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(共24张PPT)
5.4.2 课时2 正弦函数、余弦函数的性质（单调性与最值）
学习目标
1.掌握的单调性，并能利用单调性比较大小.
2.掌握的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.
3.会求函数及单调区间.
复习回顾
函数
周期
最小正周期
奇偶性
正弦函数与余弦函数的周期性与奇偶性
2
2
奇函数
偶函数
新课学习
正弦函数在区间_________上单调递增， 在区间
0
-1 0 1 0 -1
IIIII
0
-
-
观察如下正弦函数的图象，你能说说它的单调性吗？
-1
1
新课学习
IIIIIIIIIIIIIIII
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3
4
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-
正弦函数在每一个闭区间 上都单调递增，其值从-1增大到1；在每一个闭区间 上都单调递减，其值从1减小到-1.
正弦函数的单调性
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新课学习
0
-1
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函数在区间____________上单调递增，其值从-1增大到1；在区间__________上单调递减，其值从1减小到-1.
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新课学习
余弦函数在每一个闭区间 上都单调递增，其值从-1增大到1；在每一个闭区间 上都单调递减，其值从1减小到-1.
余弦函数的单调性
新课学习
正弦函数当且仅当 时取得最大值1，
当且仅当_________________时取得最小值-1；余弦函数当且仅当_____________时取得最大值1，当且仅当__________________
时取得最小值-1；
IIIIIIIIIIIIIIII
0
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-2
-
R
R
正弦函数与余弦函数的最（大、小）值
例题剖析
例1 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时自变量的集合，并求出最大值、最小值．
（1）；
（2）．
解：容易知道，这两个函数都有最大值、 最小值．
（1）使函数取得最大值的的集合，就是使函数取得最大值的的集合
使函数取得最小值的的集合，就是使函数取得最小值的的集合；
函数的最大值是1＋1＝2；最小值是－1＋1＝0．
例题剖析
（2）令取得最大值的的集合，就是使取得最小值的z的集合}，由．所以,同理，使函数取得最小值的的集合是
函数的最大值是3，最小值是－3．
例题剖析
例2 不通过求值，比较下列各组数的大小：
(1)； (2)与
分析：可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小.为此，先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小.
解：(1)因为正弦函数在区间上单调递增，所以>.
(2)
.
因为且函数在区间上单调递减，
所以即.
例题剖析
(2)与
方法提炼
三角函数值的大小比较策略
（1）利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转化到［，］或［，］内；对于余弦函数来说，一般将两个
角转化到［，0］或［，］内.
（2）不同名的函数化为同名的函数.
（3）自变量不在同一单调区间时，先化至同一单调区间内，借助正弦函数、余弦函数的单调性来比较大小.
例题剖析
例3 求函数,［，］的单调递增区间.
分析：令当自变量的值增大时，的值也随之增大，因此若函数在某个区间上单调递增，则函数在相应的区间上也一定单调递增.
解：令则.
因为的单调递增区间是［，］，
且由，得-.
所以，函数,［，］的单调递增区间是［-，］.
例题剖析
思考
你能求出函数,［-2］的单调递增区间吗？
？
方法提炼
用基本函数法求函数或的单调区间的步骤：
第一步，写出基本函数或的相应单调区间.
第二步，将“”视为整体替换基本函数的单调区间（用不等式表示）中的“”.
第三步，解关于的不等式.
方法提炼
对于形如 的三角函数的单调区间问题，当时，可先用诱导公式转化为，则的单调递增区间即为原函数的单调递减区间，单调递减区间即为原函数的单调递增区间.余弦函数的单调性讨论同上.另外，注意Z这一条件不能省略.
随堂小测
1.判断正误：
（1）正弦函数、余弦函数在R都是单调函数. ( )
（2满足. ( )
（3）函数［0,］的最大值为0. ( )
×
×
√
2.下列区间中，使函数 为增函数的是 （ ）
A.［0,］ B.［,］ C.［0,］ D.［,2］
C
随堂小测
3.求函数单调区间.
解：令,
解得
∴函数的单调递增区间是［,］，.
令,.
解得≤≤
∴函数的单调递减区间［，］，
随堂小测
4.求下列函数的值域：
(1),［,］；
(2)||；
(3).
解：(1)当［,］时，，
所以1］，
所以，
即函数的值域为
随堂小测
(2)||
又≥0时，0≤2≤2，
∴函数的值域为［0,2］.
(3),令则-1≤≤1.
于是,
故当函数取得最大值10；
当，函数取得最小值2，所以原函数的值域为［2,10］.
(2)||； (3).
随堂小测
5.已知函数的定义域是［0，］，值域是［-5,1］，求，的值.
解：∵0≤≤，∴≤≤，
∴-≤≤1.
①当＞0时，［，2］，
得,
∴解得；
随堂小测
②当＜0时，［，］，
得,
∴解得；
综上所述，可得；.
