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第三章　二次函数
4　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
第2课时二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质
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B
C
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2．[2025·济宁兖州区校级月考]下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x＝2的是(　　)
A．y＝x2－2 B．y＝－x2＋2
C．y＝－(x－2)2 D．y＝(x＋2)2
3．[2025·北京汇文中学月考]对于二次函数y＝－2(x＋1)2，下列说法错误的是(　　)
A．它的图象的开口向下
B．它的图象的对称轴是直线x＝1
C．当x＝－1时，y取最大值
D．当x>1时，y随x的增大而减小
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【答案】B
【点拨】它的图象的对称轴是直线x＝－1，故选项B错误，符合题意．
C
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4．已知抛物线y＝－(x＋1)2上的两点A(－4，y1)和B(－3，y2)，那么下列结论一定成立的是(　　)
A．0＜y2＜y1 B．0＜y1＜y2
C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
5．已知某二次函数，当x>1时，y随x的增大而减小；当x<1时，y随x的增大而增大，则该二次函数的表达式可能是(　　)
A．y＝3(x＋1)2 B．y＝3(x－1)2
C．y＝－3(x＋1)2 D．y＝－3(x－1)2
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【答案】D
【点拨】∵当x>1时，y随x的增大而减小；当x<1时，y随x的增大而增大，∴该函数图象开口向下，对称轴为直线x＝1，∴二次函数y＝－3(x－1)2满足条件．
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D
7. [教材P83随堂练习T2]对于任意实数h，抛物线y＝(x－h)2与抛物线y＝x2(　　)
A．开口方向相同　　B．对称轴相同
C．顶点相同　　　　D．都有最高点
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A
8．将抛物线y＝ax2向右平移后所得新抛物线的顶点横坐标为2，且新抛物线经过点(4，8)，则a的值为________．
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2
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y＝－3(x－2)2
9．已知抛物线y＝－3x2，若抛物线不动，把y轴向左平移2个单位，那么在新坐标系中抛物线的表达式为_____________．
10．[2025·德州乐陵市月考]如图，四个二次函数的图象分别对应的表达式是：①y＝a(x－h)2；②y＝b(x－h)2；③y＝cx2；④y＝dx2，则a，b，c，d的大小关系为(　　)
A．a>b>c>d
B．a>b>d>c
C．b>a>c>d
D．b>a>d>c
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【答案】A
【点拨】∵①②开口向上，③④开口向下，∴a>0，b>0，c<0，d<0.又∵①的开口小于②的开口，④的开口小于③的开口，∴|a|>|b|，|d|>|c|，∴a>b>0>c>d，故选A.
11. 在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝a(x＋c)2的图象可能是(　　)
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【答案】B
【点拨】A.由抛物线可得a＜0，由直线可得a＞0，矛盾，故此选项错误；C.由抛物线可得c＞0，由直线可得c＜0，矛盾，故此选项错误；D.由抛物线可得a＞0，由直线可得a＜0，矛盾，故此选项错误．故选B.
12．已知二次函数y＝－2(x＋m)2，当x＜－3时，y随x的增大而增大；当x＞－3时，y随x的增大而减小，则当x＝1时，y的值为(　　)
A．－12 B．12 C．32 D．－32
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【答案】D
【点拨】由题意可得二次函数的表达式为y＝－2(x＋3)2，则当x＝1时，y＝－32.
13. 三名同学分别说出了一个二次函数的一些特征：
小明：函数图象的顶点在x轴上；
小智：函数图象的对称轴是直线x＝2；
小文：函数有最大值．
请你写出一个符合上述条件的二次函数表达式：_______________________．
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y＝－(x－2)2(答案不唯一)
(－2，0)
(5，0)
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(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)求△ABC的面积；
(3)试判断△ABC的形状并说明理由．
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16. 将抛物线y＝x2向右平移a(a＞0)个单位后得到如图所示的抛物线．该抛物线的顶点为A，与y轴交于点B，且△AOB为等腰直角三角形．
(1)求a的值．
【解】将抛物线y＝x2向右平移a(a>0)个单位后所得抛物线的表达式为y＝(x－a)2，
则点A的坐标为(a，0)，∴OA＝a.
∵△AOB为等腰直角三角形，∴OB＝OA＝a.
将x＝0代入y＝(x－a)2，得y＝a2，
∴点B的坐标为(0，a2)，∴OB＝a2，∴a2＝a.
∵a>0，∴a＝1.
(2)平移后的抛物线上是否存在一点C，使△ABC为等腰直角三角形？若存在，直接写出点C的坐标，并求S△ABC；若不存在，请说明理由．
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第三章　二次函数
测素质　二次函数的应用
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D
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．已知抛物线的顶点坐标为(－2，－5)，与y轴交于(0，－9)，则抛物线的表达式为(　　)
A．y＝(x＋2)2－5 B．y＝(x－2)2－5
C．y＝－(x－2)2－5 D．y＝－(x＋2)2－5
C
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2. 下表是用计算器探索函数y＝x2＋5x－3时所得的数值：
则方程x2＋5x－3＝0的一个解x的取值范围为(　　)
A．0＜x＜0.25 B．0.25＜x＜0.5　
C．0.5＜x＜0.75 D．0.75＜x＜1
x 0 0.25 0.5 0.75 1
y －3 －1.687 5 －0.25 1.312 5 3
3．若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为(　　)
A．－1 B．2
C．－1或2 D．－1或2或1
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【答案】D
【点拨】当a－1＝0，即a＝1时，函数为一次函数，它的图象与x轴有一个交点；当a－1≠0时，根据题意，得(－4)2－4(a－1)×2a＝0，解得a＝－1或a＝2，综上所述，a的值为－1或2或1.故选D.
4．二次函数y＝－x2＋4x的图象如图所示，若关于x的一元二次方程－x2＋4x－t＝0(t为实数)的解满足1＜x＜3，则t的取值范围是(　　)
A．t＞3
B．1＜t＜3　
C．3＜t＜4
D．3＜t≤4
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【答案】D
【点拨】当x＝1时，y＝－12＋4×1＝3；当x＝3时，y＝－32＋4×3＝3.∵二次函数y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，∴当x＝2时，y取得最大值，最大值为4.∵一元二次方程－x2＋4x－t＝0(t为实数)，即－x2＋4x＝t的解满足1＜x＜3，∴3＜t≤4.故选D.
5．如图，小明的父亲在相距2 m的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 m的小明距较近的那棵树0.5 m时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为(　　)
A．0.5 m B．0.6 m
C．1 m D．1.5 m
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【答案】A
【点拨】以左边树与地面的交点为原点，地面水平线为x轴，左边树为y轴建立平面直角坐标系，由题意可得点(0，2.5)，(2，2.5)，(0.5，1)在抛物线上，设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c，把以上三点的坐标分别代入得c＝2.5，4a＋2b＋c＝2.5，0.25a＋0.5b＋c＝1，解得a＝2，b＝－4，c＝2.5.∴y＝2x2－4x＋2.5＝2(x－1)2＋0.5.∵2>0，∴当x＝1时，ymin＝0.5.故选A.
【答案】A
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【答案】B
二、填空题(每小题6分，共18分)
7. 《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，其原因可以用物理和数学的知识来解释，公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离s(m)与时间t(s)的函数关系式为s＝16t－4t2，当遇到紧急情况刹车时，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的最小安全距离为________．
16 m
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【点拨】s＝16t－4t2＝－4(t－2)2＋16.∵－4＜0，∴当t＝2时，s有最大值，最大值为16.∴当遇到紧急情况刹车时，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的最小安全距离为16 m.
8．[2024·泰安]如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是________平方米．
450
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【点拨】由题意，设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为(60－2x)米．∵墙长为40米，∴0<60－2x≤40.∴10≤x<30.菜园的面积＝x(60－2x)＝－2x2＋60x＝－2(x－15)2＋450，∴当x＝15时，可围成的菜园的面积最大，最大面积是450平方米．
9．某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商家在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨2元，每天销量减少20个．将纪念品的销售单价定为________元时，商家每天销售该款纪念品获得的利润最大．
52
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三、解答题(共52分)
10．(18分)根据下列条件，求二次函数的表达式．
(1)二次函数y＝ax2＋2x＋c的图象过点A(0，3)，B(－1，0)；
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(3)二次函数的图象过点A(0，4)，B(1，0)，C(5，0)．
(1)求k的值及点C的坐标；
(2)直接写出当x在何范围时，y1>y2.
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【解】由函数图象可知，当x<2或x>6时，y1>y2.
12．(20分)[2025·威海文登区月考]如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地面的高度OH＝1.5 m．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．
把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3 m，竖直高度EF＝0.5 m．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线的最高点A离喷水口的水平距离为2 m，高出喷水口0.5 m，灌溉车到绿化带的距离OD为d m.
(1)求上边缘抛物线的表达式，并求喷出水的最大射程OC；
(2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围．
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第三章　二次函数
5　确定二次函数的表达式
第1课时 由两点确定二次函数的表达式
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C
y＝－3x2－12x－9
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2．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－2，最大值为3，且过点(－3，0)，则此抛物线的表达式为___________________．
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A
3．已知二次函数y＝ax2＋bx－6的图象经过点A(1，－3)，B(－1，－3)，则二次函数的表达式为(　　)
A．y＝3x2－6 B．y＝x2＋2x－6
C．y＝9x2－6 D．y＝9x2－6x－6
y＝3x2－2x－1
4．若二次函数y＝ax2＋bx－(a＋b)的图象经过A(－1，4)，B(0，－1)两个点，则该二次函数的表达式为______________．
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5．[2025·济南莱芜区月考]已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过A(1，0)，B(－1，2)两点．
(1)该求二次函数的表达式；
(2)判断点(2，－6)是否在这个二次函数的图象上，并说明理由．
【解】不在．理由如下：当x＝2时，y＝－22－2＋2＝－4≠－6，∴点(2，－6)不在这个二次函数的图象上．
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【答案】D
7. 若抛物线 y＝x2 ＋bx＋c与 x轴两个交点间的距离为2，则称此抛物线为定弦抛物线. 已知某定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的新抛物线表达式为(　　)
A．y＝x2－1 B．y＝(x＋1)2－4　
C．y＝(x－1)2－4 D．y＝(x－1)2－1
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【答案】B
8．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－4x＋5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为(　　)
A．y＝－x2－4x＋5 B．y＝x2＋4x＋5
C．y＝－x2＋4x－5 D．y＝－x2－4x－5
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【答案】A
【点拨】当x＝0时，y＝5，∴C(0，5)．设新抛物线上的点的坐标为(x，y)．∵原抛物线与新抛物线关于点C成中心对称，∴易得点(－x，10－y)在原抛物线上，∴10－y＝(－x)2－4·(－x)＋5，即y＝－x2－4x＋5，∴新抛物线的表达式为y＝－x2－4x＋5.
9．如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点(－1，0)，(1，－2)，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是________．
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y＝(x－3)2－4
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10．小聪在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y与x的对应值：
该二次函数的表达式为________________．
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 5 0 －3 －4 －3 0 …
11. [2024·辽宁]如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴相交于点A，B，点B的坐标为(3，0)，若点C(2，3)在抛物线上，则AB的长为________．
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4
12．二次函数y＝2x2＋bx＋c的图象经过点(2，3)，且顶点在直线y＝3x－2上，则二次函数的表达式为____________________________．
y＝2x2－4x＋3或y＝2x2－6x＋7
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将②代入①，得b2－6b－16－8(－5－2b)＝0，解得b1＝－4，b2＝－6.当b＝－4时，c＝3；当b＝－6时，c＝7.∴二次函数的表达式为y＝2x2－4x＋3或y＝2x2－6x＋7.
【点易错】本题易出现顶点坐标与已知点的坐标混用导致出错的现象．
(1)求二次函数的表达式；
(2)将该抛物线先向右平移m个单位，再向上平移n个单位，此时顶点恰好落在线段AB上，求m与n的关系．
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14. 如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；
(2)连接BC，E是线段OC上一点，E关于此抛物线对称轴的对称点F正好落在BC上，求点F的坐标；
∵A(－1，0)，B(3，0)在抛物线上，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1.
