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(共21张PPT)
5.5.1 课时3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
学习目标
1.能用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式
2.能利用二倍角公式进行求值、化简、证明
3.熟悉二倍角公式的常见变形，并能灵活应用.
复习回顾
以公式为基础，我们已经得到六个和(差)角公式：
C()
探究
你能利用推导出的公式吗？
()
()
()
新课学习
如果要求二倍角的余弦公式仅含的正弦(余弦)，那么又可得到：
以上这些公式都叫做倍角公式，倍角公式给出了任意角的三角函数与2的三角函数之间的关系.
专指“二倍角”
归纳
从和（差）角公式、倍角公式的推导过程可以发现，这些公式存在紧密的逻辑联系，请你进行归纳总结.
例题剖析
例1 已知,求的值。
分析：已知条件给出了2的正弦函数值，由于4是2的二倍角，因此可以考虑用倍角公式.
解：由，得
又所以
于是
例题剖析
“倍”是描述两个数量之间关系的，2是的二倍，42的二倍，的二倍，这里蕴含着换元思想.
.
例题剖析
例2 在中，求的值.
2A+2B与A,B之间能构成怎样的关系？
？
解法1：在中，
由得
所以，
.
又，所以
于是.
例题剖析
解法2：在中，
由得
所以
又，所以，
所以
.
例题剖析
随堂小测
1. 判断正误：
（1）二倍角的正弦、余弦公式的适用范围是任意角. ( )
（2）存在角，使得. （ ）
（3）对于任意角，都不成立. ( )
（4）对于任意角，总有. （ ）
√
×
×
2. 下列各式中，值为的是 （ ）
A. B.
C. D.
√
A
随堂小测
3. 化简求值：
（1）； （2） ；
（3）1-2； （4）.
（5）； （6）
解：（1）原式()().
（2）原式
.
随堂小测
（3）因为，所以
.
（4）原式
.
（5）原式
随堂小测
（6）原式
几个非特殊角的三角函数式相乘，一般逆用二倍角的正弦公式，常利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
随堂小测
4. 已知，求.
解：由，
,
整理得,所以,
故
5. 已知，0＜＜，求的值.
随堂小测
解：
∵0＜＜,∴.
∵
∴,
∴原式
方法提炼
当遇到这样的角时，可以利用互余的关系和诱导公式，将条件与结论沟通，巧妙地建立等量关系，从而求值.
.
类似的变换还有：
.
.
.
6. 求证：.
随堂小测
证明：左边=
右边
∴.
方法提炼
证明三角恒等式的一般步骤
（1）观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异.
（2）本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.
课堂总结
简记符号 公式
变形(共19张PPT)
5.5.1 课时1 两角差的余弦公式
学习目标
1.了解两角差的余弦公式的推导过程，理解导出公式的主要步骤.
2.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算.
复习回顾
=，
-，
=-.
=-，
-，
=-.
=-，
，
=-.
=，
，
=
-
利用诱导公式对三角函数进行恒等变形，可以达到化简、求值或证明的目的.
诱导公式一 ~ 六
三角恒等变换
想一想：如果把上面的特殊角换成任意角，和(或差)的三角函数与的三角函数会有什么关系呢？
例如： ？
引入新课
=，
-，
=-.
=-，
-，
=-.
=-，
，
=-.
=，
，
=
-
探究
如果已知任意角的正弦、余弦，能由此推出的正弦、余弦吗？
A(1,0)
A1
P1
P
终边
终边
终边
的终边分别与单位圆交于
.
连接把扇形绕着旋转角，则分别与重合.所以
⌒
P1
⌒
=
所以.
（1）若
借助两点间的距离公式你能完成推导吗？
新课学习
由两点间的距离公式得
化简得
=
（2）若，则左边=右边=故上式仍然成立.
所以，对任意角有
（C）
新课学习
对于公式C的三点说明
（1）公式的结构特点：
左边是差角的余弦，右边是含有同名函数之积的和式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式.
（2）公式的适用条件：
公式中的不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”.
（3）公式的“活”用：
公式的运用要“活”，体现在顺用、逆用、变用.
例题剖析
例1 利用公式证明：
（1） （2）
证明：（1）
=
=0+1
=.
证明：（2）
=
=(-1)
=.
例题剖析
例2 已知,,是第三象限角，
求的值.
解：由,，得
=
又,是第三象限角，得
.
例题剖析
所以
=
.
随堂小测
1.判断正误：
（1）. ( )
（2任意实数都不成立.( )
（3）实数
成立. ( )
（4） ( )
×
√
×
×
随堂小测
2.等于 （ ）
A.1 B. C. D.
3.是 （ ）
A. B. C. D.
4.若则
D
D
+
随堂小测
5.求下列各式的值：
（1）
（2）
（3）.
解：（1）
=
=
=0
随堂小测
（2）
=[()]
=
=.
