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第二章　直角三角形的边角关系
6　利用三角函数测高
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【答案】A
2．如图，用热气球探测器测一栋楼BC的高度，从热气球上的点A测得该楼顶部点C的仰角为60°，测得底部点B的俯角为45°，点A与楼BC的水平距离AD＝50 m，则这栋楼BC的高度为__________m(结果保留根号)．
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15 m
3．如图，山顶上有一个信号塔AC，已知山高CD＝75 m，在山脚下点B处测得塔底C的仰角∠CBD＝36.9°，塔顶A的仰角∠ABD＝42.0°，则信号塔AC≈______(点A，C，D在同一条竖直线上．参考数据：
tan 36.9°≈0.75，sin 36.9°≈0.60，
tan 42.0°≈0.90)．
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4．小明和小亮两位同学春节期间在游览某景区时，对景区内一座古塔产生浓厚的兴趣，他们想用所学的知识测量古塔的高度．为了保护古塔，工作人员在古塔底部设有栅栏，古塔底部不可直接到达．经询问得知栅栏长17 m(即FC＝17 m)，小亮在F处
利用1 m高的栅栏(即FG＝1 m，且
FG⊥FC)，
在栅栏顶端G处测得塔的顶部A处的仰角为45°，小明同学在古塔另一侧的C处放置平面镜，当他站在D处时恰好能从平面镜中看到古塔的塔顶A(点D，C，B，F四点在一条直线上)，已知小明的身高为1.8 m(即ED＝1.8 m，且ED⊥DB)，小明到平面镜的水平距离为0.9 m(即DC＝0.9 m)，求古塔AB的高．
【解】如图，过点G作GH⊥AB，垂足为H，
由题意，得GH＝BF，GF＝BH＝1 m.
设BC＝x m，∵FC＝17 m，
∴FB＝GH＝FC－BC＝(17－x) m.
在Rt△AGH中，∠AGH＝45°，
∴AH＝GH·tan 45°＝(17－x) m.
∴AB＝AH＋BH＝17－x＋1＝(18－x) m.
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3.7
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6. 如图，为了测量校园内旗杆AB的高度，九年级数学应用实践小组利用镜子、皮尺和测角仪等工具，按以下方式进行测量：把镜子放在点O处，然后观测者沿着水平直线BO后退到点D，这时恰好能在镜子里看到旗杆顶点A，此时测得观测者观看镜子的俯角α＝60°，
17
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7. 图①为某大型商场的自动扶梯，图②中的AB为从一楼到二楼的自动扶梯的侧面示意图．当小明站在扶梯起点的A处时，测得天花板上日光灯C的仰角为37°，此时他的眼睛D与地面MN的距离AD＝1.8 m，之后他沿一楼扶梯到达顶端B后又沿BL(BL∥MN)向正前方走了2 m，发现日光灯C刚好在他的正上方．
已知自动扶梯AB的坡度为
1∶2.4，AB＝13 m.
(1)求一楼扶梯顶端B到一楼地面的高度；
(2)求日光灯C到一楼地面的高度．(结果保留一位小数，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
【解】如图，过点C作CF⊥MN于点F，交BL于点G，过点D作DJ⊥CF于点J，
∴易得四边形BEFG，
四边形ADJF是矩形．
根据题意，得BG＝2 m，∠CDJ＝37°，AD＝1.8 m，
易得EF＝BG＝2 m，FJ＝AD＝1.8 m，AF＝DJ.
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8. 某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下：
测量校园中树AB的高度 活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案
方案示意图
实施 过 程 ①选取与树底B位于同一水平地面的D处； ②测量D，B两点间的距离； ③站在D处，用测角仪测量从眼睛C处看树顶A的仰角∠ACF； ④测量C到地面的高度CD． ①选取与树底B位于同一水平地面的E处；
②测量E，B两点间的距离；
③在E处水平放置一个平面镜，沿射线BE方向后退至D处，眼睛C刚好从镜中看到树顶A；
④测量E，D两点间的距离；
⑤测量C到地面的高度CD．
测量 数据 ①DB＝10 m； ②∠ACF＝32.5°； ③CD＝1.6 m. ①EB＝10 m；
②ED＝2 m；
③CD＝1.6 m.
备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②AB，CD均与地面垂直； ③参考数据： tan 32.5°≈0.64. ①图上所有点均在同一平面内；
②AB，CD均与地面垂直；
③把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得∠CED＝∠AEB．
请你从以上两种方案中任选一种，计算树AB的高度．
【解】(任选一种方案即可)“测角仪”方案：
∵CD⊥BD，AB⊥BD，CF⊥AB，
∴易得四边形CDBF是矩形．
∴CF＝BD＝10 m，BF＝CD＝1.6 m.
