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(共22张PPT)
5.5.2 课时2 辅助角公式及其应用
学习目标
1.会利用辅助角公式化简，并能用来解决有关周期、最值等问题.
2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用.
(1)
(2)
(3)
(4)
(1)
(2)
(3)
(4)
复习回顾
半角公式
积化和差公式
和差化积公式
复习回顾
两角和与差的正弦、余弦公式:
三角函数式展开可化为
例题剖析
例1 求下列函数的周期，最大值和最小值：
(1)(2)
解：(1)
你能说说这一步变形的理由吗？
？
=
=
因此，所求周期为最大值为，最小值为.
例题剖析
(2)设
于是
于是
所以
取则.
由可知，所求周期为
最大值为，最小值为.
(2)
思考

？
=
提常数
(其中,)
定角度
=
其中
逆用公式
辅助角公式
例题剖析
例2 化简：
（1）；（2）；
（3）； （4）.
解：(1)原式=6
=6()
=6
(2)原式=
=
=
(3)原式=
=
=2
例题剖析
(4)原式=
=
=
（3）； （4）.
例题剖析
例3 如图，在扇形中，半径，圆心角∠，C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形．记，求当角取何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大面积．
A
B
C
D
O
Q
P
α
分析：可先建立矩形的面积S与之间的函数关系S=,再求函数S=的最大值.
解：在中，
在中，.
所以,
.
A
B
C
D
O
Q
P
α
例题剖析
设矩形的面积为,则
.
由0＜，得，
所以当=，即时，
S最大=
因此，当时，矩形的面积最大，最大面积为.
随堂小测
1、(多选)已知函数，下列说法正确的是（ ）
A.的最小正周期为2
B.的最大值为
C.在区间[，]上单调递减
D.为的一个零点
ACD
随堂小测
2、求下列函数的周期，最大值和最小值：
(1)； (2)
解：(1)
其中
所以函数的周期为2，最大值为13，最小值为
(2)
其中
所以函数的周期为2，最大值为，最小值为
随堂小测
3、要在半径为的圆形场地内建一个矩形的花坛，应怎样截取，才能使花坛的面积最大？
A
B
C
D
解：,设∠，
故，
∴S花坛
当时，=1，S花坛max=2
此时.
随堂小测
4、如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取才能使的周长最大？
解：设∠，的周长为，
则
∴
∵0＜，∴，
∴的最大值为
此时，，
即当∠时，的周长最大。
O
方法提炼
应用三角函数解决实际问题的方法及注意点
方法 解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解
注意点 ①充分借助平面几何性质，寻找数量关系
②注意实际问题中变量的范围
③重视三角函数值的取值范围的影响
随堂小测
5、已知函数
(1)求函数的最小正周期与单调递减区间；
(2)若
解：函数
(1)函数的最小正周期为
随堂小测
令
解得
所以的单调递减区间为[，]，
(2)若，
即，
再由；
所以，解得.
方法提炼
应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤
运用和、差、倍角公式化简
统一化成的形式
利用辅助角公式形式，研究其性质
随堂小测
6、已知函数
(1)求函数的最小正周期和对称中心；
(2)求函数的单调递减区间；
(3)
解：
(1)的最小正周期为
由得
(2)由，可得
∴的单调递减区间为
随堂小测
(3)当，，，
∴，最大值为.
课堂总结
辅助角公式
：①与点()同象限；
②,(共22张PPT)
5.5.2 课时1 半角公式与积化
和差、和差化积公式
学习目标
1. 能用二倍角的正弦、余弦、正切公式推导出积化和差、和差化积、半角公式.
2. 能用两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换.
复习回顾
两角和与差的正弦、余弦、正切公式:
倍角公式:
学习了和(差)角公式、二倍角公式以后，我们就有了进行三角恒等变换的新工具，从而使三角恒等变换的内容、思路和方法更加丰富.
例1 试以表示.
例题剖析
与有什么关系？
？
解：是的二倍角.在倍角公式中，
以代替，以代替，得：
，
∴.
①
在倍角公式中，
以代替，以代替，得：
，
∴.
②
将①②两个等式的左右两边分别相除，得：
例题剖析
例1的结果还可以表示为：
，
cos，
.
上述称之为半角公式，符号由所在象限决定.
∴.
①
∴.
②
新课学习
对半角公式的理解
（1）半角公式的正弦、余弦公式是由二倍角公式变形得到的.
（2）半角公式给出了求的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需要知道的值及相应的条件，便可求出.
因为不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会存在所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，所以进行三角恒等变换时，常常要先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择适当的公式.这是三角恒等变换的一个重要特点.
新课学习
例题剖析
例2 求证：
（1） sincos[sin(+)+sin()]
（2）
这两个式子的左右两边在结构形式上有什么不同？
？
（1）证明:因为
，
，
将以上两式的左右两边分别相加，得
+=2
即 sincos[sin(+)+sin()].
化归思想
（2）证明:由(1)得
+=2. ①
设那么，
把的值代入①，即得
.
例题剖析
换元法
（2）
如果不用（1）的结果，如何证明？
？
证明：左边
= 右边.
（2）
例题剖析
新课学习
1.积化和差公式：
(1)
(2)
(3)
(4)
新课学习
2.和差化积公式：
(1)
(2)
(3)
(4)
随堂小测
1、判断正误：
（1）存在，使得. ( )
（2）对于任意，都不成立. （ ）
（3）若是第一象限角，则. ( )
√
×
2、若（ ）
A. B.- C. D.
√
A
随堂小测
3、求证：.
证明：因为
又
所以.
随堂小测
4、已知，求的值.
解：由得.
∴，
=，
=
随堂小测
5、化简：.
解：原式
因为，所以，所以＜0.
所以原式.
方法提炼
利用半角公式求值的思路
（1）看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的二倍，则求解时常常借助半角公式来求解.
（2）明范围：半角公式涉及符号问题，求解时务必根据角的范围，求出半角的范围.
（3）选公式：涉及半角公式的正切时，常用；涉及正弦时，常利用，计算.
（4）下结论：结合（2）求值.
化简三角函数式的基本思路
1. 常用方法：
异名函数化为同名函数、异角化同角、异次化同次，切弦互化，特殊角的三角函数与特殊值的互化等.
2. 最后结果应满足以下几点：
①能求值尽量求值；②三角函数名称尽量少；③项数尽量少；④次数尽量低；⑤分母、根号下尽量不含三角函数.
方法提炼
随堂小测
6.（1）求证：
（2）求证：
（1）证明:左边
=
=2
=右边
∴
课堂总结
(2)左边
右边.
方法提炼
三角恒等式证明的五种常用方法
执因索果法 证明的形式一般化繁为简
左右归一法 证明左右两边都等于同一个式子
拼凑法 针对题设和结论之间的差异，有针对性的变形，以消除它们之间的差异，即化异求同
比较法 设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1”
分析法 从被证明的等式出发，逐步探求使等式成立的条件，一直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立
半角公式
积化和差公式
(1)
(2)
(3)
(4)
(1)
(2)
(3)
(4)
和差化积公式
课堂总结

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