第3章 二次函数 习题课件(22份打包)2025秋鲁教版五四制九年级数学上册

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第3章 二次函数 习题课件(22份打包)2025秋鲁教版五四制九年级数学上册

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(共28张PPT)
第三章 二次函数
4 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第2课时二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
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B
C
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2.[2025·济宁兖州区校级月考]下列二次函数中,其图象的对称轴为直线x=2的是(  )
A.y=x2-2 B.y=-x2+2
C.y=-(x-2)2 D.y=(x+2)2
3.[2025·北京汇文中学月考]对于二次函数y=-2(x+1)2,下列说法错误的是(  )
A.它的图象的开口向下
B.它的图象的对称轴是直线x=1
C.当x=-1时,y取最大值
D.当x>1时,y随x的增大而减小
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【答案】B
【点拨】它的图象的对称轴是直线x=-1,故选项B错误,符合题意.
C
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4.已知抛物线y=-(x+1)2上的两点A(-4,y1)和B(-3,y2),那么下列结论一定成立的是(  )
A.0<y2<y1 B.0<y1<y2
C.y1<y2<0 D.y2<y1<0
5.已知某二次函数,当x>1时,y随x的增大而减小;当x<1时,y随x的增大而增大,则该二次函数的表达式可能是(  )
A.y=3(x+1)2 B.y=3(x-1)2
C.y=-3(x+1)2 D.y=-3(x-1)2
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【答案】D
【点拨】∵当x>1时,y随x的增大而减小;当x<1时,y随x的增大而增大,∴该函数图象开口向下,对称轴为直线x=1,∴二次函数y=-3(x-1)2满足条件.
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D
7. [教材P83随堂练习T2]对于任意实数h,抛物线y=(x-h)2与抛物线y=x2(  )
A.开口方向相同  B.对称轴相同
C.顶点相同    D.都有最高点
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A
8.将抛物线y=ax2向右平移后所得新抛物线的顶点横坐标为2,且新抛物线经过点(4,8),则a的值为________.
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2
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y=-3(x-2)2
9.已知抛物线y=-3x2,若抛物线不动,把y轴向左平移2个单位,那么在新坐标系中抛物线的表达式为_____________.
10.[2025·德州乐陵市月考]如图,四个二次函数的图象分别对应的表达式是:①y=a(x-h)2;②y=b(x-h)2;③y=cx2;④y=dx2,则a,b,c,d的大小关系为(  )
A.a>b>c>d
B.a>b>d>c
C.b>a>c>d
D.b>a>d>c
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【答案】A
【点拨】∵①②开口向上,③④开口向下,∴a>0,b>0,c<0,d<0.又∵①的开口小于②的开口,④的开口小于③的开口,∴|a|>|b|,|d|>|c|,∴a>b>0>c>d,故选A.
11. 在同一平面直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数y=a(x+c)2的图象可能是(  )
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【答案】B
【点拨】A.由抛物线可得a<0,由直线可得a>0,矛盾,故此选项错误;C.由抛物线可得c>0,由直线可得c<0,矛盾,故此选项错误;D.由抛物线可得a>0,由直线可得a<0,矛盾,故此选项错误.故选B.
12.已知二次函数y=-2(x+m)2,当x<-3时,y随x的增大而增大;当x>-3时,y随x的增大而减小,则当x=1时,y的值为(  )
A.-12 B.12 C.32 D.-32
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【答案】D
【点拨】由题意可得二次函数的表达式为y=-2(x+3)2,则当x=1时,y=-32.
13. 三名同学分别说出了一个二次函数的一些特征:
小明:函数图象的顶点在x轴上;
小智:函数图象的对称轴是直线x=2;
小文:函数有最大值.
请你写出一个符合上述条件的二次函数表达式:_______________________.
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y=-(x-2)2(答案不唯一)
(-2,0)
(5,0)
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(1)求A,B,C三点的坐标;
(2)求△ABC的面积;
(3)试判断△ABC的形状并说明理由.
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16. 将抛物线y=x2向右平移a(a>0)个单位后得到如图所示的抛物线.该抛物线的顶点为A,与y轴交于点B,且△AOB为等腰直角三角形.
(1)求a的值.
【解】将抛物线y=x2向右平移a(a>0)个单位后所得抛物线的表达式为y=(x-a)2,
则点A的坐标为(a,0),∴OA=a.
∵△AOB为等腰直角三角形,∴OB=OA=a.
将x=0代入y=(x-a)2,得y=a2,
∴点B的坐标为(0,a2),∴OB=a2,∴a2=a.
∵a>0,∴a=1.
(2)平移后的抛物线上是否存在一点C,使△ABC为等腰直角三角形?若存在,直接写出点C的坐标,并求S△ABC;若不存在,请说明理由.
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第三章 二次函数
测素质 二次函数的应用
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D
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.已知抛物线的顶点坐标为(-2,-5),与y轴交于(0,-9),则抛物线的表达式为(  )
A.y=(x+2)2-5 B.y=(x-2)2-5
C.y=-(x-2)2-5 D.y=-(x+2)2-5
C
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2. 下表是用计算器探索函数y=x2+5x-3时所得的数值:
则方程x2+5x-3=0的一个解x的取值范围为(  )
A.0<x<0.25 B.0.25<x<0.5 
C.0.5<x<0.75 D.0.75<x<1
x 0 0.25 0.5 0.75 1
y -3 -1.687 5 -0.25 1.312 5 3
3.若函数y=(a-1)x2-4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点,则a的值为(  )
A.-1 B.2
C.-1或2 D.-1或2或1
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【答案】D
【点拨】当a-1=0,即a=1时,函数为一次函数,它的图象与x轴有一个交点;当a-1≠0时,根据题意,得(-4)2-4(a-1)×2a=0,解得a=-1或a=2,综上所述,a的值为-1或2或1.故选D.
4.二次函数y=-x2+4x的图象如图所示,若关于x的一元二次方程-x2+4x-t=0(t为实数)的解满足1<x<3,则t的取值范围是(  )
A.t>3
B.1<t<3 
C.3<t<4
D.3<t≤4
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【答案】D
【点拨】当x=1时,y=-12+4×1=3;当x=3时,y=-32+4×3=3.∵二次函数y=-x2+4x=-(x-2)2+4,∴当x=2时,y取得最大值,最大值为4.∵一元二次方程-x2+4x-t=0(t为实数),即-x2+4x=t的解满足1<x<3,∴3<t≤4.故选D.
5.如图,小明的父亲在相距2 m的两棵树间拴了一根绳子,给他做了一个简易的秋千,拴绳子的地方距地面高都是2.5 m,绳子自然下垂呈抛物线状,身高1 m的小明距较近的那棵树0.5 m时,头部刚好接触到绳子,则绳子的最低点距地面的距离为(  )
A.0.5 m B.0.6 m
C.1 m D.1.5 m
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【答案】A
【点拨】以左边树与地面的交点为原点,地面水平线为x轴,左边树为y轴建立平面直角坐标系,由题意可得点(0,2.5),(2,2.5),(0.5,1)在抛物线上,设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c,把以上三点的坐标分别代入得c=2.5,4a+2b+c=2.5,0.25a+0.5b+c=1,解得a=2,b=-4,c=2.5.∴y=2x2-4x+2.5=2(x-1)2+0.5.∵2>0,∴当x=1时,ymin=0.5.故选A.
【答案】A
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【答案】B
二、填空题(每小题6分,共18分)
7. 《中华人民共和国道路交通安全法》规定,同车道行驶的机动车,后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离,其原因可以用物理和数学的知识来解释,公路上行驶的汽车急刹车时,刹车距离s(m)与时间t(s)的函数关系式为s=16t-4t2,当遇到紧急情况刹车时,后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的最小安全距离为________.
16 m
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【点拨】s=16t-4t2=-4(t-2)2+16.∵-4<0,∴当t=2时,s有最大值,最大值为16.∴当遇到紧急情况刹车时,后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的最小安全距离为16 m.
8.[2024·泰安]如图,小明的父亲想用长为60米的栅栏,再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园,已知房屋外墙长40米,则可围成的菜园的最大面积是________平方米.
450
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【点拨】由题意,设垂直于墙的边长为x米,则平行于墙的边长为(60-2x)米.∵墙长为40米,∴0<60-2x≤40.∴10≤x<30.菜园的面积=x(60-2x)=-2x2+60x=-2(x-15)2+450,∴当x=15时,可围成的菜园的面积最大,最大面积是450平方米.
9.某款旅游纪念品很受游客喜爱,每个纪念品进价40元,规定销售单价不低于44元,且不高于52元.某商家在销售期间发现,当销售单价定为44元时,每天可售出300个,销售单价每上涨2元,每天销量减少20个.将纪念品的销售单价定为________元时,商家每天销售该款纪念品获得的利润最大.
52
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三、解答题(共52分)
10.(18分)根据下列条件,求二次函数的表达式.
(1)二次函数y=ax2+2x+c的图象过点A(0,3),B(-1,0);
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(3)二次函数的图象过点A(0,4),B(1,0),C(5,0).
(1)求k的值及点C的坐标;
(2)直接写出当x在何范围时,y1>y2.
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【解】由函数图象可知,当x<2或x>6时,y1>y2.
12.(20分)[2025·威海文登区月考]如图,灌溉车为绿化带浇水,喷水口H离地面的高度OH=1.5 m.可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象.
把绿化带横截面抽象为矩形DEFG,其水平宽度DE=3 m,竖直高度EF=0.5 m.下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的,上边缘抛物线的最高点A离喷水口的水平距离为2 m,高出喷水口0.5 m,灌溉车到绿化带的距离OD为d m.
(1)求上边缘抛物线的表达式,并求喷出水的最大射程OC;
(2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标;
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带,直接写出d的取值范围.
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第三章 二次函数
5 确定二次函数的表达式
第1课时 由两点确定二次函数的表达式
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C
y=-3x2-12x-9
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2.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-2,最大值为3,且过点(-3,0),则此抛物线的表达式为___________________.
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A
3.已知二次函数y=ax2+bx-6的图象经过点A(1,-3),B(-1,-3),则二次函数的表达式为(  )
A.y=3x2-6 B.y=x2+2x-6
C.y=9x2-6 D.y=9x2-6x-6
y=3x2-2x-1
4.若二次函数y=ax2+bx-(a+b)的图象经过A(-1,4),B(0,-1)两个点,则该二次函数的表达式为______________.
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5.[2025·济南莱芜区月考]已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A(1,0),B(-1,2)两点.
(1)该求二次函数的表达式;
(2)判断点(2,-6)是否在这个二次函数的图象上,并说明理由.
【解】不在.理由如下:当x=2时,y=-22-2+2=-4≠-6,∴点(2,-6)不在这个二次函数的图象上.
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【答案】D
7. 若抛物线 y=x2 +bx+c与 x轴两个交点间的距离为2,则称此抛物线为定弦抛物线. 已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1,将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的新抛物线表达式为(  )
A.y=x2-1 B.y=(x+1)2-4 
C.y=(x-1)2-4 D.y=(x-1)2-1
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【答案】B
8.在平面直角坐标系中,抛物线y=x2-4x+5与y轴交于点C,则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为(  )
A.y=-x2-4x+5 B.y=x2+4x+5
C.y=-x2+4x-5 D.y=-x2-4x-5
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【答案】A
【点拨】当x=0时,y=5,∴C(0,5).设新抛物线上的点的坐标为(x,y).∵原抛物线与新抛物线关于点C成中心对称,∴易得点(-x,10-y)在原抛物线上,∴10-y=(-x)2-4·(-x)+5,即y=-x2-4x+5,∴新抛物线的表达式为y=-x2-4x+5.
9.如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(-1,0),(1,-2),当y随x的增大而增大时,x的取值范围是________.
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y=(x-3)2-4
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10.小聪在画一个二次函数的图象时,列出了下面几组y与x的对应值:
该二次函数的表达式为________________.
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 5 0 -3 -4 -3 0 …
11. [2024·辽宁]如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A,B,点B的坐标为(3,0),若点C(2,3)在抛物线上,则AB的长为________.
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4
12.二次函数y=2x2+bx+c的图象经过点(2,3),且顶点在直线y=3x-2上,则二次函数的表达式为____________________________.
y=2x2-4x+3或y=2x2-6x+7
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将②代入①,得b2-6b-16-8(-5-2b)=0,解得b1=-4,b2=-6.当b=-4时,c=3;当b=-6时,c=7.∴二次函数的表达式为y=2x2-4x+3或y=2x2-6x+7.
