5.1.2　等式的性质
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学习目标
课堂探究
学后反思
课后作业
学习目标
1.理解、掌握等式的性质,能正确应用等式的性质解简单的一元一次方程;
2.经历知识的形成过程,培养自主探索和相互合作的能力,初步体验解方程的化归思想.
课堂探究
问题一
类比天平两边同时加入(拿出)相同质量的砝码天平仍然平衡,你能得出等式的什么性质结论
等式的性质1:等式两边　　　 　同一个　　 　　,结果　　 　　.
探究1-1:尝试用符号语言表述以上结论.
探究1-2: 基于等式的性质1,你能否推导出更多等式的性质结论 同样地,尝试运用文字语言和符号语言表述你的结论.
等式的性质2:等式两边乘同一个数,或除以　　　 　　的数,结果
　　　　.即:如果a=b,那么　　　　;如果a=b,c≠0,那么　 　　　.
探究1-3:(1)怎样从等式 3+x=1 得到等式 x=-2
(2)怎样从等式 4x=12 得到等式x=3
问题二
利用等式的性质解下列方程:
探究2-1:通过上例,请总结解一元一次方程时最终要变形化归为哪种标准形式.
探究2-2:怎样判断从方程解得的未知数的值是不是原方程的解
问题三
已知3b-2a-1=3a-2b,试利用等式的性质比较a与b的大小.
探究3-1:你有哪些比较两数大小的方法
探究3-2:如图,两个天平处于平衡状态,则质量最大的物体是　　　 .
学后反思
和同小组成员说说:等式的性质是解方程的依据,具体有哪些 求方程的解就是将方程变形为怎样的形式 通过今天的学习,你觉得最大的收获是什么 你还有什么疑问或想法
1.下列方程变形正确的是( )
课后作业
基础题
D
解:(1)等式两边同时减3,得2x=8,等式两边同时除以2,得x=4.
(4)等式两边同时加6x+1,得3x=6,等式两边同时除以3,得x=2.
3.请帮帮小虎.
在将等式3a-b=2a-b变形时,小虎得出一个奇怪的结论,其过程如下:
因为3a-b=2a-b,
所以3a=2a(第一步),
所以3=2(第二步).
请回答:
(1)小虎的第一步的依据是　 　 .
(2)第二步得出错误的结论,其原因是　 　.
等式的性质1
忽略了a≠0的条件
5.已知当x=-2时,ax2+bx+1的值为6,利用等式的性质求-8a+4b的值.
解:由题意,可得
4a-2b+1=6,
所以4a-2b=5,
所以-8a+4b=-2(4a-2b)=-2×5=-10.
1.将1～9这9个数填入3×3方格中,使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相等,这样便构成了一个“九宫格”,它源于我国古代的“洛书”(图①),是世界上最早的“幻方”,图②是仅可以看到部分数值的“九宫格”,则其中x的值为( )
A.7　　 B.9
C.6　　 D.4
拓展题
A
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5.2　解一元一次方程
第1课时　解一元一次方程——合并同类项
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学习目标
课堂探究
学后反思
课后作业
学习目标
1.学会运用合并同类项解形如“ax+bx=c”的一元一次方程,进一步体会方程中的化归思想.
2.能够根据题意找出实际问题中的等量关系,列出方程求解.
课堂探究
问题一
尝试把一元一次方程x+2x+4x=140转化为 x=m 的形式.
探究1-1:方程的左边出现几个含x的项,该怎么办
探究1-2:上述解方程中的“合并”起了什么作用
问题二
解下列方程:
探究2-1:你能总结出上述解方程的一般步骤吗
问题三
根据“总量=各部分量的和”列方程解决问题.
问题:足球表面是由若干个黑色五边形和白色六边形皮块围成的,黑、白皮块数目的比为3∶5,一个足球表面一共有32个皮块,黑色皮块和白色皮块各有多少个
探究3-1:本题的等量关系是什么
探究3-2:当题目中出现比时,一般可以怎样设元
探究3-3: 有一列数,按一定规律排列成1,-3,9,-27,81,-243 ,…. 其中某三个相邻数的和是-1 701,这三个数各是多少
学后反思
你能归纳出用方程解决实际问题的一般步骤吗 通过今天的学习,你觉得最大的收获是什么 你还有什么疑问或想法
1.下列合并同类项正确的是( )
课后作业
基础题
D
2.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载:“三百七十八里关,初日健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关.”其大意:有人要去某关口,路程378里,第一天健步行走,从第二天起,由于脚痛,每天走的路程都为前一天的一半,一共走了六天才到达目的地.则此人第六天走的路程为　 　里.
