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（浙教版）八年级
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单元复习
三角形
第1章
“一”
知识梳理
01
例题剖析
02
综合训练
03
内容总览
目录
CONTENTS
教学目标
第一部分
知识梳理
知识梳理
知识点1：认识三角形
1.三角形的有关概念：
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
A
B
C
D
顶点
边
三角形的内角
三角形的外角
点A
AC
或 b
∠ACB
∠ACD
表示方法：
△ABC
知识梳理
知识点1：认识三角形
2.三角形的分类：
底和腰不相等的等腰三角形
等边三角形
按边分
三边都不相等的三角形
等腰三角形
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
按角分
知识梳理
知识点1：认识三角形
4. 三角形三边的大小关系：
结论1 三角形两边的和_____第三边.
结论2 三角形两边的差_____第三边.
第三边取值范围：_________＜第三边＜_________
大于
小于
两边之差
两边之和
3. 三角形的性质：
三角形三个内角的和等于 180°
几何语言：在 中, 。
5.三角形的高、中线与角平分线
高：顶点与对边垂足间的线段，三条高或其延长线相交于一点，如图.
知识点1：认识三角形
知识梳理
5.三角形的高、中线与角平分线
中线：顶点与对边中点间的线段，三条中线相交于一点（重心），如图.
知识点1：认识三角形
知识梳理
5.三角形的高、中线与角平分线
三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段.三条角平分线相交于一点，如图.
知识点1：认识三角形
知识梳理
三角形的 重要线段 概念 图形 表示法
三角形 的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段 ∵AD是△ABC的高线，
∴AD⊥BC，∠ADB=∠ADC=90°.
三角形 的中线 三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段
三角形的 角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段
知识点1：认识三角形
例题剖析
例1 在△ABC 中，AB = 3cm，BC = 7 cm，若 AC 的长度为整数，则 AC 的长可能是( )
A. 10 cm B. 5 cm C. 4 cm D. 2 cm
B
例2 如图，在△ABC 中有四条线段 DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是 △ABC 的中线，则该线段是( )
A. 线段 DE
B. 线段 BE
C. 线段 EF
D. 线段 FG
B
例题剖析
例3 如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，E是AD的中点，过点E作EF⊥BC于点F. 若BC＝10，△ABD的面积为24，则EF的长为（　D　）
A. 1.2 B. 2.4 C. 3.6 D. 4.8
D
知识梳理
知识点2：定义与命题
1.定义：
一般地，能明确说明某一名称或术语的意义的句子，叫作该名称或术语的定义。
定义必须是严密的，尽量避免使用含糊不清的词语，
如“一些”“大概”“差不多”等词语。
2.命题：
概念：一般地，判断某一件事情的句子叫作命题。
命题
条件
结论
已知事项
由已知事项推出的事项
命题的组成：
知识梳理
知识点2：定义与命题
2.命题：
表达形式：命题都可以写成“如果……，那么……”的形式，
其中以“如果”开始的部分是条件，“那么”后面的部分是结论.
分类：真命题与假命题：
正确的命题称为真命题,不正确的命题称为假命题.
3.基本事实：
人们经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据，
这些命题称为基本事实。
4.定理：用推理的方法判断为正确的命题叫作定理。
例4 下列命题是假命题的是(　　)
A．相等的两个角是对顶角
B．若∠1＋∠2＝180°，则∠1与∠2互为补角
C．两直线平行，同旁内角互补
D．垂线段最短
例题剖析
A
例5 能说明命题“如果| a | ＝ | b | ，那么a＝b”是假命题的反例是(　　)
A．a＝－1，b＝1
B．a＝－1，b＝－1
C．a＝1，b＝2
D．a＝1，b＝1
A
知识梳理
知识点3：证明
1.证明的定义：
从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理 包括推论 ，一步一步推得结论成立。这样的推理过程叫作证明。
2.证明的格式：
证明的基本格式：因为 ，所以……。
注意：“因为”后面是已知条件、已证、定义、定理、基本事实
等，“所以”后面是由此推出的结果。
知识梳理
知识点3：证明
3.三角形的外角：
如图，∠ACD是由△ABC的一条边BC的延长线和另一条相邻的边 CA 组成的角，这样的角叫作该三角形的外角。
4.三角形内角和定理的推论：
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角。
5.三角形的外角和：
三角形的外角和等于360°。
知识梳理
知识点3：证明
6.证明几何命题的一般顺序和格式：
（1）按题意画出图形；（标上必要的字母）
（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，
在“求证”中写出结论；（用字母、符号表示命题的条件和结论）
（3）在“证明”中写出推理过程。
7.辅助线：在解决几何问题时，有时需要添加辅助线。添辅助线的
过程要写入证明中。辅助线通常画成虚线。
例题剖析
例6 如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（　D　）
A. ∠A＝∠3 B. ∠A＋∠2＝180°
C. ∠1＝∠4 D. ∠1＝∠A
D
例7 如图，∠BDC＝142°，∠B＝34°，∠C＝28°，则∠A＝ 　80°　.