∵点E，F关于对称轴对称，且点E到对称轴的距离为1，
∴xF－xE＝2，∴点F的横坐标为2.
将x＝2代入y＝－x＋3，得y＝－2＋3＝1，∴F(2，1)．
(3)动点M从点O出发，以每秒2个单位的速度向点B运动，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q.设运动时间为t(t>0)秒，则△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
【解】由题意知，OM＝2t，∴M(2t，0)．
∵MN⊥x轴，∴Q(2t，3－2t)．
∵△BOQ为等腰三角形，∴分三种情况讨论：
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第三章　二次函数
7　二次函数与一元二次方程
第2课时 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根
1．[2025·淄博校级月考]如表给出了二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值，那么方程ax2＋bx＋c＝0的一个根的近似值可能是(　　)
　　　　　　　　　　　　
A．1.09 B．1.19 C．1.29 D．1.39
x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 …
y … －1 －0.49 0.04 0.59 1.16 …
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【答案】B
【点拨】∵x＝1.1时，y＝ax2＋bx＋c＝－0.49；x＝1.2时，y＝ax2＋bx＋c＝0.04，∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的一个交点在点(1.1，0)和点(1.2，0)之间，更靠近点(1.2，0)，∴方程ax2＋bx＋c＝0的一个根的近似值可能为1.19.
2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的y与x的部分对应值如下表：
判断方程ax2＋bx＋c＝0.02的一个解x的取值范围是(　　)
A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
x 3.23 3.24 3.25 3.26
y －0.06 －0.08 －0.03 0.09
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【答案】D
【点拨】由表可以看出，当x取3.25与3.26之间的某个数时，y＝0.02，即这个数是ax2＋bx＋c＝0.02的一个解，∴方程ax2＋bx＋c＝0.02的一个解x的取值范围为3.25＜x＜3.26.
3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋2(a，b是常数)的图象与y轴交于点A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，且点C(x1，y1)，D(x2，y2)在该函数图象上．二次函数y＝ax2＋bx＋2中(a，b是常数)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … －2 －1 0 1 3 …
y＝ax2＋bx＋2 … －10 －3 2 5 5 …
下列结论：①点B的坐标是(2，2)；②这个函数的最大值大于5；③ax2＋bx＝－1有一个根在4与5之间；④当0y2.其中正确的为________(将所有正确结论的序号都填入)．
②③④
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∵当x＝0时，y＝2，∴点A的坐标为(0，2)．∵点A与点B关于抛物线的对称轴对称，∴点B的坐标为(4，2)，∴①错误．∵对于y＝ax2＋bx＋1＝－x2＋4x＋1，当x＝4时，y＝1>0；当x＝5时，y＝－4<0，∴y＝－x2＋4x＋1的图象与x轴有一个交点在4与5之间，∴方程ax2＋bx＝－1有一个根在4与5之间，故③正确．∵0y2.故④正确．故答案为②③④.
C
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4．探究课上，老师给出一个问题“利用二次函数与一次函数的图象，求一元二次方程2x2＝x＋2的近似根”，小华利用计算机绘制出如图所示的图象，通过观察可知该方程的两近似根x1和x2满足－1＜x1＜0，1＜x2＜2，小华的上述方法体现的数学思想是(　　)
A．公理化思想 B．分类讨论思想
C．数形结合思想 D．特殊到一般的思想
5．抛物线y＝x2－2x＋0.5如图所示，利用图象可得方程x2－2x＋0.5＝0的近似解为________________．(精确到0.1)
x1＝0.3，x2＝1.7
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6. [教材P110习题T1](1)请在如图的坐标系中画出二次函数y＝x2－2x的大致图象；
【解】如图．
(2)根据方程的根与函数图象的关系，将方程x2－2x＝1的根x1，x2(x1【解】如图．
(3)直接写出方程x2－2x＝1的根(精确到0.1)．
【解】x1≈－0.4，x2≈2.4.
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7．二次函数y＝－x2＋mx的图象如图，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程－x2＋mx－t＝0(t为实数)在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是(　　)
A．t＞－5
B．－5＜t＜3
C．3＜t≤4
D．－5＜t≤4
【点拨】如图，关于x的一元二次方程－x2＋mx－t＝0(t为实数)的解就是抛物线y＝－x2＋mx与直线y＝t的交点的横坐标．
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【答案】D
由对称轴为直线x＝2，可得m＝4，所以二次函数的表达式为y＝－x2＋4x.
所以当x＝1时，y＝3；当x＝5时，y＝－5；二次函数图象的顶点坐标为(2，4)．
由图象可知关于x的一元二次方程－x2＋mx－t＝0(t为实数)在1＜x＜5的范围内有解时，直线y＝t在直线y＝－5和直线y＝4之间，包括直线y＝4，所以－5＜t≤4.
8．[2025·青岛崂山区月考]在正常情况下，10 m跳台跳水运动员必须在距水面不小于5 m时完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误．假设运动员距离水面的高度h(m)和运动员起跳后的运动时间t(s)之间满足关系：h＝10＋2.5t－5t2，则当h＝5时，10＋2.5t－5t2＝5即2t2－t－2＝0.
根据表格中的对应值，可判断运动员完成动作的时间最多不超过________．(精确到0.1 s)
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t 1.1 1.2 1.3 1.4
2t2－t－2 －0.68 －0.32 0.08 0.52
1.3 s
9．二次函数y＝2x2＋4x－1的图象如图所示，若方程2x2＋4x－1＝0的一个近似根是x＝－2.2，则方程的另一个近似根为________(结果精确到0.1)．
x＝0.2
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【点拨】由题图可知，抛物线的对称轴为直线x＝－1.∵方程2x2＋4x－1＝0的一个近似根为x＝－2.2，∴方程的另一个近似根为x＝－1×2－(－2.2)＝0.2.
10. 可以用如下方法求方程x2－2x－2＝0的实数根的范围：利用函数y＝x2－2x－2的图象可知，当x＝0时，y<0；当x＝－1时，y>0，所以方程有一个根在－1和0之间．
(1)参考上面的方法，求方程x2－2x－2＝0的另一个根在哪两个连续整数之间；
【解】利用函数y＝x2－2x－2的图象可知，当x＝2时，y<0；当x＝3时，y>0，
∴方程x2－2x－2＝0的另一个根在2和3之间．
(2)若方程x2－2x＋c＝0有一个根在0和1之间(不包括0和1)，求c的取值范围．
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11. 利用图象解一元二次方程x2－2x－1＝0时，我们采用的一种方法是：在直角坐标系中画出抛物线y＝x2和直线y＝2x＋1，两图象交点的横坐标就是该方程的解．
(1)请再给出一种利用图象求方程x2－2x－1＝0的解的方法；
【解】方法：在直角坐标系中画出抛物线y＝x2－1和直线y＝2x，其交点的横坐标就是方程的解．(答案不唯一)
(2)已知函数y＝x3的图象(如图)，求方程x3－x－2＝0的近似解(结果保留2个有效数字)．
【解】如图，在图中画出直线y＝x＋2，与函数y＝x3的图象交于点B，易得点B的横坐标约为1.5，∴方程的近似解为x＝1.5.
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第三章　二次函数
1　对函数的再认识
第1课时 函数
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B
1. 2024年11月15日，搭载天舟八号货运飞船的长征七号遥九运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，在升天过程中，燃料的体积随火箭飞行高度的增加而减少．则在上述语段中，自变量是(　　)
A．货运飞船的质量 B．火箭飞行的高度
C．燃料的体积 D．火箭的质量
B
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2．下列各式中，y不是x的函数的是(　　)
A．y＝x B．|y|＝x C．y＝2x＋1 D．y＝x2
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D
3．下列曲线中，表示y是x的函数的是(　　)
A
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4．游学期间，两名老师带领x名学生到展览馆参观，已知教师参观门票每张40元，学生参观门票每张20元．设参观门票的总费用为y元，则y与x之间的函数关系式为(　　)
A．y＝20x＋80 B．y＝80x
C．y＝40＋20x D．y＝40x＋40
5．如图，在长方形ABCD中，AB＝5 cm，BC＝7 cm，点P是边BC上的动点(不与点C重合)，点Q是边AD上任意一点．点P从点B向点C以3 cm/s的速度运动，则△QPC的面积S(cm2)与点P的运动时间x(s)间的表达式为(　　)
C
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B
6. [教材P64随堂练习T2]下列关系式中，当自变量x＝－1时，函数值y＝6的是(　　)
A．y＝3x＋3 B．y＝－3x＋3
C．y＝3x－3 D．y＝－3x－3
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【答案】B
8．[2025·济南莱芜区月考]某农户想要用栅栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边靠墙，另外三边用栅栏围成，若栅栏的总长为20 m，设长方形垂直于墙的一边长为x m，面积为y m2，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系式是(　　)
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D
9． 如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量．下列有四种结论：
①S是V的函数；②V是S的函数；
③h是S的函数；④S是h的函数．
其中所有正确结论的序号是(　　)
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
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【答案】B
【点拨】∵这是球形容器，∴当V确定时，S有唯一的值与其对应；当h确定时，S有唯一的值与其对应；当S确定时，V和h的值都不唯一．∴S是V的函数，V不是S的函数，h不是S的函数，S是h的函数．
10．如图是一个运算程序的示意图，若输出y的值为2，则输入x的值为(　　)
A．3
B．±1
C．1或3
D．±1或3
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【答案】C
11. 如图①，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计，全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图②给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌
面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，
长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表
示为________．
y＝4x
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12. 声音在空气中传播的速度y(m/s)(简称音速)与气温x(℃)的关系如下表：
气温x(℃) 0 5 10 15 20
音速y(m/s) 331 334 337 340 343
(1)这一变化过程中，自变量和因变量各是什么？
【解】自变量是气温，因变量是音速；
(2)求音速y(m/s)与气温x(℃)之间的关系式；
(3)气温x＝22 ℃时，某人看到烟花燃放5 s后才听到声音，那么此人与燃放烟花的所在地约相距多远？
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我们知道：f(x)＝2x＋3，f(t)＝2t＋3，f(u)＝2u＋3表达的意思是一样的．
如：已知f(x)＝2x＋3，当x＝1时，f(x)的函数值为：f(1)＝2×1＋3＝5.
【例】已知：函数f(x＋1)＝x2－2x，求函数f(x)的表达式．
分析：我们可以用换元法设x＋1＝t来进行求解．
解：设x＋1＝t，则x＝t－1，
所以f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－2t＋1－2t＋2＝t2－4t＋3.所以f(x)＝x2－4x＋3.
【解答问题】
(1)若f(x)＝x2＋2x－3，当x＝－3时，f(x)的函数值是多少？
【解】当x＝－3时，f(－3)＝(－3)2＋2×(－3)－3＝0.
(2)若f(x)＝x2＋2x－3，当x为何值时，f(x)的函数值为1
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第三章　二次函数
4　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
第3课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质
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D
1．抛物线y＝(x－2)2－1的顶点坐标是(　　)
A．(－2，1) B．(－2，－1)
C．(2，1) D．(2，－1)
B
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2．[2025·临沂兰山区校级月考]抛物线y＝(x＋1)2－4(－2≤x≤2)如图所示，则函数y＝(x＋1)2－4(－2≤x≤2)的最小值和最大值分别是(　　)
A．－3和5
B．－4和5　
C．－4和－3
D．－1和5
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C
3．已知某抛物线与二次函数y＝5x2的图象的开口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为(－1，2 025)，则该抛物线对应的函数表达式为(　　)
A．y＝－5(x－1)2＋2 025
B．y＝5(x－1)2＋2 025
C．y＝－5(x＋1)2＋2 025
D．y＝5(x＋1)2＋2 025
4．二次函数y＝(x＋m)2＋n的图象如图所示，则一次函数y＝mx＋n的图象经过(　　)
A．第一、二、三象限
B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限
D．第二、三、四象限
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【答案】D
【点拨】由图象可知抛物线y＝(x＋m)2＋n的顶点(－m，n)在第四象限，∴－m>0，n<0，即m<0，n<0，∴直线y＝mx＋n经过第二、三、四象限．故选D.