（3）
=
=
=
方法提炼
运用两角差的余弦公式求值的关注点
1、运用两角差的余弦公式解决问题要深刻理解公式的特征，切记死记.
2、在逆用两角差的余弦公式解题时，要善于进行角的变形，使之符合公式特征.
3、在逆用公式解题时，还要善于将特殊的值变形为某特殊角的三角函数值.
随堂小测
6. 已知,且,,求的值.
解：由，.
又，，
∴,
∴[()-]
.
方法提炼
给值求值问题的解题策略
1、已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角.
2、由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角.常见角的变换有：
①②-；
③22
随堂小测
7. 已知均为锐角,且,,求的值.
解：由，且,
所以，,所以，
∴,
由于0＜＜，0＜＜，故又，
∴，所以=.
课堂总结
A(1,0)
A1
P1
P
终边
终边
终边
圆的旋转对称性
与两点间的距离公式(共26张PPT)
5.5.1 课时2 两角和与差的正弦、
余弦、正切公式
学习目标
1.掌握两角差的余弦公式的推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式.
2.会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.
3.熟记两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用，
了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法.
复习回顾
对于任意角都有
此公式称为两角差的余弦公式，简记作
两角差的余弦公式：
思考:
由公式你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？
？
与之间的联系：
=
[]
于是得到了两角和的余弦公式，简记作.
(
探究1
上面得到了两角和与差的余弦公式.我们知道，用诱导公式五(或六)可以实现正弦、余弦的互化.你能根据及诱导公式五(或六)，推导出用任意角的正弦、余弦表示
[]
=，
，
=
-
新课学习
通过推导，可以得到：
（
（
探究2:
你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从出发，推导出任意角的正切表示？
==
==
）
）
和角公式: .
.
新课学习
()
()
=，
.
探究3:
和（差）角公式中，都是任意角.如果令为某些特殊角，就能得到许多有用的公式.你能从和（差）角公式出发推导出诱导公式吗 你还能得到哪些等式？
令,由和角公式可推导出诱导公式一；
令,由和角公式可推导出诱导公式二、六；
令,由差角公式可推导出诱导公式三；
令,由差角公式可推导出诱导公式四、五；
当时，能得到等.
例题剖析
例1 已知四象限角，求，，
的值.
解：由四象限角得，
∴,
,所以.
,
.
思考
由以上解答可以看到，在本题条件下有
任意角若成立，你会用几种方法予以证明？
？
对于任意角，等式成立.
方法一
[]
.
方法二
=()
=(),
∴
例题剖析
例2 利用和（差）公式计算下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3).
分析：和、差角公式把的三角函数式转化成了的三角函数式.如果反过来，从右到左使用公式，就可以将上述三角函数式化简.
(1)；
例题剖析
解：由公式(),得
.
(2)
解：由公式(),得
.
例题剖析
解：由公式()及，得
=
=
.
(3)
方法提炼
1.两角和与差的正弦公式的一般使用方法
（1）正用，即把从左向右展开.
（2）逆用，即公式的右边化简成左边的形式，当结构不具备条件时，要用相关公式调节后再逆用.
（3）变形应用，它涉及两个方面：一是公式本身的变形；二是角的变形，也称为角的拆分变换，如2.
（
（
方法提炼
2.两角和与差的正切公式的常用变形
（1）.
（2）.
（3）1.
（4）.
（5）.
()
()
=，
.
随堂小测
1.判断正误：
（1）两角和与差的正弦、余弦公式中的角是任意的. ( )
（2）存在，使得成立. （ ）
（3）对于任意，都不成立. ( )
（4）存在，使成立. ( )
（5）对任意，都成立. （ ）
（6）等价于. ( )
√
×
×
√
√
√
随堂小测
2.求下列各式的值：
(1)
(2)
(3).
解：(1)原式
=
=
=
=
随堂小测
(2)原式[]
[]
.
(3)因为,
所以
，
所以原式+
随堂小测
3. 化简求值：
（1）
（2）
（3）.
解：（1）原式
随堂小测
（2）原式
（3）原式
方法提炼
解决给角求值问题的策略
（1）对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行局部的变形.
（2）一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式.
随堂小测
4、已知是锐角，且，的值.
解：由是锐角得
∵是锐角，∴0＜＜
∴
∴
方法提炼
给值（式）求值的策略
（1）直接法：当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.
（2）常值代换：用某些三角函数代替某些常数，其中特别注意“1”的代换，如1,1，等.
（3）当“已知角”有一个时，应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
（4）整体意识：若化简的式子中出现了“”及“”两个整体，常考虑的变形公式.
随堂小测
5、已知且，求.
解：∵
∴，,,
∴
由得.
课堂总结
名称 简记符号 公式 使用条件
两角差的余弦 C()
两角和的余弦 C()
两角和的正弦 S()
两角差的正弦 S()
两角和的正切 T()
两角差的正切 T()

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