80°　
知识梳理
知识点4：全等三角形
1.全等图形：
能够重合的两个图形称为全等图形。
注意：（1）全等图形的形状相同，大小相同，与图形所在的位置无关。
（2）平移、翻折、旋转前后的图形全等。
知识梳理
知识点4：全等三角形
2.全等三角形：能够重合的两个图形称为全等图形。
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角.
△ABC≌△DEF
全等的表示方法：
注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
知识梳理
知识点4：全等三角形
3.全等三角形的性质：
如图，∵△ABC≌△DEF，
∴ AB = DE，BC = EF，AC = DF
( )，
∠A =∠D，∠B =∠E，∠C =∠F
( ).
A
B
C
D
E
F
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
全等三角形的对应边相等
全等三角形的对应角相等
应用格式：
例8 下列各组中的两个图形属于全等形的是 (　　)
例题剖析
D
例9 如图,△AOC与△BOD全等,点A和点B、点C和点D是对应顶点,下列结论中错误的是 (　　)
A.∠A与∠B是对应角
B.∠AOC与∠BOD是对应角
C.OC与OB是对应边
D.OC与OD是对应边
C
例题剖析
例10 如图，已知△ACE≌△DBF，CE=BF，AE=DF，AD=8，BC=2．
（1）求AC的长度；
（2）试说明CE∥BF．
解：（1）∵△ACE≌△DBF，
∴AC=BD，则AB=DC.
∵BC=2，∴2AB+2=8，
∴AB=3，∴AC=3+2=5.
（2）∵△ACE≌△DBF，
∴∠ECA=∠FBD，
∴CE∥BF．
文字语言：三边对应相等的两个三角形全等.（简写为“边边边”或“SSS”）
基本事实---“边边边”判定方法
在△ABC和△A′B′C′中，
∴△ABC≌△ A′B′C′ （SSS）.
AB=A′B′，
BC=B′C′，
CA=C′A′，
几何语言：
知识点5：全等三角形的判定
文字语言：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.（简写成“边角边”或“SAS”）．
基本事实---“边角边”判定方法
在△ABC和△A′B′C′中，
∴△ABC≌△A′B′C′ （SAS）.
AB=A′B′，
∠A=∠A′，
AC=A′C′ ，
几何语言：
知识点5：全等三角形的判定
文字语言：有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等.(简写成“角边角”或“ASA”）
基本事实---“角边角”判定方法
在△ABC和△A′B′C′中，
∴△ABC≌△A′B′C′ （ASA）.
∠A=∠A′ ，
AB=A′B′ ，
∠B=∠B′ ，
几何语言：
知识点5：全等三角形的判定
◆文字语言：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
(可以简写成“角角边”或“AAS”).
“角角边”判定方法:
在△ABC和△A′B′C′中，
∴△ABC≌△A′B′C′ （ASA）.
∠A=∠A′ ，
∠B=∠B′ ，
BC=B′C′ ，
几何语言：
知识点5：全等三角形的判定
例题剖析
例11 如图，点P是AB上任意一点，∠ABC=∠ABD，还应补充一个条件，才能推出△APC≌△APD．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出△APC≌△APD的是( )
A．BC=BD； B．AC=AD；
C．∠ACB=∠ADB； D．∠CAB=∠DAB
B
例题剖析
例12 如图，OP平分∠MON，点A，B分别在OP，ON上，点C，D分别在OM，OP上，且∠CAP＝∠DBN，OC＝OD. 求证：AC＝BD.
