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分课时学案
课题 6.1平均数与方差第2课时 单元 第六单元 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1.理解加权平均数的概念及权的意义，能根据个数、百分比等不同形式的权计算加权平均数，初步感知方差与数据稳定性的关联； 2.通过分析馄饨定价、评分方案、射击成绩等情境，经历 “感知权的作用—计算验证—对比稳定性” 的过程，提升数据分析与逻辑推理能力； 3.体会加权平均数在商业、体育、大数据中的应用，感受数学与生活的紧密联系，培养用定量方法分析数据的科学意识。
重点 1.理解加权平均数的概念，能根据不同形式的权准确计算加权平均数； 2.初步感知方差与数据稳定性的关联，能结合平均成绩判断数据波动情况。
难点 理解 “权” 的本质，并能根据实际情境灵活确定权的形式，解释权对加权平均数结果的影响。
教学过程
导入新课 复习回顾 (1)上节课我们用算术平均数计算了商品的平均日销量，若某商品 3 天销量为 5、6、7，算术平均数是 6；若第三天销量变为 17，平均数变成多少？ (2)这说明算术平均数受什么影响？
新知讲解 探究活动一： 某馄饨店每碗有10个馄饨。其中蛋黄鲜肉馄饨15元/碗，虾仁鲜肉馄饨15元/碗，荠菜鲜肉馄饨12元/碗，玉米鲜肉馄饨10元/碗，香芹鲜肉馄饨10元/碗。现在计划推出一份“全家福”馄饨，其中含蛋黄鲜肉馄饨、虾仁鲜肉馄饨各1个，荠菜鲜肉馄饨2个，玉米鲜肉馄饨、香芹鲜肉馄饨各3个。你认为这种“全家福”馄饨每碗定价多少元较为合理？你是怎么想的？与同伴进行交流。 探究活动二： 尝试交流： (1)小亮认为“全家福”馄饨每碗定价应为 （元）. 你认为他的算法合理吗？为什么？与同伴进行交流。 (2)如果“全家福”馄饨含蛋黄鲜肉馄饨3个，虾仁鲜肉馄饨3个，荠菜鲜肉馄饨2个，玉米鲜肉馄饨 1个，香芹鲜肉馄饨 1个，那么该如何定价呢？若每种馄饨各2个，又该如何定价呢？ (3)你认为这种“全家福”馄饨的定价与什么有关？ 想一想：加权平均数和算术平均数有什么区别和联系？ 探究活动三： 例题精讲： 某校进行广播操比赛，评分包括以下几项(每项满分10分):服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐。其中三个班的成绩分别如下: 班级评分项服装统一进退场有序动作规范动作整齐一班9898二班10978三班8989
如果将服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐这四项得分依次按10%，20%，30%，40%的比例计算各班的广播操比赛成绩，那么哪个班的成绩最高？ 在例题中，你认为哪个评分项更为重要？请按自己的想法设计一个评分方案，并与同伴进行交流。 探究活动四： 探究活动四： 思考·交流： (1)已知A，B两家网站客户的日人均上网时间分别是2 h和1 h，这两家网站所有用户的日人均上网时间是(2+1)÷2=1.5(h)吗？为什么？与同伴进行交流。 (2)设A，B两家网站用户的日人均上网时间分别是a h和b h，A，B两家网站平均每天的上网用户分别为m人和n人，你能求出这两家网站所有用户的日人均上网时间吗？
课堂练习 巩固训练 1.某校为落实作业、睡眠、手机、读物、体质等“五项”管理工作有关要求，随机抽查了部分学生每天的睡眠时间，制定如下统计表。所抽查学生每天睡眠时间的平均数为 (　　) 睡眠时间/h6789人数1020155
A.7 h B.7.3 h C.7.5 h D.8 h 2.学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能和投球技能两方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按控球技能占60%，投球技能占40%计算选手的综合成绩(百分制)。选手李林控球技能得90分，投球技能得80分。李林综合成绩为 (　　) A.170分 B.86分 C.85分 D.84分 3.学校广播站要新招1名广播员，甲、乙两名同学经过选拔进入复试环节，参加了口语表达、写作能力两项测试，成绩如表: 项目 应试者口语表达写作能力甲8090乙9080
学校规定口语表达按70%，写作能力按30%计入总成绩，根据总成绩择优录取。通过计算，你认为　　　　同学将被录取。 4.为了满足顾客的需求，某商场将5 kg奶糖、3 kg酥心糖和2 kg水果糖混合成什锦糖出售。已知奶糖的售价为每千克40元，酥心糖的售价为每千克20元，水果糖的售价为每千克15元，混合后什锦糖的售价应为每千克　　　　元。 5.某校“数学之星”评比由小论文、说题比赛、其他荣誉、现场考核四部分组成。每班只推荐一位同学。八(2)班小崇、小德两位同学得分情况如下。 姓名小论文说题比赛其他荣誉现场考核小崇809030100小德100903090
(1)若各部分在总分中的占比之比为1∶1∶1∶2，分别计算两位同学的得分; (2)若现场考核在总分中占比为50%，有人认为应推荐小德同学参加校级“数学之星”评比，你认为合理吗？如不合理，请说出你的推荐人选，并说明理由。