6
3
解:(1)5x-2x=9,
3x=9,
x=3.
4.解下列方程:
(1)5x-2x=9;
5.某商店今年共销售A型、B型、C型3种彩电360台,它们的销售数量的比是1∶7∶4.这三种彩电各销售了多少台
解:设3种彩电的销售数量分别是x台、7x台、4x台,
根据题意可得
x+7x+4x=360,
解得x=30,
则7x=210,
4x=120.
答:A型彩电销售了30台,B型彩电销售了210台,C型彩电销售了120台.
拓展题
根据以上信息,回答下列问题:
(1)从步骤①到步骤②,变形的依据是　　　　　,从步骤⑤到步骤⑥,变形的依据是　　　　　.
解:(1)等式的性质2　 等式的性质1
第2课时　解一元一次方程——移项
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学习目标
课堂探究
学后反思
课后作业
学习目标
1.理解移项的意义,掌握移项的方法,学会运用移项解形如“ax+b=cx+
d”的一元一次方程.
2.能够抓住实际问题中的数量关系列一元一次方程解决实际问题.
课堂探究
问题一
请运用等式的性质解下列方程:
(1)4x-15=9;(2)2x=5x-21.
探究1-1:观察以上方程的变形过程,说一说为了合并同类项,需要有改变的是哪一项,它有哪些变化.
探究1-2:请你提炼总结以上变形的依据及注意事项.
探究1-3:(1)下列方程的变形,属于移项的是(　　　　)
A.由-3x=24,得x=-8 B.由3x+6-2x=8,得3x-2x+6=8
C.由4x+5=0,得-4x-5=0 D.由2x+1=0,得2x=-1
(2)下列移项正确的是(　　　　)
A.由2+x=8,得x=8+2　 B.由5x=-8+x,得5x+x=-8
C.由4x=2x+1,得4x-2x=1　 D.由5x-3=0,得5x=-3
问题二
解下列方程:
探究2-1:通过上题,请总结解一元一次方程ax+b=cx+d(a,b,c,d均为常数,且a≠c)的一般步骤.
问题三
某制药厂制造一批药品,如果用旧工艺,则废水排量要比环保限制的最大量还多200 t;如果用新工艺,则废水排量要比环保限制的最大量少100 t.新、旧工艺的废水排量之比为2∶5,两种工艺的废水排量各是多少
探究3-1:如何设未知数 你能找到等量关系吗
探究3-2:某区期末考试一次数学阅卷中,阅B卷第28题(简称B28)的教师人数是阅A卷第18题(简称A18)教师人数的3倍,在阅卷过程中,由于情况变化,需要从阅B28的教师中调12人阅A18,调动后阅B28剩下的人数比原先阅A18人数的一半还多3人,求阅B28和阅A18的原有教师人数.
学后反思
和同小组成员说说:移项解一元一次方程的步骤有哪些 它的依据和注意事项是什么 通过今天的学习,你觉得最大的收获是什么 你还有什么疑问或想法
1.下列选项中,移项正确的是( )
A.方程8-x=6变形为-x=6+8
B.方程5x=4x+8变形为5x-4x=8
C.方程3x=2x+5变形为3x-2x=-5
D.方程3-2x=x+7变形为x-2x=7+3
2.把一批图书分给某班学生阅读,若每人分3本,则剩余20本;若每人分4本,则还缺25本.这个班有　 　名学生.
课后作业
基础题
B
45
(2)4x-5x+3=5-7x;
4.如图,一个长方形恰好被分成六个正方形(其中正方形A与正方形B大小相同),其中最小的正方形的面积为1 cm2,求这个长方形的面积.
解:如图,设正方形A的边长为x,根据图意有
x+3+x+2=x+x+x+1,
解得x=4.
长方形的长为
4+4+4+1=13(cm),
长方形的宽为
4+3+4=11(cm),
面积为13×11=143(cm2).
答:这个长方形的面积为143 cm2.
拓展题
B
解:存在.移项,合并同类项,得kx=-5.
因为在整数范围内有解,所以k=±1或±5,
当k=1时,x=-5,当k=-1时,x=5,
当k=5时,x=-1,当k=-5时,x=1.