∵∠ACF＝32.5°，∠AFC＝90°，
∴AF＝CF·tan 32.5°≈10×0.64＝6.4(m)．
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第二章　直角三角形的边角关系
测素质　三角函数的应用
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B
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【答案】C
3．[2025·烟台校级月考]一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知BC＝6 m，房檐到地面的高度BE＝4 m，屋顶斜坡AB的坡角为α，则房顶A离地面的高度是(　　)
A．3tan α m B．(4＋6sin α) m
C．(4＋3cos α) m D．(4＋3tan α) m
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【答案】D
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【答案】B
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【答案】D
4sin α m
二、填空题(每小题6分，共18分)
6．[2025·聊城校级月考]如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，
已知AO的长为4 m．若栏杆的旋转
角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高
度为________．
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7．小丽设计了一种测量树高的方法：她将一根细线的一端固定在半圆形量角器的圆心B处，在细线的另一端C处系一个小重物，制成了一个简单的测角仪(如图①)；将此测角仪放在眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点(如图②，图③)；
小丽眼睛(即点A)离地1.6 m，现测得∠ABC＝58°，小丽与树的水平距离是6 m，则树高是________m．(结果保留一位小数，参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60)
5.4
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8. 在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度，他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机，如图，无人机在河上方距水面高60 m的点P处测得瞭望台正对岸A处的俯角为50°，
测得瞭望台顶端C处的俯角为63.6°，
74
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三、解答题(共52分)
9．(20分)2025·上海宝山区模拟如图①是某款篮球架，图②是其示意图，立柱OA垂直地面OB，支架CD与OA交于点A，支架CG⊥CD交OA于点G，支架DE平行地面OB，篮筺EF与支架DE在同一
直线上，OA＝2.5 m，AD＝
0.8 m，∠AGC＝32°.
(1)求∠GAC的度数．
【解】∵CG⊥CD，∴∠ACG＝90°.
∵∠AGC＝32°，∴∠GAC＝90°－32°＝58°.
(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．(参考数据：sin 32°≈0.53)
【解】该运动员能挂上篮网．理由如下：
如图，延长OA，ED交于点M，
∵OA⊥OB，DE∥OB，
∴∠DMA＝∠O＝90°.
又∵∠DAM＝∠GAC＝58°，∴∠ADM＝32°.
在Rt△ADM中，AM＝AD·sin 32°≈0.8×0.53＝0.424(m)，
∴OM＝OA＋AM≈2.5＋0.424＝2.924(m)．
∵2.924 m<3 m，∴该运动员能挂上篮网．
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(1)求A、B的距离(结果保留根号)；
【解】如图，延长DE交AC于点H，
由题意得DC∥AG，DE⊥CD，
∴∠A＝∠DCA＝30°，∠CDH＝90°.
∴∠DHC＝90°－∠DCA＝60°.
∵EF⊥AC，∴∠EFA＝90°.
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第二章　直角三角形的边角关系
3　用计算器求锐角的三角函数值
第1课时 用计算器求锐角三角函数值及其简单应用
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C
A
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0.81
3．利用计算器计算sin29.5°－cos 58°30′＋tan 52°30′≈________.(精确到0.01)
【解】原式≈0.827 6.
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原式≈3.166 6.
原式≈2.114 6.
5．应用计算器算一算(精确到0.000 1)，通过观察各个三角函数值的大小，说一说有什么规律．
(1)cos 20°≈________，cos 40°≈________，
cos 60°＝________，cos 80°≈________.
规律：
0.939 7
0.766 0
0.500 0
0.173 6
在锐角范围内，余弦函数值随着角度的增大而减小．
(2)tan 10°≈________，tan 30°≈________，
tan 50°≈________，tan 70°≈________.
规律：
0.176 3
返回
0.577 4
1.191 8
2.747 5
在锐角范围内，正切函数值随着角度的增大而增大．
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A
A
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【点拨】如图，过点B作BH⊥AC于H.
【答案】C
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9. 2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站．中国空间站上机械臂的一种工作状态的示意图如图所示，当两臂AC＝BC＝10 m，两臂夹角∠ACB＝100°时，可得A，B两点间的距离约为________．(结果精
确到0.1 m，参考数据：sin 50°≈
0.766，cos 50°≈0.643，tan 50°≈
1.192)
15.3 m
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10．学校校园内有一块如图所示的三角形空地，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园1平方米造价30元，学校建这个花园需要投资多少钱？
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11. (1)通过计算(可用计算器)比较下列各对数的大小，并提出你的猜想．
①sin 30°________2sin 15°cos 15°；
②sin 36°________2sin 18°cos 18°；
③sin 45°________2sin 22.5°cos 22.5°；
④sin 60°________2sin 30°cos 30°；
⑤sin 80°________2sin 40°cos 40°.