作业布置 基础达标： 1.某校举行校园十佳歌手大赛，小颖同学的初赛成绩为90分，复赛成绩为80分.若总成绩按初赛成绩占30％，复赛成绩占70％来计算，则小颖同学的总成绩为（　 　） A.83分 B.80分 C.75分 D.70分 2.某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1元.某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（　 　） A.1.95元 B.2.15元C.2.25元 D.2.75元 3.某班有男生20人，女生18人.在一次测验中，男生的平均分为a分，女生的平均分为b分，那么这个班级全体学生这次测验的平均分为（　 　） A.分 B.分C.分 D.分 4.一家公司招考某工作岗位，只考数学和物理，计算综合得分时，按数学占60％，物理占40％计算，如果孔明数学得分为80分，估计综合得分最少要达到84分才有希望，那么他的物理最少要考（　 　） A.86分 B.88分 C.90分 D.92分 能力提升： 5.某校举行“传承经典文化，诵读时代心声”的主题诵读比赛，八年级（2）班在作品内容、仪表形象、舞台表现三个方面的得分分别为84，89，90，若将三项得分依次按3∶2∶5的比例计算总成绩，则八年级（2）班的总成绩为　 　分. 6.某校竞选学生会干部，分学生一日常规知识笔试和演讲比赛两个环节，总分均为100分，并按4∶6比例计算平均成绩，小明笔试成绩95分，演讲成绩90分，最终平均成绩为　 　分. 7.《义务教育课程标准》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定.小亮调查了全班同学一周学会炒的菜品数量，结果如图所示，则全班同学一周学会炒的菜品数量的平均数是　 　. 8.一位求职者参加某公司的招聘，面试和笔试的成绩分别是86和90，公司给出他这两项测试的平均成绩为87.2，可知此次招聘中　 　（填“面试”或“笔试”）的权重较大. 拓展迁移： 9.为深入学习贯彻习近平法治思想，推动青少年宪法学习宣传教育走深走实，某校开展了宪法知识在线学习、知识竞赛与演讲比赛三项活动，下表是参加冠亚军决赛的甲、乙两名选手的各项测试成绩（单位：分）.若将在线学习、知识竞赛与演讲比赛的成绩依次按2∶3∶5的比例计算最终成绩，谁将获得冠军？ 选手/项目在线学习知识竞赛演讲比赛甲849690乙899985
10.2024年6月5日是第53个世界环境日，今年的主题是“全面推进美丽中国建设”，旨在深入学习宣传贯彻习近平生态文明思想，引导全社会牢固树立并践行绿水青山就是金山银山的理念.为了庆祝第53个世界环境日，学校举办环境保护知识竞赛活动，竞赛内容分“自然环境保护”“地球生物保护”“人类环境保护”“生态环境保护”四个项目，如表是小亮和小彬的各项成绩：（百分制） 项目自然环境保护地球生物保护人类环境保护生态环境保护小亮95908590小彬809010090
（1）计算小亮与小彬的四个项目的平均成绩； （2）若“自然环境保护”“地球生物保护”“人类环境保护”“生态环境保护”四个项目按2∶1∶4∶3确定综合成绩，则小亮和小彬谁的综合成绩高？请通过计算说明理由.
参考答案：
例题精讲：
解:一班的成绩为9×10%+8×20%+9×30%+8×40%=8.4(分);
二班的成绩为10×10%+9×20%+7×30%+8×40%=8.1(分);
三班的成绩为8×10%+9×20%+8×30%+9×40%=8.6(分)。
所以，三班成绩最高。
巩固训练：
1.B　2.B　3.乙
4.29　解析:根据题意，得
=29(元)，故混合后什锦糖的售价应为每千克29元。
5.解:(1)小崇的得分为
=80(分)，
小德的得分为
=80(分)。
答:小崇的得分为80分，小德的得分为80分。
(2)推荐小德同学参加校级“数学之星”评比不合理，谁去都不确定。理由如下:
因为小论文、说题比赛和其他荣誉所占的百分比没有说明，故小崇和小德的具体得分不确定，要根据实际所占的百分比进行选择，小德可能去，小崇也可能去。
作业设计：
1.A　2.C　3.D　4.C
5.88　6.92　7.2.6
8.面试　解析：设面试成绩所占百分比为x，则笔试成绩所占百分比为（1－x），根据题意，得86x＋90（1－x）＝87.2，解得x＝0.7，则1－x＝0.3，∴此次招聘中面试的权重较大，故答案为面试.
9.解：甲的最终成绩为84×＋96×＋90×＝90.6（分），
乙的最终成绩为89×＋99×＋85×＝90（分），
∵90.6＞90，∴甲将获得冠军.
10.解：（1）小亮四个项目的平均成绩＝＝90（分），
小彬四个项目的平均成绩＝＝90（分）.
解：（2）小彬的综合成绩高，理由如下：
小亮的综合成绩＝＝89（分），
小彬的综合成绩＝＝92（分），
∵92＞89，∴小彬的综合成绩高.
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第六章 数据的分析
6.1平均数与方差第2课时
01
教学目标
02
新知导入
03
新知探究
04
巩固训练
05
课堂小结
06
作业设计
01
教学目标
理解加权平均数的概念及权的意义，能根据个数、百分比等不同形式的权计算加权平均数，初步感知方差与数据稳定性的关联;
01
通过分析馄饨定价、评分方案、射击成绩等情境，经历 “感知权的作用—计算验证—对比稳定性” 的过程，提升数据分析与逻辑推理能力;
02
体会加权平均数在商业、体育、大数据中的应用，感受数学与生活的紧密联系，培养用定量方法分析数据的科学意识.