第3课时　解一元一次方程——去括号
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学习目标
课堂探究
学后反思
课后作业
学习目标
了解“去括号”是解方程的重要步骤,能够准确而熟练地运用去括号法则解带有括号的一元一次方程.
课堂探究
问题一
化简下列各式:
(1) (-3a+2b)+3(a-b);　　　 (2) -5a+4b-(-3a+b).
探究1-1:请你总结去括号法则.
探究1-2: 用三个字母a,b,c表示去括号前后的变化规律.
a+(b+c)=
a-(b+c)=
问题二
观察下面的方程,结合去括号法则,你能求得它的解吗
6x+6(x-2 000)=150 000.
探究2-1:第一步应该对上式做何种变形
探究2-2:通过以上解方程的过程,你能总结出解含有括号的一元一次方程的一般步骤吗
问题三
一艘船从甲码头到乙码头顺流而行,用了2 h;从乙码头返回甲码头逆流而行,用了2.5 h.已知水流的速度是3 km/h,求船在静水中的平均
速度.
探究3-1:这艘船往返的路程相等,即顺流速度　　　　 　顺流时间
　　　　　 逆流速度　 　　　　逆流时间.
探究3-2:为鼓励居民节约用电,某地对居民用电收费标准是每户每月用电不超过100千瓦时的,每千瓦时按0.50元收费;超过100千瓦时不超过200千瓦时的,超过100千瓦时的部分每千瓦时按0.65元收费;超过200千瓦时的,超过200千瓦时的部分每千瓦时按0.75元收费.若某户居民在9月份缴纳电费310元,则这户居民这个月用电多少千瓦时
探究3-3:探究3-2是阶梯收费问题,各阶段的收费标准,以及各阶段的费用是怎样的 根据缴纳费用的金额,你能判断其处于哪个阶段吗
学后反思
解含有括号的一元一次方程的一般步骤是什么 若括号外的因数是负数需要注意什么 通过今天的学习,你觉得最大的收获是什么 你还有什么疑问或想法
1.方程2x-(x+10)=5x+2(x+1)的解是( )
课后作业
基础题
C
D
解:(1)一　去括号时,3没乘2
(2)写出正确的解答过程.
解:(2)正确的解答过程如下:
去括号,得7x-7-3x=2x+6-3,
移项,得7x-3x-2x=6-3+7,
合并同类项,得2x=10,
系数化为1,得x=5.
4.解下列方程:
(1)2(0.3x+4)=5+5(0.2x-7);　　(2)3(x-2)+1=x-(2x-1).
解:(1)去括号,得0.6x+8=5+x-35,
移项,合并同类项,得0.4x=38,
系数化为1,得x=95.
5.一艘轮船从甲地顺流而下8 h到达乙地,原路返回需12 h才能到达甲地,已知水流速度是3 km/h,求该船在静水中的平均速度.
解:设该船在静水中的平均速度为x km/h,则
8(x+3)=12(x-3),
8x+24=12x-36,
4x=60,
x=15.
答:该船在静水中的平均速度为15 km/h.
拓展题
1.定义运算:a*b=a(ab+7),则方程3*x=2*(-8)的解为　 　.
2.一个两位数,十位上的数字与个位上的数字之和是8,将十位上的
数字与个位上的数字对调,得到的新数比原数的2倍多10.求原来的
两位数.
解:设原来的两位数的个位上的数字为x,则其十位上的数字为8-x,根据题意得2[10(8-x)+x]+10=10x+8-x,解得x=6,所以8-x=2.
答:原来的两位数为26.
3.试讨论关于x的方程5(x-a)=3(x+b)的解的情况.
第4课时　解一元一次方程——去分母
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学习目标
课堂探究
学后反思
课后作业
学习目标
1.掌握含有分数系数的一元一次方程的解法;
2.熟练利用解一元一次方程的步骤解各种类型的一元一次方程.
课堂探究
问题一
探究1-1:若使方程变成整系数方程,方程两边应该同乘什么数
探究1-2: 去分母时要注意什么问题
问题二
解下列方程:
探究2-1:通过上题,请总结解含分母的一元一次方程的一般步骤.
探究2-2:有哪些需要注意的细节和易错点
①去分母时,应在方程的左右两边乘分母的　　　　　　　　;
②去分母的依据是　　　　　　,去分母时不能漏乘　　　　　　;
③去分母与去括号这两步分开写,不要　　　　　,防止忘记变号.