＝
＝
＝
＝
＝
猜想：若0°＜α＜45°，则sin 2α＝2sin αcos α.
(2)如图①②，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝2α，请利用面积方法证明你的猜想．
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第二章　直角三角形的边角关系
1　锐角三角函数
第2课时 正弦与余弦
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B
B
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【答案】B
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【答案】A
16
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【答案】D
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【答案】B
8. 2024年9月24日，捷龙三号遥四运载火箭在山东省海阳市近海海域点火升空，随着一道优美的“新月”弧线，发射任务取得圆满成功，创下首次在山东海阳近岸执行太阳同步轨道任务纪录．
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A
9. 若梯子(长度不变)跟地面所成的锐角为α，则下列叙述正确的是(　　)
A．sin α的值越大，梯子越陡
B．cos α的值越大，梯子越陡
C．tan α的值越小，梯子越陡
D．陡缓程度与α的函数值无关
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【答案】A
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10．已知x＝cos α(α为锐角)满足方程2x2－5x＋2＝0，求cos α的值．
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【答案】B
12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sin α＝sin B；②sin β＝sin C；③sin β＝cos C；④sin α＝cos β，其中正确的结论有________．
①②④
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14．如图，已知点A(5，4)，点B在y轴上，点C的坐标为(x，0)且0＜x＜5，BC⊥AC于点C，连接AB，若AB与y轴正半轴所夹的角为α，当sin α取最大值时，对应的x的值为_____．
【点拨】如图，过点A作AD⊥x轴于点D，作AE⊥y轴于点E，∴四边形ADOE是矩形．
∴AD＝OE，AE＝OD.∵点A(5，4)，
∴AD＝OE＝4，AE＝OD＝5.
∵点C的坐标为(x，0)且0∴OC＝x，DC＝OD－OC＝5－x.
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16. 请阅读下面材料，并根据提供的解题思路求解问题：
如图①，在由边长为1的小正方形组成的网格中，连接格点D，N和E，C，DN和EC相交于点P，求cos∠CPN的值．
【解题思路】
要求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形．观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们可以利用网格画平行线等方法解此类问题，比如连接格点M，N，可发现MN∥EC，则∠DNM＝∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中，进而求出答案．
【解决问题】
(1)根据上述方法归纳，请求图①中cos∠CPN的值；
(2)如图②，在由边长为1的小正方形组成的网格中，AN与CM相交于点P，求sin∠CPN的值．
【解】如图，取格点D，连接CD，DM.
∵AD∥CN，AD＝CN＝1，
∴四边形CNAD是平行四边形，
∴AN∥CD，
∴∠DCM＝∠CPN.
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第二章　直角三角形的边角关系
4　解直角三角形
第2课时 已知一边与一锐角解直角三角形
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D
D
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【答案】B
5. [教材P43例4]在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝6，∠B＝45°，则b＝________，c＝________．
6
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6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝35°，BC＝2，解这个直角三角形．(参考数据：sin 35°≈0.574，cos 35°≈0.819，tan 35°≈0.700，结果精确到0.1)
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B
8．某种风筝的骨架如图所示，其中DE⊥AC于点B，AD＝CD＝m，AD与AC的夹角为α，则该骨架中AC的长度为(　　)
A．mcos α
B．mtan α
C．2mcos α
D．2mtan α
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C
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【答案】D
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【答案】A
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【答案】D
12. 一束光从空气中以不同的角度射入水中，会发生反射和折射现象，如图①是光束在空气和水中的径迹．
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【答案】C
13. 如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2 cm，若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是________cm.(结果精确到0.1，参考数据：sin 37°≈0.60，
cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
2.7
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(1)求BD和AD的长；
(2)求tan C的值．
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(1)求线段CD的长；
(2)求cos∠ABE的值．
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第二章　直角三角形的边角关系
5　三角函数的应用
第2课时 三角函数在实际问题中的应用(2)
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BCD
2. [教材P49做一做]某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地．如图所示，BC∥AD，斜坡AB＝40 m，坡角∠BAD＝60°，为防止夏季因暴雨引发山体滑坡，学校决定对山坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可确保山体不滑
坡，改造时保持坡脚A不动，从坡
顶B沿BC前进到E处，则BE至少是
________m(结果保留根号)．
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3. 如图①是三星堆遗址出土的陶盉(hé)，图②是其示意图．已知管状短流AB＝2 cm，四边形BCDE是器身，BE∥CD，BC＝DE＝11 cm，∠ABE＝120°，∠CBE＝80°.
