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(共32张PPT)
3.1 函数的概念及其表示
3.2 函数的基本性质
3.3 幂函数
函数的概念
函数的表示法
单调性与最值
奇偶性
幂函数的图象与性质
3.4函数的应用（一）
第三章 课本导读
课前准备
1.准备好学案、课本、
草稿纸
2.参照右侧的课本导读，结合课本回忆第三章所学的内容
第三章 函数的概念与性质
章末复习
人教A版2019必修一·高一
时间：2025年10月30日
通过本章的学习，对函数的概念有什么新的认识？
问题一
研究函数一般性质的方法是怎样的？
能否总结一下探究函数的一般过程？
问题三
问题二
概念
表示方法
基本性质
对应关系
定义域
值域
解析法
图象法
列表法
单调性
奇偶性
幂函数
小组合作、讨论
尝试着将下面的词语填写到学案的思维导图上
最值
一、函数的概念
函数是一种特殊的对应关系
数集A
数集B
x1
x2
x3
x4
x5
y1
y2
y3
y4
y5
任意性、存在性、唯一性
一对一
多对一
一对多
√
√
×
×
定义 一般地，设A，B是非空的______，如果对于集合A中的____________，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有________的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素 定义域 ________的取值范围
值域 与x的值相对应的y的函数值的集合___________
对应关系 y＝f(x)，x∈A
实数集
任意一个数x
唯一确定
自变量x
{f(x)|x∈A}
一、函数的概念
(1)分母不为0；(2)偶次根式下大于等于0；(3) x0中 x不等于0；(4) f(x)有几个式子构成的，定义域取交集；(5)考虑实际意义．
(1)简单的函数 直接法
(2)二次函数 配方法
(3)分式函数 分离常数
(4)含根式的函数 换元法
(1)已知解析式类型 待定系数法
(2)形如f (g(x)) 换元法、配凑法
(3)同一个对应关系中两个变量互为相反数或倒数关系时 方程组法
定义域
值域
解析式
思考1　判断下列说法是否正确
(3)若两个函数的定义域和值域相同，则它们为同一个函数.
(4)若两个函数的定义域和对应关系相同，则它们为同一个函数.
(2)在函数的定义中，集合B是函数的值域．
(1)函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合.
(　　)
(　　)
(　　)
(　　)
×
×
×
√
例1　求函数的定义域：f (x)＝(x－1)0＋；
问题：如何选用恰当的函数表示方法，解决下列的问题？
1.研究半年内股票的变化情况.
图象法
2.设置火车站某天的发车时间安排.
列表法
3.计算不同边长正方体体积.
解析法
V=a3
精确地概括了变量间的对应关系，并可计算任一变量对应的函数值.
能直观形象地表示出函数的变化趋势.
不必计算就能得到函数值.
二、函数的表示方法
分段函数 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值范围，有不同的对应关系，则称其为分段函数.

提醒　分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．
更精确
更直观
更直接
例2．(多选)已知函数f (x)＝，则关于函数f (x)的结论正确的是(　　)
A．f (x)的定义域为R B．f (x)的值域为(－∞，4)
C．f (1)＝3 D．若f (x)＝1，则x的值为±1
BD　
问题：探究函数基本性质的方法是怎样的？
问题：探究函数基本性质的方法是怎样的？
x
y
y=x2
x
y
1
1
-1
-1
O
y=|x|
x增大
x1 ＜ x2
x增大，函数值f(x)也增大
函数值f(x)也增大
f(x1)＜f(x2)
当 x1＜x2 时，
都有f(x1)＜f(x2)
用符号表示
用符号表示
用符号表示
单调性
问题：探究函数基本性质的方法是怎样的？
x
y
y=x2
奇偶性
偶函数
奇函数
图象关于y轴对称
图象关于坐标原点对称
用符号表示
f(-x) = -f(x)
用符号表示
f(-x) = f(x)
从特殊到一般，
从自然语言到符号语言.
1.单调性：设函数f(x)的定义域为D，区间I D：
(1)如果 x1，x2∈I，当x1(2)如果 x1，x2∈I，当x12.奇偶性：设函数f (x)的定义域为D：
(1)如果 x∈D，都有－x∈D，且f (－x)＝ ，则f(x)为偶函数；
(2)如果 x∈D，都有－x∈D，且f (－x)＝ ，则f(x)为奇函数.
