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(共68张PPT)
　等差数列
2026年高考数学一轮复习专题课件★★　
回归教材
等差数列的有关概念
(1)定义：一般地，如果一个数列___________，每一项与它的前一项的___________________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，定义的表达式为_____________________．
(2)a，b的等差中项为_________．
(3)通项公式：an＝_______________＝am＋__________ (m，n∈N*)．
从第2项起
差都等于同一个常数
an＋1－an＝d，d为常数
a1＋(n－1)d
(n－m)d
等差数列的性质
设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则有如下的性质：
(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
特别地，当m＋n＝2p时，则am＋an＝2ap.其中，m，n，p∈N*，ap称为am和an的等差中项．
推广：若m1＋m2＋…＋mk＝n1＋n2＋…＋nk(m1，m2，…，mk，n1，n2，…，nk∈N*)，则am1＋am2＋…＋amk＝an1＋an2＋…＋ank.
(2)在等差数列中下标成等差数列的项组成的新数列仍为等差数列．
(3)若{an}，{bn}都为等差数列，则{man＋kbn}也为等差数列(其中m，k均为常数)．
(4)Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k，…也成等差数列．
常用结论
(1)数列{an}为等差数列的充要条件是an＝kn＋b(k，b∈R)．
(2)若数列{an}的前n项和为Sn，则“数列{an}为等差数列”的充要条件是“Sn＝an2＋bn(a，b∈R)”．
(3)在等差数列{an}中，Sn为前n项和，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．
(4)在等差数列{an}中，若d>0，则数列{an}为递增数列；若d<0，则数列{an}为递减数列；若d＝0，则数列{an}为常数列．
1．判断下面结论是否正确．(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．
夯实双基
答案　(1)×　
(2)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．
答案　(2)×　
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.
答案　(3)√　
答案　(4)√　
(4)若数列{an}是等差数列，则数列{an＋2an＋1}也是等差数列．

(5)若无穷等差数列{an}的公差d>0，则其前n项和Sn不存在最大值．
答案　(5)√　
(6)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．
答案　(6)×
2．某单位组织全体党员在报告厅集体收看党的二十大开幕会，认真聆听习近平总书记向大会所作的报告．已知该报告厅有15排，共390个座位，并且从第2排起，每排比前一排多2个座位，则最后一排的座位数为(　　)
A．12　　　　　　　　　　 B．26
C．40 D．50
√
解析　方法一：设从第1排到第15排每排的座位数构成的数列为{an}，由题意可知，数列{an}为等差数列，公差d＝2，且{an}的前15项和S15＝390，所以S15＝15a1＋ ×2＝390，解得a1＝12，所以a15＝a1＋14d＝12＋14×2＝40，即最后一排的座位数为40，故选C.
方法二：设从第15排到第1排每排的座位数构成的数列为{an}，由题意可知，数列{an}为等差数列，公差d＝－2，且{an}的前15项和S15＝390，所以S15＝15a1＋ ×(－2)＝390，解得a1＝40，即最后一排的座位数为40，故选C.
方法三：设从第1排到第15排每排的座位数构成的数列为{an}，由题意可知，数列{an}为等差数列，公差d＝2，且{an}的前15项和S15＝390，所以S15＝15a8＝390，所以a8＝26，则a15＝a8＋7d＝26＋7×2＝40，即最后一排的座位数为40，故选C.
3．(1)(课本习题改编)设a≠b，且数列a，x1，x2，b和a，y1，y2，y3，y4，b分别是等差数列，则 ________．
(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a4＝5，则S6＝________．
15
解析　(2)∵{an}为等差数列，∴S6＝ ×6＝ ×6＝15.
4．(2024·新课标Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a3＋a4＝7，3a2＋a5＝5，则S10＝________．
解析　方法一(基本量法)：设{an}的公差为d，由a3＋a4＝a1＋2d＋a1＋3d＝2a1＋5d＝7，3a2＋a5＝3(a1＋d)＋a1＋4d＝4a1＋7d＝5，解得a1＝－4，d＝3，则S10＝10a1＋45d＝95.