34.1
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4. 无动力帆船是借助风力航行的．如图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角∠PDA为70°，帆与航行方向的夹角∠PDQ为30°，风对帆的作用力F为400 N．
128 N
根据物理知识，F可以分解为两个力F1与F2，其中与帆平行的力F1不起作用，与帆垂直的力F2可以分解为两个力f1与f2，f1与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；f2与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：F＝AD＝400 N，则f2＝CD≈________.(参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77)
【点拨】如图，∵帆船航行方向与风向所在直线的夹角∠PDA为70°，帆与航行方向的夹角∠PDQ为30°，∴∠ADQ＝∠PDA－∠PDQ＝70°－30°＝40°，∠1＝∠PDQ＝30°.∵AB∥QD，∴∠BAD＝∠ADQ＝40°.
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5．如图，某地入口处原有三级台阶，每级台阶高为20 cm，深为30 cm，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡的坡度i＝1∶5，则AC的长度是(　　)
A．200 cm
B．210 cm
C．240 cm
D．300 cm
C
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6．[2025·滁州校级月考]如图，△ABC，△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的夹角∠PBE＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AF∥BE，AC⊥BE，FD⊥BE.若A点到B点的距离AB＝1.6 m，则盲区中DE的长度是(参考数据：sin 43°≈0.7，tan 43°≈0.9，
sin 20°≈0.3，tan 20°≈0.4)(　　)
A．2.6 m B．2.8 m C．3.4 m D．4.5 m
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【答案】B
【点拨】如图，过点C作CH⊥AG于点H，过点D作DN⊥AG于点N，过点D作DM⊥CH于点M，
∴∠MHN＝∠DNA＝∠DMH＝90°，∴四边形DMHN为矩形，∴DN＝MH，DM∥AN，∴∠MDA＝∠A.∵∠CDA＝90°，∠DMC＝90°，
∴∠MDA＋∠CDM＝∠CDM＋∠DCM＝90°，∴∠MDA＝∠DCM，∴∠DCM＝∠A.
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(2)原坡面AC的底部距离铁板EF的距离为20 cm.经过实验，坡面底部与铁板EF的距离必须大于12 cm，小球才不和铁板相撞．请你通过计算，判断小球从新坡面AD静止滑下，会不会与铁板相撞？
【解】由题知，EC＝20 cm.
∵CD＝10 cm，∴ED＝EC－CD＝10 cm.∵10<12，
∴小球从新坡面AD静止滑下，会与铁板相撞．
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9. 某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角．测量报告如下表(尚不完整)．
课题 测量某护堤石坝与地平面的倾斜角
成员 组长：×××　组员：×××，×××，×××
测量工具 竹竿，米尺
测量
示意图
说明：AC是一根笔直的竹竿．点D是竹竿上一点．线段DE的长度是点D到地面的距离．∠α是要测量的倾斜角.
测量数据
…… ……
(1)设AB＝a，BC＝b，AC＝c，CE＝d，DE＝e，CD＝f，BE＝g，AD＝h，请根据表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏．
【解】(答案不唯一)(1)需要的数据为：a，c，e，f.
(2)根据(1)中选择的数据，写出求∠α的一种三角函数值的推导过程．
(3)假设sin α≈0.86，cos α≈0.52，tan α≈1.66，根据(2)中的推导结果，利用计算器求出∠α的度数，你选择的按键顺序为________．
①
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第二章　直角三角形的边角关系
全章热门考点整合应用
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【答案】C
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【答案】B
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【答案】D
4．[2024·浙江]如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1.
(1)求BC的长；
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(2)求sin∠DAE的值．
60
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5
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(1)计算台阶DE的高度；
(2)求孔子雕像MN的高度．
【解】如图，过点D作DF⊥MN于点F，
∴由题意得，四边形NFDE是矩形，
∴FN＝DE＝0.15 m，DF＝NE，
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【解】如图，过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DF⊥CE于点F，∴∠AEF＝∠DFE＝90°.
又∵∠DAB＝90°，
∴四边形AEFD是矩形．
∴∠ADF＝90°，AE＝DF.
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C
A
B
C
A
B
A
D
B
F
C
A
B
C
ED
D
A
O
C
B
y
B
A
0
X
B
A
D
0
E
X
M
孔子雕像
凤栖堂
45
53
D
N
C E
M
孔子雕像
凤栖堂
F
---53}
5>D
N
C E
A
B
C
C
D
A
E
B(共39张PPT)
第二章　直角三角形的边角关系
4　解直角三角形
第3课时 解非直角三角形
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D
A
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【点拨】如图，过点D作DG⊥AC于点G，过点B作BH⊥AC于点H.
