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(共21张PPT)
5.3 课时1 诱导公式2-4
学习目标
1.了解公式二、公式三和公式四的推导方法
2.掌握公式二、公式三和公式四，并能灵活应用
3.发现圆的对称性与三角函数之间的关系，建立联系.
复习回顾
（1）若已知角终边上的一点为单位圆上的点,则.
其中
（2）公式一
=1
=
（3）同角三角函数的基本关系
新课导入
圆的最重要的性质是对称性，而对称性也是函数的重要性质，我们利用圆的对称性研究三角函数的对称性.
探究1
在直角坐标系内，设任意角的终边与单位圆交与点
（1）作关于原点的对称点，以为终边的角与角有什么关系？角的三角函数值之间有什么关系？
新课学习
以为终边的角都是与角终边相同的角，即设（）（）,可知是关于原点的对称点，所以
根据三角函数的定义，得
；
；
公式二
=-，
-，
=-.
探究1
（2）如果作关于轴（或轴）对称点（或），那么又可以得到什么结论？
公式三
=-，
，
=-.
得：
新课学习
公式四
=，
-，
=-.
新课学习
对诱导公式一四的理解
（1）在角度制和弧度制下，公式都成立.
（2）公式中的角可以是任意角，形式不固定，可以是单角也可以是复角.如[]=.
（3）公式中的角对于正切而言，成立是以正切函数有意义为前提的.
公式1：
公式2：
公式3：
公式4：
函数名不变，符号看象限.
符号看象限
看成锐角，是第三象限角，＞0,＜0
= -
新课学习
函数名不变
例题剖析
例1.利用公式求下列三角函数值：
(1)；(2)；(3)；(4)
解：(1)
(2)
(3)
(4)
.
思考
由例1，你对公式一公式四的作用有什么进一步的认识？你能自己归纳一下把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤吗？
？
用公式一
任意负角的三角函数
锐角的三角函数
任意正角的三角函数
0的角的三角函数
用公式
三或一
用公式
二或四
例题剖析
例2 化简
解：[-(180)]
=,
=
=，
所以 原式=
随堂小测
1.判断正误：
（1）诱导公式三可以将任意负角的三角函数值转化为正角的三角函数值. ( )
（2）诱导公式中的角一定是锐角. ( )
（3）由公式三知-()］. ( )
×
×
√
2.（多选）如果满足，那么下列式子中正确的是 （ ）
A. B.
C. D.
ACD
随堂小测
3. 求下列三角函数值：
(1)； (2)； (3).
解：(1)
(2)
(3).
方法提炼
利用诱导公式解决给角求值问题的步骤
负化正
大化小
小化锐
锐求值
用公式一或公式三来转化
用公式一将角转化为0范围内的角
用公式二或公式四将大于90的角转化为锐角
得到锐角的三角函数后求值
随堂小测
4.求下列各式的值：
(1)；
解：
=-
=-1-
随堂小测
（2）
解：
=-
=
=-
随堂小测
5.已知,且为第四象限角，求的值
解：∵，且为第四象限角，
∴是第三象限角，
∴=-，
∴[180]=-=
方法提炼
解决条件求值问题的两个技巧
寻找差异
转化
解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系
可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化
6. 化简 (1) ； (2)
随堂小测
解：(1)原式=
=
=1
解：(2)原式= =
=
=-1
课堂总结
圆 的 对 称 性
关于原点的对称性
关于轴的对称性
关于轴的对称性
=-，
-，
=-.
=-，
，
=-.
=，
-，
=-.
公式二
公式三
公式四(共22张PPT)
5.3 课时2 诱导公式5、6及求值化简
学习目标
1.了解公式五和公式六的推导方法
2.能够准确记忆公式五和公式六
3.灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明.
复习回顾
=-，
-，
=-.
=-，
，
=-.
=，
-，
=-.
公式二
公式三
公式四
圆的对称性
点的对称
角终边的对称
角的关系
诱导公式
点的坐标
探究1：
作关于直线的对称点，以为终边的角与角有什么关系？
角与角的三角函数值之间有什么关系？
如图，以为终边的角都是与角终边相同的角，即
①
根据三角函数定义，得，
公式五
=，
，
新课学习
新课学习
你能利用平面几何的知识证明①式吗？
？
M
N
过作⊥轴，垂足为，过作⊥轴，
垂足为.由Rt≌Rt,所以,即
①
探究2：
作关于轴对称点，又能得到什么结论？
公式六
=
-
以为终边的角都是与角终边相同的角，即
关于轴的对称点，
新课学习
诱 导 公 式
公 式 五
公 式 六
=，
，
=
-
的正弦（余弦）函数值，分别等于的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号
利用诱导公式五或六，可以实现正弦函数与余弦函数的互相转化.
新课学习
=-，
-，
=-.
=-，
，
=-.
=，
-，
=-.
=，
，
=
-
奇变偶不变，符号看象限
诱导公式一 ~ 六
新课学习
当是奇数时，三角函数名称由正弦变余弦或由余弦变正弦
奇变
偶不变
当是偶数时，三角函数名称不变
()
符号看象限
将看成锐角，观察所在的象限，并判断函数值的符号
例题剖析
例1 证明：
（1）； （2）
证明：（1）=[]=-
（2）=[]=-
例题剖析
例2 化简
解：原式 =
=
=-
=
方法提炼
用诱导公式进行化简的要求
三角函数的化简是表达式经过某种变形使结果尽可能地简单：
（1）化简后项数尽可能地少；
（2）函数的种类尽可能地少；
（3）分母不含三角函数的符号；
（4）能求值的一定要求值；
（5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等.
例题剖析
例3 已知且求的值.
分析：联系条件与结论，注意到+=90，由此可利用诱导公式解决问题
解：∵+=90，
∴==
∵，∴143＜＜323.
由＞0，得143＜＜
例题剖析
∴=-,
∴=-
诱导公式综合应用要“三看”
一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系.
二看函数名称：一般是弦切互化.
三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子、分母同乘一个式子变形.
随堂小测
1.判断正误：
（1）诱导公式五、六中的角只能是锐角 ( )
（2）. ( )
（3）(270). ( )
×
×
√
2.（多选）下列与的值相等的是 （ ）
A. B.
C. D.
CD
随堂小测
3.值为 （ ）
A. B. C.0 D.2
4.计算：
5.若,那么的值为 （ ）
A. B.- C. D.-
C
1
A
随堂小测
6.已知,求证：
.
证明：∵，∴，
∴
=
===2
方法提炼
证明等式的常用方法
利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：
（1）从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简.（2）左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子.（3）针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异.
随堂小测
7.已知,且0＜＜,求.
解：∵0＜＜,∴，
又，∴=,
∵+=,
∴=.
随堂小测
∵+=,
∴=
=-
=-
课堂总结
圆 的 对 称 性
关于原点的对称性
关于轴的对称性
关于轴的对称性
关于直线对称性
旋转的对称性
公式二
公式三
公式四
公式五
公式六
奇变偶不变，符号看象限

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