03
02
新知导入
复习回顾：
(1)上节课我们用算术平均数计算了商品的平均日销量，若某商品 3 天销量为 5、6、7，算术平均数是 6；若第三天销量变为 17，平均数变成多少？
(2)这说明算术平均数受什么影响？
相对于5,6,7这三个数,17比较大，所以算术平方根易受极端值影响.
平均数为：(5+6+17)÷3=9.
03
新知探究
某馄饨店每碗有10个馄饨.其中蛋黄鲜肉馄饨15元/碗,虾仁鲜肉馄饨15元/碗,荠菜鲜肉馄饨12元/碗,玉米鲜肉馄饨10元/碗,香芹鲜肉馄饨10元/碗.现在计划推出一份“全家福”馄饨,其中含蛋黄鲜肉馄饨、虾仁鲜肉馄饨各1个,荠菜鲜肉馄饨2个,玉米鲜肉馄饨、香芹鲜肉馄饨各3个.你认为这种“全家福”馄饨每碗定价多少元较为合理 你是怎么想的 与同伴进行交流.
03
新知探究
(1)合理，因为每钟馄饨的价格不相同，需要根据不同种类的数量分别计算.
(1)小亮认为“全家福”馄饨每碗定价应为
(元).
你认为他的算法合理吗 为什么 与同伴进行交流.
03
新知探究
(2)(元);若每种馄饨各2个,定价为1(元).
(3)不同馅料的馄饨个数不同,影响着这碗“全家福”馄饨的定价.
(2)如果“全家福”馄饨含蛋黄鲜肉馄饨3个,虾仁鲜肉馄饨3个,荠菜鲜肉馄饨2个,玉米鲜肉馄饨 1个,香芹鲜肉馄饨 1个,那么该如何定价呢 若每种馄饨各2个,又该如何定价呢
(3)你认为这种“全家福”馄饨的定价与什么有关
03
新知探究
在很多实际问题中,一组数据里各个数据的“重要程度”未必相同,因而,在计算这组数据的平均数时,往往根据各个数据的“重要程度”赋一个“权”.
概括
加权平均数的计算公式：(为权)
例如,在一碗“全家福”馄饨中,不同馅料的馄饨个数1,1,2,3,3分别是相应馄饨价格的权,而称
为上述第一种“全家福”馄饨五种馄饨价格的加权平均数.
03
新知探究
想一想：加权平均数和算术平均数有什么区别和联系
对比维度 算术平均数 加权平均数
权重要求 所有数据 “权重相等”(默认每个数据重要性相同) 数据 “权重不同”(需明确每个数据的重要程度 / 出现次数)
计算步骤 直接求和→除以数据个数(一步到位) 先算 “数据 × 权重” 的和→除以权重总和(两步计算)
适用场景 数据无差异、无优先级的情况 数据有差异、需体现 “重要性” 的情况
实例场景 计算 5 次投篮训练的平均命中数(每次训练同等重要) 计算期末总成绩(平时成绩占 30%、期末成绩占 70%，权重不同)
03
新知探究
1.当数据 “没区别” 时，用算术平均数；
2.当数据 “有轻重” 时，用加权平均数
3.两者本质都是 “刻画数据集中趋势”，只是加权平均数更灵活，能适应更多实际场景.
概括
某校进行广播操比赛,评分包括以下几项(每项满分10分):服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐.其中三个班的成绩分别如下:
例
班级 评分项 服装统一 进退场有序 动作规范 动作整齐
一班 9 8 9 8
二班 10 9 7 8
三班 8 9 8 9
如果将服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐这四项得分依次按10%,20%,30%,40%的比例计算各班的广播操比赛成绩,那么哪个班的成绩最高
03
新知探究
分析
题目中四类评分项的权为百分数，依次为10%，20%，30%，40%，用各评分项的成绩乘其所占的比例再相加即可得以其对应的加权平均数，然后进行比较即可。
03
新知探究
解析
解:一班的成绩为9×10%+8×20%+9×30%+8×40%=8.4(分);
二班的成绩为10×10%+9×20%+7×30%+8×40%=8.1(分);
三班的成绩为8×10%+9×20%+8×30%+9×40%=8.6(分).
因为8.1<8.4<8.6
所以三班成绩最高.
03
新知探究
在例题中,你认为哪个评分项更为重要 请按自己的想法设计一个评分方案,并与同伴进行交流.
广播操比赛的核心是 “动作质量与团队协作”，因此调整权重时需进一步强化 “动作规范” 和 “动作整齐” 的核心地位，同时保留 “服装统一”“进退场有序” 的辅助作用(避免过度侧重形式而忽略本质).具体权重设计如下：
评分项 权重 设计理由
服装统一 10% 仅需保证整洁统一，不影响动作质量，作为基础辅助项，权重维持较低水平.
进退场有序 15% 体现班级纪律性，但属于流程性环节，重要性低于动作类项目，适当降低权重.
动作规范 35% 动作是否符合广播操标准是 “质量底线”，提升权重突出基础重要性.
动作整齐 40% 团队动作是否同步是比赛 “视觉核心”，维持最高权重，凸显协作价值.
