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第一章　反比例函数
全章热门考点整合应用
1. 杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩(力与力臂的乘积)大小必须相等，即F1L1＝F2L2.
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C
如图，铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧力F与力臂L满足的函数关系是(　　)
A．正比例函数关系
B.一次函数关系　
C.反比例函数关系
D.以上都不对
2. 若函数y＝(m＋5)x|m|－5是反比例函数，则m的值为(　　)
A.4　　　B．－4　　　C．4或－4　　　D．0
C
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－3
1
(2)补充表格，在平面直角坐标系中，描出表中各组值对应坐标的点，画出该函数的图象；
x … －3 －2 －1 5 …
y … 3 1 …
函数图象如图所示：
①②④
(3)观察函数图象，下列关于函数性质的描述正确的有________；
①当x≤－1时，y随x的增大而增大；
②当x>－1时，y随x的增大而减小；
③函数y的图象关于直线x＝－1轴对称；
④当x＝－1时，函数值y取得最大值3.
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(4)过点(0，m)作直线l平行于x轴，若直线l与函数y的图象有两个交点，则m的取值范围是____________.
0(1)分别求出反比例函数及一次函数的表达式；
(2)求点B的坐标；
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【解】x<－1或0返回
A
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【答案】 C
7. [2025·青岛校级期末]如图①，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示：
桌面所受压强p/Pa 400 500 800 1 000 1250
受力面积S/m2 0.5 0.4 0.25 0.2 0.16
(1)根据表中数据，求出压强p(Pa)关于受力面积S(m2)的函数表达式．
(2)如图②，将另一长、宽、高分别为60 cm，20 cm，10 cm，且与原长方体相同质量的长方体放置于该水平玻璃桌面上，若玻璃桌面承受的最大压强为2 000 Pa，问这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由．
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(1)求出反比例函数的表达式及点B的坐标；
【解】自变量x的取值范围为x<0或1(3)求△AOB的面积．
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第一章　反比例函数
综合与实践　能将矩形的周长和面积同时加倍吗
一、项目化情境与问题
某学习小组在一次参观画展时，一同学发现作品甲的边框是矩形，它的长、宽、周长C和面积S分别如图①所示．
二、项目探究
小组成员对该同学提出的问题进行了如下分解，从矩形甲入手，逐次递进．
(2)x和y分别表示矩形B的相邻两边长，且x，y满足的一次函数和反比例函数的图象如图所示，结合刚才的研究解答下列问题：
①满足条件的矩形B的相邻两边长是多少？
X:
C=-
S2=
2
4.5
泰
9
-1f
4.5(共31张PPT)
第一章　反比例函数
测素质　反比例函数
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C
A
返回
返回
A
B
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5. 已知经过闭合电路的电流I(单位：A)与电路的电阻R(单位：Ω)之间的关系如下表所示，
I/A … 5 4 m 2 1 0.5 0.25 …
R/Ω … 20 25 30 40 50 100 200 400 …
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C
6. 放射性同位素的半衰期是指一个样本内，其放射性原子衰变至原来数量的一半所需的时间．镭(元素符号Ra)中最稳定的同位素镭－226变为氡－222的半衰期最长，16 mg的镭－226衰变规律的函数图象如图所示，
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则下列判断错误的是(　　)
A.该图象不是反比例函数图象
B.镭－226的半衰期(质量减半的时间)是1 620年
C.16 mg镭－226缩减为1 mg所用的时间约为6 480年
D.1 mg的镭－226经过若干年的衰变能变成0 mg
D
【答案】 D
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180
－1≤x<0或x≥2
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10. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流I不能超过10 A，那么用电器可变电
阻R应控制的范围是________.
R≥3.6 Ω
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(2)当x＝－3时，求y的值；
(3)当y＝4时，求x的值.
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(1)求m和k的值；
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14.(21分) 通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x(min)变化的函数图象如图所示．当0≤x<10和10≤x
<20时，图象是线段；当20≤x≤40时，图象是
双曲线的一部分，根据函数图象回答下列
问题：
(1)点A的注意力指标数是________；
24
(2)当0≤x<10时，求注意力指标数y随时间x(min)变化的函数表达式；
(3)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要20 min，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36？请说明理由.
【解】张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36.
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第一章　反比例函数
专题2　反比例函数与一次函数的综合应用
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D
C
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【答案】 C
C
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【点拨】当x＝0时，y＝2x＋2＝2，当y＝0时，0＝2x＋2，解得x＝－1.∵一次函数y＝2x＋2的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，∴A(－1，0)，B(0，2)，∴OA＝1，OB＝2.∵BC＝2AB，∴AC＝3AB.
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【答案】 D
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【答案】 C
(1)求反比例函数的表达式与n的值；
【解】x<0或2(3)若动点P在x轴上，求PA＋PB的最小值.
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(1)求反比例函数的表达式及点M，N的坐标；
(2)点P在第一象限内的反比例函数图象上，且△OCP的面积是四边形BMON面积的3倍，求点P的坐标.