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【答案】C
4．在△ABC中，若AB＝10，AC＝15，∠BAC＝150°，则△ABC的面积为(　　)
A．37.5 B．75 C．100 D．150
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【答案】A
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【答案】C
【点拨】如图，过点D作DN⊥CA交CA的延长线于N，则∠N＝90°.
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【点方法】本题并未给出△ABC的形状，因此要分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况求解．
8．[2025·北京西城区校级月考]数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC和△DEF，数据如图，如果把小敏画的三角形面积记作S△ABC，小颖画的三角形面积记作S△DEF，那么你认为(　　)
A．S△ABC＞S△DEF
B．S△ABC＜S△DEF
C．S△ABC＝S△DEF
D．不能确定
【点拨】如图，过点A作AG⊥BC
于点G，过点D作DH⊥FE，交FE
的延长线于点H.
在Rt△ABG中，AG＝AB·sin B＝5sin 50°.
在Rt△DHE中，∠DEH＝180°－130°＝50°，
∴DH＝DE·sin∠DEH＝5sin 50°.
∴AG＝DH.又∵BC＝EF＝4，∴S△ABC ＝S△DEF.故选C.
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【答案】C
【点拨】如图，过A作AD⊥BC于D，则∠ADC＝∠ADB＝90°.
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【答案】C
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12．[2025·常德期末]阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题．余弦定理是这样描述的：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍．
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【答案】B
(1)求BD的长；
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(1)请回答：AD的长为________．
6
【解】如图，延长AB与DC相交于点E.
∵∠ABC＝∠BCD＝135°，
∴∠EBC＝∠ECB＝45°，
∴BE＝CE，∠E＝90°.
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第二章　直角三角形的边角关系
综合与实践　设计遮阳篷
【项目学习】
主题：设计遮阳篷 素材1 武汉是我国火炉城市之一，夏季高温多雨，日照时间长， 平均年日照时数2 000小时左右，大门朝南的临街商铺都搭建了遮阳篷．北半球在一年中，冬至这一天的正午时刻，太阳光线与地平面的夹角最小；夏至这一天的正午时刻，太阳光线与地平面的夹角最大.
素材2 图①是武汉市区一家商店，大门朝南，设计了遮阳篷．图②是其示意图，设计了垂直于墙面AC的遮阳篷(横截面为直角三角形CDB)．AB表示大门高度．夏至这一天的正午时刻，太阳光线与地平面的最大夹角为∠DAH；冬至这一天的正午时刻，太阳光线与地平面的最小夹角为∠GAH.
任务1 如图②，设素材2中，AB＝h，CD＝m，夏至正午太阳光线与地平面夹角为α，冬至正午太阳光线与地平面夹角为β，设遮阳篷为直角三角形CDB．遮阳篷要满足两个条件：既让夏天的阳光刚好不射入室内；又能让冬天的太阳光刚好全部射入室内．
(1)在Rt△CBD中，用含β，m的式子表示遮
阳篷高CB的长：____________；
(2)在Rt△CAD中，用含α，h，m的式子表示
遮阳篷高CB的长：____________；
(3)用含α，β，h的式子表示遮阳篷CD的长：____________.
m·tan β
m·tan α－h
任务2 武汉冬至日正午太阳光线与地平面的夹角是36°，夏至日正午太阳光线与地平面的夹角是81°.若素材2中的商铺门高AB为3米，还要求夏天正午时刻，门前设计能有
1米宽的阴影AF.图③是其示意图，
求遮阳篷CD的长．(结果精确到
0.01米，参考数据： sin 81°≈0.99，
cos 81°≈0.16，tan 81°≈6.31, sin 36°≈0.59，
cos 36°≈0.81，tan 36°≈0.73)
【解】由题意知∠BDC＝36°，∠FDC＝81°，设CD＝m米，
在Rt△CBD中，CB＝CD·tan 36°≈0.73m米．
如图①，过点F作FH⊥CD于点H，易得CH＝AF＝1米．
在Rt△FHD中，HF＝HD·tan 81°＝(CD－1)·tan 81°≈(6.31m－6.31)米，∴CB＝CA－AB＝HF－AB≈
6.31m－6.31－3＝(6.31m－9.31)米．
∴0.73m＝6.31m－9.31，解得m≈1.67.