问题三
火车用26 s通过一个长256 m的隧道(从火车头进入入口到火车尾离开出口),这列火车又用16 s的时间通过了一个长96 m的隧道,求火车的长度.
探究3-1:如何表示火车通过隧道所走的路程
探究3-2:一个数,它的七分之一,它的一半,它的三分之二,它的全部,加起来总共是97.这个数是多少
学后反思
目前,我们学习了解一元一次方程的一般步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.你能说清以上几种变形的依据和注意事项分别是什么吗 通过今天的学习,你觉得最大的收获是什么 你还有什么疑问或想法
1.解下列方程:
课后作业
基础题
解:(4)去分母,得24x-6x+3(x+3)=72-6x+2(6+x).
去括号,得24x-6x+3x+9=72-6x+12+2x.
移项,得24x-6x+3x+6x-2x=72+12-9.
合并同类项,得25x=75.
系数化为1,得x=3.
拓展题
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5.3　实际问题与一元一次方程
第1课时　成品配套与工程问题
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学习目标
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学后反思
课后作业
学习目标
1.理解配套问题、工程问题的背景,分清有关的数量关系,能正确找出作为列方程依据的主要等量关系;
2.掌握用一元一次方程解决实际问题的基本过程.
课堂探究
问题一
某车间有22名工人,每人每天可以生产1 200个甲部件或2 000个乙部件. 1个甲部件需要配2个乙部件,为使每天生产的甲部件和乙部件刚好配套,应安排多少名工人生产甲部件,安排多少名工人生产乙部件
探究1-1:本题需要我们解决的问题是什么 题目中哪些信息能解决人员安排的问题 甲部件和乙部件的数量关系如何
探究1-2: 如图,足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的,黑皮可看作正五边形,白皮可看作正六边形,足球上白皮、 黑皮各多少块
探究1-3:思考并总结解决配套问题的基本思路.
问题二
一项工作,由一个人做要40 h 完成.现计划由一部分人先做4 h,然后增加2人与他们一起做8 h,完成这项工作.假设这些人的工作效率相
同,具体应先安排多少人工作
探究2-1:本题需要我们解决的问题是什么
探究2-2:如何表示工作总量
探究2-3:思考并总结解决工程问题的基本思路.
问题三
请你总结用一元一次方程解决实际问题的基本过程.
学后反思
通过今天的学习,你觉得最大的收获是什么 你还有什么疑问或想法
1.某班分两组去两处植树,第一组22人,第二组26人.现第一组在植树中遇到困难,需第二组支援.问从第二组调多少人去第一组才能使第一组的人数是第二组的2倍 设从第二组抽调x人去第一组,则可列方程为( )
A.22+x=2×26　　 B.22+x=2(26-x)
C.2(22+x)=26-x　　 D.22=2(26-x)
2.服装厂要生产一批某型号学生服,已知每3 m长的布料可做上衣2件或裤子3条,1件上衣和1条裤子为一套,计划用600 m长的这种布料生产学生服,共能生产　 　套.
课后作业
基础题
B
240
3.修一条公路,甲队单独修需要10天完成,乙队单独修需要12天完成,丙队单独修需要15天完成.现在先由甲队单独修2.5天,再由乙队接着修,最后还剩下一段路,由三队合修2天才完成任务,乙队在整个修路工程中工作了多少天
4.一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管,单独开甲管6 h可注满水池,单独开乙管8 h可注满水池,单独开丙管9 h可将满池水排空.若先将甲、乙管同时打开2 h,然后打开丙管,问打开丙管后几小时可注满水池
1.某车间有52名工人,每名工人每天可以生产800个口罩面或1 000个口罩耳绳,1个口罩面需要配2个口罩耳绳.请问安排多少名工人生产口罩面,能使每天生产的口罩面与口罩耳绳刚好配套
拓展题
解:设安排x名工人生产口罩面,能使每天生产的口罩面与口罩耳绳刚好配套,则生产口罩耳绳的工人有(52-x)名.
依题意得2×800x=1 000(52-x),
解得x=20.
答:安排20名工人生产口罩面,能使每天生产的口罩面与口罩耳绳刚好配套.
2.一项工程,甲工程队单独做要20天,每天需费用160元;乙工程队单独做要30天,每天需费用100元.