5．已知关于x的二次函数y＝(x＋m)2－3，当x>2时，y随着x的增大而增大，则m的取值范围是(　　)
A．m≤2 B．m≥－2 C．m<2 D．m≤－2
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【答案】B
【点拨】∵1>0，∴二次函数的图象开口向上，∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大．∵对称轴为直线x＝－m，且当x>2时，y随x的增大而增大，∴－m≤2，即m≥－2.
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－3(答案不唯一)
6. 二次函数y＝△(x－7)2＋8有最大值，则“△”中可填的数字是_______________．(写一个即可)
7．[2025·济宁曲阜市月考]在平面直角坐标系中，将二次函数y＝(x＋1)2＋3的图象先向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线对应的函数表达式为(　　)
A．y＝(x＋3)2＋2 B．y＝(x－1)2＋2
C．y＝(x－1)2＋4 D．y＝(x＋3)2＋4
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B
8. 将某二次函数的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位后，得到新的二次函数y＝(x－1)2＋1的图象，则原二次函数的表达式是(　　)
A．y＝(x＋1)2－2 B．y＝(x＋2)2＋3
C．y＝(x－4)2－1 D．y＝(x＋2)2－3
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B
9．[2025·济南校级模拟]把二次函数y＝2(x－2)2－5的图象先向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得函数图象的顶点坐标为________．
(4，－2)
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【点拨】把二次函数y＝2(x－2)2－5的图象先向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得新图象对应的函数表达式为y＝2(x－2－2)2－5＋3，即y＝2(x－4)2－2，∴其顶点坐标为(4，－2)．
10．若点A(1，y1)，B(－2，y2)，C(2.5，y3)都是二次函数y＝－(x－3)2＋k的图象上的点，则y1，y2，y3的大小关系为(　　)
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1
C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
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【答案】D
【点拨】∵y＝－(x－3)2＋k，∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x＝3，∴当x＜3时，y随x的增大而增大．∵－2＜1＜2.5，∴y2＜y1＜y3.
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【答案】D
12．下列关于二次函数y＝－(x－m)2＋m2＋1(m为常数，且m≠0)的结论：①该函数的图象与函数y＝－x2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点(0，1)；③当x>0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y＝x2＋1的图象上，其中所有正确的结论序号是____________．
①②④
【点拨】∵当m>0时，将二次函数y＝－x2的图象先向右平移m个单位，再向上平移(m2＋1)个单位即可得到二次函数y＝－(x－m)2＋m2＋1的图象；当m<0时，将二次函数y＝－x2的图象先向左平移－m个单位，再向上平移(m2＋1)个单位即可得到二次函数y＝－(x－m)2＋m2＋1的图象，∴该函数的图象与函数y＝－x2的图象形状相同，结论①正确；
对于y＝－(x－m)2＋m2＋1，当x＝0时，y＝－(0－m)2＋m2＋1＝1，即该函数的图象一定经过点(0，1)，结论②正确；由二次函数的性质可知，当xm时，y随x的增大而减小，结论③错误，二次函数y＝－(x－m)2＋m2＋1的图象的顶点坐标为(m，m2＋1)，对于二次函数y＝x2＋1，当x＝m时，y＝m2＋1，即该函数的图象的顶点(m，m2＋1)在函数y＝x2＋1的图象上，结论④正确．综上，所有正确的结论序号是①②④.
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13. 如图，抛物线y＝a(x＋1)2＋m－2与y＝a(x－2)2＋m交于点A，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C，则线段BC的长为____________．
6
【点拨】设抛物线y＝a(x＋1)2＋m－2的对称轴直线x＝－1与线段BC交于点E，抛物线y＝a(x－2)2＋m的对称轴直线x＝2与线段BC交于点F，
如图所示．由抛物线的对称性可知，
BE＝AE，CF＝AF，∴BC＝BE＋
AE＋AF＋CF＝2(AE＋AF)＝
2×[2－(－1)]＝6.
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14．已知一系列抛物线y0＝－(x－1)2，y1＝－(x－3)2＋2，y2＝－(x－5)2＋4，y3＝－(x－7)2＋6，y4＝－(x－9)2＋8，…，yk(k为非负整数)．抛物线yk与x轴相交于点Ak，Bk(点Ak在点Bk的左边)，顶点为Pk.若PkBk－1⊥x轴于点Bk－1，则k的值是________．
3
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【点拨】根据题意可得y0的顶点坐标是(1，0)，y1的顶点坐标是(3，2)，y2的顶点坐标是(5，4)，y3的顶点坐标是(7，6)，y4的顶点坐标是(9，8)，由规律可知yk的顶点Pk的坐标是(2k＋1，2k)，∴抛物线yk的表达式是yk＝－(x－2k－1)2＋2k，∴yk－1＝－[x－2(k－1)－1]2＋2(k－1)＝－(x－2k＋1)2＋2k－2.∵PkBk－1⊥x轴于点Bk－1，∴Bk－1(2k＋1，0)．把点Bk－1(2k＋1，0)的坐标代入到yk－1＝－(x－2k＋1)2＋2k－2，得－(2k＋1－2k＋1)2＋2k－2＝0，解得k＝3.
15．如图是二次函数y＝a(x＋1)2＋4的图象的一部分，根据图象回答下列问题：
(1)确定a的值；
(2)设抛物线的顶点是点P，点B是x轴上的一个点，若△PAB的面积为6，求点B的坐标．
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(1)求该抛物线的表达式；
(2)如图①，过点C作CH⊥OA，垂足为H，延长HC交抛物线于点E.求线段CE的长．
(3)点D为线段OA上一动点(点O除外)，在OC右侧作平行四边形OCFD．
①如图②，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标；
②如图③，连接BD，BF，求BD＋BF的最小值．
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第三章　二次函数
3　二次函数y＝ax2的图象与性质
第2课时 二次函数y＝ax2的图象与性质
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D
1．抛物线y＝ax2(a<0)一定经过(　　)
A．第一、二象限
B．第一、三象限
C．第二、四象限
D．第三、四象限
C
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2. [教材P77习题P1]关于二次函数y＝3x2的图象，下列说法错误的是(　　)
A．它是一条抛物线
B．它的开口向上，且关于y轴对称
C．它的顶点是抛物线的最高点
D．它与y＝－3x2的图象关于x轴对称
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A
3．[2025·济南市中区校级月考]若二次函数y＝ax2的图象经过点P(－2，4)，则该图象必经过点(　　)
A．(2，4) B．(－2，－4)
C．(－4，2) D．(4，－2)
B
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5．已知二次函数y＝(m＋1) xm2－1的图象开口向下，则m的值是________．
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返回
B
6．对于二次函数y＝－2x2，下列结论正确的是(　　)
A．y随x的增大而增大
B．图象关于直线x＝0对称
C．图象开口向上
D．无论x取何值．y的值总是负数
7．已知二次函数y＝(a－1)x2，当x＞0时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是(　　)
A．a＞0 B．a＞1 C．a≠1 D．a＜1
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B
8．[2025·济宁校级月考]二次函数y＝2x2的图象经过点A (－3，y1)，B(1，y2)，C (4，y3)，则y1, y2，y3大小关系是(　　)
A．y1C．y2返回
【答案】C
【点拨】∵y＝2x2，∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝0.∴离对称轴越近，点越低．∵点A，B，C与对称轴的距离分别为3，1，4，∴y2(2)若点E(x1，y1)，F(x2，y2)都在此抛物线上，且x1>x2>0，试比较y1与y2的大小．
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10．已知抛物线y＝ax2与y＝4x2的形状相同，则a的值是(　　)
A．4 B．－4 C．±4 D．1
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【答案】C
【点易错】对于抛物线y＝ax2，|a|的大小决定抛物线的开口程度，|a|相等说明抛物线的开口大小相同，即抛物线的形状相同．本题易忽略a＝－4而出错．
11．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a的大致图象可以是(　　)
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【答案】B
【点拨】当a>0时，函数y＝ax2的图象开口向上，函数y＝ax＋a的图象经过第一、第二、第三象限，∴A，D错误，B正确；当a<0时，函数y＝ax2的图象开口向下，函数y＝ax＋a的图象经过第二、第三、第四象限，∴C错误．
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【答案】B
13．已知二次函数y＝ax2的图象经过点A(2，12)，则当－3≤x≤2时，图象上最高点的坐标为________，函数的最小值为________．
(－3，27)
0
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【点拨】∵二次函数y＝ax2的图象经过点A(2，12)，∴a＝3，即二次函数的表达式为y＝3x2.∴其图象开口向上，顶点为最低点，函数有最小值0.易知当x＝－3时，函数取得最大值，此时y＝3×(－3)2＝27，∴所求函数图象上最高点的坐标为(－3，27)．
14. 如图，已知Rt△ABC的顶点坐标为A(1，2)，B(2，2)，C(2，1)，若抛物线y＝ax2(a>0)与该直角三角形无交点，则a的取值范围是_______________．
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15．已知二次函数y＝ax2(a≠0)的图象与直线y＝2x－3交于点A(1，b)．
(1)求a和b的值．
【解】把(1，b)代入y＝2x－3，得b＝2×1－3＝－1，
∴A(1，－1)．把(1，－1)代入y＝ax2，得a＝－1.
(2)当x取何值时，二次函数y＝ax2中的函数值y随x值的增大而增大？
【解】∵a＝－1，∴二次函数的表达式为y＝－x2，它的图象开口向下，对称轴是y轴．∴当x<0时，函数值y随x值的增大而增大．
(3)求抛物线y＝ax2与直线y＝2x－3的另一个交点B的坐标．
【解】解方程2x－3＝－x2，得x1＝1，x2＝－3.
当x＝1时，y＝－x2＝－1；当x＝－3时，y＝－x2＝－9.
∵点A的坐标为(1，－1)，∴点B的坐标为(－3，－9)．
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16. 已知二次函数y＝ax2的图象经过点A(－1，2)．
(1)求出这个函数关系式．
【解】∵二次函数y＝ax2的图象经过点A(－1，2)，
∴把(－1，2)直接代入y＝ax2，可得a＝2.
∴二次函数关系式为y＝2x2.
(2)写出抛物线上纵坐标为2的另外一个点B的坐标，并求出△AOB的面积．
(3)在抛物线上是否存在点C，使得△AOB的面积等于△ABC面积的2倍？如果存在，求出点C的坐标；如果不存在，请说明理由．
【解】存在．
∵△AOB的面积等于△ABC面积的2倍，且△ABC和△AOB都有共同的底边AB，
∴点O到AB的距离是点C到AB的距离的2倍．
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第三章　二次函数
测素质　二次函数的图象与性质
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A
D
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2．二次函数y＝2x2＋4x－3的图象的对称轴为(　　)
A．直线x＝2 B．直线x＝4
C．直线x＝－3 D．直线x＝－1
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C
3．将抛物线y＝(x－3)2＋2向左平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后所得抛物线的表达式为(　　)
A．y＝(x－5)2＋5 B．y＝x2
C．y＝(x－1)2＋5 D．y＝(x－1)2－1
4. 点(－3，y1)，(－1，y2)，(2，y3)都在函数y＝x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为(　　)
A．y3>y2>y1 B．y1>y2>y3　
C．y1>y3>y2 D．y2>y1>y3
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【答案】C
【点拨】抛物线y＝x2的对称轴为y轴，∴当x<0时，y随x的增大而减小，点(2，y3)关于抛物线的对称轴的对称点为(－2，y3)．∵－3<－2<－1，∴y1>y3>y2.故选C.
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【答案】B
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D
6．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx＋c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)
7．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论中错误的是(　　)
A．a－b＋c＞1
B．abc＞0
C．4a－2b＋c＜0
D．c－a＞1
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【答案】C
8．已知二次函数y＝x2－2x(－1≤x≤t－1)，当x＝－1时，函数取得最大值；当x＝1时，函数取得最小值，则t的取值范围是(　　)
A．0＜t≤2　 B．0＜t≤4
C．2≤t≤4　 D．t≥2
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【答案】C
【点拨】∵y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，且顶点坐标为(1，－1)．∵1－(－1)＝3－1，∴x＝－1和x＝3时的函数值相等．∵－1≤x≤t－1，当x＝－1时，函数取得最大值，∴t－1≤3.∵当x＝1时，函数取得最小值，∴t－1≥1.∴1≤t－1≤3，解得2≤t≤4.