03
新知探究
解析
一班成绩:9×10% + 8×15% + 9×35% + 8×40%= 0.9 + 1.2 + 3.15 + 3.2 = 8.45 分，
二班成绩:10×10% + 9×15% + 7×35% + 8×40%= 1 + 1.35 + 2.45 + 3.2 = 7.95分
三班成绩:8×10% + 9×15% + 8×35% + 9×40%= 0.8 + 1.35 + 2.8 + 3.6 = 8.55 分，
新方案下，三班(8.55 分)仍为最高，一班(8.45 分)次之，二班(7.95 分)最低.
03
新知探究
1.权的设定依据：需紧扣活动核心目的 ;
2.计算关键要点：面对百分比权，需先将百分比转化为小数，再按 “得分 × 对应权重” 求和；若权重为比例，需先算总份数，再转化为 “比例 / 总份数” 计算.
3.权对结果的影响：权重调整会改变班级排名，因此权的设定需客观反映评价重点，保证公平性.
方法总结
03
新知探究
03
新知探究
不能直接用算术平均数计算，因为日人均上网时间的总平均，需考虑两家网站的用户人数(即 “权重”)—— 若 A、B 网站的用户人数不同，它们对 “总人均时间” 的影响程度不同，此时必须用加权平均数计算，而非简单的算术平均数.
(1)已知A,B两家网站客户的日人均上网时间分别是2 h和1 h,这两家网站所有用户的日人均上网时间是(2+1)÷2=1.5(h)吗 为什么 与同伴进行交流.
03
新知探究
A,B两家网站所有用户的日人均上网时间为h,它不是两个网站各自用户日人均上网时间ah和bh的算术平均数,而是ah,bh的加权平均数h,
权,反映了两家网站用户的分布情况.这是分布式计算的最简单形式,对于多个网站也可以类似计算.在大数据时代,分布式计算具有广泛的应用.
(2)设A,B两家网站用户的日人均上网时间分别是a h和b h,A,B两家网站平均每天的上网用户分别为m人和n人,你能求出这两家网站所有用户的日人均上网时间吗
04
巩固训练
1.某校为落实作业、睡眠、手机、读物、体质等“五项”管理工作有关要求,随机抽查了部分学生每天的睡眠时间,制定如下统计表.所抽查学生每天睡眠时间的平均数为(　　)
A.7 h B.7.3 h C.7.5 h D.8 h
B
2.学校举行篮球技能大赛,评委从控球技能和投球技能两方面为选手打分,各项成绩均按百分制计,然后再按控球技能占60%,投球技能占40%计算选手的综合成绩(百分制).选手李林控球技能得90分,投球技能得80分.李林综合成绩为 (　　)
A.170分 B.86分 C.85分 D.84分
B
睡眠时间/h 6 7 8 9
人数 10 20 15 5
3.学校广播站要新招1名广播员,甲、乙两名同学经过选拔进入复试环节,参加了口语表达、写作能力两项测试,成绩如表:
学校规定口语表达按70%,
写作能力按30%计入总成绩,根据总成绩择优录取.
通过计算,你认为 同学将被录取.
乙
4.为了满足顾客的需求,某商场将5 kg奶糖、3 kg酥心糖和2 kg水果糖混合成什锦糖出售.已知奶糖的售价为每千克40元,酥心糖的售价为每千克20元,水果糖的售价为每千克15元,混合后什锦糖的售价应为每千克　　　　元.
项目/应试者 口语表达 写作能力
甲 80 90
乙 90 80
04
巩固训练
5.某校“数学之星”评比由小论文、说题比赛、其他荣誉、现场考核四部分组成.每班只推荐一位同学.八(2)班小崇、小德两位同学得分情况如下.
(1)若各部分在总分中的占比之比为1∶1∶1∶2,分别计算两位同学的得分;
(2)若现场考核在总分中占比为50%,有人认为应推荐小德同学参加校级“数学之星”评比,你认为合理吗 如不合理,请说出你的推荐人选,并说明理由.
解:(1)小崇的得分为
=80(分),
小德的得分为
=80(分).
答:小崇的得分为80分,小德的得分为80分.
姓名 小论文 说题比赛 其他荣誉 现场考核
小崇 80 90 30 100
小德 100 90 30 90
04
巩固训练
(2)推荐小德同学参加校级“数学之星”评比不合理,谁去都不确定.
理由如下:
因为小论文、说题比赛和其他荣誉所占的百分比没有说明,
故小崇和小德的具体得分不确定,要根据实际所占的百分比进行选择,小德可能去,小崇也可能去.
04
巩固训练
05
课堂小结
通过本节课的学习你收获了什么？
加权平均数：
概念：按数据 “重要程度”(权)计算的平均数，公式：(w为权)；
权的形式：①个数权；②百分比权；③比例权.
与算术平均数的联系：当所有权相等时，加权平均数简化为算术平均数，即算术平均数是加权平均数的特殊情况.
方差初步感知：当两组数据平均数相同时，需通过 “成绩波动大小” 判断稳定性，为后续方差计算奠定认知基础.
实际应用：可解决定价、评分、大数据分布式计算等问题，关键是根据实际情境确定权的形式.