(1)若由甲、乙两个工程队共同做6天后,剩余工程由乙工程队单独完成,乙工程队还需要做几天
(2)由于场地限制,两队不能同时施工.若先安排甲工程队单独施工完成一部分工程,再由乙工程队单独施工完成剩余工程,预计共付工程总费用3 120元,则甲、乙两个工程队各做了几天
第2课时　商品销售问题
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学后反思
课后作业
学习目标
1.理解商品销售中的相关概念及数量关系.
2.根据商品销售中的数量关系列一元一次方程解决与打折销售有关的实际问题,并掌握解此类问题的一般思路.
课堂探究
问题一
(1)商品原价200元,九折出售,售价是　　　　　元.
(2)商品进价是150元,售价是180元,则利润是　　　　　元,利润率是
　　　　　.
(3)某商品原来每件零售价是a元,现在每件降价10%,降价后每件零售价是　　　　元.
(4)某品牌的彩电降价20%以后,每台售价为a元,则该品牌彩电每台原价为　　　元.
(5)某商品按定价的八折出售,售价是12.8元,则原定价是　　 　元.
探究1-1:以上问题中有哪些量 这些量有何关系
问题二
某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利20%,另一件亏损20%,卖这两件衣服总的是盈利还是亏损,或是不盈
不亏
探究2-1:你估计盈亏情况是怎样的
探究2-2:销售的盈亏取决于什么 现在两件衣服的售价为已知条件,要知道卖这两件衣服是盈利还是亏损,还需要知道什么
问题三
某商品的零售价是900元,为适应竞争,商店将该商品按零售价打九折
(即原价的90%),并再让利 40 元销售,仍可获利 10%,求该商品的进价.
探究3-1:由题目条件,本题应根据哪个等量关系列方程求解
探究3-2:你能总结销售中常用的盈亏公式吗
学后反思
通过今天的学习,你觉得最大的收获是什么 你还有什么疑问或想法
1.一件标价为600元的上衣,按八折销售仍可获利20元,设这件上衣的成本价为x元,根据题意,下面所列方程正确的是( )
A.600×0.8-x=20　　 B.600×8-x=20
C.600×0.8=x-20　　 D.600×8=x-20
2.欣欣服装店某天用相同的价格a元(a>0)卖出了两件服装,其中一件盈利20%,另一件亏损20%,那么该服装店卖出这两件服装的盈亏情况是( )
A.盈利 B.亏损 C.不盈不亏 D.与售价a有关
课后作业
基础题
A
B
3.某人将一笔钱按定期2年存入银行,年利率为2.25%(不计复利),到期支取扣除20%利息税,实得利息72元.设此人存入银行的这笔钱是x元,则到期利息为　 　元,依题意可以列出方程　 　,解得x=　 　.
4.(1)进价为90元的篮球,卖了120元,利润是　　元,利润率是　 　(精确到0.1%).
(2)原价100元的商品打九折后的价格为　 　元.
(3)原价100元的商品提价40%后的价格为　 　元.
2.25%×2x
2.25%×80%×2x=72
2 000
30
33.3%
90
140
(4)一件衬衣进价为100元,利润率为20%,则这件衬衣售价为　 　元.
(5)一台电视机售价为1 100元,利润率为10%,则这台电视机的进价为
　 　元.
(6)一件商品按原定价的八五折出售,售价是17元,那么原定价是　元.
120
1 000
20
5.某地实施义务教育学校营养计划“蛋奶工程”,该地小学每份营养餐的标准是质量为300 g,蛋白质含量为8%,包括一盒牛奶、一包饼干和一个鸡蛋.已知牛奶的蛋白质含量为5%,饼干的蛋白质含量为12.5%,鸡蛋的蛋白质含量为15%,一个鸡蛋的质量为60 g.
(1)一份营养餐和一个鸡蛋中蛋白质的含量分别为多少克
解:(1)300×8%=24(g),
60×15%=9(g).
答:一份营养餐中蛋白质的含量是24 g,一个鸡蛋中蛋白质的含量是
9 g.
(2)每份营养餐中牛奶和饼干的质量分别为多少克
解:(2)设每份营养餐中牛奶的质量是x g,则饼干的质量为(300-60-x)g.
5%x+12.5%×(300-60-x)+60×15%=300×8%,
0.05x+0.125×240-0.125x+60×0.15=300×0.08,
0.075x=15,
x=200.
300-60-x=40.
答:每份营养餐中牛奶的质量是200 g,饼干的质量是40 g.
