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(共23张PPT)
第二单元　方程与不等式
第五讲　一次方程(组)
(5年4考,3~4分)
知识清单 主干回顾
高频考点·疑难突破
知识清单 主干回顾
知识要点
1.等式的性质
等式的性质1:如果a=b,那么a±c=_________;
等式的性质2:如果a=b,那么ac=_______;
如果a=b,那么=_____(c≠0).
　b±c　
　bc　
　
1.根据等式的性质,下列各式变形正确的是( )
A.若=,则a=b
B.若ac=bc,则a=b
C.若a2=b2,则a=b
D.若-x=6,则x=-2
对点练习
A
2.一元一次方程及其解法
(1)定义:含有__________未知数,且未知数的_____________,等号两边都是
__________的方程.
(2)一元一次方程的解:能使一元一次方程左右两边__________的未知数的值.
(3)解一元一次方程的步骤:去分母、____________、__________、___________
______、系数化为1.
知识要点
　一个　
　次数为1　
　整式　
　相等　
　去括号　
　移项　
　合并同类
项　
2.(1)在下列方程:①3x-y=2,②x2-2x-3=0,③=1,④=1,⑤m-5=m中,一元一次方程的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
(2)方程3(x+3)=6的解是_________.
对点练习
B
　x=-1　
3.二元一次方程组及其解法
(1)定义:含有________个未知数,并且含有________________的次数都是1的
________方程叫做二元一次方程.把具有相同未知数的两个二元一次方程组合在一起叫做二元一次方程组.
(2)二元一次方程组的解:能够使方程组的每个方程都成立的未知数的值.
(3)解二元一次方程组的思想:__________.
(4)解法:①__________消元法.
②__________消元法.
知识要点
　两　
　未知数的项　
整式
　消元　
　代入　
　加减　
3.(1)下列方程中,是二元一次方程的是( )
A.3x+2y=7 B.3x3-2x=1
C.x-2=3 D.x-1=
(2)已知二元一次方程组则x-y的值为_______.
(3)解方程组:
【解析】
对点练习
A
　1　
高频考点·疑难突破
【考点一】一次方程(组)的解法及解的运用
一题多问·多题归一
例1　已知方程3x+ay=12.
问题1　当a=3,y=6时,原方程的解为_________.
问题2　若方程有一个解是则a=_______.
　x=-2　
　3　
【提分要点】
已知一次方程(组)的解,求方程(组)中字母的值的两种方法
(1)代入法:当已知方程(组)的解时,把解代入方程(组),得到新的方程(组),再解新的方程(组),从而求出字母的值.
(2)整体法:根据方程(组)中的未知数的系数特点,利用整体思想求某些字母的值.
问题3　当a=1时,求方程3x+ay=12和二元一次方程x-y=-4组成的方程组的解.
【解析】方程组为,
①+②,得4x=8,解得x=2.
把x=2代入①,得y=6.
∴方程组的解为
问题4　当a=5时,求方程3x+ay=12和二元一次方程x+2y=5组成的方程组的解.
【解析】方程组为,
方法一:②×3-①,得y=3.
把y=3代入②,得x=-1.
∴方程组的解为.
方法二:①×2-②×5,得x=-1.
把x=-1代入②,得y=3.
∴方程组的解为
【提分要点】
解二元一次方程组方法的选择
(1)当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时,选用代入消元法较合适.
(2)当方程组中某一个方程的常数项为0时,选用代入消元法较合适.
(3)当两个方程中同一个未知数的系数相同或互为相反数时,选用加减消元法较合适.
(4)当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时,选用加减消元法较合适.
【考点二】一次方程(组)的应用
例2　(2025·昆明三模)为拓宽学生视野,某中学组织七、八年级学生开展研学活动,已知该中学租用甲、乙两种不同型号的客车共15辆,租用1辆甲型客车需300元,1辆乙型客车需200元,租车费用共需3 500元,问甲、乙两种型号客车各租了多少辆
【解析】设租用甲型客车x辆,乙型客车y辆,根据题意,得
解得
答:租用甲型客车5辆,乙型客车10辆.
【易错警示】列方程时的三个注意点
(1)设未知数时,单位要写清楚.
(2)列方程时,方程两边所表示的量应该相同,并且各项的单位要一致.
(3)对于求得的解,还要检验其是否符合实际意义.
例3　(2025·江西中考)某文物考古研究院用1∶1复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验.用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒,需要的原材料与出酒率(出酒率=×100%)如表:
类别 原材料 出酒率
粮食酒 粮食糟醅(含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水) 30%
芋头酒 芋头糟醅(含芋头、小曲和蒸馏水) 20%
如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16 kg;第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36 kg,且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍,芋头糟醅量是第一次的3倍.