正弦函数 余弦函数
图象
定义域 R R
值域
单调性 上单 调递增， 上单调递减 上单调递增，上单调递减
最值 当，时，=1 ，时，=-1. 当，=1
当时，=-1
课堂总结
0
-
-
0
-
-(共25张PPT)
5.4.2 课时1 正弦函数、余弦函数的性质（周期性与奇偶性）
学习目标
1.理解周期函数、周期、最小正周期的定义
2.会求正弦函数、余弦函数的周期，并会应用.
3.掌握正弦函数、余弦函数的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.

-1
1
2
复习回顾
五点法画正弦函数图象和余弦函数图象
y＝sin x
关键五点：
y＝cos x
探究
类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？观察它们的图象，你能发现它们具有哪些性质？
单调性、奇偶性、最值等
IIIIIIIIIIIIIIII
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1
-1
2
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-
-2
-
三角函数是刻画“周而复始”现象的数学模型
新课学习
现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的规律，这种变化规律称为周期性.
昼夜交替
四季交替
月亮圆缺
知识点一：周期性
新课学习
一般地，设函数的定义域为，如果存在一个非零常数，使得对每一个都有且
周期函数的周期不止一个.如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期.
,
那么函数就叫做周期函数. 非零常数叫做这个函数的周期.
由诱导公式可知:
新课学习
正弦函数是周期函数,()都是它的周期，最小正周期是2.余弦函数也是周期函数,都是它的周期，最小正周期是2.
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2
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-
今后本书中所涉及的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期.
新课学习
对函数最小正周期的两点说明
(1)最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量要加上的那个最小正数，这个正数是对而言的，如的最小正周期是，因为=即是使函数值重复出现的自变量的最小正数，对而言的，而非2.
(2)并不是所有的周期函数都有最小正周期，比如，常数函数,任意一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期.
例题剖析
例1 求下列函数的周期：
(1) (2) (3)
分析：通常可以利用三角函数的周期性，通过代数变形，得出等式而求出相应的周期.
解：(1).
由周期函数的定义可知，原函数的周期为2.
(2)令，由周期为2，即
所以
，
由周期函数的定义可知，原函数的周期为.
例1 求下列函数的周期：
(1)(2)(3)
例题剖析
(3)令，由周期为2，
即所以
由周期函数的定义可知，原函数的周期为4.
思考
回顾例题的解题过程，你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？
？
周期为2
周期为
周期为4
周期仅与自变量的系数有关
探究与发现
函数及函数的周期 (其中，，为常数，且)是什么？
令,由，得，且，及
的周期都是2
因为+2=+2=,所以自变量增加，
函数值就重复出现.
探究与发现
函数及函数的周期 (其中，，为常数，且)是什么？
即是等式
成立的最小正数，
所以函数及函数的周期 .
+2
+2
新课学习
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观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于轴对称.
正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.
知识点二：奇偶性
随堂小测
1.判断正误：
（1）若,则是函数的一个周期. ( )
（2）所有的周期函数都有最小正周期. ( )
（3）函数是奇函数. ( )
×
×
2.函数是 （ ）
A.周期为的奇函数 B.周期为的偶函数
C.周期为的奇函数 D.周期为2的偶函数
×
A
随堂小测
3.若函数是周期为3的周期函数，且，则____________.
由
4.求下列函数的周期：
(1)
(2)；
(3)
随堂小测
(4)||
方法一：
∵=||，
∴||
=||
=
∴=
方法二：
=||的图象如图所示：
∴=
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方法提炼
求三角函数最小正周期的常用方法
（1）公式法：将函数化为或的形式，再利用求得.
（2）定义法：.
（3）图象法：利用变换的方法或作出函数的图象，通过观察得到最小正周期.
提醒：（0）的最小正周期
随堂小测
5.判断下列函数的奇偶性：
（1）（2）+
（3）.
解:（1）的定义域为{|,},定义域关于原点对称.
∵
∴奇函数.
随堂小测
（2）+,定义域为R,关于原点对称.
∵
∴偶函数.
（3），由解得
故的定义域为{|,}，定义域不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数.
方法提炼
判断函数奇偶性的思路
定义域是否关于原点对称
是
否
或
此函数非奇非偶
判断函数的奇偶性
随堂小测
6.下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是（ ）
A. B.
C. D.
D
(1)要使为奇函数，则
(2)要使为偶函数，则
(3)要使为奇函数，则
(4)要使为奇函数，则
随堂小测
7.已知
(1)求证：；
(2)求的值.
（1）证明：
=+++++++
=+1++0+(-)+(-1)+(-)+0=0
=
=+++++++
=0.
随堂小测
所以
(2)由(1)知，从第一项开始，每8项的和为0，又因为2022=252×8+6，
所以
=252×0+
=+1++0+(-)+(-1)=.
课堂总结
函数
周期
最小正周期 2 2
奇偶性 奇函数 偶函数
正弦函数与余弦函数的周期性与奇偶性

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