2.某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1元.某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是(　 　)
A.1.95元 B.2.15元 C.2.25元 D.2.75元
1.某校举行校园十佳歌手大赛，小颖同学的初赛成绩为90分，复赛成绩为80分.若总成绩按初赛成绩占30％，复赛成绩占70％来计算，则小颖同学的总成绩为(　)
A.83分 B.80分 C.75分 D.70分
06
作业设计
基础达标：
A
C
3.某班有男生20人，女生18人.在一次测验中，男生的平均分为a分，女生的平均分为b分，那么这个班级全体学生这次测验的平均分为(　)
A.分 B.分 C.分 D.分
06
作业设计
基础达标：
4.一家公司招考某工作岗位，只考数学和物理，计算综合得分时，按数学占60％，物理占40％计算，如果孔明数学得分为80分，估计综合得分最少要达到84分才有希望，那么他的物理最少要考(　 　)
A.86分 B.88分 C.90分 D.92分
5.某校举行“传承经典文化，诵读时代心声”的主题诵读比赛，八年级(2)班在作品内容、仪表形象、舞台表现三个方面的得分分别为84，89，90，若将三项得分依次按3∶2∶5的比例计算总成绩，则八年级(2)班的总成绩为　 　分.
06
作业设计
能力提升：
88
6.某校竞选学生会干部，分学生一日常规知识笔试和演讲比赛两个环节，总分均为100分，并按4∶6比例计算平均成绩，小明笔试成绩95分，演讲成绩90分，最终平均成绩为　 　分.
92
7.《义务教育课程标准》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定.小亮调查了全班同学一周学会炒的菜品数量，结果如图所示，则全班同学一周学会炒的菜品数量的平均数是　 　.
06
作业设计
能力提升：
2.6
8.一位求职者参加某公司的招聘，面试和笔试的成绩分别是86和90，公司给出他这两项测试的平均成绩为87.2，可知此次招聘中　 　(填“面试”或“笔试”)的权重较大.
面试
06
作业设计
9.为深入学习贯彻习近平法治思想，推动青少年宪法学习宣传教育走深走实，某校开展了宪法知识在线学习、知识竞赛与演讲比赛三项活动，下表是参加冠亚军决赛的甲、乙两名选手的各项测试成绩(单位：分).若将在线学习、知识竞赛与演讲比赛的成绩依次按2∶3∶5的比例计算最终成绩，谁将获得冠军？
选手/项目 在线学习 知识竞赛 演讲比赛
甲 84 96 90
乙 89 99 85
迁移拓展：
06
作业设计
迁移拓展：
解：甲的最终成绩为(分)，
乙的最终成绩为(分)，
∵90.6＞90，
∴甲将获得冠军.
06
作业设计
迁移拓展：
10.2024年6月5日是第53个世界环境日，今年的主题是“全面推进美丽中国建设”，旨在深入学习宣传贯彻习近平生态文明思想，引导全社会牢固树立并践行绿水青山就是金山银山的理念.为了庆祝第53个世界环境日，学校举办环境保护知识竞赛活动，竞赛内容分“自然环境保护”“地球生物保护”“人类环境保护”“生态环境保护”四个项目，如表是小亮和小彬的各项成绩：(百分制)
项目 自然环境保护 地球生物保护 人类环境保护 生态环境保护
小亮 95 90 85 90
小彬 80 90 100 90
06
作业设计
迁移拓展：
(1)计算小亮与小彬的四个项目的平均成绩；
(2)若“自然环境保护”“地球生物保护”“人类环境保护”“生态环境保护”四个项目按2∶1∶4∶3确定综合成绩，则小亮和小彬谁的综合成绩高？请通过计算说明理由.
06
作业设计
迁移拓展：
解：(1)小亮四个项目的平均成绩＝＝90(分)，
小彬四个项目的平均成绩＝＝90(分).
(2)小彬的综合成绩高，理由如下：
小亮的综合成绩＝＝89(分)，
小彬的综合成绩＝＝92(分)，
∵92＞89，
∴小彬的综合成绩高.
Thanks!
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6.1平均数与方差第2课时教学设计教学设计
学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 六单元
课题 6.1平均数与方差 课时 第2课时
课标要求 本节课需落实 “数据与代数” 领域核心目标：理解加权平均数的概念及 “权” 的本质（数据重要程度），能根据权的不同形式（个数、百分比）计算并解释其实际意义；初步感知方差与数据稳定性的关联，建立 “平均相同需进一步分析波动” 的认知；能运用加权平均数解决定价、评分、大数据分布式计算等真实问题，体会权对结果的影响；发展数据观念与定量分析意识，为后续系统学习方差计算奠定基础，符合新课标 “真实情境下数据分析与素养落地” 的要求.
教材分析 本节课是第 1 课时算术平均数的延伸，聚焦 “加权平均数（含权的意义）” 与 “方差的初步感知”，是数据分析从 “集中趋势” 向 “离散程度” 过渡的关键节点.教材以三层情境递进：先借 “全家福馄饨定价”（个数权）引出加权平均数，再用 “广播体操评分”（百分比权）深化权的形式，最后通过 “网站上网时间” 关联大数据分布式计算；同时以 “甲丁射击平均成绩相同但稳定性不同” 的对比，自然引出方差的需求.既衔接前期知识，又为后续方差计算铺垫，体现新课标 “问题导向、素养递进” 的编写思路.
学情分析 学生已掌握算术平均数计算，但存在两大认知难点：一是对 “权” 的本质（数据重要程度）理解模糊，易将 “个数权” 与 “百分比权” 割裂，不会转化；二是面对 “平均相同但稳定性不同” 的情况，习惯凭主观判断波动大小，缺乏 “定量衡量” 的意识.在复杂情境中，部分学生难以确定权的具体形式，个体差异集中在 “权的实际意义转化” 与 “数据稳定性的定量感知” 上.