二、填空题(每小题5分，共20分)
9. 请写出一个开口向下，对称轴为直线x＝1，且与y轴的交点坐标为(0，2)的抛物线的表达式：_________________
___________．
y＝－x2＋2x＋2
(答案不唯一)
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3
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12．[2025·北京第八中学月考]在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为P(－1，k)，且经过点A(－3，0)，其部分图象如图所示，下面四个结论：①abc>0；②b＝－2a；③若点N(t，n)在
此抛物线上且n0或t<－2；④对
于任意实数t，都有a(t2－1)＋b(t＋1)≤0
成立，其中正确的有________个．
3
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当x＝0时，y＝c，∴抛物线过点(0，c)．∵对称轴为直线x＝－1，∴点(0，c)关于对称轴的对称点为(－2，c)．∵抛物线的开口向下，∴在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．∵点N(t，n)在此抛物线上且n0或t<－2，故③正确；∵x＝－1时，y取得最大值a－b＋c，∴对于任意实数t，都有at2＋bt＋c≤a－b＋c，即a(t2－1)＋b(t＋1)≤0，故④正确．综上，①③④正确，共3个．
三、解答题(共40分)
13．(12分)已知二次函数y＝x2－kx＋k－5.
(1)若此二次函数图象的对称轴为直线x＝1，
①求二次函数的表达式；
②直接写出二次函数的最小值；
【解】二次函数的最小值是－4.
(2)当x≤1时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．
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14．(14分)2025·烟台福山区月考如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与y轴交于点A(0，3)，且经过点B(2，3)．
(1)求此二次函数的表达式，并求出顶点坐标；
(2)若将该二次函数的图象先向右平移m个单位，再向下平移m个单位(m＞0)，平移后的抛物线仍然经过点B(2，3)，求m的值．
【解】根据题意，得平移后的抛物线表达式为
y＝(x－1－m)2＋2－m，
将点B(2，3)的坐标代入，得(2－1－m)2＋2－m＝3，
解得m1＝3，m2＝0.∵m＞0，∴m＝3.
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15．(14分)如图，二次函数y＝(x＋2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y＝kx＋b的图
象经过该二次函数图象上的点A
(－1，0)及点B．
(1)求二次函数与一次函数的表达式；
【解】把点A(－1，0)的坐标代入y＝(x＋2)2＋m，
得1＋m＝0，解得m＝－1，
∴二次函数的表达式为y＝(x＋2)2－1.
∴抛物线的对称轴是直线x＝－2.
令x＝0，得y＝3，∴点C的坐标是(0，3)．
(2)在对称轴上有一点P，使PA＋PC最小，请求出点P的坐标．
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【解】∵点B和点C关于直线x＝－2对称，∴直线AB与直线x＝－2的交点即为点P，此时PA＋PC最小．
当x＝－2时，y＝－x－1＝－(－2)－1＝1，　
∴点P的坐标是(－2，1)．(共28张PPT)
第三章　二次函数
专题5　求二次函数表达式的类型
1．[2025·烟台校级月考]如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与y轴交于点C(0，－6)，与x轴的一个交点是A(－2，0)．
(1)求二次函数的表达式，并写出图象的顶点D的坐标；
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2．如图，已知O为坐标原点，∠AOB＝30°，∠ABO＝90°，且点A的坐标为(2，0)．
(1)求点B的坐标；
(2)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，O三点，求此二次函数的表达式．
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3．[2025·北京理工大附中月考]二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过点(3，0)，当x＝1时，函数有最小值，为－4.
(1)求该二次函数的表达式；
【解】∵当x＝1时，函数有最小值，为－4，∴二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的顶点坐标为(1，－4)，
∴二次函数的表达式为y＝a(x－1)2－4.
∵该二次函数的图象经过点(3，0)，
∴0＝(3－1)2a－4，∴a＝1，
∴二次函数的表达式为y＝(x－1)2－4，即y＝x2－2x－3.
(2)直线x＝m与抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)和直线y＝x－3的交点分别为点C，点D．
①当m＝－1时，CD＝________；
4
②结合函数的图象，直接写出CD≥4时m的取值范围：_____________.
m≤－1或m≥4
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4. 已知抛物线与x轴交于A(1，0)，B(－4，0)两点，与y轴交于点C，连接BC，且AB＝BC，求此抛物线对应的函数表达式．
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5．[2025·襄阳枣阳市月考]如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋4x－3的图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，点B的坐标是(1，0)．
(1)求点A，C，D的坐标，并根据图象直接写出当y>0时，x的取值范围．
【解】把B(1，0)的坐标代入y＝ax2＋4x－3，得0＝a＋4－3，解得a＝－1，∴y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，∴A(2，1)．由y＝－x2＋4x－3，得当x＝0时，y＝－3，∴D(0，－3)．∵抛物线的对称轴是直线x＝2，
∴B，C两点关于直线x＝2对称，∴C(3，0)．
当y>0时，x的取值范围为1(2)平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
【解】由点D(0，－3)到点A(2，1)的平移方式为向右平移2个单位，向上平移4个单位，
∴平移后图象所对应的二次函数的表达式为y＝－(x－2－2)2＋1＋4＝－(x－4)2＋5.
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D
7. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中y和x对应的取值如下表所示：
x … －1 0 2 4 5 …
y … n －2 m －2 p …
(1)若n＝－7，求二次函数的表达式；
(2)用含a的代数式表示m；
(3)若nmp≤0，求a的取值范围．
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8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点M为线段CD上的动点(M与点C不重合)，将矩形沿某一直线对折，使点B与点M重合，展开后折痕与边AD交于点E，与边BC交于点F.
(1)若BE⊥ME，求CM的长；
【解】易知BE＝ME.在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，CD＝AB＝2，∴∠ABE＋∠AEB＝90°.
∵BE⊥ME，∴∠BEM＝90°，∴∠AEB＋∠MED＝90°，
∴∠MED＝∠ABE，∴△AEB≌△DME，
∴AB＝ED＝2，AE＝DM，∴DM＝AE＝AD－ED＝3－2＝1，∴CM＝CD－DM＝2－1＝1.
(2)设CM＝x，AE＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
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第三章　二次函数
5　确定二次函数的表达式
第2课时 由三点确定二次函数的表达式
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A
1．已知y＝ax2＋bx＋c，由下表可知y与x之间的函数关系式是(　　)
A．y＝x2－4x＋3 B．y＝x2－3x＋4
C．y＝x2－3x＋3 D．y＝x2－4x＋8
x －1 0 1
ax2 1
ax2＋bx＋c 8 3
2. 运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线可以看作是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度y(单位：m)与足球被踢出后经过的时间x(单位：s)近似满足函数关系y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
B
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如图记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，可推断出足球飞行到最高点时，最接近的时刻x是(　　)
A．4
B．4.5
C．5
D．6
3．已知二次函数的图象经过(0，0)，(3，0)，(1，－4)三点，则该函数的表达式为(　　)
A．y＝x2－3x B．y＝2x2－3x
C．y＝2x2－6x D．y＝x2－6x
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【答案】C
【点拨】∵该函数图象过(0，0)，(3，0)两点，∴设其表达式为y＝ax(x－3)．将(1，－4)代入，得－4＝a×1×(1－3)，解得a＝2.∴该函数的表达式为y＝2x(x－3)＝2x2－6x.
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4．[2025·淄博张店区月考]某二次函数的图象如图所示，则其表达式是(　　)
A．y＝－x2＋2x＋3
B．y＝－x2＋2x－3
C．y＝－x2－2x＋3
D．y＝－x2－2x－3
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【答案】A
【点拨】由图象可得抛物线过(0，3)，(3，0)，(－1，0)三点，∴设其表达式为y＝a(x＋1)(x－3)，把(0，3)代入，得a×1×(－3)＝3，解得a＝－1，∴表达式为y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3.
5．[2025·烟台福山区校级月考]已知二次函数的图象经过点A(－2，0)，B(3，0)，C(1，－12)．
(1)求二次函数的表达式；
【解】由题意可设二次函数的表达式为y＝a(x＋2)(x－3)，将点C(1，－12)的坐标代入表达式可得－12＝－6a，解得a＝2.∴二次函数的表达式为y＝2(x＋2)(x－3)．
(2)求此抛物线的对称轴和顶点坐标．
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D
6．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过(1，－1)，(2，－4)，(0，4)三点，那么它的对称轴是直线(　　)
A．x＝－3 B．x＝－1 C．x＝1 D．x＝3
7. 如果抛物线经过点A(2，0)和B(－1，0)，且与y轴交于点C，若OC＝2，则这条抛物线的表达式是(　　)
A．y＝x2－x－2
B．y＝－x2－x－2或y＝x2＋x＋2
C．y＝－x2＋x＋2
D．y＝x2－x－2或y＝－x2＋x＋2
【点拨】由题意可设抛物线的表达式为y＝a(x－2)(x＋1)．∵O C＝2，∴点C的坐标为(0，2)或(0，－2)．把(0，2)代入y＝a(x－2)(x＋1)，得a·(－2)×1＝2，解得a＝－1，此时抛物线的表达式为y＝－(x－2)(x＋1)，即y＝－x2＋x＋2.把(0，－2)代入y＝a(x－2)(x＋1)，得a·(－2)×1＝－2，解得a＝1，此时抛物线的表达式为y＝(x－2)(x＋1)，即y＝x2－x－2.综上所述，抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋2或y＝x2－x－2.
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【答案】D
8．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)上部分点的横坐标x和纵坐标y的对应值如下表：
x … 0 1 3 4 5 …
y … －5 －3 －3 －5 …
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【答案】D
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10．根据下列条件，求出抛物线对应的二次函数表达式：点A(－1，m)，B(3，m)在同一条抛物线上，这条抛物线与y轴交点的纵坐标为9，且经过点(1，8)．
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11. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(1，0)，B(3，0)，与y轴正半轴交于点C，连接AC，tan∠OAC＝3.
(1)求二次函数的表达式．
(2)若x轴上有一点D从(－4，0)出发，沿x轴正方向平移，平移距离为m(m＞0)，是否存在点D使得△ACD是等腰三角形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
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12．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点A(1，0)，B(－3，0)，C(0，－3)．
(1)求二次函数的表达式；
【解】由题意可得二次函数的表达式为
y＝a(x－1)·(x＋3)，
把(0，－3)代入，得－3＝a·(0－1)×(0＋3)，解得a＝1，
∴二次函数的表达式为y＝(x－1)(x＋3)＝x2＋2x－3.
(2)在抛物线的对称轴上存在一点F，使AF＋CF最小，求点F的坐标；
【解】∵y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝－1.
连接BC，交直线x＝－1于点F，
易知FA＝FB，∴FA＋FC＝FB＋FC＝BC，
∴此时AF＋CF最小．
(3)在抛物线上存在一点P，使△ABP的面积为6，求点P的坐标．
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第三章　二次函数
4　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
第4课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
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A
1．将二次函数y＝－2x2－4x＋5化成y＝a(x－h)2＋k的形式是(　　)
A．y＝－2(x＋1)2＋7 B．y＝－2(x－1)2＋7
C．y＝－2(x＋1)2－7 D．y＝－2(x－1)2－7
2．将抛物线y＝－x2－2x＋3向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线必定经过点(　　)
A．(－2，2) B．(－1，1)
C．(0，6) D．(1，－3)
【点拨】y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，故将抛物线y＝－x2－2x＋3向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的表达式为y＝－x2＋2.当x＝－2时，y＝－(－2)2＋2＝－4＋2＝－2，故此抛物线不经过点(－2，2)；当x＝－1时，y＝－(－1)2＋2＝－1＋2＝1，故此抛物线经过点(－1，1)；当x＝0时，y＝－02＋2＝0＋2＝2，故此抛物线不经过点(0，6)；当x＝1时，y＝－12＋2＝－1＋2＝1，故此抛物线不经过点(1，－3)．
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【答案】B
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B
3．二次函数y＝x2－6x＋1图象的对称轴是(　　)
A．直线x＝－3 B．直线x＝3
C．直线x＝6 D．直线x＝－6
4．[2025·日照岚山区月考]将抛物线y＝x2＋2x－1向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为(　　)
A．(－4，2) B．(2，－2)　
C．(4，2) D．(－4，－2)
【点拨】因为y＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2，所以抛物线y＝x2＋2x－1的顶点坐标为(－1，－2)，所以将此抛物线向右平移3个单位长度后，所得新抛物线的顶点坐标为(2，－2)．故选B.