【点易错】本题易出现顶点坐标与已知点的坐标混用导致出错的现象.
(1)求二次函数的表达式;
(2)将该抛物线先向右平移m个单位,再向上平移n个单位,此时顶点恰好落在线段AB上,求m与n的关系.
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14. 如图,已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,交y轴于点C.
(1)求抛物线的表达式及点C的坐标;
(2)连接BC,E是线段OC上一点,E关于此抛物线对称轴的对称点F正好落在BC上,求点F的坐标;
∵A(-1,0),B(3,0)在抛物线上,
∴抛物线的对称轴为直线x=1.
∵点E,F关于对称轴对称,且点E到对称轴的距离为1,
∴xF-xE=2,∴点F的横坐标为2.
将x=2代入y=-x+3,得y=-2+3=1,∴F(2,1).
(3)动点M从点O出发,以每秒2个单位的速度向点B运动,过点M作x轴的垂线交抛物线于点N,交线段BC于点Q.设运动时间为t(t>0)秒,则△BOQ能否为等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,请说明理由.
【解】由题意知,OM=2t,∴M(2t,0).
∵MN⊥x轴,∴Q(2t,3-2t).
∵△BOQ为等腰三角形,∴分三种情况讨论:
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第三章 二次函数
7 二次函数与一元二次方程
第2课时 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根
1.[2025·淄博校级月考]如表给出了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值,那么方程ax2+bx+c=0的一个根的近似值可能是(  )
            
A.1.09 B.1.19 C.1.29 D.1.39
x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 …
y … -1 -0.49 0.04 0.59 1.16 …
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【答案】B
【点拨】∵x=1.1时,y=ax2+bx+c=-0.49;x=1.2时,y=ax2+bx+c=0.04,∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点在点(1.1,0)和点(1.2,0)之间,更靠近点(1.2,0),∴方程ax2+bx+c=0的一个根的近似值可能为1.19.
2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的y与x的部分对应值如下表:
判断方程ax2+bx+c=0.02的一个解x的取值范围是(  )
A.3<x<3.23 B.3.23<x<3.24
C.3.24<x<3.25 D.3.25<x<3.26
x 3.23 3.24 3.25 3.26
y -0.06 -0.08 -0.03 0.09
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【答案】D
【点拨】由表可以看出,当x取3.25与3.26之间的某个数时,y=0.02,即这个数是ax2+bx+c=0.02的一个解,∴方程ax2+bx+c=0.02的一个解x的取值范围为3.25<x<3.26.
3.已知二次函数y=ax2+bx+2(a,b是常数)的图象与y轴交于点A,点A与点B关于抛物线的对称轴对称,且点C(x1,y1),D(x2,y2)在该函数图象上.二次函数y=ax2+bx+2中(a,b是常数)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表:
x … -2 -1 0 1 3 …
y=ax2+bx+2 … -10 -3 2 5 5 …
下列结论:①点B的坐标是(2,2);②这个函数的最大值大于5;③ax2+bx=-1有一个根在4与5之间;④当0y2.其中正确的为________(将所有正确结论的序号都填入).
②③④
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∵当x=0时,y=2,∴点A的坐标为(0,2).∵点A与点B关于抛物线的对称轴对称,∴点B的坐标为(4,2),∴①错误.∵对于y=ax2+bx+1=-x2+4x+1,当x=4时,y=1>0;当x=5时,y=-4<0,∴y=-x2+4x+1的图象与x轴有一个交点在4与5之间,∴方程ax2+bx=-1有一个根在4与5之间,故③正确.∵0y2.故④正确.故答案为②③④.
C
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4.探究课上,老师给出一个问题“利用二次函数与一次函数的图象,求一元二次方程2x2=x+2的近似根”,小华利用计算机绘制出如图所示的图象,通过观察可知该方程的两近似根x1和x2满足-1<x1<0,1<x2<2,小华的上述方法体现的数学思想是(  )
A.公理化思想 B.分类讨论思想
C.数形结合思想 D.特殊到一般的思想
5.抛物线y=x2-2x+0.5如图所示,利用图象可得方程x2-2x+0.5=0的近似解为________________.(精确到0.1)
x1=0.3,x2=1.7
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6. [教材P110习题T1](1)请在如图的坐标系中画出二次函数y=x2-2x的大致图象;
【解】如图.
(2)根据方程的根与函数图象的关系,将方程x2-2x=1的根x1,x2(x1【解】如图.
(3)直接写出方程x2-2x=1的根(精确到0.1).
【解】x1≈-0.4,x2≈2.4.
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7.二次函数y=-x2+mx的图象如图,对称轴为直线x=2,若关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0(t为实数)在1<x<5的范围内有解,则t的取值范围是(  )
A.t>-5
B.-5<t<3
C.3<t≤4
D.-5<t≤4
【点拨】如图,关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0(t为实数)的解就是抛物线y=-x2+mx与直线y=t的交点的横坐标.
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【答案】D
由对称轴为直线x=2,可得m=4,所以二次函数的表达式为y=-x2+4x.
所以当x=1时,y=3;当x=5时,y=-5;二次函数图象的顶点坐标为(2,4).
由图象可知关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0(t为实数)在1<x<5的范围内有解时,直线y=t在直线y=-5和直线y=4之间,包括直线y=4,所以-5<t≤4.
8.[2025·青岛崂山区月考]在正常情况下,10 m跳台跳水运动员必须在距水面不小于5 m时完成规定的翻腾动作,并且调整好入水姿势,否则就容易出现失误.假设运动员距离水面的高度h(m)和运动员起跳后的运动时间t(s)之间满足关系:h=10+2.5t-5t2,则当h=5时,10+2.5t-5t2=5即2t2-t-2=0.
根据表格中的对应值,可判断运动员完成动作的时间最多不超过________.(精确到0.1 s)
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t 1.1 1.2 1.3 1.4
2t2-t-2 -0.68 -0.32 0.08 0.52
1.3 s
9.二次函数y=2x2+4x-1的图象如图所示,若方程2x2+4x-1=0的一个近似根是x=-2.2,则方程的另一个近似根为________(结果精确到0.1).
x=0.2
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【点拨】由题图可知,抛物线的对称轴为直线x=-1.∵方程2x2+4x-1=0的一个近似根为x=-2.2,∴方程的另一个近似根为x=-1×2-(-2.2)=0.2.
10. 可以用如下方法求方程x2-2x-2=0的实数根的范围:利用函数y=x2-2x-2的图象可知,当x=0时,y<0;当x=-1时,y>0,所以方程有一个根在-1和0之间.
(1)参考上面的方法,求方程x2-2x-2=0的另一个根在哪两个连续整数之间;
【解】利用函数y=x2-2x-2的图象可知,当x=2时,y<0;当x=3时,y>0,
∴方程x2-2x-2=0的另一个根在2和3之间.
(2)若方程x2-2x+c=0有一个根在0和1之间(不包括0和1),求c的取值范围.
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11. 利用图象解一元二次方程x2-2x-1=0时,我们采用的一种方法是:在直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=2x+1,两图象交点的横坐标就是该方程的解.
(1)请再给出一种利用图象求方程x2-2x-1=0的解的方法;
【解】方法:在直角坐标系中画出抛物线y=x2-1和直线y=2x,其交点的横坐标就是方程的解.(答案不唯一)
(2)已知函数y=x3的图象(如图),求方程x3-x-2=0的近似解(结果保留2个有效数字).
【解】如图,在图中画出直线y=x+2,与函数y=x3的图象交于点B,易得点B的横坐标约为1.5,∴方程的近似解为x=1.5.
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第三章 二次函数
1 对函数的再认识
第1课时 函数
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B
1. 2024年11月15日,搭载天舟八号货运飞船的长征七号遥九运载火箭,在我国文昌航天发射场点火发射,在升天过程中,燃料的体积随火箭飞行高度的增加而减少.则在上述语段中,自变量是(  )
A.货运飞船的质量 B.火箭飞行的高度
C.燃料的体积 D.火箭的质量
B
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2.下列各式中,y不是x的函数的是(  )
A.y=x B.|y|=x C.y=2x+1 D.y=x2
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D
3.下列曲线中,表示y是x的函数的是(  )
A
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4.游学期间,两名老师带领x名学生到展览馆参观,已知教师参观门票每张40元,学生参观门票每张20元.设参观门票的总费用为y元,则y与x之间的函数关系式为(  )
A.y=20x+80 B.y=80x
C.y=40+20x D.y=40x+40
5.如图,在长方形ABCD中,AB=5 cm,BC=7 cm,点P是边BC上的动点(不与点C重合),点Q是边AD上任意一点.点P从点B向点C以3 cm/s的速度运动,则△QPC的面积S(cm2)与点P的运动时间x(s)间的表达式为(  )
C
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B
6. [教材P64随堂练习T2]下列关系式中,当自变量x=-1时,函数值y=6的是(  )
A.y=3x+3 B.y=-3x+3
C.y=3x-3 D.y=-3x-3
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【答案】B
8.[2025·济南莱芜区月考]某农户想要用栅栏围成一个长方形鸡场,如图所示,鸡场的一边靠墙,另外三边用栅栏围成,若栅栏的总长为20 m,设长方形垂直于墙的一边长为x m,面积为y m2,当x在一定范围内变化时,y随x的变化而变化,则y与x满足的函数关系式是(  )
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D
9. 如图,有一个球形容器,小海在往容器里注水的过程中发现,水面的高度h、水面的面积S及注水量V是三个变量.下列有四种结论:
①S是V的函数;②V是S的函数;
③h是S的函数;④S是h的函数.
其中所有正确结论的序号是(  )
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
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【答案】B
【点拨】∵这是球形容器,∴当V确定时,S有唯一的值与其对应;当h确定时,S有唯一的值与其对应;当S确定时,V和h的值都不唯一.∴S是V的函数,V不是S的函数,h不是S的函数,S是h的函数.
10.如图是一个运算程序的示意图,若输出y的值为2,则输入x的值为(  )
A.3
B.±1
C.1或3
D.±1或3
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【答案】C
11. 如图①,“燕几”即宴几,是世界上最早的一套组合桌,由北宋进士黄伯思设计,全套“燕几”一共有七张桌子,包括两张长桌、两张中桌和三张小桌,每张桌面的宽都相等.七张桌面分开可组合成不同的图形.如图②给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌
面拼合方式,若设每张桌面的宽为x尺,
长桌的长为y尺,则y与x的关系可以表
示为________.
y=4x
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12. 声音在空气中传播的速度y(m/s)(简称音速)与气温x(℃)的关系如下表:
气温x(℃) 0 5 10 15 20
音速y(m/s) 331 334 337 340 343
(1)这一变化过程中,自变量和因变量各是什么?
【解】自变量是气温,因变量是音速;
(2)求音速y(m/s)与气温x(℃)之间的关系式;
(3)气温x=22 ℃时,某人看到烟花燃放5 s后才听到声音,那么此人与燃放烟花的所在地约相距多远?
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我们知道:f(x)=2x+3,f(t)=2t+3,f(u)=2u+3表达的意思是一样的.
如:已知f(x)=2x+3,当x=1时,f(x)的函数值为:f(1)=2×1+3=5.
【例】已知:函数f(x+1)=x2-2x,求函数f(x)的表达式.
分析:我们可以用换元法设x+1=t来进行求解.
解:设x+1=t,则x=t-1,
所以f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-2t+1-2t+2=t2-4t+3.所以f(x)=x2-4x+3.
【解答问题】
(1)若f(x)=x2+2x-3,当x=-3时,f(x)的函数值是多少?
【解】当x=-3时,f(-3)=(-3)2+2×(-3)-3=0.
(2)若f(x)=x2+2x-3,当x为何值时,f(x)的函数值为1
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第三章 二次函数
4 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
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D
1.抛物线y=(x-2)2-1的顶点坐标是(  )
A.(-2,1) B.(-2,-1)
C.(2,1) D.(2,-1)
B
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2.[2025·临沂兰山区校级月考]抛物线y=(x+1)2-4(-2≤x≤2)如图所示,则函数y=(x+1)2-4(-2≤x≤2)的最小值和最大值分别是(  )
A.-3和5
B.-4和5 
C.-4和-3
D.-1和5
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C
3.已知某抛物线与二次函数y=5x2的图象的开口大小相同,开口方向相反,且顶点坐标为(-1,2 025),则该抛物线对应的函数表达式为(  )
A.y=-5(x-1)2+2 025
B.y=5(x-1)2+2 025
C.y=-5(x+1)2+2 025
D.y=5(x+1)2+2 025
4.二次函数y=(x+m)2+n的图象如图所示,则一次函数y=mx+n的图象经过(  )
A.第一、二、三象限
B.第一、二、四象限
C.第一、三、四象限
D.第二、三、四象限
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【答案】D
【点拨】由图象可知抛物线y=(x+m)2+n的顶点(-m,n)在第四象限,∴-m>0,n<0,即m<0,n<0,∴直线y=mx+n经过第二、三、四象限.故选D.
