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(共33张PPT)
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
【复习引入】
前面我们学习了棱柱、棱锥、棱台的有关概念，还记得它们的底面、侧面的结构特征吗？
底面
侧棱侧面
顶点
棱柱
1.上下底面是全等的多边形；
2.侧面是平行四边形.
侧棱
侧面
底面
顶点
棱锥
1.底面是多边形；
2.侧面是共顶点的三角形.
棱台
上底面
下底面
侧棱
顶点
1.上下底面是相似的多边形；
2.侧面是梯形.
本章的研究内容和方法
1.研究内容：
从对空间几何体的整体观察入手，研究它们的结构特征，学习它们的表示方法，了解它们的表面积和体积的计算；再借助长方体，从几何体的基本元素点、线、面入手，研究它们的性质以及互相之间的位置关系.
2.基本研究方法：
（1）研究途径：整体到局部→局部到整体；
（2）基本方法：直观感知、操作确认、推理论证、度量计算
一、表面积的定义
多面体的表面积就是各个面的面积之和.
下面我们来研究多面体的表面积与体积的求法.
棱柱
棱锥
棱台
例1. 如图，四面体的各棱长均为，求它的表面积.
分析:
因为四面体的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面的面积的4倍.
解：因为是正三角形，其边长为，
因此，四面体的表面积
例2. 正六棱台的上、下底面边长为2和6，侧棱长是5，则它的侧面积为 .
看清题目是求侧面积还是求表面积!
小结：
（1）多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和.
即棱柱、棱锥、棱台的表面积为它们的侧面积和底面积之和.
（2）求多面体的表面积就是转化为三角形、矩形、梯形、四边形、多边形等平面 图形的面积问题
大家还记得以前学过的特殊棱柱——正方体、长方体的体积公式吗？
那一般的棱柱的体积公式是什么呢？
体积是几何体所占空间的大小.
二、体积的定义
思考： 如图（1），取一堆规格一样的本子放在桌面上组成一个几何体，
图（1）
图（2）
然后使它倾斜一个角度得到另外一个几何体， 如图（2），改变前后的体积一样吗？
两个几何体的高度没改变，每个本子的面积也没改变
祖暅[gèng]原理
课本P121-123页阅读材料
我国古代著名数学家祖冲之在计算圆周率等问题方面有光辉的成就.祖冲之的儿子祖暅也在数学上有突出贡献.祖暅在实践的基础上，于5世纪末提出了这个体积计算原理.
祖暅提出这个原理，要比其他国家的数学家早一千多年.在欧洲只到17世纪，才有意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri .B，1598年--1647年）提出上述结论.
（429年~500年）
“幂势既同，则积不容异”
夹在两个平行平面之间的两个几何体（它们形状可以不同），被平行于这两个平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．
规则的几何体体积
不规则的几何体体积
转化
棱柱被与底面平行的平面所截得的任一截面与底面全等，从而由祖暅原理可知，只要底面面积相等、高相等的两个棱柱的体积则相等.
棱柱体积
根据祖暅[gèng]原理，如何求它的体积？
同底面积、等高的长方体
根据祖暅[gèng]原理，任一棱柱的体积都可以转化为一个与它底面积相等、高相等的长方体的体积.
如果棱柱的底面面积为，高为，那么这个棱柱的体积
棱柱的高是指两底面之间的距离，
即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足之间的距离.
1.棱柱的体积公式
例3. 如图，直棱柱的侧棱长为5，底面是边长为3、4、5的三角形，求该三棱柱的体积.
追问1 ：三棱锥的体积是多少？
追问2： 三棱锥的体积是多少？
“直”不一定“正”、但“正”一定是“直”
根据祖暅[gèng]原理，任一棱锥的体积都可以转化为一个与它底面积相等、高相等的三棱锥的体积.
例3. 如图，直棱柱的侧棱长为5，底面是边长为3、4、5的三角形，求该三棱柱的体积.
追问1 ：三棱锥的体积是多少？
追问2： 三棱锥的体积是多少？
A
B
C
A’
B’
C’
C
A’
B’
A
B
A’
C
“直”不一定“正”、但“正”一定是“直”
+
+
①
②
③
探究棱锥与同底、等高的棱柱之间体积的关系
根据祖暅[gèng]原理，
棱锥①与棱锥③的体积相等
①
②
棱锥①与棱锥②的底面积相等
高也相等（ ）
根据祖暅[gèng]原理，
棱锥①与棱锥②的体积也相等
+
+
一般地，如果棱锥的底面面积为S，高为h，那么这个棱锥的体积
棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离.
2.棱锥的体积公式
如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等、高也相等，那么该棱柱的体积是该棱锥的体积的3倍.
棱柱、棱锥、棱台之间的联系
上底面缩小，与下底面相似
上底面缩小为一个点
上底面扩大，
与下底面全等
顶点扩大，
上底面与下底面相似
棱柱
棱台
棱锥
棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离.
由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个棱锥的体积差，得到棱台的体积公式
其中，分别为棱台的上、下底面面积，为棱台的高.




3.棱台的体积公式
(S′, S, h分别是棱台的上下底面积和高)
A
D
B
C
A′
B′
C′
D′
O
O′
P
3.棱台体积公式的证明
课本154页
V棱柱＝Sh
V棱锥＝ Sh
V棱台
上底扩大
=
上底缩小
棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间有什么关系？你用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？
=
例4. 如图8.3-2，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是，公共面是边长为的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米(精确到) (计算漏斗的容积时不考虑漏斗的厚度)
解: 由题意知
所以这个漏斗的容积
小结：(1)求组合体的体积关键要识别几何体；
(2)要记住，并准确使用棱柱、棱锥、棱台的体积公式；
(3)求棱柱、棱锥、棱台的体积时要注意底面面积和高的计算.
例5. 一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为，求这个正三棱锥的体积.
∵是边长为6的正三角形，
连接并延长交于，则为的中点，且.
∴
解：如图, 在正三棱锥中，设为正三角形的中心，连接，则即为该正三棱锥的高．连接,则得.
O
E
B
C
A
∴
注：计算线段长度时将立体图形转化为平面图形.
底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥.
练习2(课本119页习题2) 如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积和剩下的几何体体积的比.
法一 直接计算.
法二 利用三棱锥和其等底同高三棱柱之间的体积关系.
【课堂小结】
掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的公式、求法以及它们体积之间的内在关系.
利用公式会求与多面体相关的简单组合体的表面积与体积.
3.求体积时重点在于求高，将立体图形转化为平面图形再进行求解.
课本第120页
综合应用
练习. 如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF=2，且EFA
D
C
B
E
F
课本第116页
课堂巩固

拓展题 如图，正方体的棱长为1，为线段上的一点，则求三棱锥的体积．
分析：
解：
等体积法：
轮换顶点时以高好求为准.
1
课堂小结
棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台的体积

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