解：因为OP平分∠MON，所以∠AOC＝∠BOD. 因为∠CAP＝∠DBN，所以∠CAO＝∠DBO. 在△AOC和△BOD中，因为 所以△AOC≌△BOD（AAS）.所以AC＝BD
知识梳理
知识点6：线段的垂直平分线
1.线段垂直平分线：
定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线。
几何语言：如图，因为直线 ， ，
所以直线 是线段 的垂直平分线。
知识梳理
知识点6：线段的垂直平分线
1.线段垂直平分线：
性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
几何语言：如图，因为直线 垂直平分线段，
点 是直线 上任意一点，
所以 。
例题剖析
例13 如图，在△ABC中，D为BC边上一点，AC＝AD，EF为线段BD的垂直平分线.若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为（　D　）
A. 22 B. 20 C. 18 D. 16
D
角平分线上的点到角的两边的距离相等.
1.角平分线的性质
几何语言：
∵点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA，PE⊥OB.
∴PD=PE
P到OA的距离
P到OB的距离
角平分线上的点
知识点7：角平分线
知识梳理
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
2.角的平分线的判定
几何语言：
∵ PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE，
∴点P 在∠AOB的平分线上.(或∠1=∠2)
知识点7：角平分线
知识梳理
角的平分线的性质
图形
已知 条件
结论
OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD=PE
OP平分∠AOB
PD=PE
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
角的平分线的判定
知识点7：角平分线
例题剖析
例14 如图,在△ABC中,AB=8,AC=6,AD是角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,则S△ABD∶S△ACD= (　　)
A.4∶3 B.9∶8 C.9∶7 D.3∶2
A
例题剖析
例15 如图，OB平分∠MON，A为OB的中点，AE⊥ON于点E，AE＝4，D为OM上一点，BC∥OM交DA的延长线于点C，则CD的最小值为______.
8
第二部分
综合训练
综合训练
1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是( )
A．BE是△ABD的中线
B．BD是△BCE的角平分线
C．∠1＝∠2＝∠3
D．S△AEB＝S△EDB
C
3.如图，E是△ABC外一点，D是AE上一点，AC＝BC＝BE，DA＝DB，∠EBD＝∠CBD，∠C＝70°，则∠BED的度数为________．
2.如图，OB平分∠AOC，D，E，F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D，E，F与点O都不重合，连结ED，EF.若△DOE≌△FOE，则(　　)
A．OD＝OE B．∠ODE＝∠OFE
C．OE＝OF D．∠ODE ＝∠OED
综合训练
B
35°
综合训练
4. 将一副直角三角尺（∠A＝∠EDF＝90°，∠F＝45°，∠C＝60°，点D在边AB上）按如图所示的方式摆放，两条斜边为EF，BC，且EF∥BC. 则∠ADF的度数为 　75°　.
75°　
综合训练
5.已知a,b,c是△ABC的三边长．
（1）若a，b，c满足,(a-b)2+试判断△ABC的形状；
（2）化简：+-.
解：（1）∵(a-b)2+| |=0，
∴(a-b)2=0且| |=0，
∴ a=b=c，
∴△ABC是等边三角形．
（2）∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴b-c-a<0,a-b+c>0,a-b-c<0，
原式=-(b-c-a)+ a-b+c-[-(a-b-c)]
=a+c-b+a-b+c-b-c+a
=3a-3b+c.
综合训练
6.如图，在四边形ABCD中，BC＝DC，CE⊥AB于E.若∠B＋∠ADC＝180°，求证：AC平分∠BAD．
证明：如图，过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于F，
∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠CDF＝180°，
∴∠B＝∠CDF.
在△CBE和△CDF中，
∠B=∠CDF, ∠CEB=∠CFD＝90°,BC=CD,
∴△CBE≌△CDF(AAS)．
∴CF＝CE.
又∵CF⊥AD，CE⊥AB，
∴AC平分∠BAD.
F
Thanks!
2
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