5.已知关于x的二次函数y=(x+m)2-3,当x>2时,y随着x的增大而增大,则m的取值范围是(  )
A.m≤2 B.m≥-2 C.m<2 D.m≤-2
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【答案】B
【点拨】∵1>0,∴二次函数的图象开口向上,∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大.∵对称轴为直线x=-m,且当x>2时,y随x的增大而增大,∴-m≤2,即m≥-2.
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-3(答案不唯一)
6. 二次函数y=△(x-7)2+8有最大值,则“△”中可填的数字是_______________.(写一个即可)
7.[2025·济宁曲阜市月考]在平面直角坐标系中,将二次函数y=(x+1)2+3的图象先向右平移2个单位,再向下平移1个单位,所得抛物线对应的函数表达式为(  )
A.y=(x+3)2+2 B.y=(x-1)2+2
C.y=(x-1)2+4 D.y=(x+3)2+4
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B
8. 将某二次函数的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位后,得到新的二次函数y=(x-1)2+1的图象,则原二次函数的表达式是(  )
A.y=(x+1)2-2 B.y=(x+2)2+3
C.y=(x-4)2-1 D.y=(x+2)2-3
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B
9.[2025·济南校级模拟]把二次函数y=2(x-2)2-5的图象先向右平移2个单位后,再向上平移3个单位,所得函数图象的顶点坐标为________.
(4,-2)
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【点拨】把二次函数y=2(x-2)2-5的图象先向右平移2个单位后,再向上平移3个单位,所得新图象对应的函数表达式为y=2(x-2-2)2-5+3,即y=2(x-4)2-2,∴其顶点坐标为(4,-2).
10.若点A(1,y1),B(-2,y2),C(2.5,y3)都是二次函数y=-(x-3)2+k的图象上的点,则y1,y2,y3的大小关系为(  )
A.y1<y2<y3 B.y2<y3<y1
C.y3<y2<y1 D.y2<y1<y3
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【答案】D
【点拨】∵y=-(x-3)2+k,∴该二次函数的图象开口向下,对称轴为直线x=3,∴当x<3时,y随x的增大而增大.∵-2<1<2.5,∴y2<y1<y3.
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【答案】D
12.下列关于二次函数y=-(x-m)2+m2+1(m为常数,且m≠0)的结论:①该函数的图象与函数y=-x2的图象形状相同;②该函数的图象一定经过点(0,1);③当x>0时,y随x的增大而减小;④该函数的图象的顶点在函数y=x2+1的图象上,其中所有正确的结论序号是____________.
①②④
【点拨】∵当m>0时,将二次函数y=-x2的图象先向右平移m个单位,再向上平移(m2+1)个单位即可得到二次函数y=-(x-m)2+m2+1的图象;当m<0时,将二次函数y=-x2的图象先向左平移-m个单位,再向上平移(m2+1)个单位即可得到二次函数y=-(x-m)2+m2+1的图象,∴该函数的图象与函数y=-x2的图象形状相同,结论①正确;
对于y=-(x-m)2+m2+1,当x=0时,y=-(0-m)2+m2+1=1,即该函数的图象一定经过点(0,1),结论②正确;由二次函数的性质可知,当xm时,y随x的增大而减小,结论③错误,二次函数y=-(x-m)2+m2+1的图象的顶点坐标为(m,m2+1),对于二次函数y=x2+1,当x=m时,y=m2+1,即该函数的图象的顶点(m,m2+1)在函数y=x2+1的图象上,结论④正确.综上,所有正确的结论序号是①②④.
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13. 如图,抛物线y=a(x+1)2+m-2与y=a(x-2)2+m交于点A,过点A作x轴的平行线,分别交两条抛物线于点B,C,则线段BC的长为____________.
6
【点拨】设抛物线y=a(x+1)2+m-2的对称轴直线x=-1与线段BC交于点E,抛物线y=a(x-2)2+m的对称轴直线x=2与线段BC交于点F,
如图所示.由抛物线的对称性可知,
BE=AE,CF=AF,∴BC=BE+
AE+AF+CF=2(AE+AF)=
2×[2-(-1)]=6.
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14.已知一系列抛物线y0=-(x-1)2,y1=-(x-3)2+2,y2=-(x-5)2+4,y3=-(x-7)2+6,y4=-(x-9)2+8,…,yk(k为非负整数).抛物线yk与x轴相交于点Ak,Bk(点Ak在点Bk的左边),顶点为Pk.若PkBk-1⊥x轴于点Bk-1,则k的值是________.
3
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【点拨】根据题意可得y0的顶点坐标是(1,0),y1的顶点坐标是(3,2),y2的顶点坐标是(5,4),y3的顶点坐标是(7,6),y4的顶点坐标是(9,8),由规律可知yk的顶点Pk的坐标是(2k+1,2k),∴抛物线yk的表达式是yk=-(x-2k-1)2+2k,∴yk-1=-[x-2(k-1)-1]2+2(k-1)=-(x-2k+1)2+2k-2.∵PkBk-1⊥x轴于点Bk-1,∴Bk-1(2k+1,0).把点Bk-1(2k+1,0)的坐标代入到yk-1=-(x-2k+1)2+2k-2,得-(2k+1-2k+1)2+2k-2=0,解得k=3.
15.如图是二次函数y=a(x+1)2+4的图象的一部分,根据图象回答下列问题:
(1)确定a的值;
(2)设抛物线的顶点是点P,点B是x轴上的一个点,若△PAB的面积为6,求点B的坐标.
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(1)求该抛物线的表达式;
(2)如图①,过点C作CH⊥OA,垂足为H,延长HC交抛物线于点E.求线段CE的长.
(3)点D为线段OA上一动点(点O除外),在OC右侧作平行四边形OCFD.
①如图②,当点F落在抛物线上时,求点F的坐标;
②如图③,连接BD,BF,求BD+BF的最小值.
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第三章 二次函数
3 二次函数y=ax2的图象与性质
第2课时 二次函数y=ax2的图象与性质
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D
1.抛物线y=ax2(a<0)一定经过(  )
A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第二、四象限
D.第三、四象限
C
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2. [教材P77习题P1]关于二次函数y=3x2的图象,下列说法错误的是(  )
A.它是一条抛物线
B.它的开口向上,且关于y轴对称
C.它的顶点是抛物线的最高点
D.它与y=-3x2的图象关于x轴对称
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A
3.[2025·济南市中区校级月考]若二次函数y=ax2的图象经过点P(-2,4),则该图象必经过点(  )
A.(2,4) B.(-2,-4)
C.(-4,2) D.(4,-2)
B
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5.已知二次函数y=(m+1) xm2-1的图象开口向下,则m的值是________.
返回
返回
B
6.对于二次函数y=-2x2,下列结论正确的是(  )
A.y随x的增大而增大
B.图象关于直线x=0对称
C.图象开口向上
D.无论x取何值.y的值总是负数
7.已知二次函数y=(a-1)x2,当x>0时,y随x的增大而增大,则a的取值范围是(  )
A.a>0 B.a>1 C.a≠1 D.a<1
返回
B
8.[2025·济宁校级月考]二次函数y=2x2的图象经过点A (-3,y1),B(1,y2),C (4,y3),则y1, y2,y3大小关系是(  )
A.y1C.y2返回
【答案】C
【点拨】∵y=2x2,∴抛物线的开口向上,对称轴为直线x=0.∴离对称轴越近,点越低.∵点A,B,C与对称轴的距离分别为3,1,4,∴y2(2)若点E(x1,y1),F(x2,y2)都在此抛物线上,且x1>x2>0,试比较y1与y2的大小.
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10.已知抛物线y=ax2与y=4x2的形状相同,则a的值是(  )
A.4 B.-4 C.±4 D.1
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【答案】C
【点易错】对于抛物线y=ax2,|a|的大小决定抛物线的开口程度,|a|相等说明抛物线的开口大小相同,即抛物线的形状相同.本题易忽略a=-4而出错.
11.在同一平面直角坐标系中,二次函数y=ax2与一次函数y=ax+a的大致图象可以是(  )
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【答案】B
【点拨】当a>0时,函数y=ax2的图象开口向上,函数y=ax+a的图象经过第一、第二、第三象限,∴A,D错误,B正确;当a<0时,函数y=ax2的图象开口向下,函数y=ax+a的图象经过第二、第三、第四象限,∴C错误.
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【答案】B
13.已知二次函数y=ax2的图象经过点A(2,12),则当-3≤x≤2时,图象上最高点的坐标为________,函数的最小值为________.
(-3,27)
0
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【点拨】∵二次函数y=ax2的图象经过点A(2,12),∴a=3,即二次函数的表达式为y=3x2.∴其图象开口向上,顶点为最低点,函数有最小值0.易知当x=-3时,函数取得最大值,此时y=3×(-3)2=27,∴所求函数图象上最高点的坐标为(-3,27).
14. 如图,已知Rt△ABC的顶点坐标为A(1,2),B(2,2),C(2,1),若抛物线y=ax2(a>0)与该直角三角形无交点,则a的取值范围是_______________.
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15.已知二次函数y=ax2(a≠0)的图象与直线y=2x-3交于点A(1,b).
(1)求a和b的值.
【解】把(1,b)代入y=2x-3,得b=2×1-3=-1,
∴A(1,-1).把(1,-1)代入y=ax2,得a=-1.
(2)当x取何值时,二次函数y=ax2中的函数值y随x值的增大而增大?
【解】∵a=-1,∴二次函数的表达式为y=-x2,它的图象开口向下,对称轴是y轴.∴当x<0时,函数值y随x值的增大而增大.
(3)求抛物线y=ax2与直线y=2x-3的另一个交点B的坐标.
【解】解方程2x-3=-x2,得x1=1,x2=-3.
当x=1时,y=-x2=-1;当x=-3时,y=-x2=-9.
∵点A的坐标为(1,-1),∴点B的坐标为(-3,-9).
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16. 已知二次函数y=ax2的图象经过点A(-1,2).
(1)求出这个函数关系式.
【解】∵二次函数y=ax2的图象经过点A(-1,2),
∴把(-1,2)直接代入y=ax2,可得a=2.
∴二次函数关系式为y=2x2.
(2)写出抛物线上纵坐标为2的另外一个点B的坐标,并求出△AOB的面积.
(3)在抛物线上是否存在点C,使得△AOB的面积等于△ABC面积的2倍?如果存在,求出点C的坐标;如果不存在,请说明理由.
【解】存在.
∵△AOB的面积等于△ABC面积的2倍,且△ABC和△AOB都有共同的底边AB,
∴点O到AB的距离是点C到AB的距离的2倍.
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第三章 二次函数
测素质 二次函数的图象与性质
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A
D
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2.二次函数y=2x2+4x-3的图象的对称轴为(  )
A.直线x=2 B.直线x=4
C.直线x=-3 D.直线x=-1
返回
C
3.将抛物线y=(x-3)2+2向左平移2个单位,再向上平移3个单位,平移后所得抛物线的表达式为(  )
A.y=(x-5)2+5 B.y=x2
C.y=(x-1)2+5 D.y=(x-1)2-1
4. 点(-3,y1),(-1,y2),(2,y3)都在函数y=x2的图象上,则y1,y2,y3的大小关系为(  )
A.y3>y2>y1 B.y1>y2>y3 
C.y1>y3>y2 D.y2>y1>y3
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【答案】C
【点拨】抛物线y=x2的对称轴为y轴,∴当x<0时,y随x的增大而减小,点(2,y3)关于抛物线的对称轴的对称点为(-2,y3).∵-3<-2<-1,∴y1>y3>y2.故选C.