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【答案】B
5. 若抛物线y＝x2－2x＋m－1(m是常数)只经过第一、二、四象限，则m的取值范围是(　　)
A．m>1 B．m≥1
C．1≤m<2 D．m≤2
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【答案】C
6．已知abc<0，那么二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)
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【答案】C
7．在二次函数y＝－x2－2x＋3的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是(　　)
A．x＜－1 B．x＞－1 C．x＜1 D．x＞1
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A
8．已知点A(4，y1)，B(－1，y2)，C(－3，y3)均在拋物线y＝ax2－4ax＋c(a＞0)上，则y1，y2，y3的大小关系为(　　)
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2
C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y1
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【答案】A
9. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的表达式可以是_____________________．
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y＝－x2＋1(答案不唯一)
C
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11．[2024·东营]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)
A．abc<0
B．a－b＝0
C．3a－c＝0
D．am2＋bm≤a－b(m为任意实数)
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【答案】D
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【答案】C
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C
14．若点P(m，－2)与点Q(4，n)关于原点对称，则抛物线y＝x2＋mx＋n的顶点坐标为____________．
【点拨】∵点P(m，－2)与点Q(4，n)关于原点对称，∴m＝－4，n＝2，∴抛物线的表达式为y＝x2－4x＋2＝(x－2)2－2，∴顶点坐标为(2，－2)．
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(2，－2)
4
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16．已知抛物线y＝－x2＋bx＋c(b，c为常数)的顶点横坐标是抛物线y＝－x2＋4x＋c顶点横坐标的2倍．
(1)求b的值；
(2)点A(x1，y1)在抛物线y＝－x2＋4x＋c上，点B(x1＋m，y1＋t)在抛物线y＝－x2＋bx＋c上．
①求t(请用含m，x1的代数式表示)；
【解】∵点A(x1，y1)在抛物线y＝－x2＋4x＋c上，点B(x1＋m，y1＋t)在抛物线y＝－x2＋bx＋c上，b＝8，
∴y1＝－x21＋4x1＋c，y1＋t＝－(x1＋m)2＋8(x1＋m)＋c，
∴t＝－m2－2mx1＋4x1＋8m.
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②若x1＝m＋1且－1≤x1≤2，求t的最大值．
17. 如图，A、B为一次函数y＝－x＋5的图象与二次函数y＝x2＋bx＋c的图象的公共点，点A，B的横坐标分别为0，4.P为二次函数y＝x2＋bx＋c的图象上的动点，且位于直线AB的下方，连接PA，PB．
(1)求b，c的值；
(2)求△PAB面积的最大值．
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18. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2－2a2x(a≠0)．
(1)当a＝1时，求抛物线的顶点坐标；
【解】把a＝1代入y＝ax2－2a2x，
得y＝x2－2x＝(x－1)2－1，
∴抛物线的顶点坐标为(1，－1)．
(2)已知M(x1，y1)和N(x2，y2)是抛物线上的两点．若对于x1＝3a，3≤x2≤4，都有y1当a<0时，如图②，
此时－a>4，解得a<－4.
又∵a<0，∴a<－4.
综上，a的取值范围
为0返回(共24张PPT)
第三章　二次函数
3　二次函数y＝ax2的图象与性质
第1课时 二次函数y＝±x2的图象与性质
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C
1．抛物线y＝－x2不具有的性质是(　　)
A．对称轴是y轴
B．开口向下
C．当x＜0时，y随x的增大而减小
D．顶点坐标是(0，0)
D
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2. [教材P73做一做]下列关于抛物线y＝x2和y＝－x2的异同点说法错误的是(　　)
A．抛物线y＝x2和y＝－x2有共同的顶点和对称轴
B．抛物线y＝x2和y＝－x2的开口方向相反
C．抛物线y＝x2和y＝－x2关于x轴成轴对称
D．点A(－3，9)在抛物线y＝x2上，也在抛物线y＝－x2上
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C
A
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4．[2024·广东]若点(0，y1)，(1，y2)，(2，y3)都在二次函数y＝x2的图象上，则(　　)
A．y3＞y2＞y1 B．y2＞y1＞y3
C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y1＞y2
0
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5．若抛物线y＝(m－1)xm2－2m＋2的开口向下，则m＝________.
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－90
7．如图，抛物线y＝x2与y＝－x2在同一平面直角坐标系中，经过原点的直线AB交抛物线y＝x2于点A，交抛物线y＝－x2于点B．已知点A(m，9)，求m的值和点B的坐标．
【解】把(m，9)代入y＝x2，得9＝ m 2，∴m ＝±3.
∵点A在第二象限，∴m ＝－3.∴A(－3，9)．
易知直线AB与两抛物线的交点关于原点对称，
∴B(3，－9)．
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8．二次函数y＝－x2与一次函数y＝－x－1的图象在同一平面直角坐标系中的大致位置是(　　)
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C
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D
10．如图，圆O的半径为2，C1是函数y＝x2的图象，C2是函数y＝－x2的图象，则阴影部分的面积是(　　)
A．π
B．2π
C．4π
D．以上都不对
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【答案】B
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【答案】A
12. 如图，一次函数y1＝kx＋b与二次函数y2＝ax2的图象交于A(－1，n)，B(2，4)两点．
(1)求两个函数的表达式；
(2)根据图象写出使y1＜y2的x的取值范围：______________.
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x＜－1或x＞2
13．如图，A，B分别为y＝x2图象上的两点，且AB⊥y轴，AB＝6.
(1)求出点A，B的坐标；
【解】∵抛物线y＝x2的对称轴为y轴，点A，B在抛物线上，线段AB⊥y轴，∴点A与点B关于y轴对称．
又∵AB＝6，∴点A的横坐标为－3，点B的横坐标为3.
代入y＝x2中，得点A，B的纵坐标均为9，
∴点A的坐标为(－3，9)，点B的坐标为(3，9)．
(2)若点C在y＝x2的图象上，且∠ACB＝90°，求出点C的坐标．
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(1)求证：PF＝PN；
(2)设点E(－2，6)，求PE＋PF的最小值及此时点P的坐标．
返回(共35张PPT)
第三章　二次函数
6　二次函数的应用
第1课时 面积问题
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C
1. [教材P98习题T1]用一根长为12 cm的细铁丝围成一个矩形，则围成的矩形面积最大为(　　)
A．7 cm2 B．8 cm2 C．9 cm2 D．10 cm2
2．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝2，沿对角线AC剪开(如图①)；固定△ADC，把△ABC沿AD方向平移(如图②)，当两个三角形重叠部分的面积最大时，移动的距离AA′等于(　　)
A．1 B．1.5
C．2 D．3
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【答案】A
3. [教材P98习题T2]如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26 m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40 m，有下列结论：①AB的长可以为6 m；②AB的长有两个不同的值满足矩形菜园ABCD的面积为192 m2；
③矩形菜园ABCD面积的最大值为200 m2.
其中正确结论的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
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【答案】C
4．[2025·临沂模拟]九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙(墙足够长)的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形(底边靠墙)、半圆形这三种方案，最佳方案是________．
方案3
【点拨】方案1：如图，设AD＝x米，则AB＝(8－2x)米，
则菜园的面积＝x(8－2x)＝－2x2＋8x＝[－2(x－2)2＋8]平方米，
∴当x＝2时，菜园面积取最大值，最大面积为8平方米；
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返回
【答案】C
6. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝10 cm，BC＝20 cm.动点P从点A开始以1 cm/s的速度沿AB边向点B运动；动点Q从点B开始以2 cm/s的速度沿BC边向点C运动，且P，Q两点分别从A，B两点同时
出发．设运动时间为t s．
下列结论：
①当t＝3时，△BPQ的面积为21 cm2；
②t有两个不同的值，都使△BPQ的面积为16 cm2；
③△BPQ面积的最大值为50 cm2.
其中，正确结论的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
∵S△BPQ＝[－(t－5)2＋25] cm2，∴当t＝5时，△BPQ的面积最大，且最大面积为25 cm2，故③错误．综上，正确的结论为①②，共2个．故选C.
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7．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，动点E从点D出发向终点A运动，连接BE，以BE为边在BE上方作正方形BEFG，在点E运动的过程中，阴影部分的面积最小为________．
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8．[2024·湖北]如图，某校劳动实践基地用总长为80 m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形试验田，墙长为42 m，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形试验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，
与墙平行的一边长为y(单位：
m)，面积为S(单位：m2)．
(1)写出y与x，S与x之间的函数表达式(不要求写x的取值范围)．
【解】∵2x＋y＝80，∴y＝－2x＋80.
∵S＝xy，∴S＝x(－2x＋80)＝－2x2＋80x.
(2)矩形试验田的面积能达到750 m2吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．
【解】矩形试验田的面积能达到750 m2.
∵0当S＝750时，－2x2＋80x＝750，
解得x1＝25，x2＝15(舍去)．
∴当x＝25时，矩形试验田的面积为750 m2.
(3)当x的值是多少时，矩形试验田的面积最大？最大面积是多少？
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【解】∵S＝－2x2＋80x＝－2(x2－40x)＝－2(x2－40x＋400－400)＝－2(x－20)2＋800，∴当x＝20时，矩形试验田的面积最大，最大面积是800 m2.
9．[2025·威海经济技术开发区月考]如图，已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE，其中AF＝2，BF＝1.P是AB边上的任一点，过P作PN⊥DC于N，PM⊥DE于M，设PN＝x，矩形PNDM
的面积为y，当x为何值时，矩形PNDM
的面积最大，并求出最大面积．
【解】延长MP与CF相交于点Q，
易知MQ＝EF＝4，PN＝QC，PQ＝CN.
∵PN＝QC＝x(3≤x≤4)，
∴FQ＝CF－CQ＝4－x，
∴BQ＝BF－FQ＝1－(4－x)＝x－3.
易知PQ∥AF，∴易得△BPQ∽△BAF，
返回
10. 根据素材解决问题：
【素材1】如图①，空地上有两条互相垂直的小路OP，OQ，中间有一正方形水池ABCD，已知水池的边长为4 m，AB∥OQ，AD∥OP，且AB与OQ的距离为10 m，AD与OP的距离为8 m.
【素材2】现利用两条小路，再购置30 m长的栅栏在空地上围出一个花圃，要求围起来的栅栏与小路相互平行(或垂直)，靠小路和水池的部分都不需要栅栏，接口损耗忽略不计．
【任务1】小明同学按如图②所示的方案设计花圃，若EF＝16 m，求出花圃的面积(不包含水池的面积)．
【解】∵EF＝16 m，栅栏长30 m，
∴FG＝30－16＝14(m)，
∴矩形OEFG的面积为16×14＝224(m2)．
∴花圃的面积为224－4×4＝208(m2)．
【任务2】若按如图③④所示的方案设计花圃，通过计算说明哪种方案的最大面积更大．
【解】在题图③中，设BF＝x m，花圃面积为y m2，
则DG＝30－10－8－x＝(12－x)m，
由题意得y＝10x＋8(12－x)＋40＋80＋32＝2x＋248，
∴当x＝12时，y有最大值，最大值为2×12＋248＝272；
在题图④中，设EF＝a m，花圃面积为b m2，
则FG＝30－8－a＝(22－a)m，
由题意得b＝a(22－a)＋40＋80＋32＝－(a－11)2＋273，
∴当a＝11时，b有最大值，为273.