教学目标 1.理解加权平均数的概念及权的意义，能根据个数、百分比等不同形式的权计算加权平均数，初步感知方差与数据稳定性的关联； 2.通过分析馄饨定价、评分方案、射击成绩等情境，经历 “感知权的作用—计算验证—对比稳定性” 的过程，提升数据分析与逻辑推理能力； 3.体会加权平均数在商业、体育、大数据中的应用，感受数学与生活的紧密联系，培养用定量方法分析数据的科学意识.
教学重点 1.理解加权平均数的概念，能根据不同形式的权准确计算加权平均数； 2.初步感知方差与数据稳定性的关联，能结合平均成绩判断数据波动情况.
教学难点 理解 “权” 的本质，并能根据实际情境灵活确定权的形式，解释权对加权平均数结果的影响.
教法与学法分析 教法采用 “情境分层驱动 + 问题链探究”，通过馄饨定价（基础）、评分方案（进阶）、网站计算（拓展）设疑，引导学生拆解权的本质；学法以 “小组合作 + 自主对比分析” 为主，通过计算不同权的结果、对比甲丁射击成绩，主动建构知识，落实 “做中学”，契合新课标学生主体理念.
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 复习回顾 （1）上节课我们用算术平均数计算了商品的平均日销量，若某商品 3 天销量为 5、6、7，算术平均数是 6；若第三天销量变为 17，平均数变成多少？ 答案：（5+6+17）÷3=9， （2）这说明算术平均数受什么影响？ 答案：相对于5，6，7这三个数，17比较大，所以算术平方根易受极端值影响.. 引导学生复习回顾，引导学生复习算术平方根. 独立计算平均数，同桌交流后举手回答. 唤醒算术平均数旧知，暴露其 “易受极端值干扰” 的局限，自然引出 “需更灵活统计量” 的需求，为加权平均数学习铺垫.
探究活动一： 某馄饨店每碗有10个馄饨.其中蛋黄鲜肉馄饨15元/碗，虾仁鲜肉馄饨15元/碗，荠菜鲜肉馄饨12元/碗，玉米鲜肉馄饨10元/碗，香芹鲜肉馄饨10元/碗.现在计划推出一份“全家福”馄饨，其中含蛋黄鲜肉馄饨、虾仁鲜肉馄饨各1个，荠菜鲜肉馄饨2个，玉米鲜肉馄饨、香芹鲜肉馄饨各3个.你认为这种“全家福”馄饨每碗定价多少元较为合理？你是怎么想的？与同伴进行交流. 呈现馄饨单价与 “全家福” 配料数量，提问，引导学生按数量占比计算. 小组讨论 “算术平均不合理”，尝试用 “单价 × 数量占比” 计算定价，展示结果. 以生活情境切入，让学生自主发现 “数据重要程度不同需加权”，初步感知 “个数权” 的意义，突破 “理解权本质” 的难点.
环节二：同伴分享，互助研学 探究活动二： 思考交流： （1）小亮认为“全家福”馄饨每碗定价应为 （元）. 你认为他的算法合理吗？为什么？与同伴进行交流. 合理，因为每钟馄饨的价格不相同，需要根据不同种类的数量分别计算. （2）如果“全家福”馄饨含蛋黄鲜肉馄饨3个，虾仁鲜肉馄饨3个，荠菜鲜肉馄饨2个，玉米鲜肉馄饨 1个，香芹鲜肉馄饨 1个，那么该如何定价呢？若每种馄饨各2个，又该如何定价呢？ （元）. 若每种馄饨各2个，定价为1（元）. （3）你认为这种“全家福”馄饨的定价与什么有关？ 不同馅料的馄饨个数不同，影响着这碗“全家福”馄饨的定价. 归纳总结：在很多实际问题中，一组数据里各个数据的“重要程度”未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时，往往根据各个数据的“重要程度”赋一个“权”.例如，在一碗“全家福”馄饨中，不同馅料的馄饨个数不同，影响着这碗“全家福”馄饨的定价，因此不同馅料馄饨的占比就是权，我们称为上述第一种“全家福”馄饨五种馄饨价格的加权平均数. 加权平均数的计算公式： （为权） 想一想：加权平均数和算术平均数有什么区别和联系？ 对比维度算术平均数加权平均数权重要求所有数据 “权重相等”（默认每个数据重要性相同）数据 “权重不同”（需明确每个数据的重要程度 / 出现次数）计算步骤直接求和→除以数据个数（一步到位）先算 “数据 × 权重” 的和→除以权重总和（两步计算）适用场景数据无差异、无优先级的情况数据有差异、需体现 “重要性” 的情况实例场景计算 5 次投篮训练的平均命中数（每次训练同等重要）计算期末总成绩（平时成绩占 30%、期末成绩占 70%，权重不同）
核心总结：当数据 “没区别” 时，用算术平均数；当数据 “有轻重” 时，用加权平均数 —— 两者本质都是 “刻画数据集中趋势”，只是加权平均数更灵活，能适应更多实际场景. 针对小亮的定价算法提问 “为何用数量占比当权？”，再给出不同配料数量，让学生计算并对比 “每种各 2 个” 的情况，追问 “权相同时是什么平均数？”. 计算两种新定价，发现 “权相等时，加权平均等于算术平均”，总结两者联系. 通过对比计算，让学生自主建构 “算术平均数是加权平均数的特殊情况”，深化概念理解.