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【答案】B
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D
6.在同一平面直角坐标系中,二次函数y=ax2与一次函数y=bx+c的图象如图所示,则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是(  )
7.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论中错误的是(  )
A.a-b+c>1
B.abc>0
C.4a-2b+c<0
D.c-a>1
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【答案】C
8.已知二次函数y=x2-2x(-1≤x≤t-1),当x=-1时,函数取得最大值;当x=1时,函数取得最小值,则t的取值范围是(  )
A.0<t≤2  B.0<t≤4
C.2≤t≤4  D.t≥2
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【答案】C
【点拨】∵y=x2-2x=(x-1)2-1,∴抛物线的对称轴为直线x=1,且顶点坐标为(1,-1).∵1-(-1)=3-1,∴x=-1和x=3时的函数值相等.∵-1≤x≤t-1,当x=-1时,函数取得最大值,∴t-1≤3.∵当x=1时,函数取得最小值,∴t-1≥1.∴1≤t-1≤3,解得2≤t≤4.
二、填空题(每小题5分,共20分)
9. 请写出一个开口向下,对称轴为直线x=1,且与y轴的交点坐标为(0,2)的抛物线的表达式:_________________
___________.
y=-x2+2x+2
(答案不唯一)
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3
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12.[2025·北京第八中学月考]在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为P(-1,k),且经过点A(-3,0),其部分图象如图所示,下面四个结论:①abc>0;②b=-2a;③若点N(t,n)在
此抛物线上且n0或t<-2;④对
于任意实数t,都有a(t2-1)+b(t+1)≤0
成立,其中正确的有________个.
3
返回
当x=0时,y=c,∴抛物线过点(0,c).∵对称轴为直线x=-1,∴点(0,c)关于对称轴的对称点为(-2,c).∵抛物线的开口向下,∴在对称轴的左侧,y随x的增大而增大,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小.∵点N(t,n)在此抛物线上且n0或t<-2,故③正确;∵x=-1时,y取得最大值a-b+c,∴对于任意实数t,都有at2+bt+c≤a-b+c,即a(t2-1)+b(t+1)≤0,故④正确.综上,①③④正确,共3个.
三、解答题(共40分)
13.(12分)已知二次函数y=x2-kx+k-5.
(1)若此二次函数图象的对称轴为直线x=1,
①求二次函数的表达式;
②直接写出二次函数的最小值;
【解】二次函数的最小值是-4.
(2)当x≤1时,y随x的增大而减小,求k的取值范围.
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14.(14分)2025·烟台福山区月考如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴交于点A(0,3),且经过点B(2,3).
(1)求此二次函数的表达式,并求出顶点坐标;
(2)若将该二次函数的图象先向右平移m个单位,再向下平移m个单位(m>0),平移后的抛物线仍然经过点B(2,3),求m的值.
【解】根据题意,得平移后的抛物线表达式为
y=(x-1-m)2+2-m,
将点B(2,3)的坐标代入,得(2-1-m)2+2-m=3,
解得m1=3,m2=0.∵m>0,∴m=3.
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15.(14分)如图,二次函数y=(x+2)2+m的图象与y轴交于点C,点B在抛物线上,且与点C关于抛物线的对称轴对称,已知一次函数y=kx+b的图
象经过该二次函数图象上的点A
(-1,0)及点B.
(1)求二次函数与一次函数的表达式;
【解】把点A(-1,0)的坐标代入y=(x+2)2+m,
得1+m=0,解得m=-1,
∴二次函数的表达式为y=(x+2)2-1.
∴抛物线的对称轴是直线x=-2.
令x=0,得y=3,∴点C的坐标是(0,3).
(2)在对称轴上有一点P,使PA+PC最小,请求出点P的坐标.
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【解】∵点B和点C关于直线x=-2对称,∴直线AB与直线x=-2的交点即为点P,此时PA+PC最小.
当x=-2时,y=-x-1=-(-2)-1=1, 
∴点P的坐标是(-2,1).(共28张PPT)
第三章 二次函数
专题5 求二次函数表达式的类型
1.[2025·烟台校级月考]如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴交于点C(0,-6),与x轴的一个交点是A(-2,0).
(1)求二次函数的表达式,并写出图象的顶点D的坐标;
返回
2.如图,已知O为坐标原点,∠AOB=30°,∠ABO=90°,且点A的坐标为(2,0).
(1)求点B的坐标;
(2)若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A,B,O三点,求此二次函数的表达式.
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3.[2025·北京理工大附中月考]二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(3,0),当x=1时,函数有最小值,为-4.
(1)求该二次函数的表达式;
【解】∵当x=1时,函数有最小值,为-4,∴二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标为(1,-4),
∴二次函数的表达式为y=a(x-1)2-4.
∵该二次函数的图象经过点(3,0),
∴0=(3-1)2a-4,∴a=1,
∴二次函数的表达式为y=(x-1)2-4,即y=x2-2x-3.
(2)直线x=m与抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)和直线y=x-3的交点分别为点C,点D.
①当m=-1时,CD=________;
4
②结合函数的图象,直接写出CD≥4时m的取值范围:_____________.
m≤-1或m≥4
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4. 已知抛物线与x轴交于A(1,0),B(-4,0)两点,与y轴交于点C,连接BC,且AB=BC,求此抛物线对应的函数表达式.
返回
5.[2025·襄阳枣阳市月考]如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+4x-3的图象的顶点是A,与x轴交于B,C两点,与y轴交于点D,点B的坐标是(1,0).
(1)求点A,C,D的坐标,并根据图象直接写出当y>0时,x的取值范围.
【解】把B(1,0)的坐标代入y=ax2+4x-3,得0=a+4-3,解得a=-1,∴y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,∴A(2,1).由y=-x2+4x-3,得当x=0时,y=-3,∴D(0,-3).∵抛物线的对称轴是直线x=2,
∴B,C两点关于直线x=2对称,∴C(3,0).
当y>0时,x的取值范围为1(2)平移该二次函数的图象,使点D恰好落在点A的位置上,求平移后图象所对应的二次函数的表达式.
【解】由点D(0,-3)到点A(2,1)的平移方式为向右平移2个单位,向上平移4个单位,
∴平移后图象所对应的二次函数的表达式为y=-(x-2-2)2+1+4=-(x-4)2+5.
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返回
D
7. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中y和x对应的取值如下表所示:
x … -1 0 2 4 5 …
y … n -2 m -2 p …
(1)若n=-7,求二次函数的表达式;
(2)用含a的代数式表示m;
(3)若nmp≤0,求a的取值范围.
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8.如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,点M为线段CD上的动点(M与点C不重合),将矩形沿某一直线对折,使点B与点M重合,展开后折痕与边AD交于点E,与边BC交于点F.
(1)若BE⊥ME,求CM的长;
【解】易知BE=ME.在矩形ABCD中,∠A=∠D=90°,CD=AB=2,∴∠ABE+∠AEB=90°.
∵BE⊥ME,∴∠BEM=90°,∴∠AEB+∠MED=90°,
∴∠MED=∠ABE,∴△AEB≌△DME,
∴AB=ED=2,AE=DM,∴DM=AE=AD-ED=3-2=1,∴CM=CD-DM=2-1=1.
(2)设CM=x,AE=y,求y与x之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围.
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第三章 二次函数
5 确定二次函数的表达式
第2课时 由三点确定二次函数的表达式
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A
1.已知y=ax2+bx+c,由下表可知y与x之间的函数关系式是(  )
A.y=x2-4x+3 B.y=x2-3x+4
C.y=x2-3x+3 D.y=x2-4x+8
x -1 0 1
ax2 1
ax2+bx+c 8 3
2. 运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出,足球飞行的路线可以看作是一条抛物线,不考虑空气阻力,足球距离地面的高度y(单位:m)与足球被踢出后经过的时间x(单位:s)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a≠0).
B
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如图记录了3个时刻的数据,根据函数模型和所给数据,可推断出足球飞行到最高点时,最接近的时刻x是(  )
A.4
B.4.5
C.5
D.6
3.已知二次函数的图象经过(0,0),(3,0),(1,-4)三点,则该函数的表达式为(  )
A.y=x2-3x B.y=2x2-3x
C.y=2x2-6x D.y=x2-6x
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【答案】C
【点拨】∵该函数图象过(0,0),(3,0)两点,∴设其表达式为y=ax(x-3).将(1,-4)代入,得-4=a×1×(1-3),解得a=2.∴该函数的表达式为y=2x(x-3)=2x2-6x.
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4.[2025·淄博张店区月考]某二次函数的图象如图所示,则其表达式是(  )
A.y=-x2+2x+3
B.y=-x2+2x-3
C.y=-x2-2x+3
D.y=-x2-2x-3
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【答案】A
【点拨】由图象可得抛物线过(0,3),(3,0),(-1,0)三点,∴设其表达式为y=a(x+1)(x-3),把(0,3)代入,得a×1×(-3)=3,解得a=-1,∴表达式为y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3.
5.[2025·烟台福山区校级月考]已知二次函数的图象经过点A(-2,0),B(3,0),C(1,-12).
(1)求二次函数的表达式;
【解】由题意可设二次函数的表达式为y=a(x+2)(x-3),将点C(1,-12)的坐标代入表达式可得-12=-6a,解得a=2.∴二次函数的表达式为y=2(x+2)(x-3).
(2)求此抛物线的对称轴和顶点坐标.
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返回
D
6.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过(1,-1),(2,-4),(0,4)三点,那么它的对称轴是直线(  )
A.x=-3 B.x=-1 C.x=1 D.x=3
7. 如果抛物线经过点A(2,0)和B(-1,0),且与y轴交于点C,若OC=2,则这条抛物线的表达式是(  )
A.y=x2-x-2
B.y=-x2-x-2或y=x2+x+2
C.y=-x2+x+2
D.y=x2-x-2或y=-x2+x+2
【点拨】由题意可设抛物线的表达式为y=a(x-2)(x+1).∵O C=2,∴点C的坐标为(0,2)或(0,-2).把(0,2)代入y=a(x-2)(x+1),得a·(-2)×1=2,解得a=-1,此时抛物线的表达式为y=-(x-2)(x+1),即y=-x2+x+2.把(0,-2)代入y=a(x-2)(x+1),得a·(-2)×1=-2,解得a=1,此时抛物线的表达式为y=(x-2)(x+1),即y=x2-x-2.综上所述,抛物线的表达式为y=-x2+x+2或y=x2-x-2.
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【答案】D
8.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上部分点的横坐标x和纵坐标y的对应值如下表:
x … 0 1 3 4 5 …
y … -5 -3 -3 -5 …
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【答案】D
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10.根据下列条件,求出抛物线对应的二次函数表达式:点A(-1,m),B(3,m)在同一条抛物线上,这条抛物线与y轴交点的纵坐标为9,且经过点(1,8).
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11. 如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1,0),B(3,0),与y轴正半轴交于点C,连接AC,tan∠OAC=3.
(1)求二次函数的表达式.
(2)若x轴上有一点D从(-4,0)出发,沿x轴正方向平移,平移距离为m(m>0),是否存在点D使得△ACD是等腰三角形?若存在,请求出m的值;若不存在,请说明理由.
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12.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(1,0),B(-3,0),C(0,-3).
(1)求二次函数的表达式;
【解】由题意可得二次函数的表达式为
y=a(x-1)·(x+3),
把(0,-3)代入,得-3=a·(0-1)×(0+3),解得a=1,
∴二次函数的表达式为y=(x-1)(x+3)=x2+2x-3.
(2)在抛物线的对称轴上存在一点F,使AF+CF最小,求点F的坐标;
【解】∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4,
∴抛物线的对称轴为直线x=-1.
连接BC,交直线x=-1于点F,
易知FA=FB,∴FA+FC=FB+FC=BC,
∴此时AF+CF最小.
(3)在抛物线上存在一点P,使△ABP的面积为6,求点P的坐标.
返回(共34张PPT)
第三章 二次函数
4 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
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A
1.将二次函数y=-2x2-4x+5化成y=a(x-h)2+k的形式是(  )
A.y=-2(x+1)2+7 B.y=-2(x-1)2+7
C.y=-2(x+1)2-7 D.y=-2(x-1)2-7
2.将抛物线y=-x2-2x+3向右平移1个单位,再向下平移2个单位,得到的抛物线必定经过点(  )
A.(-2,2) B.(-1,1)
C.(0,6) D.(1,-3)
【点拨】y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,故将抛物线y=-x2-2x+3向右平移1个单位,再向下平移2个单位,得到的抛物线的表达式为y=-x2+2.当x=-2时,y=-(-2)2+2=-4+2=-2,故此抛物线不经过点(-2,2);当x=-1时,y=-(-1)2+2=-1+2=1,故此抛物线经过点(-1,1);当x=0时,y=-02+2=0+2=2,故此抛物线不经过点(0,6);当x=1时,y=-12+2=-1+2=1,故此抛物线不经过点(1,-3).