∵272<273，∴题图④所示的方案的最大面积更大．
【项目反思】如果栅栏不一定与小路垂直(或平行)，某学习小组在探究的过程中，设计了如图⑤所示的方案，你认为图⑤中花圃的最大面积与以上方案比较，哪个更大？请通过计算说明．
返回(共21张PPT)
第三章　二次函数
2　二次函数
返回
C
0(答案不唯一)
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2. 已知关于x的二次函数y＝(m－3)x2－x＋5，则m的值可能是______________(写出一个即可)．
3．已知y＝(m－4)xm2－m＋2x2－3x－1.
(1)当m为何值时，它是y关于x的一次函数；
(2)当m为何值时，它是y关于x的二次函数．
返回
A
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4．[2025·北京东城区月考]二次函数y＝x2－6x－1的二次项系数、一次项系数和常数项分别是(　　)
A．1，－6，－1 B．1，6，1
C．0，－6，1 D．0，6，－1
5．关于函数y＝(500－10x)(40＋x)，下列说法不正确的是(　　)
A．y是x的二次函数 B．二次项系数是－10
C．一次项是100 D．常数项是20 000
C
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y＝x2－6x
6．已知二次函数y＝(a－1)x2－6x－a＋2的常数项为0，则二次函数的表达式是________．
7. 2024年11月8日，国家文物局发布，意大利返还的56件中国文物艺术品回归祖国，本次返还的这批文物艺术品主要为我国甘肃、青海、陕西等地区的出土文物，具有较高的历史、艺术和科学价值，各地博物馆也因此迎来一波游览热潮．数据显示某博物馆11月第2周接待游客2.4万人．若平均每周的增长率为x，则11月第4周的游客人数y(万人)关于x的函数表达式是(　　)
A．y＝2.4(1＋x) B．y＝2.4(1＋2x)
C．y＝2.4(1＋x)2 D．y＝2.4x2
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C
8．[2025·石家庄校级月考]已知菱形的两条对角线长分别为x (cm)和2x (cm)，写出菱形的面积S(cm2)与x(cm)之间的函数表达式，并判断该函数是否为二次函数．
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9．已知y＝(m＋2)x|m|＋2是关于x的二次函数，那么m的值为________．
2
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【点拨】∵y＝(m＋2)x|m|＋2是关于x的二次函数，
∴|m|＝2且m＋2≠0，解得m＝2.
【点易错】本题易忽略二次函数的表达式y ＝ax2＋bx＋c中二次项系数a≠0的条件而出错．
A
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10．如图，线段AB＝10 cm，点P在线段AB上(不与点A，B重合)，以AP为边作正方形APCD，设AP＝x cm，BP＝y cm，正方形APCD的面积为S cm2，则y与x，S与x满足的函数关系分别为(　　)
A．一次函数关系，二次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．反比例函数关系，一次函数关系
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12．要建如图所示两个长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一面墙长a＝20 m，另外的边用竹篱笆围成，已知篱笆总长为35 m，且在BC边上开一扇长为2 m的门GH，在EF边上开一扇长为2 m的门MN，若设鸡场的AB长为x m.
(1)BC的长为____________(用含x的代数式表示)．
(2)若两个鸡场的总面积为S m2，求S与x的函数关系式．
(39－3x)m
【解】S＝x(39－3x)＝－3x2＋39x.
∴S与x的函数关系式为S＝－3x2＋39x.
(3)能否围成总面积为108 m2的两个长方形养鸡场？若能，求出AB的长；若不能，请说明理由．
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13. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，点P是AB边上一个动点，过点P作AB的垂线交AC边于点D，以PD为边作∠DPE＝60°，PE交BC边于点E.
(1)当点D为AC边的中点时，求BE的长；
(2)当PD＝PE时，求AP的长；
(3)设AP 的长为x，四边形CDPE的面积为y，请直接写出y与x的函数表达式及自变量x的取值范围．
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第三章　二次函数
6　二次函数的应用
第3课时 利用二次函数解抛物线型实际问题
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A
1．在足球比赛中，某守门员大脚开出去的球的高度h与球在空中运行时间t的关系，用图象描述大致是(　　)
2. 生物学研究表明，在一定的温度范围内，酶的活性会随温度的升高逐渐增强，在最适宜温度时，酶的活性最强，超过一定温度范围时，酶的活性又随温度的升高逐渐减弱，甚至会失去活性．
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C
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D
4．[2025·威海乳山市月考]广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长为1.5 m．水流在各个方向上沿抛物线路径落到水池．某方向上抛物线路径的形状如图所示，已知落点B到点O的距离为3 m．
B
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建立如图所示的平面直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数关系y＝ax2＋x＋c(a≠0)，则水流喷出的最大高度是(　　)
A．1.5 m
B．2 m
C．2.5 m
D．3 m
5. 泗水卞桥始建于晚唐时期，造型雅朴，雕饰精美，是山东省现存最古老的桥梁．拱桥中孔轮廓近似抛物线，现以拱桥的中孔最高点为坐标原点建立平面直角坐标系(如图)，已知A，B两点的距离为6米，到x轴的距离均为3米．当水面EF与x轴的距离为4米时，
水面宽度EF等于________米．
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5
6．如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度AB为10米，一位身高1.8米的同学站在门下离B点1米的D处，其头顶刚好顶在抛物线形大门上的C处．则该大门的最高处离地面________米．
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7. 廊桥是我国古老的文化遗产．如图是某座抛物线形廊桥的示意图，已知水面AB宽48 m，桥拱最高处点C到水面AB的距离为12 m，为保护该桥的安全，现要在桥拱上的点E，F处安装两盏警示灯，若EF∥AB且EF＝24 m，则警示灯E距水面AB的高度为(　　)
A．12 m B．11 m
C．10 m D．9 m
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【答案】D
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【答案】B
9．[2025·青岛期末]小林同学是一名羽毛球运动爱好者，下面是他对羽毛球的飞行路线的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA＝3 m，CA＝2 m，AB＝
1.55米，击球点P在y轴上．
若选择扣球，羽毛球的飞行高度y1(m)与水平距离x(m)近似满足一次函数关系y1＝－0.4x＋2.8；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y2(m)与水平距离x(m)近似满足二次函数关系，此时当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度3.2米．
(1)求吊球时羽毛球的飞行高度y2(m)与水平距离x(m)近似满足的二次函数的表达式；
【解】由题意得， 二次函数的顶点为(1，3.2)，
∴可设二次函数的表达式y2＝a(x－1)2＋3.2.
在y1＝－0.4x＋2.8中，令x＝0，则y1＝2.8，
∴P(0，2.8)．∴a＋3.2＝2.8，∴a＝－0.4.
∴y2＝－0.4(x－1)2＋3.2.
(2)请通过计算说明两种击球方式是否过网；
【解】当x＝3时，y1＝－0.4×3＋2.8＝1.6，
y2＝－0.4×(3－1)2＋3.2＝1.6.
又∵球网AB的高度为1.55米，
∴两种击球方式均能过网．
(3)要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应该选择哪种击球方式．
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10. 探究观景拱桥中安装的“脚手架”是否符合要求．
素材一 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ACB，其横截面如图所示，量得该拱桥最宽处AB＝20米，最高处点C距地面5米(即OC＝5米).
素材二 桥洞两侧壁上各有一盏景观灯E，F，两灯直射地面分别形成反光点H，G(E，F分别在抛物线上且关于OC对称，H，G在线段AB上)，量得矩形EFGH的周长为27.5米．现公园管理人员对拱桥加固维修，要搭建一个高3.5米的矩形“脚手架”GHMN.已知“脚手架”最高处距景观灯至少为0.35米可保证安全.
问题解决 任务一 确定观景拱桥的形状 分别以AB，OC所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求出该抛物线的表达式.
任务二 探究方案合理性 请问该“脚手架”的安装是否符合要求？如果符合，请说明理由；如果不符合，求出脚手架至少应调低多少米.
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第三章　二次函数
1　对函数的再认识
第2课时 函数的表示方法及自变量的取值
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B
A
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2．已知一个函数的因变量y与自变量x的几组对应值如表，则这个函数的表达式可以是(　　)
x … －1 0 1 2 …
y … －2 0 2 4 …
③
3．如图，是一台自动测温仪记录的图象，它反映了某市冬季某天气温T随着时间t变化而变化的关系，观察图象得到下列信息，①凌晨4时气温最低，为－3 ℃；②14时气温最高，为8 ℃；③从0时至14时，气温随时间增长而上升；④从14时至24时，气温
随时间增长而下降．其中错误的
是________．
【点拨】①由图象可知，在凌晨4时函数图象在最低点，所以凌晨4时气温最低为－3 ℃，故说法正确；②由图象可知，在14时函数图象在最高点，所以14时气温最高为8 ℃，故说法正确；③由图象可知，从4时至14时，气温随时间增长而上升，不是从0时，故说法错误；④由图象可知，14时至24时，气温随时间增长而下降，故说法正确．故答案为③.
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C
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5．已知等腰三角形的周长为20 cm，将底边长y(cm)表示成腰长x(cm)的函数关系式是y＝20－2x，则其自变量x的取值范围是(　　)
A．0C．x>10 D．一切实数
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【答案】B
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x＞1
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D
8．[2025·烟台校级模拟]下列各情境，分别描述了两个变量之间的关系：(1)匀速行驶的汽车(速度与时间的关系)；(2)一面冉冉升起的旗子(高度与时间的关系)；(3)足球守门员大脚踢出去的球(高度与时间的关系)；(4)一杯越晾越凉的开水(水温与时间的关系)．
依次用图象近似刻画以上变量之间的关系，排序正确的是(　　)
A．④②①③ B．②④①③　
C．②④③① D．③④①②
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【点拨】(1)匀速行驶的汽车，速度始终不变，故图象②符合要求；(2)一面冉冉上升的旗子，高度随着时间的增加而越来越高，故图象④符合要求；(3)足球守门员大脚踢出去的球，高度先增大再减小，故图象①符合要求；(4)一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低，故图象③符合要求．排序是②④①③.故选B.
【答案】B
9. 弹簧挂上物体后会伸长，已知一弹簧的长度(cm)与所挂物体的质量(kg)之间的关系如表所示．
物体的质量/kg 0 1 2 3 4 5
弹簧的长度/cm 10 12.5 15 17.5 20 22.5
下列说法错误的是(　　)
A．在没挂物体时，弹簧的长度为10 cm
B．弹簧的长度随物体的质量的变化而变化，物体的质量是自变量的函数，弹簧的长度是自变量
C．在弹簧能承受的范围内，如果物体的质量为m kg，那么弹簧的长度y可以表示为y＝2.5m＋10
D．在弹簧能承受的范围内，当物体的质量为6 kg时，弹簧的长度为25 cm
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【点拨】在没挂物体，即物体的质量为0 kg时，对应的弹簧的长度为10 cm，所以A项中的说法正确；题中表格反映了所挂物体的质量和弹簧的长度之间的关系，所挂物体的质量是自变量，弹簧的长度是自变量的函数，所以B项中的说法错误；观察题中表格可得，在弹簧能承受的范围内，当物体的质量为m kg时，弹簧的长度为(10＋2.5m)cm，所以C项中的说法正确；由C项知y＝10＋2.5m，因此当m＝6时，y＝25，所以D项中的说法正确．故选B.
【答案】B
10．在“看图说故事”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一段时间后又走到文具店买圆规，然后散步走回家．小明离家的距离y(km)与他所用的时间x(min)的关系如图：
2.5
(1)小明家离体育场的距离为________km，小明跑步的平均速度为________km/min；
(2)当15≤x≤45时，请直接写出y关于x的函数表达式；
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(3)当小明离家2 km时，求他离开家所用的时间．
11. 如图①，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AB＝4 cm.点D从A点出发，沿线段AB向终点B运动．过点D作AB的垂线，与△ABC的直角边AC(或BC)相交于点E.设线段AD的长为a(cm)，线段DE的长为h(cm)．
(1)为了探究变量a与h之间的关系，对点D在运动过程中不同时刻AD，DE的长度进行测量，得出以下几组数据：(单位：cm)
变量a 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
变量h 0 0.5 1 1.5 2 1.5 1 0.5 0
在平面直角坐标系中，以变量a的值为横坐标，变量h的值为纵坐标，描点如图甲；以变量h的值为横坐标，变量a的值为纵坐标，描点如图乙．
根据探究的结果，解答下列问题：
①当a＝1.5时，h＝________；当h＝1时，a＝________.