95
5．已知数列{an}满足2an＋1＝2an＋1，其中a8＝ ，则a3＝________．
2
题型一　 等差数列基本量计算
已知数列{an}是等差数列．
(1)若a2＋a5＝19，S5＝40，求a10；
【答案】　(1)29　
方法二：由S5＝5a3＝40，得a3＝8.
所以a2＋a5＝a3－d＋a3＋2d＝2a3＋d＝16＋d＝19，得d＝3.
所以a10＝a3＋7d＝8＋3×7＝29.
(2)若a1＝2，an＝－26，Sn＝－84，求公差d；
(3)若{an}的各项均为正数，且满足a1＋a5＝ ，S7＝63.求数列{an}的通项公式．
【答案】　(3)an＝2n＋1
状元笔记
　等差数列基本量的求法
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．
(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知量是常用方法．
√
思考题1　(1)【多选题】记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S4＝0，a5＝5，则下列选项正确的是(　　)
A．a2＋a3＝0　　　　　 B．an＝2n－5
C．Sn＝n2－4n D．d＝－2
√
√
(2)已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＋1＝Sn＋an＋3，a4＋a5＝23，则S8＝(　　)
A．72 B．88
C．92 D．98
√
【解析】　因为Sn＋1＝Sn＋an＋3，所以Sn＋1－Sn＝an＋3＝an＋1，所以an＋1－an＝3，所以{an}是公差d＝3的等差数列，又a4＋a5＝23，即2a1＋7d＝23，解得a1＝1，所以S8＝8a1＋ ＝92.故选C.
(3)设Sn是等差数列{an}的前n项和，a4＝11，且S3，S5，a22成等差数列，则S10＝(　　)
A．145 B．150
C．155 D．160
√
【解析】　设等差数列{an}的公差为d，因为a4＝11，所以S3＝
＝3a2＝3(11－2d)，S5＝5a3＝5(11－d)，a22＝11＋18d，因为S3，S5，a22成等差数列，所以3(11－2d)＋11＋18d＝10(11－d)，所以d＝3，a1＝a4－3d＝11－9＝2，
所以S10＝10a1＋45d＝20＋135＝155.故选C.
题型二　 等差数列的性质(微专题)
微专题1　等差数列项的性质
(1)在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝36，a11＋a12＋a13＝84，则a5＋a9＝(　　)
A．30 B．35
C．40 D．45
√
方法二：由a1＋a2＋a3＝3a2＝36，得a2＝12，由a11＋a12＋a13＝3a12＝84，得a12＝28，所以a5＋a9＝a2＋a12＝12＋28＝40.故选C.
(2)若数列{an}满足an＋1＋an－1＝2an，且a3＋a15＝14，则其前17项和S17＝(　　)
A．136 B．119
C．102 D．85
√
【解析】　由an＋1＋an－1＝2an，得数列{an}是等差数列，由a3＋a15＝2a9＝14可得a9＝7.所以其前17项和S17＝a1＋a2＋…＋a16＋a17＝
＝17a9＝119，故选B.
(3)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，a1＝1，b1＝5，且a21－b21＝34，则a11－b11＝(　　)
A．－17 B．－15
C．17 D．15
√
状元笔记
等差数列项的性质
(1)等差数列中最常用的性质：① (p，q∈N*且p≠q)，②若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．
(2)利用等差数列性质(特别是感觉条件不够时)求解既简捷，又迅速．
√
思考题2　(1)在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若a2＋a6＋a7＝27，则S9的值为(　　)
A．36 B．45
C．72 D．81
【解析】　因为a2＋a6＋a7＝a4＋a6＋a5＝3a5＝27，所以S9＝9a5＝81.故选D.
√
微专题2　等差数列和的性质
√
(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S20＝60，则S40等于(　　)
A．110 B．150
C．210 D．280
【解析】　因为等差数列{an}的前n项和为Sn，
所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列．
故(S30－S20)＋S10＝2(S20－S10)，
所以S30＝150.
