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(共23张PPT)
5.4.3 正切函数的性质与图象
学习目标
1.能画出正切函数的图象
2.借助图像理解掌握正切函数的性质
3.掌握正切函数的定义域及正切曲线的综合应用.
复习回顾
设α是一个任意角，，它的终边与单位圆交于点．
把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即
正切函数 ,{|}
你还记得正切与正切函数吗？
思考
（1）根据研究正弦函数、余弦函数的经验，你认为应如何研究正切函数的图象与性质？
（2）你能用不同的方法研究正切函数吗？
？
三角函数定义
函数图象
函数性质
换个角度：
函数定义
函数其他性质
函数图象
函数部分性质
角的正切值是角的
终边与单位圆交点的
坐标比值，难以利用
几何意义进行几何作图.
新课学习
1.周期性
正切函数是奇函数.
2.奇偶性
正切函数是周期函数，周期是
你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？
？
正切函数 ,{|}
探究
如何画出函数［0,的图象？
(1)借助单位圆，寻求［0,时正切值的几何意义
如图，设［0，），在直角坐标系中画出角的终边与单位圆的交点
T
A
B
过点轴的垂线，垂足为；过点
作轴的垂线与角的终边交于点，则
M
我们可以利用画出函数［0,的图象
(2)将区间［0,）六等分，自变量取值0，，，，，
B
T
IIIIII
当［0,)时，随着的增大，线段的长度也增大，当趋于
时，的长度趋于无穷大.
(3)画出正切函数图象上相应的特殊点，并用光滑曲线连接.
A
探究
你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？正切函数的图象有怎样的特征？
0
-
-
IIIIIIIIIII
2
-
-2
-
正切函数是奇函数，图象关于原点对称，可得-,0]的图象
0
-
-
IIIIIIIIIII
2
-
-2
-
根据正切函数的周期性，只要把函数,的图象向左、右平移，每次平移个单位，就可得到正切函数R,
,的图象，我们把它叫做正切曲线.
0
-
-
IIIIIIIIIII
2
-
-2
-
3.单调性
正切函数的值域是实数集R.
4.值域
正切函数在每个区间(-,)()上都单调递增.
例题剖析
例1 求函数的定义域、周期及单调区间.
分析：利用正切函数的性质，通过代数变形可以得出相应的结论.
解：自变量的取值应满足.
即 .
所以，函数的定义域是.
例题剖析
设,又,所以［()+]=(),
即=().
因为{|}都有=()，
所以，函数的周期为2.
由，解得
因此，
函数的单调递增区间为（，），.
随堂小测
1.判断正误：
（1）正切函数的值域是R. ( )
（2正切函数的图象是中心对称图形，有无数个对称中心. ( )
（3）正切函数的图象有无数条对称轴，其对称轴是直线. ( )
×
√
√
随堂小测
2.（多选）已知函数,则下列结论正确的是（ ）
A.2是的一个周期
B.
C.的值域为R
D.的图象关于点（）对称
ACD
的对称中心坐标为（,0）,.
0
-
-
IIIIIIIIIII
2
-
-2
-
随堂小测
3.求下列函数的定义域和值域：
(1) (2).
解:(1)依题意得
所以
所以函数的定义域是{|，}.
由正切函数的值域可知该函数的值域是（∞，＋∞）.
随堂小测
(2)依题意得≥0,所以≤
结合的图象可知，
在（，）上，满足≤的角应满足≤,
所以函数的定义域为
{| ≤},其值域为［0，+∞）.
方法提炼
1.求正切函数定义域的方法
(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求，还要保证正切函数有意义，即
(2)求正切函数的定义域时，要将“”视为一个“整体”.令，解得.
方法提炼
2.解形如的不等式的步骤
作图象
作在(-,)上的正切函数图象
求界点
求范围
写出解集
求在(-,)上使成立的的值
求在，上使成立的的范围
根据正切函数的周期性，写出解集
随堂小测
4.若的周期为1，则（ ）
A.- B.- C. D.
依题意,，，
所以
D
方法提炼
函数周期的求解方法
(1)定义法.
(2)公式法：对于函数，它的最小正周期.
(3)观察法（或图象法）：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现.
随堂小测
5. 判断下列函数的奇偶性：
①②.
解：①定义域为{|},关于原点对称，
又
所以它是偶函数.
②定义域为{|},关于原点对称，
,
又，
所以它是奇函数.
随堂小测
6.求函数的单调递减区间.
解：函数=-的单调递减区间，即为的单调递增区间.
令＜＜，，解得＜＜，
可得函数的单调递增区间为（，）(),
所以函数的单调递减区间为（，）()
课堂总结
解析式
图象
定义域 {|}
值域 R
周期
奇偶性 奇函数
单调性 在每个区间(-)()上都单调递增
0
-
-
IIIIIIIIIII
2
-
-2
-

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