②将图甲、乙中描出的点顺次连接起来．
1.5
1或3
【解】连线如图甲、图乙所示．
③下列说法正确的是________．(填“A”或“B”)
A．变量h是以a为自变量的函数
B．变量a是以h为自变量的函数
A
(2)如图②，记线段DE与△ABC的一直角边、斜边围成的三角形(即阴影部分)的面积为S(cm2)．
①分别求出当0≤a≤2和2②当S＝时，求a的值．
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第三章　二次函数
全章热门考点整合应用
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B
1．若函数y＝(a＋1)x|a＋3|－x＋3是关于x的二次函数，则a的值是(　　)
A．1 B．－5 C．－1 D．－5或－1
B
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2．抛物线y＝x2－4x－4的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是(　　)
A．开口向上，对称轴是直线x＝2，顶点是(2，8)
B．开口向上，对称轴是直线x＝2，顶点是(2，－8)
C．开口向上，对称轴是直线x＝－2，顶点是(2，－8)
D．开口向下，对称轴是直线x＝2，顶点是(2，8)
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【答案】D
4．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－1.下列结论：①abc＜0；②b2＞4ac；③4a－2b＋c＞0；④3a＋c＞0；⑤b2－4a2＞2ac．其中正确结论的个数是(　　)
A．2
B．3
C．4
D．5
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【答案】C
观察图象，得当x＝1时，y＞0，∴a＋b＋c>0.又∵b＝2a，∴3a＋c＞0，故④正确；∵b＝2a，∴b2＝4a2，∴b2－4a2＝0.∵a＞0，c＜0，∴2ac＜0，∴b2－4a2＞2ac，故⑤正确．
5．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数)的图象如图所示，ax2＋bx＋c＝m有实数根的条件是(　　)
A．m≥－2
B．m≥5
C．m≥0
D．m＞4
A
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D
6．[2025·济宁邹城市月考]二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则方程ax2＋bx＋c＝0的解是(　　)
A．x＝1
B．x＝3　
C．x＝－1或x＝1
D．x＝－3或x＝1
7. [教材P98习题T1]如图，用一根长为60厘米的铁丝制作一个“日”字形框架ABCD，铁丝恰好全部用完．
(1)若所围成的矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？
(2)矩形框架ABCD面积的最大值为________平方厘米．
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150
(1)①m＝________，n＝________；
②小球的落点是A，求点A的坐标．
3
6
(2)小球飞行的高度y(m)与飞行时间t(s)满足关系式：y＝－5t2＋vt.
①小球飞行的最大高度为________m；
②求v的值．
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8
9. 一把油纸伞，千年江南韵．油纸伞是汉族古老的传统用品之一．如图，油纸伞中轴截面可看作是抛物线的一部分，已知锁扣为C点，抛物线的最高点为P，点P到水平面的距离PQ＝1.2 m，已知
OQ＝1 m，OD＝0.7 m.
(1)求抛物线的表达式；(无需写出自变量的取值范围)
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6
(2，0)
(2)若点D为线段AB上的一个动点(不含端点)，过点D作DE∥y轴，交反比例函数的图象于点E，连接OD，OE，求△ODE面积的最大值．
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11．请阅读信息，并解决问题：
优化产品分配方案 素材1 某工厂每月生产800件产品，每件产品成本为100元．这个工厂将这800件产品分配给线下直营店和线上旗舰店两个渠道一起销售，每月都能售完.
素材2 线下直营店的产品按照定价190元出售，并进行促销活动：月销售量不超过400件的部分，每件产品赠送成本为60元的礼品，可全部售完；超过400件的部分，因礼品已送完，则需要再一次性投入成本为5 000元的广告进行宣传，也可全部售完．线上旗舰店的产品售价y(元)与月销售量x(件)满足关系：y＝－x＋230.
素材3
优秀方案 月总利润≥46 000元 (销售利润＝销售收入－成本)
良好方案 44 000元<月总利润<46 000元 合格方案 40 000元<月总利润≤44 000元 任 务 1 ①线下直营店的月销售量为m件．
若0若400_____________元．
30m
(90m－29 000)
【点拨】当0任 务 1 ②线上旗舰店的月销售量为n件，则这n件产品的销售利润为____________元.
任 务 2 ①若平均分配给两个渠道销售，求这800件产品的销售总利润．
任务2 ②请设计一种与①不同的分配方案，并判断方案类型.
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12．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(1)若a＝－1，且函数图象经过(0，3)，(2，－5)两点，求此二次函数的表达式，并直接写出抛物线与x轴的交点及顶点坐标；
(2)在下图中画出(1)中函数的大致图象，并根据图象写出函数值y≥3时自变量x的取值范围．
【解】如图．
当y＝3时，3＝－x2－2x＋3，∴x1＝0，x2＝－2.
由图象可得：当y≥3时，－2≤x≤0.
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13．[2025·潍坊潍城区期末]科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到距离地面25 m处开始计时，此时，在地面用弹射器(高度不计)竖直向上弹射一个小钢球(忽略空气阻力)，将无人机距离地面的高度h1(m)、小钢球距离地面的高度h2(m)随时间t(s)变化的数据的对应点分别描在如图①、图②两个坐标系中．
【模型建构】
探究发现h1与t，h2与t之间的数量关系可以用我们已学的函数来模拟．
(1)你认为可以选择反比例函数来模拟这两个关系吗，为什么？
【解】不能选择反比例函数来模拟这两个关系，因为在反比例函数中，自变量的值不能为0.
(2)求h1关于t的函数表达式和h2关于t的函数表达式．(不要求写出自变量的取值范围)
【问题解决】
(3)当0≤t≤5时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？
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【解】由(2)得h2－h1＝－5t2＋30t－25＝－5(t－3)2＋20.
∵－5<0，∴当t＝3时，高度差最大，最大值为20 m.
答：当0≤t≤5时，小钢球和无人机的高度差最大是20 m.
14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于B(4，0)，C(－2，0)两点，与y轴交于点A(0，－2)．
(1)该抛物线的表达式为______________．
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△MAB是以AB为一条直角边的直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
设M(1，m)，则AM2＝(0－1)2＋(－2－m)2＝m2＋4m＋5，BM2＝(4－1)2＋(0－m)2＝m2＋9.
当∠ABM＝90°时，则AB2＋BM2＝AM2，∴20＋m2＋9＝m2＋4m＋5，解得m＝6，∴点M的坐标为(1，6)；
当∠BAM＝90°时，则AB2＋AM2＝BM2，
∴20＋m2＋4m＋5＝m2＋9，解得m＝－4，∴点M的坐标为(1，－4)．综上所述，点M的坐标为(1，6)或(1，－4)．
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第三章　二次函数
7　二次函数与一元二次方程
第1课时 二次函数与一元二次方程的关系
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B
A
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2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解为(　　)
A．x1＝－4，x2＝2
B．x1＝－3，x2＝－1
C．x1＝－4，x2＝－2
D．x1＝－2，x2＝2
1
3．[2024·徐州]在平面直角坐标系中，将二次函数y＝(x－2 023)(x－2 024)＋5的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P，Q，则PQ＝________.
【点拨】将二次函数y＝(x－2 023)(x－2 024)＋5的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的表达式为y＝(x－2 023)(x－2 024)．令y＝(x－2 023)(x－2 024)＝0，则x－2 023＝0或x－2 024＝0，∴x＝2 023或x＝2 024，∴PQ＝2 024－2 023＝1.
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x1＝0，x2＝2
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4．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝3的解为______________．
5．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点坐标分别为A(－4，8)，B(2，2)，则关于x的方程ax2－bx－c＝0的解为_______________．
x1＝－4，x2＝2
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－4
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7．已知关于x的函数y＝ax2－(a＋1)x＋(a－1)的图象与坐标轴共有两个不同的交点，则实数a的可能值有(　　)
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
A
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8．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为3，一元二次方程ax2＋bx＋c－m＝0有实数根，则m的取值范围是(　　)
A．m≥3
B．m≥－3
C．m≤3
D．m≤－3
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C
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B
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【答案】B
∵抛物线与x轴的另一个交点在－1，0之间，∴a－b＋c<0.∵图象与y轴交点的纵坐标是2，∴c＝2，∴a－b＋2<0，∴b－a>2.故④错误．综上，①③正确，共2个．故选B.
11．[2025·宁波质检]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象上部分点的坐标(x，y)对应值列表如下，则关于x的方程ax2＋bx＋5＝0的解是_______________．
x … 0 30 80 …
y … 2 －3 2 …
x1＝30，x2＝50
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12.[2025·淄博张店区校级月考]如图，已知二次函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)．
(1)求顶点坐标和A，B两点的坐标；
【解】∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
∴函数图象的顶点坐标为(1，－4)．
令y＝0，则0＝x2－2x－3，解得x1＝－1，x2＝3.
又∵点A在点B的左侧，∴A(－1，0)，B(3，0)．
(2)若点P为二次函数图象上一点且S△PAB＝8，求点P的坐标．
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(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
其中，m＝________；
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y … 0 m －4 －3 －4 －3 0 …
－3
(2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该图象的另一部分；
【解】如图所示．
(3)观察函数图象，写出两条函数的性质；
2
3
3
－4＜a＜－3
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第三章　二次函数
6　二次函数的应用
第2课时 利润问题
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B
1．某商店经营衬衫，已知所获利润y(元)与销售的单价x(元)之间满足表达式y＝－x2＋24x＋2 956，则所获利润最多为(　　)
A．3 144元 B．3 100元　
C．1 440元 D．2 956元
B
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2．[2025·日照东港区月考]某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30－x)件，要使利润最大，每件的售价应为(　　)
A．24元 B．25元 C．28元 D．30元
3．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周的利润y(元)与每件的销售价格x(元)之间的关系满足y＝－2x2＋80x＋758，由于某种原因，价格需满足15≤x≤19，那么一周可获得的最大利润是(　　)
A．1 554元 B．1 556元 C．1 558元 D．1 560元
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【答案】B
【点拨】∵y＝－2x2＋80x＋758＝－2(x－20)2＋1 558，－2<0，∴当x＜20时，y随x的增大而增大．∵15≤x≤19，∴x＝19时，y取得最大值，此时y＝－2×(19－20)2＋1 558＝1 556，即一周可获得的最大利润是1 556元．
4. [2024年山东体育消费季]吉祥物“小岳”与济南潮流体育消费季吉祥物“小淼”，一橙一蓝、一动一静，两个可爱的小家伙生动诠释了齐鲁大地、天下泉城的生机与潜力．“小岳”和“小淼”纪念礼盒一上市就销售火爆，每个纪念礼盒的进价为40元．销售期间发现，当定价为50元时，每天可售出1 000个，销售单价每降1元时，每天的销量增加50个．
D
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现商家决定降价销售，每个纪念礼盒降价x元(0A．y＝－50x＋1 000
B．W＝(－50x＋1 000)(40－x)
C．y＝50x－1 000
D．W＝(50x＋1 000)(10－x)
5. 某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为(　　)
A．60元 B．90元 C．80元 D．70元
D
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6．将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1件．为了获得最大利润决定降价x元，则单件的利润为________元，每日的销售量为________件，每日的利润y＝____________，所以每件降价_________元时，每日获得的利润最大，最大利润为________元．
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(30－x)
(20＋x)
－x2＋10x＋600
5
625
7. 2024年中国农民丰收节山东主场活动在威海市环翠区举办．这次丰收节活动突出农民主体、文化赋能、节俭务实、促进消费．某农户销售一种商品，成本价为每千克40元，按规定，该商品每千克的售价不低于成本价，且不高于60元．经调查每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，
部分数据如下表：
售价x/(元/千克) 40 50 60
销售量y/千克 120 100 80
设销售该商品每天的利润为W(元)，则W的最大值为(　　)
A．1 800 B．1 600 C．1 400 D．1 200
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【答案】B
8. 每年5月的第三个星期日为全国助残日，2024年的主题是“科技助残，共享美好生活”，某公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．
(1)y与x的函数关系式为_____________________；每辆轮椅降价________元时，每天的销售利润最大，最大利润为________元．
20
12240
(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12 160元，则这天售出了________辆轮椅．
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64
9．[2024·济宁]某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元/件)之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．
(1)求这段时间内y与x之间的函数表达式．
(2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？
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10．[2024·青岛]5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析：
A樱桃园 第x天的单价、销售量与x的关系如下表： 第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元. B樱桃园
第x天的利润y2(元)与x的关系可以近似地用二次函数y2＝ax2＋bx＋25刻画，其图象如图：
单价(元/盒) 销售量(盒)
第1天 50 20
第2天 48 30
第3天 46 40
第4天 44 50
… … …
第x天 10x＋10
(1)A樱桃园第x天的单价是_________元/盒．(用含x的代数式表示)
(－2x＋52)
(2)求A樱桃园第x天的利润y1(元)与x的函数关系式．(利润＝单价×销售量－固定成本)
【解】由题意得，y1＝(－2x＋52)(10x＋10)－745＝－20x2＋500x－225.
