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(共23张PPT)
三角形的高、中线和角平分线
学习目标
1.了解三角形的高、中线及角平分线的概念.
2.掌握三角形的高、中线及角平分线的画法.（重点）
3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法.（难点）
复习导入
垂线：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角
时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做
另一条直线的垂线
线段中点：把一条线段分成两条相等的线段的点
角平分线：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射
线叫做这个角的平分线
课前预习
认真阅读课本，解释下列名词
1、三角形的高：
2、三角形的中线：
3、三角形的重心：
4、角平分线：
从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段
在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段
三角形三条中线的交点
一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段
2.填空：（1）如图（1），AD，BE，CF是ΔABC的三条中线，则AB=2_________，BD= _________ ，AE= _________ 。
（2）如图（2）， AD，BE，CF是ΔABC的三条角平分线，则∠1= _________, ∠3= _________, ∠ACB=2 ________。
AF
CD
∠2
∠4
1.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是___________三角形
直角
AC
∠ABC
课堂探究
过一点画已知直线的垂线
放、
靠、
推、
画。
过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗
B
A
C
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高
∵ AD ⊥ BC
∴ AD是△ ABC的BC边上的高
A
B
C
D
三角形有几条高线？
定义
请画出此三角形的所有高线，观察有什么结论？
A
B
C
请你任画一个直角三角形和一个钝角三角形，观察是否具有上面的结论？它的高线有什么特殊？
试一试
小试牛刀
如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值为____．
知识点拨：可利用面积相等作桥梁(但不求面积)求三角形的高，此解题方法通常称为“面积法”．
合作探究---三角形的中线
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线. AE是BC边上的中线.
三角形的“中线”
B
A
C
A
BE=EC
E
∵AD是△ABC的中线
∴BD ＝CD ＝ BC
符号语言：
你能用同样方法，画出△ABC的另两条边上的中线吗？
探究新知
（1）钝角三角形的两条高在外部，
另外一条高在内部
BC边上的高是AF，AB边上的高是CD，
AC边上的高是BE
（2）三条高没有交点，
三条高所在直线交于三角形外一点.
钝角三角形
跟踪训练
三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上．
总结：
下列各图中，正确画出AC边上的高的是（ ）
D
例 如图所示，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为25 cm，AB比AC长6 cm，则△ACD的周长为(　　)
A.19 cm　 B.22 cm　 C.25 cm D.31 cm
解：∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
∴△ABD和△ACD周长的差
=(AB+BD+AD)–(AC+CD+AD)
=AB –AC.
∵△ABD的周长为25 cm，AB比AC长6 cm，
∴△ACD的周长为25–6=19(cm).
A
新知三 三角形的角平分线
在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.
1
2
A
B
C
D
“三角形的角平分线”是一条线段.
几何语言：∠1=∠2= ∠BAC
三角形的角平分线的定义
新知探究
知识点2 三角形的中线
O
三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
如图，点O即为△ABC的重心.
根据三角形中线的定义，任意画一个三角形，然后利用刻度尺画出这个三角形的中线，你发现了什么？
三角形有 条中线，三条中线相交于 点，交点在三角形的 部.
三
一
内
新知探究
例：如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC的中线和高，试比较△ABD和△ACD的面积大小和周长的长短.
知识点2 三角形的中线
D
E
┐
B
C
A
思考：被三角形中线分成的两个小三角形的面积有什么关系？周长有什么关系？
D
请同学将自己准备好的三角形纸片ABC拿出来，把内角∠BAC对折一次，使AB与AC重合，得到一条折痕为AD。
把三角形纸片展开、铺平，AD一定平
分∠BAC吗？
A
B
C
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角。这条射线叫做这个角的平分线。
O
B
C
A
定义
如图，记作
∠AOC=∠BOC= ∠AOB，
我们学习了三角形的高，我们已经知道了三角形的面积公式，你能经过三角形的一个顶点画一条线段，将这个三角形分为面积相等的两个三角形吗？
综合演练
2.如图，AD⊥BC于点D，则图中以AD为高的
三角形有____个
6
3.如图，在△ABC中，CD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AC于点E，若∠ACB＝60°，则∠EDC的度数是( )
A．15° B．30°
C．45° D．60°
．
B
综合演练
4.填空：
（1）如图①，AD,BE,CF是△ABC的三条中线，则AB= 2＿＿,
BD= ＿＿，AE= ＿＿
(2)如图②，AD,BE,CF是△ABC的三条角平分线，则∠1= ＿＿，∠3=_________， ∠ACB=______.
图①
图②
AF
DC
∠2
2∠4
AC
∠ABC
课堂小结
三角形中的重要线段
线段 概念 图示
高
中线
角平分线
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段
三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段
三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段
课堂小结
三角形中的重要线段
线段 几何推理 性质
高
中线
角平分线
因为AD是△ABC（的边BC）的高，所以AD⊥AC（∠BDA=∠CDA=90°）.
因为AE是△ABC（的边BC上）的中线，所以BD=CD= BC
因为AF是△ABC的角平分线，所以∠BAF=∠CAF= ∠BAC
△ABE的面积与△ACE的面积相等，且两者的周长差等于|AB-AC|

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