环节三：全班展学，互动深入 探究活动三： 例题精讲： 某校进行广播操比赛，评分包括以下几项（每项满分10分）：服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐.其中三个班的成绩分别如下： 班级评分项服装统一进退场有序动作规范动作整齐一班9898二班10978三班8989
如果将服装统一、进退场有序、动作规范、动作整齐这四项得分依次按10%，20%，30%，40%的比例计算各班的广播操比赛成绩，那么哪个班的成绩最高？ 解：一班的成绩为（分）； 二班的成绩为（分）； 三班的成绩为（分）. 所以，三班成绩最高. 在例题中，你认为哪个评分项更为重要？请按自己的想法设计一个评分方案，并与同伴进行交流. 广播操比赛的核心是 “动作质量与团队协作”，因此调整权重时需进一步强化 “动作规范” 和 “动作整齐” 的核心地位，同时保留 “服装统一”“进退场有序” 的辅助作用（避免过度侧重形式而忽略本质）.具体权重设计如下： 评分项权重设计理由服装统一10%仅需保证整洁统一，不影响动作质量，作为基础辅助项，权重维持较低水平.进退场有序15%体现班级纪律性，但属于流程性环节，重要性低于动作类项目，适当降低权重.动作规范35%动作是否符合广播操标准是 “质量底线”，提升权重突出基础重要性.动作整齐40%团队动作是否同步是比赛 “视觉核心”，维持最高权重，凸显协作价值.
一班成绩：9×10% + 8×15% + 9×35% + 8×40%= 0.9 + 1.2 + 3.15 + 3.2 = 8.45 分 二班成绩：10×10% + 9×15% + 7×35% + 8×40%= 1 + 1.35 + 2.45 + 3.2 = 7.95 分 三班成绩：8×10% + 9×15% + 8×35% + 9×40%= 0.8 + 1.35 + 2.8 + 3.6 = 8.55 分 新方案下，三班（8.55 分）仍为最高，一班（8.45 分）次之，二班（7.95 分）最低. 总结归纳： 1.权的设定依据：需紧扣活动核心目的 —— 广播操比赛本质是 “动作质量与团队协作”，因此 “动作规范”“动作整齐”权重应高于 “服装统一”“进退场有序”，避免 “重形式轻本质”. 2.计算关键要点：面对百分比权，需先将百分比转化为小数，再按 “得分 × 对应权重” 求和；若权重为比例，需先算总份数，再转化为 “比例 / 总份数” 计算. 3.权对结果的影响：权重调整会改变班级排名，因此权的设定需客观反映评价重点，保证公平性. 探究活动四： 思考·交流： （1）已知A，B两家网站客户的日人均上网时间分别是2 h和1 h，这两家网站所有用户的日人均上网时间是（2+1）÷2=1.5（h）吗？为什么？与同伴进行交流. 不能直接用算术平均数计算，因为日人均上网时间的总平均，需考虑两家网站的用户人数（即 “权重”）—— 若 A、B 网站的用户人数不同，它们对 “总人均时间” 的影响程度不同，此时必须用加权平均数计算，而非简单的算术平均数. （2）设A，B两家网站用户的日人均上网时间分别是a h和b h，A，B两家网站平均每天的上网用户分别为m人和n人，你能求出这两家网站所有用户的日人均上网时间吗？ A，B两家网站所有用户的日人均上网时间为h，它不是两个网站各自用户日人均上网时间ah和bh的算术平均数，而是ah，bh的加权平均数h，权，反映了两家网站用户的分布情况. 这是分布式计算的最简单形式，对于多个网站也可以类似计算.在大数据时代，分布式计算具有广泛的应用. 出示各班评分与 10%、20%、30%、40% 的权重，示范一班成绩计算，引导学生计算二、三班成绩，再让小组设计新评分方案并说明理由. 模仿计算二、三班成绩（8.1 分、8.6 分），小组讨论并设计 “强化动作类权重” 的方案（如动作规范 35%、整齐40%），计算新成绩并分享思路. 落实 “百分比权计算” 的教学重点，让学生在方案设计中体会 “权的设定紧扣活动核心”，提升数据分析能力.