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【答案】B
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B
3.二次函数y=x2-6x+1图象的对称轴是(  )
A.直线x=-3 B.直线x=3
C.直线x=6 D.直线x=-6
4.[2025·日照岚山区月考]将抛物线y=x2+2x-1向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为(  )
A.(-4,2) B.(2,-2) 
C.(4,2) D.(-4,-2)
【点拨】因为y=x2+2x-1=(x+1)2-2,所以抛物线y=x2+2x-1的顶点坐标为(-1,-2),所以将此抛物线向右平移3个单位长度后,所得新抛物线的顶点坐标为(2,-2).故选B.
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【答案】B
5. 若抛物线y=x2-2x+m-1(m是常数)只经过第一、二、四象限,则m的取值范围是(  )
A.m>1 B.m≥1
C.1≤m<2 D.m≤2
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【答案】C
6.已知abc<0,那么二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是(  )
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【答案】C
7.在二次函数y=-x2-2x+3的图象中,若y随x的增大而增大,则x的取值范围是(  )
A.x<-1 B.x>-1 C.x<1 D.x>1
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A
8.已知点A(4,y1),B(-1,y2),C(-3,y3)均在拋物线y=ax2-4ax+c(a>0)上,则y1,y2,y3的大小关系为(  )
A.y1<y2<y3 B.y1<y3<y2
C.y2<y1<y3 D.y2<y3<y1
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【答案】A
9. 二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点在y轴正半轴上,且其对称轴左侧的部分是上升的,那么这个二次函数的表达式可以是_____________________.
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y=-x2+1(答案不唯一)
C
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11.[2024·东营]已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论正确的是(  )
A.abc<0
B.a-b=0
C.3a-c=0
D.am2+bm≤a-b(m为任意实数)
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【答案】D
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【答案】C
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C
14.若点P(m,-2)与点Q(4,n)关于原点对称,则抛物线y=x2+mx+n的顶点坐标为____________.
【点拨】∵点P(m,-2)与点Q(4,n)关于原点对称,∴m=-4,n=2,∴抛物线的表达式为y=x2-4x+2=(x-2)2-2,∴顶点坐标为(2,-2).
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(2,-2)
4
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16.已知抛物线y=-x2+bx+c(b,c为常数)的顶点横坐标是抛物线y=-x2+4x+c顶点横坐标的2倍.
(1)求b的值;
(2)点A(x1,y1)在抛物线y=-x2+4x+c上,点B(x1+m,y1+t)在抛物线y=-x2+bx+c上.
①求t(请用含m,x1的代数式表示);
【解】∵点A(x1,y1)在抛物线y=-x2+4x+c上,点B(x1+m,y1+t)在抛物线y=-x2+bx+c上,b=8,
∴y1=-x21+4x1+c,y1+t=-(x1+m)2+8(x1+m)+c,
∴t=-m2-2mx1+4x1+8m.
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②若x1=m+1且-1≤x1≤2,求t的最大值.
17. 如图,A、B为一次函数y=-x+5的图象与二次函数y=x2+bx+c的图象的公共点,点A,B的横坐标分别为0,4.P为二次函数y=x2+bx+c的图象上的动点,且位于直线AB的下方,连接PA,PB.
(1)求b,c的值;
(2)求△PAB面积的最大值.
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18. 在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2-2a2x(a≠0).
(1)当a=1时,求抛物线的顶点坐标;
【解】把a=1代入y=ax2-2a2x,
得y=x2-2x=(x-1)2-1,
∴抛物线的顶点坐标为(1,-1).
(2)已知M(x1,y1)和N(x2,y2)是抛物线上的两点.若对于x1=3a,3≤x2≤4,都有y1当a<0时,如图②,
此时-a>4,解得a<-4.
又∵a<0,∴a<-4.
综上,a的取值范围
为0返回(共24张PPT)
第三章 二次函数
3 二次函数y=ax2的图象与性质
第1课时 二次函数y=±x2的图象与性质
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C
1.抛物线y=-x2不具有的性质是(  )
A.对称轴是y轴
B.开口向下
C.当x<0时,y随x的增大而减小
D.顶点坐标是(0,0)
D
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2. [教材P73做一做]下列关于抛物线y=x2和y=-x2的异同点说法错误的是(  )
A.抛物线y=x2和y=-x2有共同的顶点和对称轴
B.抛物线y=x2和y=-x2的开口方向相反
C.抛物线y=x2和y=-x2关于x轴成轴对称
D.点A(-3,9)在抛物线y=x2上,也在抛物线y=-x2上
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C
A
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4.[2024·广东]若点(0,y1),(1,y2),(2,y3)都在二次函数y=x2的图象上,则(  )
A.y3>y2>y1 B.y2>y1>y3
C.y1>y3>y2 D.y3>y1>y2
0
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5.若抛物线y=(m-1)xm2-2m+2的开口向下,则m=________.
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-90
7.如图,抛物线y=x2与y=-x2在同一平面直角坐标系中,经过原点的直线AB交抛物线y=x2于点A,交抛物线y=-x2于点B.已知点A(m,9),求m的值和点B的坐标.
【解】把(m,9)代入y=x2,得9= m 2,∴m =±3.
∵点A在第二象限,∴m =-3.∴A(-3,9).
易知直线AB与两抛物线的交点关于原点对称,
∴B(3,-9).
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8.二次函数y=-x2与一次函数y=-x-1的图象在同一平面直角坐标系中的大致位置是(  )
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C
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D
10.如图,圆O的半径为2,C1是函数y=x2的图象,C2是函数y=-x2的图象,则阴影部分的面积是(  )
A.π
B.2π
C.4π
D.以上都不对
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【答案】B
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【答案】A
12. 如图,一次函数y1=kx+b与二次函数y2=ax2的图象交于A(-1,n),B(2,4)两点.
(1)求两个函数的表达式;
(2)根据图象写出使y1<y2的x的取值范围:______________.
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x<-1或x>2
13.如图,A,B分别为y=x2图象上的两点,且AB⊥y轴,AB=6.
(1)求出点A,B的坐标;
【解】∵抛物线y=x2的对称轴为y轴,点A,B在抛物线上,线段AB⊥y轴,∴点A与点B关于y轴对称.
又∵AB=6,∴点A的横坐标为-3,点B的横坐标为3.
代入y=x2中,得点A,B的纵坐标均为9,
∴点A的坐标为(-3,9),点B的坐标为(3,9).
(2)若点C在y=x2的图象上,且∠ACB=90°,求出点C的坐标.
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(1)求证:PF=PN;
(2)设点E(-2,6),求PE+PF的最小值及此时点P的坐标.
返回(共35张PPT)
第三章 二次函数
6 二次函数的应用
第1课时 面积问题
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C
1. [教材P98习题T1]用一根长为12 cm的细铁丝围成一个矩形,则围成的矩形面积最大为(  )
A.7 cm2 B.8 cm2 C.9 cm2 D.10 cm2
2.如图,在矩形纸片ABCD中,AB=3,BC=2,沿对角线AC剪开(如图①);固定△ADC,把△ABC沿AD方向平移(如图②),当两个三角形重叠部分的面积最大时,移动的距离AA′等于(  )
A.1 B.1.5
C.2 D.3
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【答案】A
3. [教材P98习题T2]如图,要围一个矩形菜园ABCD,其中一边AD是墙,且AD的长不能超过26 m,其余的三边AB,BC,CD用篱笆,且这三边的和为40 m,有下列结论:①AB的长可以为6 m;②AB的长有两个不同的值满足矩形菜园ABCD的面积为192 m2;
③矩形菜园ABCD面积的最大值为200 m2.
其中正确结论的个数是(  )
A.0 B.1 C.2 D.3
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【答案】C
4.[2025·临沂模拟]九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜,班长买回来8米长的围栏,准备围成一边靠墙(墙足够长)的菜园,为了让菜园面积尽可能大,同学们提出了围成矩形、等腰三角形(底边靠墙)、半圆形这三种方案,最佳方案是________.
方案3
【点拨】方案1:如图,设AD=x米,则AB=(8-2x)米,
则菜园的面积=x(8-2x)=-2x2+8x=[-2(x-2)2+8]平方米,
∴当x=2时,菜园面积取最大值,最大面积为8平方米;
返回
返回
【答案】C
6. 如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=10 cm,BC=20 cm.动点P从点A开始以1 cm/s的速度沿AB边向点B运动;动点Q从点B开始以2 cm/s的速度沿BC边向点C运动,且P,Q两点分别从A,B两点同时
出发.设运动时间为t s.
下列结论:
①当t=3时,△BPQ的面积为21 cm2;
②t有两个不同的值,都使△BPQ的面积为16 cm2;
③△BPQ面积的最大值为50 cm2.
其中,正确结论的个数是(  )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】C
∵S△BPQ=[-(t-5)2+25] cm2,∴当t=5时,△BPQ的面积最大,且最大面积为25 cm2,故③错误.综上,正确的结论为①②,共2个.故选C.
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7.如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,动点E从点D出发向终点A运动,连接BE,以BE为边在BE上方作正方形BEFG,在点E运动的过程中,阴影部分的面积最小为________.
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8.[2024·湖北]如图,某校劳动实践基地用总长为80 m的栅栏,围成一块一边靠墙的矩形试验田,墙长为42 m,栅栏在安装过程中不重叠、无损耗,设矩形试验田与墙垂直的一边长为x(单位:m),
与墙平行的一边长为y(单位:
m),面积为S(单位:m2).
(1)写出y与x,S与x之间的函数表达式(不要求写x的取值范围).
【解】∵2x+y=80,∴y=-2x+80.
∵S=xy,∴S=x(-2x+80)=-2x2+80x.
(2)矩形试验田的面积能达到750 m2吗?如果能,求x的值;如果不能,请说明理由.
【解】矩形试验田的面积能达到750 m2.
∵0当S=750时,-2x2+80x=750,
解得x1=25,x2=15(舍去).
∴当x=25时,矩形试验田的面积为750 m2.
(3)当x的值是多少时,矩形试验田的面积最大?最大面积是多少?
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【解】∵S=-2x2+80x=-2(x2-40x)=-2(x2-40x+400-400)=-2(x-20)2+800,∴当x=20时,矩形试验田的面积最大,最大面积是800 m2.
9.[2025·威海经济技术开发区月考]如图,已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE,其中AF=2,BF=1.P是AB边上的任一点,过P作PN⊥DC于N,PM⊥DE于M,设PN=x,矩形PNDM
的面积为y,当x为何值时,矩形PNDM
的面积最大,并求出最大面积.
【解】延长MP与CF相交于点Q,
易知MQ=EF=4,PN=QC,PQ=CN.
∵PN=QC=x(3≤x≤4),
∴FQ=CF-CQ=4-x,
∴BQ=BF-FQ=1-(4-x)=x-3.
易知PQ∥AF,∴易得△BPQ∽△BAF,
返回
10. 根据素材解决问题:
【素材1】如图①,空地上有两条互相垂直的小路OP,OQ,中间有一正方形水池ABCD,已知水池的边长为4 m,AB∥OQ,AD∥OP,且AB与OQ的距离为10 m,AD与OP的距离为8 m.
【素材2】现利用两条小路,再购置30 m长的栅栏在空地上围出一个花圃,要求围起来的栅栏与小路相互平行(或垂直),靠小路和水池的部分都不需要栅栏,接口损耗忽略不计.
【任务1】小明同学按如图②所示的方案设计花圃,若EF=16 m,求出花圃的面积(不包含水池的面积).
【解】∵EF=16 m,栅栏长30 m,
∴FG=30-16=14(m),
∴矩形OEFG的面积为16×14=224(m2).
∴花圃的面积为224-4×4=208(m2).
【任务2】若按如图③④所示的方案设计花圃,通过计算说明哪种方案的最大面积更大.
【解】在题图③中,设BF=x m,花圃面积为y m2,
则DG=30-10-8-x=(12-x)m,
由题意得y=10x+8(12-x)+40+80+32=2x+248,
∴当x=12时,y有最大值,最大值为2×12+248=272;
在题图④中,设EF=a m,花圃面积为b m2,
则FG=30-8-a=(22-a)m,
由题意得b=a(22-a)+40+80+32=-(a-11)2+273,
∴当a=11时,b有最大值,为273.
∵272<273,∴题图④所示的方案的最大面积更大.