即遮阳篷CD的长约为1.67米．
任务 3 在任务1，2的基础上，考虑遮阳篷兼带遮雨功能，所以考虑遮阳篷往下倾斜10°，如图④，即把遮阳篷改造为横截面如△GBD的样子，GD与水平面夹角为10°，那么遮阳篷的最小宽度GD约是____________．
(结果精确到0.01 米，参考数据：sin 10°≈
0.17，cos 10°≈0.98，tan 10°≈0.18)
1.70米(共26张PPT)
第二章　直角三角形的边角关系
测素质　锐角三角函数的计算
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D
A
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C
A
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C
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【答案】C
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【答案】C
二、填空题(每小题5分，共20分)
8. 在滑轮的牵引下，一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100 m，其铅直高度上升了15 m，用计算器计算坡角α的度数为________．(结果精确到0.1°)
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8.6°
9．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，CD＝4，AC＝6，则sin B的值是________．
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锐角三角形
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1
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(1)求AB的长；
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(2)求cos∠ADC的值．
14．(11分) [教材P31例2]“墙里秋千墙外道，墙外行人，墙里佳人笑”．自古以来荡秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为4 m，当摆角∠BOC恰为26°时，座板离地面的高度BM为1.2 m，当摆动至最高位置时，摆角∠AOC为50°，座板距地面的最大高
度为多少？(结果精确到0.1 m；参考数据：
sin 26°≈0.44，cos 26°≈0.90，tan 26°≈
0.49，sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，
tan 50°≈1.19)
【解】如图，作BT⊥ON于T，AK⊥ON于K.
在Rt△OBT中，OT＝OB·cos 26°≈4×0.90＝3.6(m)．
∵∠M＝∠MNT＝∠BTN＝90°，
∴四边形BMNT是矩形，∴TN＝BM＝1.2 m，
∴ON＝OT＋TN≈3.6＋1.2＝4.8(m)，
在Rt△AOK中，OK＝OA·cos 50°≈4×0.64＝2.56(m)，
∴KN＝ON－OK≈4.8－2.56≈2.2(m)，
∴座板距地面的最大高度约为2.2 m.
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15．(14分) 屏风是一种古老的家具，它作为一种灵活的空间元素、装饰元素和设计元素，具有实用和艺术欣赏两方面的功能，能通过自身形状、色彩、质地、图案等特质融于丰富多元的现代空间环境，传达着新中式的意味，演绎出中国传统文化韵味，因此至今仍然被广泛地运用．
【解】如图，过点C作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F，则四边形CEOF是矩形．
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第二章　直角三角形的边角关系
2　30°，45°，60°角的三角函数值
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D
B
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【答案】B
4．计算：
(1)sin 30°－tan 30°tan 60°＋cos2 45°；
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C
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60°
60°
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B
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【答案】B
9. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用．我们已经知道30°，45°，60°角的三角函数值，现在来求tan 22.5°的值：如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°.
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【答案】B
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【答案】B
【点拨】根据题意，可知直线MN是AB的垂直平分线，∴AN＝BN，∴∠NBA＝∠CAB＝30°，∴∠CNB＝∠NBA＋∠CAB＝60°.∵AB＝AC，∠CAB＝30°，∴∠ABC＝(180°－∠CAB)＝75°，∴∠CBN＝∠ABC－∠NBA＝45°.
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12．在△ABC中，已知∠A＝60°，∠B为锐角，且tan A，cos B恰为一元二次方程2x2－3mx＋3＝0的两个实数根．求m的值并判断△ABC的形状．
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14．(1)如图，在Rt△ABC中，BC，AC，AB三边的长分别为a，b，c，我们不难发现：sin2 A＋cos2 A＝1，sin A＝cos(90°－∠A)．
请你根据此图证明上述结论．
(2)计算cos2 1°＋cos2 2°＋cos2 3°＋…＋cos2 89°.
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第二章　直角三角形的边角关系
4　解直角三角形
第1课时 已知两边解直角三角形
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B
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2．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3.求AC的长和sin A的值．
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3．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sin A的值为________．
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5．在△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝5，求tan A，cos A的值．
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【答案】A
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C
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9. 如图，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，∠BCM＝∠BAC，求sin∠BAC的值和点B到直线MC的距离．
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B
A
C
D
C
O
A
B
C
C
B
A
B
M
C(共28张PPT)
第二章　直角三角形的边角关系
1　锐角三角函数
第1课时 正切与坡度
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D
B
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C
2
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5．如图所示，在菱形ABCD中，tan B＝0.75，AE⊥BC，垂足为E，若CE＝2，则菱形ABCD的周长为_______．
40
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A
7．如果某人沿坡度为3∶4的斜坡前进10 m，那么他所在的位置比原来的位置升高了(　　)
A．6 m　 B．8 m C．10 m　 D．12 m
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【答案】A
【点拨】设他所在的位置比原来的位置升高了3x m，∵坡度为3∶4，∴他前进的水平距离为4x m，由勾股定理得9x2＋16x2＝100，∴x＝2(负值已舍去)，∴3x＝6.故选A.