又因为(S20－S10)＋(S40－S30)＝2(S30－S20)，所以S40＝280.
√
(3)(人教A版选修二P23T5改编)已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，求此数列中间一项的值以及数列的项数．
【答案】　29，19
【解析】　设等差数列为{an}，共有2n＋1项，奇数项的和记为S奇，偶数项的和记为S偶，则S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝(n＋1)·an＋1.
S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝n·an＋1.
∴n＝9，∴9·an＋1＝261.∴an＋1＝29.
∴此数列中间一项的值为29，数列的项数为19.
(4)设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列 的前n项和，求Tn.
方法二：设Sn＝An2＋Bn，∵S7＝7，S15＝75，
下同方法一．
状元笔记
等差数列和的性质
在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则：
(1)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也成等差数列．
(2) 也为等差数列．
(3)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)．
(4)S2n－1＝(2n－1)an.
(5)若n为偶数，则 若n为奇数，则S奇－S偶＝a中
(中间项)．
√
思考题3　(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝16，S6＝8，则S12＝(　　)
A．－50 B．－60
C．－70 D．－80
【解析】　由等差数列的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，
且该数列的公差为(S6－S3)－S3＝－8－16＝－24，
则S9－S6＝(S6－S3)－24＝－32，
所以S12－S9＝(S9－S6)－24＝－56，
因此S12＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)＝－80.
A．2 025 B．－2 025
C．4 050 D．－4 050
√
(4)已知等差数列{an}的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为(　　)
A．10 B．20
C．30 D．40
√
【解析】　设这个数列有2n项，则由等差数列的性质可知偶数项之和减去奇数项之和等于nd，即25－15＝2n，故2n＝10，即该数列的项数为10.
微专题3　等差数列的最值问题
等差数列{an}的首项a1>0，其前n项和为Sn，且S5＝S12，则当n为何值时，Sn有最大值？
由图可知，当1≤n≤8时，{Sn}为递增数列；当n≥9时，{Sn}为递减数列，且S8＝S9.又n∈N*，所以当n＝8或9时， Sn有最大值．
【答案】　当n＝8或9时，Sn有最大值
又n∈N*，所以当n＝8或9时，Sn有最大值．
方法四：同方法二得d＝ <0，
由S5＝S12得a6＋a7＋a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝0，
所以7a9＝0，所以a9＝0.
所以当n＝8或9时，Sn有最大值．
状元笔记
求等差数列前n项和Sn的最值的两种方法
(1)函数法：当d≠0时，将等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)看作二次函数y＝Ax2＋Bx当x＝n时的函数值，根据二次函数的性质求最值．
(2)邻项变号法：①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项．
②利用性质求出其正负转折项，便可求得前n项和的最值．
√
思考题4　(1)在等差数列{an}中，a12＜0，a13＞0，且a13＞|a12|，Sn为数列{an}的前n项和，则使得Sn＞0的n的最小值为(　　)
A．23 B．24
C．25 D．26
(2)等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S19>0，S20<0，则使Sn取得最大值的n为____；试写出一个符合要求的an＝____________________．
10
10.2－n(答案不唯一)
题型三　 等差数列的判定
(2021·全国甲卷，理)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列{an}是等差数列；②数列{ }是等差数列；③a2＝3a1.
【答案】　证明见解析
【证明】　①③ ②.
已知{an}是等差数列，a2＝3a1.
设数列{an}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，
所以an＝Sn－Sn－1＝n2d′2－(n－1)2d′2＝2d′2n－d′2(n≥2)，且a1＝d′2也满足上式，所以数列{an}是等差数列．
状元笔记
等差数列的四种判断方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数) {an}是等差数列．
(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋) {an}是等差数列．
(3)通项公式法：an＝pn＋q(p，q为常数) {an}是等差数列．
(4)利用前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数) {an}是等差数列．
注：(1)(2)常用来证明{an}为等差数列；
(3)(4)可用于在选择、填空题中的简单判断．
思考题5　(2021·全国乙卷)记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
【答案】　(1)证明见解析
(2)求{an}的通项公式．

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