【项目反思】如果栅栏不一定与小路垂直(或平行),某学习小组在探究的过程中,设计了如图⑤所示的方案,你认为图⑤中花圃的最大面积与以上方案比较,哪个更大?请通过计算说明.
返回(共21张PPT)
第三章 二次函数
2 二次函数
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C
0(答案不唯一)
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2. 已知关于x的二次函数y=(m-3)x2-x+5,则m的值可能是______________(写出一个即可).
3.已知y=(m-4)xm2-m+2x2-3x-1.
(1)当m为何值时,它是y关于x的一次函数;
(2)当m为何值时,它是y关于x的二次函数.
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A
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4.[2025·北京东城区月考]二次函数y=x2-6x-1的二次项系数、一次项系数和常数项分别是(  )
A.1,-6,-1 B.1,6,1
C.0,-6,1 D.0,6,-1
5.关于函数y=(500-10x)(40+x),下列说法不正确的是(  )
A.y是x的二次函数 B.二次项系数是-10
C.一次项是100 D.常数项是20 000
C
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返回
y=x2-6x
6.已知二次函数y=(a-1)x2-6x-a+2的常数项为0,则二次函数的表达式是________.
7. 2024年11月8日,国家文物局发布,意大利返还的56件中国文物艺术品回归祖国,本次返还的这批文物艺术品主要为我国甘肃、青海、陕西等地区的出土文物,具有较高的历史、艺术和科学价值,各地博物馆也因此迎来一波游览热潮.数据显示某博物馆11月第2周接待游客2.4万人.若平均每周的增长率为x,则11月第4周的游客人数y(万人)关于x的函数表达式是(  )
A.y=2.4(1+x) B.y=2.4(1+2x)
C.y=2.4(1+x)2 D.y=2.4x2
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C
8.[2025·石家庄校级月考]已知菱形的两条对角线长分别为x (cm)和2x (cm),写出菱形的面积S(cm2)与x(cm)之间的函数表达式,并判断该函数是否为二次函数.
返回
9.已知y=(m+2)x|m|+2是关于x的二次函数,那么m的值为________.
2
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【点拨】∵y=(m+2)x|m|+2是关于x的二次函数,
∴|m|=2且m+2≠0,解得m=2.
【点易错】本题易忽略二次函数的表达式y =ax2+bx+c中二次项系数a≠0的条件而出错.
A
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10.如图,线段AB=10 cm,点P在线段AB上(不与点A,B重合),以AP为边作正方形APCD,设AP=x cm,BP=y cm,正方形APCD的面积为S cm2,则y与x,S与x满足的函数关系分别为(  )
A.一次函数关系,二次函数关系
B.反比例函数关系,二次函数关系
C.一次函数关系,反比例函数关系
D.反比例函数关系,一次函数关系
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12.要建如图所示两个长方形养鸡场,为了节约材料,鸡场的一边靠着原有的一面墙长a=20 m,另外的边用竹篱笆围成,已知篱笆总长为35 m,且在BC边上开一扇长为2 m的门GH,在EF边上开一扇长为2 m的门MN,若设鸡场的AB长为x m.
(1)BC的长为____________(用含x的代数式表示).
(2)若两个鸡场的总面积为S m2,求S与x的函数关系式.
(39-3x)m
【解】S=x(39-3x)=-3x2+39x.
∴S与x的函数关系式为S=-3x2+39x.
(3)能否围成总面积为108 m2的两个长方形养鸡场?若能,求出AB的长;若不能,请说明理由.
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13. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=4,点P是AB边上一个动点,过点P作AB的垂线交AC边于点D,以PD为边作∠DPE=60°,PE交BC边于点E.
(1)当点D为AC边的中点时,求BE的长;
(2)当PD=PE时,求AP的长;
(3)设AP 的长为x,四边形CDPE的面积为y,请直接写出y与x的函数表达式及自变量x的取值范围.
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第三章 二次函数
6 二次函数的应用
第3课时 利用二次函数解抛物线型实际问题
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A
1.在足球比赛中,某守门员大脚开出去的球的高度h与球在空中运行时间t的关系,用图象描述大致是(  )
2. 生物学研究表明,在一定的温度范围内,酶的活性会随温度的升高逐渐增强,在最适宜温度时,酶的活性最强,超过一定温度范围时,酶的活性又随温度的升高逐渐减弱,甚至会失去活性.
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C
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D
4.[2025·威海乳山市月考]广场有一个小型喷泉,水流从垂直于地面的水管OA喷出,OA长为1.5 m.水流在各个方向上沿抛物线路径落到水池.某方向上抛物线路径的形状如图所示,已知落点B到点O的距离为3 m.
B
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建立如图所示的平面直角坐标系,水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数关系y=ax2+x+c(a≠0),则水流喷出的最大高度是(  )
A.1.5 m
B.2 m
C.2.5 m
D.3 m
5. 泗水卞桥始建于晚唐时期,造型雅朴,雕饰精美,是山东省现存最古老的桥梁.拱桥中孔轮廓近似抛物线,现以拱桥的中孔最高点为坐标原点建立平面直角坐标系(如图),已知A,B两点的距离为6米,到x轴的距离均为3米.当水面EF与x轴的距离为4米时,
水面宽度EF等于________米.
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5
6.如图,已知一抛物线形大门,其地面宽度AB为10米,一位身高1.8米的同学站在门下离B点1米的D处,其头顶刚好顶在抛物线形大门上的C处.则该大门的最高处离地面________米.
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7. 廊桥是我国古老的文化遗产.如图是某座抛物线形廊桥的示意图,已知水面AB宽48 m,桥拱最高处点C到水面AB的距离为12 m,为保护该桥的安全,现要在桥拱上的点E,F处安装两盏警示灯,若EF∥AB且EF=24 m,则警示灯E距水面AB的高度为(  )
A.12 m B.11 m
C.10 m D.9 m
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【答案】D
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【答案】B
9.[2025·青岛期末]小林同学是一名羽毛球运动爱好者,下面是他对羽毛球的飞行路线的分析.如图,在平面直角坐标系中,点A,C在x轴上,球网AB与y轴的水平距离OA=3 m,CA=2 m,AB=
1.55米,击球点P在y轴上.
若选择扣球,羽毛球的飞行高度y1(m)与水平距离x(m)近似满足一次函数关系y1=-0.4x+2.8;若选择吊球,羽毛球的飞行高度y2(m)与水平距离x(m)近似满足二次函数关系,此时当羽毛球飞行的水平距离是1米时,达到最大高度3.2米.
(1)求吊球时羽毛球的飞行高度y2(m)与水平距离x(m)近似满足的二次函数的表达式;
【解】由题意得, 二次函数的顶点为(1,3.2),
∴可设二次函数的表达式y2=a(x-1)2+3.2.
在y1=-0.4x+2.8中,令x=0,则y1=2.8,
∴P(0,2.8).∴a+3.2=2.8,∴a=-0.4.
∴y2=-0.4(x-1)2+3.2.
(2)请通过计算说明两种击球方式是否过网;
【解】当x=3时,y1=-0.4×3+2.8=1.6,
y2=-0.4×(3-1)2+3.2=1.6.
又∵球网AB的高度为1.55米,
∴两种击球方式均能过网.
(3)要使球的落地点到C点的距离更近,请通过计算判断应该选择哪种击球方式.
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10. 探究观景拱桥中安装的“脚手架”是否符合要求.
素材一 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ACB,其横截面如图所示,量得该拱桥最宽处AB=20米,最高处点C距地面5米(即OC=5米).
素材二 桥洞两侧壁上各有一盏景观灯E,F,两灯直射地面分别形成反光点H,G(E,F分别在抛物线上且关于OC对称,H,G在线段AB上),量得矩形EFGH的周长为27.5米.现公园管理人员对拱桥加固维修,要搭建一个高3.5米的矩形“脚手架”GHMN.已知“脚手架”最高处距景观灯至少为0.35米可保证安全.
问题解决 任务一 确定观景拱桥的形状 分别以AB,OC所在直线为x轴、y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,求出该抛物线的表达式.
任务二 探究方案合理性 请问该“脚手架”的安装是否符合要求?如果符合,请说明理由;如果不符合,求出脚手架至少应调低多少米.
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第三章 二次函数
1 对函数的再认识
第2课时 函数的表示方法及自变量的取值
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B
A
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2.已知一个函数的因变量y与自变量x的几组对应值如表,则这个函数的表达式可以是(  )
x … -1 0 1 2 …
y … -2 0 2 4 …

3.如图,是一台自动测温仪记录的图象,它反映了某市冬季某天气温T随着时间t变化而变化的关系,观察图象得到下列信息,①凌晨4时气温最低,为-3 ℃;②14时气温最高,为8 ℃;③从0时至14时,气温随时间增长而上升;④从14时至24时,气温
随时间增长而下降.其中错误的
是________.
【点拨】①由图象可知,在凌晨4时函数图象在最低点,所以凌晨4时气温最低为-3 ℃,故说法正确;②由图象可知,在14时函数图象在最高点,所以14时气温最高为8 ℃,故说法正确;③由图象可知,从4时至14时,气温随时间增长而上升,不是从0时,故说法错误;④由图象可知,14时至24时,气温随时间增长而下降,故说法正确.故答案为③.
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C
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5.已知等腰三角形的周长为20 cm,将底边长y(cm)表示成腰长x(cm)的函数关系式是y=20-2x,则其自变量x的取值范围是(  )
A.0C.x>10 D.一切实数
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【答案】B
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x>1
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D
8.[2025·烟台校级模拟]下列各情境,分别描述了两个变量之间的关系:(1)匀速行驶的汽车(速度与时间的关系);(2)一面冉冉升起的旗子(高度与时间的关系);(3)足球守门员大脚踢出去的球(高度与时间的关系);(4)一杯越晾越凉的开水(水温与时间的关系).
依次用图象近似刻画以上变量之间的关系,排序正确的是(  )
A.④②①③ B.②④①③ 
C.②④③① D.③④①②
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【点拨】(1)匀速行驶的汽车,速度始终不变,故图象②符合要求;(2)一面冉冉上升的旗子,高度随着时间的增加而越来越高,故图象④符合要求;(3)足球守门员大脚踢出去的球,高度先增大再减小,故图象①符合要求;(4)一杯越来越凉的水,水温随着时间的增加而越来越低,故图象③符合要求.排序是②④①③.故选B.
【答案】B
9. 弹簧挂上物体后会伸长,已知一弹簧的长度(cm)与所挂物体的质量(kg)之间的关系如表所示.
物体的质量/kg 0 1 2 3 4 5
弹簧的长度/cm 10 12.5 15 17.5 20 22.5
下列说法错误的是(  )
A.在没挂物体时,弹簧的长度为10 cm
B.弹簧的长度随物体的质量的变化而变化,物体的质量是自变量的函数,弹簧的长度是自变量
C.在弹簧能承受的范围内,如果物体的质量为m kg,那么弹簧的长度y可以表示为y=2.5m+10
D.在弹簧能承受的范围内,当物体的质量为6 kg时,弹簧的长度为25 cm
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【点拨】在没挂物体,即物体的质量为0 kg时,对应的弹簧的长度为10 cm,所以A项中的说法正确;题中表格反映了所挂物体的质量和弹簧的长度之间的关系,所挂物体的质量是自变量,弹簧的长度是自变量的函数,所以B项中的说法错误;观察题中表格可得,在弹簧能承受的范围内,当物体的质量为m kg时,弹簧的长度为(10+2.5m)cm,所以C项中的说法正确;由C项知y=10+2.5m,因此当m=6时,y=25,所以D项中的说法正确.故选B.
【答案】B
10.在“看图说故事”活动中,某学习小组设计了一个问题情境:小明从家跑步去体育场,在那里锻炼了一段时间后又走到文具店买圆规,然后散步走回家.小明离家的距离y(km)与他所用的时间x(min)的关系如图:
2.5
(1)小明家离体育场的距离为________km,小明跑步的平均速度为________km/min;
(2)当15≤x≤45时,请直接写出y关于x的函数表达式;
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(3)当小明离家2 km时,求他离开家所用的时间.
11. 如图①,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,AB=4 cm.点D从A点出发,沿线段AB向终点B运动.过点D作AB的垂线,与△ABC的直角边AC(或BC)相交于点E.设线段AD的长为a(cm),线段DE的长为h(cm).