1.为了准备小颖六年后上大学的费用15 000元,她的父亲现在就参加了教育储蓄.下面有两种储蓄方式:
①先存一个三年期的,三年后将本息和自动转存一个三年期;
②直接存一个六年期的.
你认为哪种储蓄方式开始存入的本金比较少
拓展题
存期 教育储蓄年利率/%
三年 3.24
六年 3.60
解:设开始存入的本金为x元.如果按照第一种储蓄方式,
有x(1+3.24%×3)(1+3.24%×3)=15 000,
解得x≈12 460.
如果按照第二种储蓄方式,
有x+x×3.60%×6=15 000,解得x≈12 336.
即第一种储蓄方式开始存入的本金约为12 460元,第二种储蓄方式开始存入的本金约为12 336元.
因为12 460>12 336,所以第二种储蓄方式开始存入的本金比较少.
答:第二种储蓄方式开始存入的本金比较少.
2.某超市促销活动方案如下:
①购物不足500元优惠15%(打八五折);
②购物超过500元的,其中500元优惠15%(打八五折),超过500元的部分优惠20%(打八折).
(1)小哲在该超市促销活动时购买了原价为200元的商品,他实际应支付多少元
解:(1)200×(1-15%)=170(元).
答:他实际应支付170元.
(2)小哲在第一次购物后,收到了该超市赠送的一张满300元减100元的购物券,又到该超市去购物,实际支付了381元,他购买了原价多少元的商品
解:(2)易知他购买的商品原价超过了500元.设他购买了原价x元的商品,依题意有
500×(1-15%)+(1-20%)(x-500)-100=381,
解得x=570.
答:他购买了原价570元的商品.
第3课时　球赛积分表问题
栏目导航
学习目标
课堂探究
学后反思
课后作业
学习目标
1.通过对实际问题的探究,认识到生活中数据信息传递形式的多样性;会阅读、理解表格,并从表格中提取关键信息.
2.掌握解决球赛积分表问题的一般思路,并会根据方程的解的情况对实际问题做出判断.
课堂探究
问题一
观察下面的某次篮球联赛积分表.
队名 比赛场次/场 胜场/场 负场/场 积分/分
一队 14 10 4 24
二队 14 10 4 24
三队 14 9 5 23
四队 14 9 5 23
五队 14 7 7 21
六队 14 7 7 21
七队 14 4 10 18
八队 14 0 14 14
探究1-1:你能从表格中了解到哪些信息
探究1-2: 你能从表格中看出负一场积多少分吗
探究1-3:你能算出胜一场积多少分吗
探究1-4:怎样用式子表示总积分与胜、负场数之间的关系
探究1-5:某队胜场总积分能等于它负场总积分吗
问题二
某次篮球联赛共有十支队伍参赛,部分队伍积分表如下:
根据表格提供的信息,你能求出胜一场、负一场各积多少分吗
探究2-1:某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗
队名 比赛场次/场 胜场/场 负场/场 积分/分
一队 18 14 4 32
二队 18 11 7 29
三队 18 9 9 27
问题三
某次篮球联赛部分球队积分表如下:
(1)列式表示积分与胜、负场数之间的数量关系.
(2)某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗 为什么
队名 比赛场次/场 胜场/场 负场/场 积分/分
一队 22 18 4 40
二队 22 14 8 36
三队 22 7 15 29
四队 22 0 22 22
探究3-1:如果把问题一中积分表的最后一行删去,则如何求出胜一场积几分,负一场积几分
学后反思
和同小组成员说说:解决有关表格的问题时,解决问题的一般过程是怎样的
回顾解决球赛积分表问题的过程:根据表格中给出的相关信息,找出数量间的关系,然后再运用数学知识解决问题.你觉得较为关键或者困难的步骤是哪些
通过今天的学习,你觉得最大的收获是什么 你还有什么疑问或想法
1.篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜1场得2分,负1场得1分.某队14场比赛得到23分,则该队胜了　 　场.
课后作业
基础题
9
2.某次篮球联赛初赛阶段,每队有10场比赛,每场比赛都要分出胜负,每队胜1场得2分,负1场得1分,已知甲队在初赛阶段的积分为18分,那么甲队在初赛阶段胜、负各多少场
解:设甲队在初赛阶段胜了x场,则负了(10-x)场,根据题意可得
2x+10-x=18,
解得x=8,
则10-x=2.