三、函数的基本性质
3.最值：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足：
(1)① x∈D，都有 ，② x0∈D，使得 ，则M是函数的最大值.
(2)① x∈D，都有 ，② x0∈D，使得 ，则M是函数的最小值.
f(x1)f(x1)>f(x2)
f(x)≤M
f(x0)＝M
f(x)≥M
f(x0)＝M
f (x)
－f (x)
证明单调性
比较大小
解不等式
步骤
(1)取值：x1(3)定号：f (x1)－f (x2)符号．(4)结论：判断单调性．
应用
思考2　判断下列说法是否正确。
(3)若存在x，使f (－x)＝－f (x)，则函数y＝f (x)一定是奇函数.
(4)若f (x)为奇函数，则一定有f (0)＝0.
(2)若对任意x∈R，都有f (x)≤M成立，则M是f (x)的最大值.
(1)函数在区间(－∞，0]和(0，＋∞)上单调递增，
则R上单调递增.
(　　)
(　　)
(　　)
(　　)
×
×
×
×
四、幂函数
知识点1　幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
注意：(1)xα的系数为1．(2)x为自变量．(3)α为常数．
四、幂函数
知识点1　幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
注意：(1)xα的系数为1．(2)x为自变量．(3)α为常数．
知识点2　幂函数的性质
(1)幂函数图象都过定点(1，1)；
(2)当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；
当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减；
(3)当α为奇(偶)数时，幂函数为奇(偶)函数；
四、幂函数
知识点1　幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
注意：(1)xα的系数为1．(2)x为自变量．(3)α为常数．
知识点2　幂函数的性质
(1)幂函数图象都过定点(1，1)；
(2)当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；
当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减；
(3)当α为奇(偶)数时，幂函数为奇(偶)函数；
知识点3　幂函数的图象
四、幂函数
知识点1　幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
注意：(1)xα的系数为1．(2)x为自变量．(3)α为常数．
知识点2　幂函数的性质
(1)幂函数图象都过定点(1，1)；
(2)当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；
当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减；
(3)当α为奇(偶)数时，幂函数为奇(偶)函数；
知识点3　幂函数的图象
幂函数的应用
例题3 2025年10月16日，北京大学发布了关于“双热点爆轰波起爆机制”的学术论文，在爆轰发动机的研究中，为了实现高效、可靠的起爆，研究者们提出了利用多个“热点”协同起爆的技术途径。在分析某个简化的一维爆轰模型时，描述两个热点间压力分布的函数为 , 那么你能否探究一下函数？
（1）你认为从哪些方面研究这个函数？
（2）你认为可以按照怎样的路径研究这个函数？
（3）通过研究函数的性质，请画出函数图象。
例题3 探究函数．
1.定义域：
例题3 探究函数．
1.定义域：
例题3 探究函数．
1.定义域：
2.性质：
（1）单调性：
（3）最值：
（2）奇偶性：
例题3 探究函数．
1.定义域：
在上单调递增
2.性质：
（1）单调性：
（3）最值：
（2）奇偶性：
奇函数
无最大、最小值
例题3 探究函数．
1.定义域：
在上单调递增
2.性质：
（1）单调性：
（3）最值：
（2）奇偶性：
奇函数
3.图象：
特殊点：(1,0)和(-1,0)
无最大、最小值
例题3 2025年10月16日，北京大学发布了关于“双热点爆轰波起爆机制”的学术论文，在爆轰发动机的研究中，为了实现高效、可靠的起爆，研究者们提出了利用多个“热点”协同起爆的技术途径。在分析某个简化的一维爆轰模型时，描述两个热点间压力分布的函数为 , 那么你能否探究一下函数．
1.定义域：
在上单调递增
2.性质：
（1）单调性：
（3）最值：
（2）奇偶性：
奇函数
无最大、最小值
3.图象：
特殊点：(1,0)和(-1,0)
研究报告
C
A
B
A
问题一：通过本章的学习，对函数的概念有什么新的认识？
问题二：研究函数一般性质的方法是怎样的？
问题三：能否总结一下探究函数的一般过程？
课本100页：复习参考题3 T1—T10
感谢聆听!

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