(1)为了探究变量a与h之间的关系,对点D在运动过程中不同时刻AD,DE的长度进行测量,得出以下几组数据:(单位:cm)
变量a 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
变量h 0 0.5 1 1.5 2 1.5 1 0.5 0
在平面直角坐标系中,以变量a的值为横坐标,变量h的值为纵坐标,描点如图甲;以变量h的值为横坐标,变量a的值为纵坐标,描点如图乙.
根据探究的结果,解答下列问题:
①当a=1.5时,h=________;当h=1时,a=________.
②将图甲、乙中描出的点顺次连接起来.
1.5
1或3
【解】连线如图甲、图乙所示.
③下列说法正确的是________.(填“A”或“B”)
A.变量h是以a为自变量的函数
B.变量a是以h为自变量的函数
A
(2)如图②,记线段DE与△ABC的一直角边、斜边围成的三角形(即阴影部分)的面积为S(cm2).
①分别求出当0≤a≤2和2②当S=时,求a的值.
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第三章 二次函数
全章热门考点整合应用
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B
1.若函数y=(a+1)x|a+3|-x+3是关于x的二次函数,则a的值是(  )
A.1 B.-5 C.-1 D.-5或-1
B
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2.抛物线y=x2-4x-4的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是(  )
A.开口向上,对称轴是直线x=2,顶点是(2,8)
B.开口向上,对称轴是直线x=2,顶点是(2,-8)
C.开口向上,对称轴是直线x=-2,顶点是(2,-8)
D.开口向下,对称轴是直线x=2,顶点是(2,8)
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【答案】D
4.如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-1.下列结论:①abc<0;②b2>4ac;③4a-2b+c>0;④3a+c>0;⑤b2-4a2>2ac.其中正确结论的个数是(  )
A.2
B.3
C.4
D.5
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【答案】C
观察图象,得当x=1时,y>0,∴a+b+c>0.又∵b=2a,∴3a+c>0,故④正确;∵b=2a,∴b2=4a2,∴b2-4a2=0.∵a>0,c<0,∴2ac<0,∴b2-4a2>2ac,故⑤正确.
5.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)的图象如图所示,ax2+bx+c=m有实数根的条件是(  )
A.m≥-2
B.m≥5
C.m≥0
D.m>4
A
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D
6.[2025·济宁邹城市月考]二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则方程ax2+bx+c=0的解是(  )
A.x=1
B.x=3 
C.x=-1或x=1
D.x=-3或x=1
7. [教材P98习题T1]如图,用一根长为60厘米的铁丝制作一个“日”字形框架ABCD,铁丝恰好全部用完.
(1)若所围成的矩形框架ABCD的面积为144平方厘米,则AB的长为多少厘米?
(2)矩形框架ABCD面积的最大值为________平方厘米.
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150
(1)①m=________,n=________;
②小球的落点是A,求点A的坐标.
3
6
(2)小球飞行的高度y(m)与飞行时间t(s)满足关系式:y=-5t2+vt.
①小球飞行的最大高度为________m;
②求v的值.
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8
9. 一把油纸伞,千年江南韵.油纸伞是汉族古老的传统用品之一.如图,油纸伞中轴截面可看作是抛物线的一部分,已知锁扣为C点,抛物线的最高点为P,点P到水平面的距离PQ=1.2 m,已知
OQ=1 m,OD=0.7 m.
(1)求抛物线的表达式;(无需写出自变量的取值范围)
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6
(2,0)
(2)若点D为线段AB上的一个动点(不含端点),过点D作DE∥y轴,交反比例函数的图象于点E,连接OD,OE,求△ODE面积的最大值.
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11.请阅读信息,并解决问题:
优化产品分配方案 素材1 某工厂每月生产800件产品,每件产品成本为100元.这个工厂将这800件产品分配给线下直营店和线上旗舰店两个渠道一起销售,每月都能售完.
素材2 线下直营店的产品按照定价190元出售,并进行促销活动:月销售量不超过400件的部分,每件产品赠送成本为60元的礼品,可全部售完;超过400件的部分,因礼品已送完,则需要再一次性投入成本为5 000元的广告进行宣传,也可全部售完.线上旗舰店的产品售价y(元)与月销售量x(件)满足关系:y=-x+230.
素材3
优秀方案 月总利润≥46 000元 (销售利润=销售收入-成本)
良好方案 44 000元<月总利润<46 000元 合格方案 40 000元<月总利润≤44 000元 任 务 1 ①线下直营店的月销售量为m件.
若0若400_____________元.
30m
(90m-29 000)
【点拨】当0任 务 1 ②线上旗舰店的月销售量为n件,则这n件产品的销售利润为____________元.
任 务 2 ①若平均分配给两个渠道销售,求这800件产品的销售总利润.
任务2 ②请设计一种与①不同的分配方案,并判断方案类型.
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12.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0).
(1)若a=-1,且函数图象经过(0,3),(2,-5)两点,求此二次函数的表达式,并直接写出抛物线与x轴的交点及顶点坐标;
(2)在下图中画出(1)中函数的大致图象,并根据图象写出函数值y≥3时自变量x的取值范围.
【解】如图.
当y=3时,3=-x2-2x+3,∴x1=0,x2=-2.
由图象可得:当y≥3时,-2≤x≤0.
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13.[2025·潍坊潍城区期末]科研人员为了研究弹射器的某项性能,利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据.无人机上升到距离地面25 m处开始计时,此时,在地面用弹射器(高度不计)竖直向上弹射一个小钢球(忽略空气阻力),将无人机距离地面的高度h1(m)、小钢球距离地面的高度h2(m)随时间t(s)变化的数据的对应点分别描在如图①、图②两个坐标系中.
【模型建构】
探究发现h1与t,h2与t之间的数量关系可以用我们已学的函数来模拟.
(1)你认为可以选择反比例函数来模拟这两个关系吗,为什么?
【解】不能选择反比例函数来模拟这两个关系,因为在反比例函数中,自变量的值不能为0.
(2)求h1关于t的函数表达式和h2关于t的函数表达式.(不要求写出自变量的取值范围)
【问题解决】
(3)当0≤t≤5时,小钢球和无人机的高度差最大是多少米?
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【解】由(2)得h2-h1=-5t2+30t-25=-5(t-3)2+20.
∵-5<0,∴当t=3时,高度差最大,最大值为20 m.
答:当0≤t≤5时,小钢球和无人机的高度差最大是20 m.
14. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于B(4,0),C(-2,0)两点,与y轴交于点A(0,-2).
(1)该抛物线的表达式为______________.
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点M,使得△MAB是以AB为一条直角边的直角三角形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
设M(1,m),则AM2=(0-1)2+(-2-m)2=m2+4m+5,BM2=(4-1)2+(0-m)2=m2+9.
当∠ABM=90°时,则AB2+BM2=AM2,∴20+m2+9=m2+4m+5,解得m=6,∴点M的坐标为(1,6);
当∠BAM=90°时,则AB2+AM2=BM2,
∴20+m2+4m+5=m2+9,解得m=-4,∴点M的坐标为(1,-4).综上所述,点M的坐标为(1,6)或(1,-4).
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第三章 二次函数
7 二次函数与一元二次方程
第1课时 二次函数与一元二次方程的关系
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B
A
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2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为(  )
A.x1=-4,x2=2
B.x1=-3,x2=-1
C.x1=-4,x2=-2
D.x1=-2,x2=2
1
3.[2024·徐州]在平面直角坐标系中,将二次函数y=(x-2 023)(x-2 024)+5的图象向下平移5个单位长度,所得抛物线与x轴有两个公共点P,Q,则PQ=________.
【点拨】将二次函数y=(x-2 023)(x-2 024)+5的图象向下平移5个单位长度,所得抛物线的表达式为y=(x-2 023)(x-2 024).令y=(x-2 023)(x-2 024)=0,则x-2 023=0或x-2 024=0,∴x=2 023或x=2 024,∴PQ=2 024-2 023=1.
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x1=0,x2=2
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4.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的解为______________.
5.如图,抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-4,8),B(2,2),则关于x的方程ax2-bx-c=0的解为_______________.
x1=-4,x2=2
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-4
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7.已知关于x的函数y=ax2-(a+1)x+(a-1)的图象与坐标轴共有两个不同的交点,则实数a的可能值有(  )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
A
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8.如图,二次函数y=ax2+bx+c的最大值为3,一元二次方程ax2+bx+c-m=0有实数根,则m的取值范围是(  )
A.m≥3
B.m≥-3
C.m≤3
D.m≤-3
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C
返回
B
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【答案】B
∵抛物线与x轴的另一个交点在-1,0之间,∴a-b+c<0.∵图象与y轴交点的纵坐标是2,∴c=2,∴a-b+2<0,∴b-a>2.故④错误.综上,①③正确,共2个.故选B.
11.[2025·宁波质检]已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象上部分点的坐标(x,y)对应值列表如下,则关于x的方程ax2+bx+5=0的解是_______________.
x … 0 30 80 …
y … 2 -3 2 …
x1=30,x2=50
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12.[2025·淄博张店区校级月考]如图,已知二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧).
(1)求顶点坐标和A,B两点的坐标;
【解】∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
∴函数图象的顶点坐标为(1,-4).
令y=0,则0=x2-2x-3,解得x1=-1,x2=3.
又∵点A在点B的左侧,∴A(-1,0),B(3,0).
(2)若点P为二次函数图象上一点且S△PAB=8,求点P的坐标.
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(1)自变量x的取值范围是全体实数,x与y的几组对应值列表如下:
其中,m=________;
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … 0 m -4 -3 -4 -3 0 …
-3
(2)根据上表数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出了函数图象的一部分,请画出该图象的另一部分;
【解】如图所示.
(3)观察函数图象,写出两条函数的性质;
2
3
3
-4<a<-3
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第三章 二次函数
6 二次函数的应用
第2课时 利润问题
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B
1.某商店经营衬衫,已知所获利润y(元)与销售的单价x(元)之间满足表达式y=-x2+24x+2 956,则所获利润最多为(  )
A.3 144元 B.3 100元 
C.1 440元 D.2 956元
B
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2.[2025·日照东港区月考]某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30-x)件,要使利润最大,每件的售价应为(  )
A.24元 B.25元 C.28元 D.30元
3.便民商店经营一种商品,在销售过程中,发现一周的利润y(元)与每件的销售价格x(元)之间的关系满足y=-2x2+80x+758,由于某种原因,价格需满足15≤x≤19,那么一周可获得的最大利润是(  )
A.1 554元 B.1 556元 C.1 558元 D.1 560元
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【答案】B
【点拨】∵y=-2x2+80x+758=-2(x-20)2+1 558,-2<0,∴当x<20时,y随x的增大而增大.∵15≤x≤19,∴x=19时,y取得最大值,此时y=-2×(19-20)2+1 558=1 556,即一周可获得的最大利润是1 556元.
4. [2024年山东体育消费季]吉祥物“小岳”与济南潮流体育消费季吉祥物“小淼”,一橙一蓝、一动一静,两个可爱的小家伙生动诠释了齐鲁大地、天下泉城的生机与潜力.“小岳”和“小淼”纪念礼盒一上市就销售火爆,每个纪念礼盒的进价为40元.销售期间发现,当定价为50元时,每天可售出1 000个,销售单价每降1元时,每天的销量增加50个.
D
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现商家决定降价销售,每个纪念礼盒降价x元(0A.y=-50x+1 000
B.W=(-50x+1 000)(40-x)
C.y=50x-1 000
D.W=(50x+1 000)(10-x)
5. 某商店销售一批头盔,售价为每顶80元,每月可售出200顶.在“创建文明城市”期间,计划将头盔降价销售,经调查发现:每降价1元,每月可多售出20顶.已知头盔的进价为每顶50元,则该商店每月获得最大利润时,每顶头盔的售价为(  )
A.60元 B.90元 C.80元 D.70元
D
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6.将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天能卖出20件,若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元,其日销售量就增加1件.为了获得最大利润决定降价x元,则单件的利润为________元,每日的销售量为________件,每日的利润y=____________,所以每件降价_________元时,每日获得的利润最大,最大利润为________元.
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(30-x)
(20+x)
-x2+10x+600
5
625
7. 2024年中国农民丰收节山东主场活动在威海市环翠区举办.这次丰收节活动突出农民主体、文化赋能、节俭务实、促进消费.某农户销售一种商品,成本价为每千克40元,按规定,该商品每千克的售价不低于成本价,且不高于60元.经调查每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系,
部分数据如下表:
售价x/(元/千克) 40 50 60
销售量y/千克 120 100 80
设销售该商品每天的利润为W(元),则W的最大值为(  )
A.1 800 B.1 600 C.1 400 D.1 200
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【答案】B
8. 每年5月的第三个星期日为全国助残日,2024年的主题是“科技助残,共享美好生活”,某公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售,根据市场调查,每辆轮椅盈利200元时,每天可售出60辆;单价每降低10元,每天可多售出4辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售,但每辆轮椅的利润不低于180元,设每辆轮椅降价x元,每天的销售利润为y元.