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9. 如图是某型号冷柜循环制冷过程中温度变化的部分示意图．该冷柜的工作过程是：当冷柜温度达到－4 ℃时制冷开始，温度开始逐渐下降，当温度下降到－20 ℃时制冷停止，温度开始逐渐上升，当温度上升到－4 ℃时，制冷再次开始，…，按照以上方式
循环工作．通过分析发现，当0≤x<
4时，温度y是时间x的一次函数；当
4≤x(1)求t的值；
(2)若规定温度低于－10 ℃的时间为有效制冷时间，那么在一次循环过程中有多长时间属于有效制冷时间？
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第一章　反比例函数
2　反比例函数的图象与性质
第2课时 反比例函数的性质
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B
>
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－1(答案不唯一)
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【答案】 B
5
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【答案】 B
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【答案】 C
8. 科技承载梦想，创新始于少年．某校科技社团的学生们制作了一艘轮船模型，实验过程中他们发现在某段航行过程中轮船模型的牵引力F(N)是其速度v(m·s－1)的反比例函数，其图象如图所示，
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【答案】 B
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(1)已知△AOB的面积是3，求k的值；
【解】延长DC交x轴于点E，
由旋转的性质可得△AOB≌△ACD，∠BAD＝90°，
∴AD＝AB＝n，CD＝OB＝m，∠ADC＝∠ABO.
∵AB⊥x轴，∴∠ABO＝∠ABE＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABED是矩形，
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2
3
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B
0
X
A
D
B
C
0
X
A
11
FN
0987654321
0
123456789101112/ms1)
y
P
RY3PAPs···P2o26
012345
2026x
y
D
P
-B
VP3PAP5···P2o2
01C2345
2026
y个
A
D
C
0
B
X
EB
OR
F
无
①
C
E B
F
0
A
2
y
E B
H
F
X
①
y小
C
E
B
F
0
A
3
y个L
E
B
C
H
F
G
A
X
2(共27张PPT)
第一章　反比例函数
2　反比例函数的图象与性质
第1课时 反比例函数的图象
－1
x … －3 －2 －1 1 2 3 …
y1 … － －3 3 1 …
y2 … 1 －3 － …
3
－1
【解】如图所示．
(2)根据表格中的对应值描点，在右图中画出函数图象.
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③
(3)下列结论中，错误的是________(填序号).
①画反比例函数的图象时，描点后注意用平滑的曲线连接；②反比例函数的图象与坐标轴没有交点；③反比例函数的图象经过原点.
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①
A
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5. 如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，若正方形的边长是4，则图中阴影部分的面积等于(　　)
A．16
B．8
C．4
D．2
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C
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A
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【答案】 B
D
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【点拨】过点P作PH⊥y轴于点H，交图象于点A，∵P(2，3)，∴点A的纵坐标为3.设点A的横坐标为a，则a＜2，∴k＝3a＜3×2＝6.
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【答案】 A
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【答案】 D
(2)求△AOB的面积.
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(1)求反比例函数和AC所在直线的表达式；
【解】∵直线y＝ax＋4经过点A(－2，0)，
∴－2a＋4＝0，∴a＝2，
∴AC所在直线的表达式为y＝2x＋4.
∵B(1，0)，∠ABC＝90°，
∴点C的横坐标是1.
(2)将Rt△ABC的直角边BC沿着x轴正方向平移m个单位长度得到线段B′C′，线段B′C′与反比例函数的图象交于点E，问当m为何值时，四边形ODC′E是平行四边形？
【解】如图，当x＝0时，y＝2x＋4＝4，
∴OD＝4，由平移的性质得
到C′(1＋m，6)，B′C′＝BC＝6，
由题意得OD∥EC′，
∴当EC′＝OD＝4时，四边形ODC′E是平行四边形．
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第一章　反比例函数
专题1　反比例函数中k的几何意义
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B
【答案】 D
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【点拨】设正方形OABC，正方形BDEF的边长分别为a和b，则k＝(a＋b)(a－b)．∴k＝a2－b2.
∵两正方形的面积差为12，即a2－b2＝12，∴k＝12.
【答案】 A
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1∶5
【点拨】如图所示，过C作CE⊥x轴于E，连接DE.
∵AB⊥x轴于点B，∴AB∥CE，S△AOB＝S△COE.∴S△ADO＝S四边形BDCE.设△BDO的面积为S.∵CD＝3OD，∴△BDC的面积为3S.∴△BOC的面积为4S.∵BD∥CE，∴S△BCD＝S△BDE＝3S.∴BE＝3OB.∴△BCE的面积为12S.∴四边形BDCE的面积为12S＋3S＝15S，即△ADO的面积为15S.∴△BDC与△ADO的面积比为3S∶15S＝1∶5.
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【答案】 C
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【答案】 C
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【解】如图，连接OC，设AC与x轴交于点D，BC与y轴交于点E.