8. [教材P27随堂练习T2]在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，则tan B＝______.
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【答案】ABC
D
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【答案】B
12．[2024·内江]如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么tan∠EFC＝________.
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13. 如图，CD是平面镜，光线从点A出发经CD上点O反射后照射到点B，若入射角为α，反射角为β(反射角等于入射角)，AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，则tan α的值为________．
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15．[2025·菏泽校级月考]如图，一段河堤的斜坡BC＝10 m，为了加固河堤，需要将堤坝加厚．竣工后，斜坡的坡度由原来的1∶2变成1∶3，加固后斜坡AD的长是多少？(结果保留根号)
【解】如图，过C作CE⊥AB，过D作DF⊥AB，垂足分别为E，F.
设CE＝x m，则易得BE＝2x m，DF＝CE＝x m，AF＝3x m.
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16．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且ED＝BF，连接AF，CE，AC，EF，且AC与EF相交于点O.
(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AE∥FC.
又∵ED＝BF，∴AD－ED＝BC－BF.∴AE＝FC.
∴四边形AFCE是平行四边形．
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第二章　直角三角形的边角关系
5　三角函数的应用
第1课时 三角函数在实际问题中的应用(1)
1. 2024年10月30日，神舟十九号载人飞船在酒泉卫星发射中心由长征二号 F 遥十九运载火箭发射成功，震撼人心．如图，当神舟十九号从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角∠DPA为30°，A与P两点的距离为12 km；
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【答案】D
2. 潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔AB的高度，测量方案如图所示：
无人机在距水平地面119 m的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为22°，再将无人机沿水平方向飞行74 m到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为45°(点M，N，A，B在同一平面内)，则潮汐塔AB的高度为(　　)(结果精确到1 m．参考数据：sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40)
A．41 m B．42 m C．48 m D．51 m
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【答案】B
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B
3. [教材P56复习题T11]如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处，这时B处与灯塔P的距离可以表示为(　　)
A．50海里
B．50sin 37°海里
C．50cos 37°海里
D．50tan 37°海里
4．如图，一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C的最短距离是________海里．
【点拨】如图，过点C作CH⊥AB的延长线于点H，则渔船与灯塔C的最短距离为CH的长度．
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A
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B
7．[2025·济南莱芜区校级期末]济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”．某数学兴趣小组用无人机测量超然楼AB的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面142 m的P点，测得超然
楼顶端A的俯角为37°，
【点拨】过点A作AC⊥PQ于点C，如图所示．
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【答案】C
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【答案】D
9．[2025·石家庄模拟]某广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡的倾斜角为18°，一楼到地下停车场地面的垂直高度CD＝3 m，一楼到地平线的距离BC＝1 m.
(1)为保证斜坡的倾斜角为18°，应在地面上距点B多远的A处开始斜坡的施工？
(2)如果给该广场送货的货车高度为2.6 m，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？并说明理由．(参考数据：sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 18°≈0.32)
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能，理由如下：
如图，过点C作CE⊥AD于点E，
则∠ECD＋∠CDA＝∠BAD＋∠CDA＝90°，
∴∠ECD＝∠BAD＝18°.
在Rt△CED中，
CE＝CD·cos 18°≈
3×0.95＝2.85(m)．
∵2.85>2.6，∴能保证货车顺利进入地下停车场．
10. 风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为30°的坡地新安装了一架风力发电机，如图①.某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔
杆高度进行了测量，图②为
测量示意图．
已知斜坡CD长16米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端P点的仰角为45°，利用无人机在点A的正上方53米的点B处测得P点的俯角为18°，求该风力发电机塔杆PD的高度．(参考数据：sin 18°≈0.309，cos 18°≈0.951，tan 18°≈0.325)
【解】延长PD交AC于点F，延长DP交点B处的水平线于点G.
由题意得PF⊥AF，DG⊥BG，AB⊥AF，
∴四边形ABGF为矩形，
∴AB＝FG＝53米，AF＝BG.