(3)①y2与x的函数关系式是____________________．
y2＝－30x2＋500x＋25
②求第几天两处樱桃园的利润之和(即y1＋y2)最大，最大是多少元？
【解】∵y1＝－20x2＋500x－225，y2＝－30x2＋500x＋25，∴y1＋y2＝－20x2＋500x－225－30x2＋500x＋25＝－50x2＋1 000x－200＝－50(x－10)2＋4 800.
∵－50<0，且1≤x≤15(x为正整数)，∴当x＝10时，y1＋y2有最大值，最大值为4 800，∴第10天两处樱桃园的利润之和(即y1＋y2)最大，最大是4 800元．
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(4)这15天中，共有________天B樱桃园的利润y2比A樱桃园的利润y1大．
4
【点拨】当y2>y1时，－30x2＋500x＋25>－20x2＋500x－225，∴10x2<250，∴x2<25，∴1≤x<5，∴x的正整数解有4个，∴这15天中，共有4天B樱桃园的利润y2比A樱桃园的利润y1大．(共26张PPT)
第三章　二次函数
4　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
第1课时 二次函数y＝ax2＋k的图象与性质
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C
1．如图，二次函数y＝－2x2＋1的图象是(　　)
D
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A
D
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4．已知a<－1，点(a－1，y1) ，(a，y2)，(a＋1，y3)都在函数y＝3x2－2的图象上，则(　　)
A．y1C．y25．抛物线y＝ax2＋c与y＝－3x2的形状相同，开口方向相反，且其顶点坐标是(0，2)，则该抛物线的表达式是___________．
y＝3x2＋2
【点拨】∵抛物线y＝ax2＋c与y＝－3x2的形状相同，开口方向相反，∴a＝3.∵其顶点坐标是(0，2)，∴c＝2，∴表达式为y＝3x2＋2.
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y＝x2＋2
6．将抛物线y＝x2向上平移2个单位，所得抛物线的表达式为__________．
7．已知抛物线y＝x2，把抛物线向上平移_______个单位后，能使得平移后的抛物线与y轴的交点的坐标为(0，5)．
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5
8．[2025·北京海淀区校级月考]将二次函数y＝x2的图象向下平移b(b>0)个单位后，得到的二次函数图象经过点(1，－4)，则b的值为________．
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5
9．对于二次函数y＝2x2－3，当－1≤x≤2时，y的取值范围是(　　)
A．－1≤y≤5 B．－5≤y≤5
C．－3≤y≤5 D．－2≤y≤5
C
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C
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10．[2025·北京昌平区校级月考]下列对于抛物线y＝2x2＋2和y＝－2x2的判断：①开口方向不同；②形状完全相同；③对称轴相同；④当x＞0时，y都随x的增大而增大．其中正确的有(　　)
A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个
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B
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【答案】A
【点拨】阴影部分分割后可以拼为一个长为4，宽为2的矩形，其面积为2×4＝8，故选A.
求关于抛物线的不规则图形的面积，一般是用分割法把它拼为特殊三角形或特殊四边形来解决．
13．[2025·淄博张店区月考]若二次函数y＝ax2＋2的图象经过P(1，3)，Q(m，n)两点，则代数式n2－4m2－4n＋9的最小值为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
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【答案】A
14．在抛物线y＝x2＋3上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若y1＜y2，则下列结论正确的是(　　)
A．0≤x1＜x2
B．x2＜x1≤0
C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2
D．以上都不对
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【答案】D
【点拨】∵在抛物线y＝x2＋3上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且y1＜y2，∴|x1|＜|x2|，∴0≤x1＜x2或x2＜x1≤0或0≤－x1＜x2或0≤x1＜－x2.
15．如图，已知正比例函数y＝2x的图象与抛物线y＝ax2＋3相交于点A(1，b)．
(1)求a与b的值；
【解】把点A(1，b)的坐标代入y＝2x，
得b＝2，∴A(1，2)．
把点A(1，2)的坐标代入y＝ax2＋3，解得a＝－1.
(2)若点B(m，4)在函数y＝2x的图象上，抛物线y＝ax2＋3的顶点是C，求△ABC的面积．
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16. 如图，有一个横截面是抛物线的一部分的运河，一次，运河管理员将一根长6 m的钢管AB的一端放在运河底部点A处，另一端露出水面并靠在运河边缘的点B处，发现4 m钢管浸没在水中(AC＝4 m)，露
出水面部分的钢管BC与水面成30°的
夹角(钢管与抛物线的横截面在同一
平面内)．
(1)以水面所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，求该运河横截面所在的抛物线的表达式；
(2)若有一艘货船从该运河中通过，已知货船底部最宽处为12 m，吃水深(即船底与水面的距离)为1 m，此时货船是否能安全通过该运河？若能，请说明理由；若不能，则需上游开闸放水提高水位，当水位至少上升多少米时，该货船能顺利通过运河？
返回(共34张PPT)
第三章　二次函数
专题6　二次函数的图象与系数的关系
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A
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，若a>0，b2－4ac＝0，则它的图象可以是(　　)
B
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A
D
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4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则点P(a，b)所在的象限是(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
5．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，点P在x轴的正半轴上，且OP＝1，则下列结论不正确的是(　　)
A．a<0
B．b>0
C．b2－4ac>0
D．a＋b＋c<0
B
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【答案】D
7．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点(－1，2)和(1，0)，下列结论：①abc<0；②2a＋b>0；③a＋b＋c＝0；④b＝－1.其中正确的结论的序号是________．
②③④
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8．[2025·重庆开州区月考]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，在下列4个结论中：①abc>0；②a＋b＋c<0；③a－b＋c>0；④4a＋2b2
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9．如图，若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴是直线x＝－1，则下列四个结论中，错误的是(　　)
A．abc>0
B．4a＋c>2b
C．3b＋2c>0
D．a＋b＋c<0
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C
③④
10．如图，抛物线与x轴交于点A(－1，0)和B，与y轴交于点C，下列结论：①abc<0，②2a＋b<0，③4a－2b＋c>0，④3a＋c>0.正确的是________(写序号)．
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11．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(－1，0)，对称轴是直线x＝1，如图所示，下列结论：①abc>0；②b>c；③b2－(a＋c)2<0；④a＋b≤m(am＋b)(m为任意实数)．其中结论正确的为(　　)
A．①②③ B．①②④　
C．①③④ D．②③④
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【答案】B
12．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－2，且与x轴交于 A，B两点， 若OA＝5OB, 则下列结论： ① abc>0；②(a＋c)2－b2＝0；③9a＋c<0；④若t为任意实数，则 at2＋bt＋2b>4a，其中错误结论的个数是(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
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∴当x＝1时，y＝a＋b＋c＝0，∴(a＋c)2－b2＝(a＋c＋b)(a＋c－b)＝0×(a＋c－b)＝0.故②正确；∵a＋b＋c＝0，b＝4a，∴a＋b＋c＝a＋4a＋c＝5a＋c＝0，∴9a＋c＝4a>0，故③错误；∵抛物线的开口向上，对称轴为x＝－2，∴当x＝－2时，y＝4a－2b＋c的值最小，∴对于任意实数t，都有at2＋bt＋c≥4a－2b＋c，∴at2＋bt≥4a－2b，∴at2＋bt＋2b≥4a，故④错误．综上所述，错误的是①③④，共3个，故选C.
【答案】C
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【答案】B
14．如图，拋物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数)关于直线x＝1对称．下列5个结论：①abc>0；②2a＋b＝0；③4a＋2b＋c>0；④am2＋bm>a＋b；⑤3a＋c>0.其中正确的有(　　)
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
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④由图知x＝1时二次函数有最小值，∴a＋b＋c≤am2＋bm＋c，∴a＋b≤am2＋bm，故④错误；⑤∵b＝－2a，∴y＝ax2－2ax＋c，当x＝－1时，y＝a＋2a＋c＝3a＋c.由图知x＝－1时，y>0，∴3a＋c>0，故⑤正确．综上所述，正确的是①②⑤，共3个，故选B.
【答案】B
15．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的大致图象如图所示，顶点坐标为(1，－4a)，点A(4，y1)是该抛物线上一点，若点D(x2，y2)是抛物线上任意一点，有下列结论：①4a－2b＋c>0；②若y2>y1，则x2>4；③若0≤x2≤4，则0≤y2≤4；④若方程a(x＋1)(x－3)＝－1有
两个实数根m和n，且m3.其中正确结论的个数是(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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③当x＝4时，y1＝16a＋4b＋c＝16a－8a－3a＝5a，∴当0≤x2≤4时，－4a≤y2≤5a，于是③错误；④∵方程a(x＋1)(x－3)＝－1有两个实数根m和n，且m0，∴－1【答案】B
16．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A，B两点，交y轴于C点，对称轴为直线x＝h，其中－2(c＋1)>0.其中正确的为________
(填序号)．
①③④
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由题意得C(0，c)，若OC＝OB，则B(c，0)．∴ac2＋bc＋c＝0.∵－10，∴(a＋1)(c＋1)＝ac＋a＋c＋1＝a－b＋c>0，故④正确．故答案为①③④.(共12张PPT)
第三章　二次函数
综合与实践　拱桥形状设计
素材
现要在河面上建造一座如图所示的抛物线形拱桥，已知河面宽60米，岸边水泥柱高20米，拱桥需要用钢材支柱等分跨径以支撑桥面，若钢材支柱将跨径n等分.
任务1
若钢材支柱将跨径4等分，此时以A为坐标原点，水平方向为x轴建立平面直角坐标系，拱桥的抛物线的表达式为：y＝－x(x－60)，则所需的最短的那根钢材支柱长为多少米？
任务2
若钢材支柱将跨径6等分，钢材支柱恰好用了30米．以A为坐标原点，水平方向为x轴建立平面直角坐标系，求拱桥的抛物线的表达式.
【解】设拱桥的抛物线的表达式为y＝ax(x－60)(a≠0)．
∵河面宽60米，钢材支柱将跨径6等分，∴需要5根钢材支柱，钢材支柱的位置分别为x＝10，x＝20，x＝30，x＝40，x＝50.∵岸边水泥柱高20米，钢材支柱恰好用了30米，
任务3
为了美观，现对拱桥重新设计，使拱肋超过桥面，如图所示．若钢材支柱将桥面DE和CF各3等分，且两支柱间的距离为5米，则共需多少米钢材支柱？
【解】以A为坐标原点，水平方向为x轴建立平面直角坐标系，∵抛物线过点A(0，0)，B(60，0)，∴设拱桥的抛物线的表达式为y＝a′x(x－60)(a′≠0)．
∵钢材支柱将桥面DE和CF各3等分，且两支柱间的距离为5米，∴钢材支柱的位置分别为x＝5，x＝10，x＝50，x＝55，DE＝CF＝15米，∴E(15，20)，F(45，20)．

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