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【答案】 B
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【答案】 B
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【答案】 C
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【解】如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CD⊥y轴于点D，则∠AEB＝∠CDO＝90°.
∵四边形OABC为平行四边形，
∴AB＝CO，AB∥CO.
∴∠ABE＝∠COD.
∴△ABE≌△COD(AAS)．
∴△ABE与△COD的面积相等．
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第一章　反比例函数
3　反比例函数的应用
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A
1. 在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ(kg/m3)是体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示，当气体的密度ρ＝8 kg/m3时，体积是(　　)
A．1 m3
B．2 m3
C．4 m3
D．8 m3
2. 验光师检测发现近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了(　　)
A．150度 B．200度
C．250度 D．300度
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【答案】 B
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B
(1)分别求直线AC和双曲线对应的函数表达式；
(2)连接OA，OB，求△AOB的面积；
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5. 攀登珠穆朗玛峰的探险者一般携带一种容积为5 L的氧气瓶，一探险者的吸氧速度为每小时不少于1 L，但不多于5 L，则表示氧气可供使用的时间y(h)与此人的吸氧速度x(L/h)的函数关系的图象是(　　)
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【答案】D
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【答案】B
7. 为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0 mg/L.环保局要求该企业立即整改，在15天内(含15天)排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y(mg/L)与时间
x(天)的变化规律如图所示，其中线段AC
表示前3天的变化规律，第3天时硫化物
的浓度降为4.5 mg/L.
从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：
时间x(天) 3 5 6 9 …
硫化物的浓度y(mg/L) 4.5 2.7 2.25 1.5 …
(1)在整改过程中，当0≤x＜3时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(2)在整改过程中，当x≥3时，求硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0 mg/L？为什么？
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(1)求点A的坐标和反比例函数的表达式；
(2)若点N把线段AM分成长度比为1∶2的两部分，求点M的坐标；
(3)试探究在点M移动过程中，点M的横坐标和点N的横坐标之间有何数量关系？写出你的结论并说明理由.
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第一章　反比例函数
1　反比例函数
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A
C
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3.对于函数y＝(k2＋3k＋2)xk2＋k－1.
(1)当k为何值时，y是x的反比例函数？求出此函数的表达式.
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(2)当k为何值时，y是x的正比例函数？求出此函数的表达式.
4. 临滕公路是山东省“十二纵八横十一射”高速路网的重要组成部分．一段工程施工需要运送土石方总量为105m3，设土石方日平均运送量为V(单位：m3/天)，完成运送任务所需要的时间为t(单位：天)，则V与t满足(　　)
A.反比例函数关系 B．正比例函数关系
C.一次函数关系 D．以上都不对
A
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返回
D
返回
C
7. 《墨经》中记载的“小孔成像”是世界上最早的关于光学问题的论述，如图，根据小孔成像的科学原理，当像距(小孔到像的距离)和物高(蜡烛火焰高度)不变时，火焰的像高y(cm)是物距(小孔到蜡烛的距离)x(cm)的反比例函数，当x＝6时，y＝2.求y与x之间的函数关系式．(补全下列解题过程)
解：由火焰的像高y(cm)是物距(小孔到蜡烛的距离)x(cm)的反比例函数，设y与x之间的函数关系式为_________.
由题意可知，当x＝6时，y＝____________.
将x，y的值代入可得方程为____________.
解得____________.
故y与x之间的函数关系式为____________.
2
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k＝12
8. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强如下表：

则可以反映y与x之间的关系的式子是(　　)
D
体积x(mL) 100 80 60 40 20
压强y(kPa) 60 75 100 150 300
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9．[2025·大同期末]根据物理学知识可知，在压力不变的情况下，物体承受的压强p(Pa)是它的受力面积S(m2)的反比例函数．已知一个长方体石块如图①放置在水平地面时，石块对地面的压强为15 000 Pa，若将其如图②放置，则石块对地面的压强为________Pa.
12 00
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10.[2025·淄博临淄区月考]已知函数y＝(k－2)·x|k|－3(k为整数)，当k为________时，y是x的反比例函数．
－2
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11. 已知经过闭合电路的电流I(单位：A)与电路的电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系．根据下表判断a和b的大小关系为(　　)

A.a>b B．a≥b C．aA
I/A 5 … a … … … b … 1
R/Ω 20 30 40 50 60 70 80 90 100
返回
A
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13.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，P是BC边上一个动点(不与点B重合)，过点D作DE⊥AP于点E.设AP＝x，DE＝y，则y与x的函数表达式为____________，自变量x的取值范围是____________.
6返回
(1)完成下表：
y1 y2 y3 y4 y5
－
2
2
(2)观察上表，根据你发现的规律，猜想y2 026＝________．
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15．已知y＝y1＋y2，y1与x2成正比例函数关系，y2与x成反比例函数关系，且当x＝1时，y＝3；当x＝－1时，y＝1.
(1)求y与x之间的函数表达式；
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