环节四：巩固内化，拓展延伸 巩固训练 1.某校为落实作业、睡眠、手机、读物、体质等“五项”管理工作有关要求，随机抽查了部分学生每天的睡眠时间，制定如下统计表.所抽查学生每天睡眠时间的平均数为 （　　） 睡眠时间/h6789人数1020155
A.7 h B.7.3 h C.7.5 h D.8 h 2.学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能和投球技能两方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按控球技能占60%，投球技能占40%计算选手的综合成绩（百分制）.选手李林控球技能得90分，投球技能得80分.李林综合成绩为 （　　） A.170分 B.86分 C.85分 D.84分 3.学校广播站要新招1名广播员，甲、乙两名同学经过选拔进入复试环节，参加了口语表达、写作能力两项测试，成绩如表： 项目 应试者口语表达写作能力甲8090乙9080
学校规定口语表达按70%，写作能力按30%计入总成绩，根据总成绩择优录取.通过计算，你认为 　　　　同学将被录取. 4.为了满足顾客的需求，某商场将5 kg奶糖、3 kg酥心糖和2 kg水果糖混合成什锦糖出售.已知奶糖的售价为每千克40元，酥心糖的售价为每千克20元，水果糖的售价为每千克15元，混合后什锦糖的售价应为每千克　　　　元. 5.某校“数学之星”评比由小论文、说题比赛、其他荣誉、现场考核四部分组成.每班只推荐一位同学.八（2）班小崇、小德两位同学得分情况如下. 姓名小论文说题比赛其他荣誉现场考核小崇809030100小德100903090
（1）若各部分在总分中的占比之比为1∶1∶1∶2，分别计算两位同学的得分； （2）若现场考核在总分中占比为50%，有人认为应推荐小德同学参加校级“数学之星”评比，你认为合理吗？如不合理，请说出你的推荐人选，并说明理由. 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测，用所学知识解决问题，学生代表回答. 学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 加权平均数： 概念：按数据 “重要程度”（权）计算的平均数，公式：（w为权）； 权的形式：①个数权；②百分比权；③比例权. 与算术平均数的联系：当所有权相等时，加权平均数简化为算术平均数，即算术平均数是加权平均数的特殊情况. 方差初步感知：当两组数据平均数相同时，需通过 “成绩波动大小” 判断稳定性，为后续方差计算奠定认知基础. 实际应用：可解决定价、评分、大数据分布式计算等问题，关键是根据实际情境确定权的形式. 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答，自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架.
板书设计 6.1平均数与方差第2课时 加权平均数的概念： 公式： （w为权） 权的形式：①个数权；②百分比权；③比例权. 加权平均数的应用： 例： 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系.
作业设计 基础达标： 1.某校举行校园十佳歌手大赛，小颖同学的初赛成绩为90分，复赛成绩为80分.若总成绩按初赛成绩占30％，复赛成绩占70％来计算，则小颖同学的总成绩为（　 　） A.83分 B.80分 C.75分 D.70分 2.某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1元.某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（　 　） A.1.95元 B.2.15元C.2.25元 D.2.75元 3.某班有男生20人，女生18人.在一次测验中，男生的平均分为a分，女生的平均分为b分，那么这个班级全体学生这次测验的平均分为（　 　） A.分 B.分 C.分 D.分 4.一家公司招考某工作岗位，只考数学和物理，计算综合得分时，按数学占60％，物理占40％计算，如果孔明数学得分为80分，估计综合得分最少要达到84分才有希望，那么他的物理最少要考（　 　） A.86分 B.88分 C.90分 D.92分 能力提升： 5.某校举行“传承经典文化，诵读时代心声”的主题诵读比赛，八年级（2）班在作品内容、仪表形象、舞台表现三个方面的得分分别为84，89，90，若将三项得分依次按3∶2∶5的比例计算总成绩，则八年级（2）班的总成绩为　 　分. 6.某校竞选学生会干部，分学生一日常规知识笔试和演讲比赛两个环节，总分均为100分，并按4∶6比例计算平均成绩，小明笔试成绩95分，演讲成绩90分，最终平均成绩为　 　分. 7.《义务教育课程标准》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定.小亮调查了全班同学一周学会炒的菜品数量，结果如图所示，则全班同学一周学会炒的菜品数量的平均数是　 　. 8.一位求职者参加某公司的招聘，面试和笔试的成绩分别是86和90，公司给出他这两项测试的平均成绩为87.2，可知此次招聘中　 　（填“面试”或“笔试”）的权重较大. 拓展迁移： 9.为深入学习贯彻习近平法治思想，推动青少年宪法学习宣传教育走深走实，某校开展了宪法知识在线学习、知识竞赛与演讲比赛三项活动，下表是参加冠亚军决赛的甲、乙两名选手的各项测试成绩（单位：分）.若将在线学习、知识竞赛与演讲比赛的成绩依次按2∶3∶5的比例计算最终成绩，谁将获得冠军？ 选手/项目在线学习知识竞赛演讲比赛甲849690乙899985
10.2024年6月5日是第53个世界环境日，今年的主题是“全面推进美丽中国建设”，旨在深入学习宣传贯彻习近平生态文明思想，引导全社会牢固树立并践行绿水青山就是金山银山的理念.为了庆祝第53个世界环境日，学校举办环境保护知识竞赛活动，竞赛内容分“自然环境保护”“地球生物保护”“人类环境保护”“生态环境保护”四个项目，如表是小亮和小彬的各项成绩：（百分制） 项目自然环境保护地球生物保护人类环境保护生态环境保护小亮95908590小彬809010090
（1）计算小亮与小彬的四个项目的平均成绩； （2）若“自然环境保护”“地球生物保护”“人类环境保护”“生态环境保护”四个项目按2∶1∶4∶3确定综合成绩，则小亮和小彬谁的综合成绩高？请通过计算说明理由.
教学反思 本节课通过分层情境帮助学生掌握了加权平均数的计算，但仍有不足：一是部分学生对 “百分比权的转化”存在卡顿，需后续设计 “权的形式转换” 专项练习；二是 “数据稳定性的定量感知” 仅停留在 “波动大则不稳定”，未深入引导学生思考 “如何用计算体现波动”，可补充 “计算成绩与平均数的差值” 的小活动，为后续方差计算铺垫.此外，分布式计算的应用讲解较抽象，可结合 “两个小组的平均成绩合并计算” 的简单案例，让学生更易理解权的广泛存在.后续需优化难点拆解，增加 “学生自主设计评分权” 的活动，深化对权本质的理解.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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