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(共21张PPT)
16.3.1 平方差公式
第十六章 整式的乘法
人教版2024·八年级上册
素养目标，三维聚焦
数学抽象：从多项式乘法特例中抽象出平方差公式的结构特征，能用符号语言精准表达公式，建立“具体实例→一般规律”的抽象思维；
逻辑推理：通过代数推导与几何验证（割补法）双向论证公式合理性，培养演绎推理与数形结合的推理能力；
数学建模：运用平方差公式解决实际问题（如面积计算、简便运算），体会数学模型在解决实际问题中的应用价值.
数学运算：熟练掌握公式直接应用、符号变形、整体代换等运算技巧，提升运算准确性与简便运算意识;
情境激趣 温故导入
我去商店买了单价是9.8元/千克的苹果10.2千克，售货员刚拿起计算器说道：9.8×10.2，我就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相吻合！
你知道这里的计算有什么技巧吗？
复习巩固 引出新知
计算：（1）(x+1)(x-1)
（2）(m+2)(m-2)
（3）(2x+1)(2x-1)
思考：多项式与多项式的乘法运算是怎样进行的？
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（a + b）（p + q）=
ap
+aq
+bq
+bp
=x2 – 1
=m2 – 4
=4m2 – 1
探究本质 推导公式
计算：（1）(x+1)(x-1)
（2）(m+2)(m-2)
（3）(2x+1)(2x-1)
=x2 – 1
=m2 – 4
=4m2 – 1
都是形如 a + b 的多项式与 a – b 的多项式相乘
x2 – 1
m2 – 22
(2m)2 – 1
运算结果都是这两个数的平方的差
猜想：
(a + b)(a – b) = a2 – b2
探究本质 推导公式
(a + b)(a – b)
+
=
a2
(–ab)
ab
(–b2)
+
+
证明一：利用多项式乘多项式的法则.
= a2 – b2
探究本质 推导公式
a
b
a
(a – b)
纸片剩余面积：
a2 – b2
拼成的长方形面积：
(a – b)(a + b)
(a – b)
(a – b)(a + b) = a2 – b2
证明二：利用几何图形.
b
探究本质 推导公式
（乘法的）平 方 差 公 式
文字语言 两个数(式子)的和与这两个数(式子)的差的积，等于这两个数(式子)的平方差．
(a+b)(a b)=a2 b2.
注意用谁减谁
平方差公式是多项式乘法 (a+b)(p+q) 中 p = a，q = –b 的特殊情形.
理解感悟 辨析概念
思考1：下列各式能否用平方差公式进行计算？
思考2：若能，请说出公式中的a和b,以及a2-b2.
（1）(1+x)(1-x)
（2）(-3+a)(-3-a)
（3）(1+a)(-1+a)
（4）(-x+1)(-x+1)
（5）(0.3m-1)(-1-0.3m)
能
a=1
b=x
a2-b2=12-x2
能
a=-3
b=a
a2-b2=(-3)2-a2
能
a=a
b=1
a2-b2=a2-12
不能
能
a=-1
b=0.3m
a2-b2=(-1)2-(0.3m)2
结构特征：(相同项)2 – (相反项)2
典例精析 规范过程
例1　运用平方差公式计算：　
(1) (3x + 2)(3x – 2)；
(2) (–x + 2y)(–x – 2y).
解：(1) 原式
= (3x)2 – 22
= 9x2 – 4
(2) 原式
= (–x)2 – (2y)2
= x2 – 4y2
分析：(1) a = ___，b = ____
(2) a = ___，b = ____
3x
2
–x
2y
变式训练 理解公式
（1）(a+3)(a-3)
=a2-9
变系数
（2）(2a+3)(2a-3)
=4a2-9
变符号
（3）(-2a+3)(-2a-3)
=4a2-9
变位置
（4）(3-2a)(-2a-3)
=4a2-9
变指数
（5）(3-2a2)(-2a2-3)
=4a4-9
变项数
（6）(a+b+3)(a+b-3)
=(a+b)2-9
以不变应万变！
典例精析 规范过程
例2 计算：
(1) (x 1)(x+1)(x2+1) ； (2) (y+2)(y 2) (y 1)(y+5) ； (3) 102×98.
解： (1)原式=(x2 1)(x2+1) =x4 1 ；
(3)原式=(100+2)(100 2)=1002 22=10 000 4=9 996 .
(2)原式=y2 22 (y2+4y 5)=y2 4 y2 4y+5= 4y+1
能用平方差公式计算吗？
通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算.
学以致用 解决问题
我去商店买了单价是9.8元/千克的苹果10.2千克，售货员刚拿起计算器说道：9.8×10.2，我就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相吻合！
你知道这里的计算有什么技巧吗？
9.8×10.2
=（10-0.2）×（10+0.2）
=102-0.22=99.96
综合实践 简便运算
利用平方差公式计算：(2+1)(22+1)(24+1) (28+1)
解：原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1) (28+1)
=(22-1)(22+1)(24+1) (28+1)
=(24-1)(24+1) (28+1)
=(28-1) (28+1)
=216+1
归纳梳理 深化认知
整式的乘法
平方差公式
特殊情形
(a – b)(a + b) = a2 – b2
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两数的平方差
平方差公式：
达标检测 教学互评
1. 下列算式不能运用平方差公式计算的是（ ）
A. (x + a)(x – a) B. (x + a)(–a + x)
C. (a + b)(–a – b) D. (–x – b)(x – b)
C
2. 下面的计算是否正确 如果不正确，应当怎样改正
(1) (x+2)(x 2)=x2 2； (2) ( a 2)(a 2)=a2 4；
(3) (x+2y)( x 2y)=x2 4y2； (4) (3a+4b)(3a 4b)=9a2 4b2.
不正确
不正确
不正确
原式=x2 4
原式=4 a2
原式= x2 4xy 4y2
不正确
原式=9a2 16b2
（1）(a + 3b)(a – 3b)；
（2）(3 + 2a)(–3 + 2a)；
（3）(xy + 1)(x2y2 + 1)(xy – 1)；
(1) 原式=
解：
(2) 原式=
达标检测 教学互评
a2 – (3b)2
= a2 – 9b2
(2a)2 – 32
= 4a2 – 9
(3) 原式=
(xy + 1)(xy – 1)(x2y2 + 1)
= [(xy)2 – 12](x2y2 + 1)
= (x2y2 – 1)(x2y2 + 1)
= (x2y2) 2 – 12
= x4y4 – 1
（4）(3x + 4)(3x – 4) –(2x + 3)(3x – 2)；
(4) 原式=
达标检测 教学互评
(3x)2 – 42 – (6x2 – 4x + 9x – 6)
= 9x2 – 16 – 6x2 – 5x + 6
= 3x2– 5x – 10
= 3x2– 5x – 10
达标检测 教学互评
4. 运用平方差公式计算：
（1）51×49； （2） .
【教材P114练习 第3题】
解：(1) 原式=
(50 + 1)(50 – 1)
= 502 – 12
= 2500 – 1
= 2499
(2) 原式
作业布置，延伸提升
基础层：习题16.2 第4，5(1)(4)，6题.
提升层：探究性作业：习题16.2 第8，10题.
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