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第二章　直角三角形的边角关系
3　用计算器求锐角的三角函数值
第2课时 用计算器求锐角的大小及其简单应用
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A
1．已知α为锐角，且tan α ≈3.387，则下列各值中与α最接近的是(　　)
A．73°33′ B．73°27′ C．16°27′ D．16°21′
D
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2．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3，若用科学计算器求∠A的度数，并以“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则下列按键顺序正确的是(　　)
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38°13′
3．已知cos A＝0.785 7，用计算器计算锐角∠A≈________(精确到1′)．
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4．加工如图所示的铁皮零件示意图，需计算斜角α的度数，根据图中所标的尺寸，求角α的度数．(结果精确到0.1°)
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若a∶b＝3∶4，运用计算器计算，则∠A的度数(结果精确到1°)为(　　)
A．30° B．37° C．38° D．39°
B
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6. 如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道．已知楼梯共有五级均匀分布的台阶，高AB＝0.75 m，斜坡AC的坡比为1∶2，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖边缘离楼梯底部的最短距离ED＝2.55 m．为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少度？(结果精确到1°)
(参考数据表)
计算器按键顺序 计算结果(已精确到0.001)
11.310
0.003
14.744
0.005
返回(共18张PPT)
第二章　直角三角形的边角关系
专题3　求锐角三角函数值的常用方法
【点拨】如图所示，过A作AB⊥x轴于点B.
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【答案】C
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且c＝3a，则tan B的值为________．
返回
返回
【答案】C
D
返回
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【答案】B
6. 在等边三角形ABC中，点D在射线CA上，且AB＝2AD，求tan∠DBC的值．
如图②，当D在CA延长线上时，过点D作DE⊥BC于点E，
∵在等边三角形ABC中，AB＝AC＝BC，
∠C＝60°，AB＝2AD，
∴设AD＝x，则AB＝AC＝BC＝2x.∴CD＝3x.
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7．[2025·威海荣成市校级月考]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F.若BC＝4，△AEF的面积为5，求sin∠CEF的值．
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【答案】B
0
B A
A
D
B
C
E
A
M
ID
B
C
E
A
D
B
C
1
D
A
B
E
C
2
C
F
B
A
E
A
1
1
B
I
I
1
1
1
1
1
1
C
A
B
C(共22张PPT)
第二章　直角三角形的边角关系
专题4　解直角三角形的实际应用的常见模型
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9.5
1. “岳阳楼杯”2024岳阳马拉松暨全国半程马拉松锦标赛(第三站)在君山区“守护好一江碧水”首倡地展陈馆鸣枪开赛．如图，某校数学兴趣小组在A处用仪器测得赛场一宣传气球顶部E处的仰角为21.8°，仪器与气球的水平距离BC为20 m，且距地面高度AB为1.5 m，则气球顶部离地面的高度EC是________m(结果精确到0.1 m，
sin 21.8°≈0.371 4，cos 21.8°≈0.928 5，
tan 21.8°≈0.400 0)．
2．如图，学校数学兴趣小组开展“实地测量教学楼AB的高度”的实践活动．教学楼AB周围是开阔平整的地面，可供使用的测量工具有皮尺、测角仪(皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；
测角仪的功能是测量角的大小)．
(1)请你设计测量教学楼AB的高度的方案，方案包括画出测量平面图，把应测数据标注在所画的图形上(测出的距离用m，n等表示，测出的角用α，β等表示)，并对设计进行说明；
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(2)根据你测量的数据，计算教学楼AB的高度(用字母表示)．
3．人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面A，B养殖场捕捞海产品．如图，经测量，A在灯塔C的南偏西60°方向，B在灯塔C的南偏东45°方向，且在A的正东方向，AC＝3 600 m.
(1)求B养殖场与灯塔C的距离(结
果精确到个位)；
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4. 2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体(简称为“着上组合体”)成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，如图，在一次试验中，该模拟装置在缓速下降阶段从A点
垂直下降到B点，再垂直下降到着陆点C，
从B点测得地面D点的俯角为36.87°，AD＝
17 m，BD＝10 m.
(1)求CD的长；
【解】如图，由题意得AC⊥CD，
∠EBD＝36.87°，BE∥CD，
∴∠BDC＝36.87°.
在Rt△BCD中，BD＝10 m，
∴CD＝BD·cos 36.87°≈10×0.80＝8(m)．
∴CD的长约为8 m.
(2)若模拟装置从A点以2 m/s的速度匀速下降到B点，求模拟装置从A点下降到B点的时间．(参考数据：sin 36.87°≈0.60，cos 36.87°≈0.80，tan 36.87°≈0.75)
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∵模拟装置从A点以2 m/s的速度匀速下降到B点，
∴模拟装置从A点下降到B点的时间约为9÷2＝4.5(s)．
5．[2025·泰安校级月考]综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．
如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝6 m，∠DCE＝30°，点E，C，A在同一条水平直线上．
某学习小组在观景台C处测得塔顶
部B的仰角为45°，在观景台D处测
得塔顶部B的仰角为27°.
(1)求DE的长；
(2)设塔AB的高度为h m.
①用含有h的式子表示线段EA的长(结果保留根号)；
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