答:甲队在初赛阶段胜了8场,负了2场.
3.投壶是中国古代的一种弓箭投掷游戏,珍珍玩了两局,每局投10次,弓箭投入壶内、壶耳或落在地上会得到不同的分数,计分规则如下:
投中位置 投入壶内 投入壶耳 落在地上
得分/(分/次) 3 1 -2
在第一局中,珍珍投入壶内3次,壶耳5次,其余落在地上.
(1)求珍珍第一局的得分.
解:(1)珍珍第一局的得分为3×3+5×1+(10-3-5)×(-2)=10(分).
(2)第二局,珍珍投入壶内3次,壶耳k次,其余落在地上.珍珍的本局得分是否可能比第一局提高5分 请判断并说明理由.
4.某学校体育测试中包含一分钟排球垫球项目,考试规则为:学生垫球一分钟,若垫球次数达到某一标准及以上,则记为满分.在一次班会中,小明得知以下信息:若每秒钟垫球若干次,则一分钟后垫球次数比满分标准多出10次;若每秒钟垫球次数是原来的1.5倍,则一分钟后垫球次数比满分标准的2倍少10次.垫球满分的标准是每分钟多少次
解:设每秒钟垫球x次,则垫球满分的标准是每分钟(60x-10)次.
根据题意,得60×1.5x=2(60x-10)-10,
解得x=1,
60x-10=60-10=50.
答:垫球满分的标准是每分钟50次.
1.某学校组织知识竞赛,共设20道选择题,每道题分值相同,都为必答题,下表记录了五位参赛者的得分情况.根据表格提供的信息解答下列问题.
(1)每做对一道题得　　　　　分,每做错一道题得　　　　　分.
拓展题
参赛者 A B C D E
答对题数/道 20 19 18 14 m
得分/分 100 94 88 n 40
解:(1)5　 -1
(2)m=　　　　　,n=　　　　　.
(3)参赛者G说他得了80分,你认为可能吗 为什么
解:(2)10　 64
2.某学校举办了迎新春中国象棋比赛,以下是部分选手的积分记录表:
选手 比赛总局数 胜局数 平局数 负局数 积分/分
A 12 12 0 0 36
B 12 7 3 2 22
C 12 5 4 3 16
D 12 6 0 6 12
E 12 1 18
(1)本次比赛胜一局得　 　　　分,平一局得　　　 　分,负一局得
　　 　　分.
(2)根据积分规则,请求出选手E在已经进行的12局比赛中胜、平各多少局.
解:(1)3　1　-1
(3)已知某选手F共比赛了12局,且他的负局数是胜局数的一半,他的胜局积分能等于平局积分的四倍吗
第4课时　方案选择与分段计费问题
栏目导航
学习目标
课堂探究
学后反思
课后作业
学习目标
1.通过对不同能效空调的综合费用问题的思考,理解表格中数的含义,体验建立方程模型解决问题的一般过程;
2.学会分类讨论不同使用年数的费用情况,会用式子表示相关综合费用,会用方程的思想解决空调的综合费用的时间分节点问题,培养分类讨论的数学思想;
3.通过对空调的综合费用问题的分析,掌握制订最优方案的方法,感受分类思想与方程模型对解决实际问题的作用,发展勇于探究、合作交流的意识,在“建模”中感受数学的应用价值.
课堂探究
下表是两款空调的部分基本信息:
匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kW·h)
1.5 1级 3 000 640
1.5 3级 2 600 800
问题一
想一想:你觉得哪款空调综合费用较低 填写下面的表格,你有什么
发现
使用年数/年 2 3 4 6 8 9
1级能效空调
3级能效空调
探究1-1:你认为哪款空调更划算 跟什么有关
探究1-2: 当使用年数分别为2年和9年时,请比较两款空调的综合费
用,你有什么发现
探究1-3:计费时,主要看哪些关键时间点 若设空调的使用年数为t年,当t在不同时间范围内取值时,两款空调的综合费用分别为多少 (请列表分析)
问题二
观察你列的表格,你能从中发现如何根据使用年数选择哪款空调吗 通过计算验证你的看法.
探究2-1:综合以上的分析,进行总结.
　　　　　　　　时,选择1级能效空调省钱;
　　　　　　　　时,选择3级能效空调省钱;
　　　　　　　　时,选择1级能效空调、3级能效空调均可.
