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期末专题复习
专题精练5　直角三角形
1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,∠A=30°,BD=2,则AB
的长为 ( )

A.4　　　 B.6　　　 C.8　　　 D.10
　C
直角三角形的性质
解析　∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴∠B=90°-∠A=60°,∵CD⊥AB,∴∠CDB=90°,∴∠BCD=90°-∠B=30°,∵BD=2,∴BC=2DB=4,∴AB=2BC=8.故选C.
2.(2025湖南邵阳期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平
分线MN交AC于点D,交AB于点N,连接BD,若∠A=25°,则∠
DBC的度数是___________.

40°
解析　在△ABC中,∵∠C=90°,∠A=25°,
∴∠ABC=90°-25°=65°,∵MN是AB的垂直平分线,∴DA=DB,
∴∠DBA=∠A=25°,
∴∠DBC=∠ABC-∠DBA=65°-25°=40°.
3.(2024湖南邵阳期末)下列长度的三条线段首尾相接,能组成
直角三角形的是 ( )
A.32,42,52　　　 B.1,1,
C.6,8,11　　　 D.5,12,23
　B
勾股定理及其逆定理
解析 A.∵(32)2+(42)2≠(52)2,∴不能组成直角三角形;B.∵12+12
=( )2,∴能组成直角三角形;C.∵62+82≠112,∴不能组成直角
三角形;D.∵52+122≠232,∴不能组成直角三角形.故选B.
4.【学科特色·易错题】(2024湖南永州月考)一个直角三角形
的两条边长分别为3和4,那么此三角形的第三条边长为 ( )
A. 　　　 B.5
C.5或 　　　 D.7
C
解析　①当3和4均为直角边长时,第三条边长= =5;②
当3为直角边长,4为斜边长时,第三条边长= = .故
选C.
5.(2024湖南益阳月考)如图,在Rt△ABC中,分别以这个三角形
的三边为边向外侧作正方形,面积分别记为S1,S2,S3,若S3+S2-S1=
18,则图中阴影部分的面积为___________.

4.5
解析　在Rt△ABC中,由勾股定理得AC2+AB2=BC2,∴S1+S2=S3,
∴S2=S3-S1,∵S3+S2-S1=18,∴2S2=18,
∴S2=9,由题图可得,阴影部分的面积= S2=4.5.
6.如图,在6×7的网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC和
△DFE的顶点都在格点上.求证:∠ABC=∠DFE.

证明　由网格可得AB= = ,AC= = ,BC=
= ,
同理可得DE=AC= ,EF=AB= ,DF=BC= .
在△ABC和△EFD中,
∴△ABC≌△EFD(SSS),
∴∠ABC=∠DFE.
7.【新课标·应用意识】(2024湖南衡阳期末)如图,景区内有一
块四边形空地,景区管理人员想在这块空地上铺满观赏草坪,
需要测量其面积,经技术人员测量,∠ABC=90°,AB=20米,BC=
15米,CD=7米,AD=24米.请用你学过的知识帮助管理员计算出
这块空地的面积.

解析　如图,连接AC,

在Rt△ABC中,∵∠ABC=90°,AB=20米,BC=15米,∴AC=
= =25(米),
在△ADC中,∵AD2+CD2=242+72=252=AC2,
∴△ADC为直角三角形,∠ADC=90°,
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC= ×15×20+ ×7×24=234(平方米),
∴这块空地的面积为234平方米.
8.(2024湖南邵阳期末)如图,CD⊥AB于点D,EF⊥AB于点F,AC
=BE.添加下列哪个条件后不能用“HL”来证明Rt△ACD≌
Rt△BEF ( )
A.AD=BF　　　 B.AC∥BE
　B
C.CD=EF　　　 D.AF=BD
　直角三角形全等的判定
解析　∵CD⊥AB,EF⊥AB,∴∠ADC=∠EFB=90°,∵AC=BE,
AD=BF,∴Rt△ACD≌Rt△BEF(HL),故A不符合题意;同理C不
符合题意;∵AF=BD,∴AD=BF,∴Rt△ACD≌Rt△BEF(HL),故
D不符合题意;∵AC∥BE,∴∠A=∠B,∴Rt△ACD≌Rt△BEF
(AAS),
故B符合题意.故选B.
9.(2025湖南长沙期末)如图,AD是△ABC的高,E是AD上一点,
连接BE,AD=BD,BE=AC.
(1)求证:△BDE≌△ADC.
(2)若AD=4,S△ABC=14,求DC和AE的长.

解析 (1)证明:∵AD是△ABC的高,
∴AD⊥BC,∴∠BDE=∠ADC=90°,
在Rt△BDE和Rt△ADC中,
∴Rt△BDE≌Rt△ADC(HL).
(2)∵S△ABC= AD·BC= ×4BC=14,
∴BC=7,∵△BDE≌△ADC,∴BD=AD=4,
∴DC=BC-BD=7-4=3,∴DE=DC=3,
∴AE=AD-DE=4-3=1.
10.(2024浙江湖州期末)如图,在△ABC中,∠ABC的平分线与
AC的垂直平分线相交于点D,过点D作DF⊥BC于F,DG⊥BA
交BA的延长线于G.
(1)求证:AG=CF.
(2)若BG=5,AC=6,求△ABC的周长.

解析 (1)证明:如图,连接AD,DC.

∵BD平分∠ABC,DG⊥BG,DF⊥BC,
∴DG=DF.
∵D在AC的垂直平分线上,∴DA=DC.
在Rt△DGA与Rt△DFC中,
∴Rt△DGA≌Rt△DFC(HL),∴AG=CF.
(2)由(1)知DG=DF,
∵BD=BD,∴Rt△BDG≌Rt△BDF(HL),
∴BG=BF.∵AG=CF,∴△ABC的周长
=AB+BC+AC=BG-AG+BF+FC+AC=2BG+AC
=2×5+6=16.
11.(2025湖南湘西州期中)如图,已知∠AOB=30°,P是∠AOB平
分线上一点,CP∥OB交OA于点C,PD⊥OB于点D,且OC=4,则
PD的长度是 ( )

A.2　　　 B.4　　　 C.6　　　 D.8
　A
　角平分线的性质与判定
解析　如图,作PE⊥OA于点E,∵CP∥OB,∴∠OPC=∠POD,
∵P是∠AOB平分线上一点,∴∠POA=∠POD=15°,∴∠COP
=∠CPO=15°,∴CP=OC=4,∵∠ACP=∠OPC+∠POA=30°,∴
PE= PC=2,
∵P是∠AOB平分线上一点,PD⊥OB,PE⊥OA,
∴PD=PE=2.故选A.
12.【新课标·推理能力】(2025湖南永州月考)如图,在△ABC
中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,点F在AC上,且BD
=DF.
(1)求证:CF=EB.
(2)请你判断AE,AF与BE之
间的数量关系,并说明理由.
解析 (1)证明:∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠C=90°,
∴DC=DE,
在Rt△DCF和Rt△DEB中,
∴Rt△DCF≌Rt△DEB(HL),∴CF=EB.
(2)AF+BE=AE.理由如下:
在Rt△DCA和Rt△DEA中,
∴Rt△DCA≌Rt△DEA(HL),
∴AC=AE,
∴AF+FC=AE,即AF+BE=AE.

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