(1)y与x的函数关系式为_____________________;每辆轮椅降价________元时,每天的销售利润最大,最大利润为________元.
20
12240
(2)全国助残日当天,公司共获得销售利润12 160元,则这天售出了________辆轮椅.
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64
9.[2024·济宁]某商场以每件80元的价格购进一种商品,在一段时间内,销售量y(单位:件)与销售单价x(单位:元/件)之间是一次函数关系,其部分图象如图所示.
(1)求这段时间内y与x之间的函数表达式.
(2)在这段时间内,若销售单价不低于100元,且商场还要完成不少于220件的销售任务,当销售单价为多少时,商场获得利润最大?最大利润是多少?
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10.[2024·青岛]5月中旬,樱桃相继成熟,果农们迎来了繁忙的采摘销售季.为了解樱桃的收益情况,从第1天销售开始,小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析:
A樱桃园 第x天的单价、销售量与x的关系如下表: 第x天的单价与x近似地满足一次函数关系,已知每天的固定成本为745元. B樱桃园
第x天的利润y2(元)与x的关系可以近似地用二次函数y2=ax2+bx+25刻画,其图象如图:
单价(元/盒) 销售量(盒)
第1天 50 20
第2天 48 30
第3天 46 40
第4天 44 50
… … …
第x天 10x+10
(1)A樱桃园第x天的单价是_________元/盒.(用含x的代数式表示)
(-2x+52)
(2)求A樱桃园第x天的利润y1(元)与x的函数关系式.(利润=单价×销售量-固定成本)
【解】由题意得,y1=(-2x+52)(10x+10)-745=-20x2+500x-225.
(3)①y2与x的函数关系式是____________________.
y2=-30x2+500x+25
②求第几天两处樱桃园的利润之和(即y1+y2)最大,最大是多少元?
【解】∵y1=-20x2+500x-225,y2=-30x2+500x+25,∴y1+y2=-20x2+500x-225-30x2+500x+25=-50x2+1 000x-200=-50(x-10)2+4 800.
∵-50<0,且1≤x≤15(x为正整数),∴当x=10时,y1+y2有最大值,最大值为4 800,∴第10天两处樱桃园的利润之和(即y1+y2)最大,最大是4 800元.
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(4)这15天中,共有________天B樱桃园的利润y2比A樱桃园的利润y1大.
4
【点拨】当y2>y1时,-30x2+500x+25>-20x2+500x-225,∴10x2<250,∴x2<25,∴1≤x<5,∴x的正整数解有4个,∴这15天中,共有4天B樱桃园的利润y2比A樱桃园的利润y1大.(共26张PPT)
第三章 二次函数
4 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第1课时 二次函数y=ax2+k的图象与性质
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C
1.如图,二次函数y=-2x2+1的图象是(  )
D
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A
D
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4.已知a<-1,点(a-1,y1) ,(a,y2),(a+1,y3)都在函数y=3x2-2的图象上,则(  )
A.y1C.y25.抛物线y=ax2+c与y=-3x2的形状相同,开口方向相反,且其顶点坐标是(0,2),则该抛物线的表达式是___________.
y=3x2+2
【点拨】∵抛物线y=ax2+c与y=-3x2的形状相同,开口方向相反,∴a=3.∵其顶点坐标是(0,2),∴c=2,∴表达式为y=3x2+2.
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y=x2+2
6.将抛物线y=x2向上平移2个单位,所得抛物线的表达式为__________.
7.已知抛物线y=x2,把抛物线向上平移_______个单位后,能使得平移后的抛物线与y轴的交点的坐标为(0,5).
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5
8.[2025·北京海淀区校级月考]将二次函数y=x2的图象向下平移b(b>0)个单位后,得到的二次函数图象经过点(1,-4),则b的值为________.
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5
9.对于二次函数y=2x2-3,当-1≤x≤2时,y的取值范围是(  )
A.-1≤y≤5 B.-5≤y≤5
C.-3≤y≤5 D.-2≤y≤5
C
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C
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10.[2025·北京昌平区校级月考]下列对于抛物线y=2x2+2和y=-2x2的判断:①开口方向不同;②形状完全相同;③对称轴相同;④当x>0时,y都随x的增大而增大.其中正确的有(  )
A.1个  B.2个  C.3个  D.4个
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B
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【答案】A
【点拨】阴影部分分割后可以拼为一个长为4,宽为2的矩形,其面积为2×4=8,故选A.
求关于抛物线的不规则图形的面积,一般是用分割法把它拼为特殊三角形或特殊四边形来解决.
13.[2025·淄博张店区月考]若二次函数y=ax2+2的图象经过P(1,3),Q(m,n)两点,则代数式n2-4m2-4n+9的最小值为(  )
A.1 B.2 C.3 D.4
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【答案】A
14.在抛物线y=x2+3上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),若y1<y2,则下列结论正确的是(  )
A.0≤x1<x2
B.x2<x1≤0
C.x2<x1≤0或0≤x1<x2
D.以上都不对
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【答案】D
【点拨】∵在抛物线y=x2+3上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),且y1<y2,∴|x1|<|x2|,∴0≤x1<x2或x2<x1≤0或0≤-x1<x2或0≤x1<-x2.
15.如图,已知正比例函数y=2x的图象与抛物线y=ax2+3相交于点A(1,b).
(1)求a与b的值;
【解】把点A(1,b)的坐标代入y=2x,
得b=2,∴A(1,2).
把点A(1,2)的坐标代入y=ax2+3,解得a=-1.
(2)若点B(m,4)在函数y=2x的图象上,抛物线y=ax2+3的顶点是C,求△ABC的面积.
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16. 如图,有一个横截面是抛物线的一部分的运河,一次,运河管理员将一根长6 m的钢管AB的一端放在运河底部点A处,另一端露出水面并靠在运河边缘的点B处,发现4 m钢管浸没在水中(AC=4 m),露
出水面部分的钢管BC与水面成30°的
夹角(钢管与抛物线的横截面在同一
平面内).
(1)以水面所在直线为x轴,建立如图所示的直角坐标系,求该运河横截面所在的抛物线的表达式;
(2)若有一艘货船从该运河中通过,已知货船底部最宽处为12 m,吃水深(即船底与水面的距离)为1 m,此时货船是否能安全通过该运河?若能,请说明理由;若不能,则需上游开闸放水提高水位,当水位至少上升多少米时,该货船能顺利通过运河?
返回(共34张PPT)
第三章 二次函数
专题6 二次函数的图象与系数的关系
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A
1.二次函数y=ax2+bx+c中,若a>0,b2-4ac=0,则它的图象可以是(  )
B
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A
D
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4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则点P(a,b)所在的象限是(  )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
5.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,点P在x轴的正半轴上,且OP=1,则下列结论不正确的是(  )
A.a<0
B.b>0
C.b2-4ac>0
D.a+b+c<0
B
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【答案】D
7.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-1,2)和(1,0),下列结论:①abc<0;②2a+b>0;③a+b+c=0;④b=-1.其中正确的结论的序号是________.
②③④
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8.[2025·重庆开州区月考]已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,在下列4个结论中:①abc>0;②a+b+c<0;③a-b+c>0;④4a+2b2
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9.如图,若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴是直线x=-1,则下列四个结论中,错误的是(  )
A.abc>0
B.4a+c>2b
C.3b+2c>0
D.a+b+c<0
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C
③④
10.如图,抛物线与x轴交于点A(-1,0)和B,与y轴交于点C,下列结论:①abc<0,②2a+b<0,③4a-2b+c>0,④3a+c>0.正确的是________(写序号).
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11.二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(-1,0),对称轴是直线x=1,如图所示,下列结论:①abc>0;②b>c;③b2-(a+c)2<0;④a+b≤m(am+b)(m为任意实数).其中结论正确的为(  )
A.①②③ B.①②④ 
C.①③④ D.②③④
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【答案】B
12.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-2,且与x轴交于 A,B两点, 若OA=5OB, 则下列结论: ① abc>0;②(a+c)2-b2=0;③9a+c<0;④若t为任意实数,则 at2+bt+2b>4a,其中错误结论的个数是(  )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
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∴当x=1时,y=a+b+c=0,∴(a+c)2-b2=(a+c+b)(a+c-b)=0×(a+c-b)=0.故②正确;∵a+b+c=0,b=4a,∴a+b+c=a+4a+c=5a+c=0,∴9a+c=4a>0,故③错误;∵抛物线的开口向上,对称轴为x=-2,∴当x=-2时,y=4a-2b+c的值最小,∴对于任意实数t,都有at2+bt+c≥4a-2b+c,∴at2+bt≥4a-2b,∴at2+bt+2b≥4a,故④错误.综上所述,错误的是①③④,共3个,故选C.
【答案】C
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【答案】B
14.如图,拋物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数)关于直线x=1对称.下列5个结论:①abc>0;②2a+b=0;③4a+2b+c>0;④am2+bm>a+b;⑤3a+c>0.其中正确的有(  )
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
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④由图知x=1时二次函数有最小值,∴a+b+c≤am2+bm+c,∴a+b≤am2+bm,故④错误;⑤∵b=-2a,∴y=ax2-2ax+c,当x=-1时,y=a+2a+c=3a+c.由图知x=-1时,y>0,∴3a+c>0,故⑤正确.综上所述,正确的是①②⑤,共3个,故选B.
【答案】B
15.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图所示,顶点坐标为(1,-4a),点A(4,y1)是该抛物线上一点,若点D(x2,y2)是抛物线上任意一点,有下列结论:①4a-2b+c>0;②若y2>y1,则x2>4;③若0≤x2≤4,则0≤y2≤4;④若方程a(x+1)(x-3)=-1有
两个实数根m和n,且m3.其中正确结论的个数是(  )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
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③当x=4时,y1=16a+4b+c=16a-8a-3a=5a,∴当0≤x2≤4时,-4a≤y2≤5a,于是③错误;④∵方程a(x+1)(x-3)=-1有两个实数根m和n,且m0,∴-1【答案】B
16.如图,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A,B两点,交y轴于C点,对称轴为直线x=h,其中-2(c+1)>0.其中正确的为________
(填序号).
①③④
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由题意得C(0,c),若OC=OB,则B(c,0).∴ac2+bc+c=0.∵-10,∴(a+1)(c+1)=ac+a+c+1=a-b+c>0,故④正确.故答案为①③④.(共12张PPT)
第三章 二次函数
综合与实践 拱桥形状设计
素材
现要在河面上建造一座如图所示的抛物线形拱桥,已知河面宽60米,岸边水泥柱高20米,拱桥需要用钢材支柱等分跨径以支撑桥面,若钢材支柱将跨径n等分.
任务1
若钢材支柱将跨径4等分,此时以A为坐标原点,水平方向为x轴建立平面直角坐标系,拱桥的抛物线的表达式为:y=-x(x-60),则所需的最短的那根钢材支柱长为多少米?
任务2
若钢材支柱将跨径6等分,钢材支柱恰好用了30米.以A为坐标原点,水平方向为x轴建立平面直角坐标系,求拱桥的抛物线的表达式.
【解】设拱桥的抛物线的表达式为y=ax(x-60)(a≠0).
∵河面宽60米,钢材支柱将跨径6等分,∴需要5根钢材支柱,钢材支柱的位置分别为x=10,x=20,x=30,x=40,x=50.∵岸边水泥柱高20米,钢材支柱恰好用了30米,
任务3
为了美观,现对拱桥重新设计,使拱肋超过桥面,如图所示.若钢材支柱将桥面DE和CF各3等分,且两支柱间的距离为5米,则共需多少米钢材支柱?
【解】以A为坐标原点,水平方向为x轴建立平面直角坐标系,∵抛物线过点A(0,0),B(60,0),∴设拱桥的抛物线的表达式为y=a′x(x-60)(a′≠0).
∵钢材支柱将桥面DE和CF各3等分,且两支柱间的距离为5米,∴钢材支柱的位置分别为x=5,x=10,x=50,x=55,DE=CF=15米,∴E(15,20),F(45,20).

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