探究2-2:回顾问题的解决过程,对比下图,你觉得最难突破的步骤是哪些 本题中运用了哪些方法突破这些难点
问题三
下表中有两种上网流量的计费方式,哪种计费方式更省钱
计费方式 月使用费/元 含上网流量/MB 流量超出部分/(元 /MB)
A种 30 320 0.2
B种 50 550 0.1
学后反思
回顾本节课购买、使用空调问题的解决过程,谈谈你的收获;解决购买、使用空调问题的过程中你觉得最难突破的步骤是哪些 可以运用哪些方法突破这些难点 购买、使用空调问题的解决过程中运用一元一次方程解决了什么问题
1.为增强市民的节水意识,某市对居民用水实行“阶梯收费”:规定每户每月用水不超过月用水标准量的水价为1.5元/吨,超过月用水标准量部分的水价为2.5元/吨.该市小明家5月份用水12吨,交水费20元,设该市规定的每户月用水标准量是x吨,则可列方程为　
　.
课后作业
基础题
1.5x+2.5(12-
x)=20
2.某家具厂生产一种课桌和椅子,课桌每张定价200元,椅子每把定价80元,该家具厂在开展促销活动期间,向客户提供了下面两种优惠方案:
方案一:每买一张课桌就赠送一把椅子.
方案二:课桌和椅子都按定价的80%销售.
某校计划添置100张课桌和x把椅子(x>100).
(1)用含x的式子分别表示方案一与方案二各需付款多少元.
解:(1)方案一付款金额为[200×100+80×(x-100)]元,即(80x+12 000)元,
方案二付款金额为(200×80%×100+80×80%x)元,即(64x+16 000)元.
(2)当x=300时,通过计算说明该校选择哪种方案更省钱.
(3)当x为何值时,两种优惠方案付款金额相同
解:(2)当x=300时,
80x+12 000=36 000(元),
64x+16 000=35 200(元).
因为35 200<36 000,所以方案二更省钱.
(3)令80x+12 000=64x+16 000,解得x=250.
所以当x=250时,两种优惠方案付款金额相同.
3.某超市搞促销活动,购物不超过200元不给予优惠;超过200元,而不超过500元的按九折优惠;超过500元的,其中500元按九折优惠,超过500元的部分按八折优惠.某人两次购物分别付款134元、466元.
(1)此人两次购物时所购买物品的原价分别是多少元
解:(1)因为200×90%=180>134,
所以134元的商品未获优惠.
因为500×90%=450<466,
所以466元的商品享受到了超过500元的优惠.
设466元商品的原价是x元,
则500×0.9+(x-500)×0.8=466,
解得x=520.
答:此人两次购物时所购买物品的原价分别是134元、520元.
(2)若此人将两次购买的物品合起来一次购买是不是更合算 请说明你的理由.
解:(2)两次购买的物品合起来一次购买更合算.理由如下:
两次购物原价之和:134+520=654(元).
分别购买共支付:134+466=600(元).
两次购买的物品合起来一次购买应支付:
500×0.9+(654-500)×0.8=573.2(元).
因为573.2<600,
所以两次购买的物品合起来一次购买更合算.
为增强居民节水意识,合理利用水资源,某市采用“阶梯收费”,水费标准如下表:
拓展题
用水量 价格/(元 /吨)
不超过6吨的部分 2
超过6吨,不超过10吨的部分 4
超过10吨的部分 8
(1)某户3月用水15吨,应交水费多少元
(2)某户4月交水费20元,该户4月用水多少吨
解:(1)6×2+(10-6)×4+(15-10)×8=68(元).
答:应交水费68元.
(2)因为6×2=12(元),6×2+(10-6)×4=28(元),12<20<28,所以该户4月用水超过6吨,但不超过10吨.
设该户4月用水a吨.
则6×2+(a-6)×4=20,
解得a=8.
答:该户4月用水8吨.
(3)若某户5月、6月共用水20吨(6月用水量超过5月用水量),共交水费64元,则该户5月、6月分别用水多少吨
②当该户5月用水超过6吨,不超过10吨时,设该户5月用水y吨,则该户6月用水(20-y)吨.
根据题意得2×6+4(y-6)+2×6+(10-6)×4+8×(20-y-10)=64,
解得y=8,符合题意,20-y=12.
③当该户5月用水超过10吨时,由于该户6月用水量超过5月用水量,故不合题意.
答:该户5月用水8吨,6月用水12吨.
谢谢观赏！

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