(1)求第一次实验分别用了多少千克粮食糟醅和芋头糟醅
(2)受限于当时的生产条件,古代青铜蒸馏器的出酒量约为现代复原品的80%.若粮食糟醅中大米占比约为,请问:在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量,需要准备多少千克大米
【解析】(1)设第一次实验用了x kg粮食糟醅,y kg芋头糟醅,
根据题意得:
解得
答:第一次实验用了40 kg粮食糟醅,20 kg芋头糟醅.
(2)设需要准备m kg大米,
根据题意得: (m÷)×30%×80%=(40+40×2)×30%,
解得m=37.5.
答:需要准备37.5 kg大米.
【变式1】(2025·山东中考)明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题,大意是:有3个头、6只手的哪吒若干,有1个头、8只手的夜叉若干,两方交战,共有36个头、108只手.问哪吒、夜叉各有多少 设哪吒有x个,夜叉有y个,则根据条件所列方程组为( )
A. B.
C. D.
D
【变式2】(2025·烟台中考)某商场打折销售一款风扇,若按标价的六折出售,则每台风扇亏损10元;若按标价的九折出售,则每台风扇盈利95元.这款风扇每台的标价为( )
A.350元 B.320元 C.270元 D.220元
【变式3】(2025·陕西中考)草莓熟了,学校组织同学们参加劳动实践,帮助果农采摘草莓.小康和小悦采摘的时长相同,采摘结束后,小康采摘的草莓比小悦多2.4 kg.已知小康平均每小时采摘6 kg,小悦平均每小时采摘4 kg,小康采摘的时长是
________小时.
A
　1.2　
【提分要点】
常见应用题类型及基本数量关系
常见类型 基本数量关系
行程问题 (路程=速度×时间) 相遇 问题 甲走的路程+乙走的路程=两地距离
追及 问题 同地不同时出发:前者走的路程=追者走的路程;
同时不同地出发:前者走的路程+两地距离=追者走的路程
航行 问题 顺水速度=静水速度+水流速度;
逆水速度=静水速度-水流速度
常见类型 基本数量关系
工程 问题 工作总量=工作效率×工作时间;各部分工作量之和=1
销售 问题 售价=标价×折扣;销售额=售价×销量;利润=售价-进价;利润=进价×利润率
本课结束(共21张PPT)
第六讲　分式方程
(5年5考,3~7分)
知识清单 主干回顾
云南5年真题
高频考点·疑难突破
知识清单 主干回顾
知识要点
1.分式方程的定义及解法
(1)定义:__________中含有未知数的方程.
(2)解法:
①基本思想:将分式方程转化为__________方程.
②方法:去分母,即方程两边同乘________________.
③解分式方程时,求出的未知数的值,可能会使分式无意义,因此,解分式方程必须检验.
　分母　
　整式　
　最简公分母　
1.(1)分式方程=的解是( )
A.x=1　　　　　 B.x=-1
C.x=3 D.x=-3
(2)代数式与代数式的值相等,则x=_______.
对点练习
D
　7　
2.列分式方程解应用题
与列一元一次方程解应用题相同,基本步骤是审题、设未知数、列方程、解方程、检验并作答.
知识要点
2.将5 kg浓度为98%的酒精,稀释为75%的酒精.设需要加水x kg,根据题意可列方程为( )
A.0.98×5=0.75x　　　
B.=0.75
C.0.75×5=0.98x
D.=0.98
对点练习
B
云南5年真题
1.(2023·云南中考)阅读,正如一束阳光,孩子们无论在哪儿,都可以感受到阳光的照耀,都可以通过阅读触及更广阔的世界.某区教育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动.甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发,参加分享活动.甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍,乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点.若设乙同学的速度是x米/分,则下列方程正确的是( )
A.-=4　　 B.-=4
C.-=4 D.-=4
D
2.(2022·云南中考)某地开展建设绿色家园活动,活动期间,计划每天种植相同数量的树木.该活动开始后,实际每天比原计划每天多植树50棵,实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同.设实际每天植树x棵,则下列方程正确的是( )
A.= B.=
C.= D.=
B
3.(2025·云南中考)某化工厂采用机器人A,机器人B搬运化工原料,机器人A比机器人B每小时少搬运20千克,机器人A搬运800千克所用时间与机器人B搬运
1 000千克所用时间相等.求机器人A,机器人B每小时分别搬运多少千克化工原料
【解析】设机器人A每小时搬运x千克化工原料,则机器人B每小时搬运(x+20)千克化工原料,
根据题意,得=,解得x=80,
经检验,x=80是所列方程的解,且符合题意,
∴x+20=80+20=100(千克).
答:机器人A每小时搬运80千克化工原料,机器人B每小时搬运100千克化工原料.
4.(2024·云南中考)某旅行社组织游客从A地到B地的航天科技馆参观,已知A地到B地的路程为300千米,乘坐C型车比乘坐D型车少用2小时,C型车的平均速度是D型车的平均速度的3倍,求D型车的平均速度.
【解析】设D型车的平均速度是x千米/时,则C型车的平均速度是3x千米/时,
根据题意得:-=2,
解得x=100,
经检验,x=100是所列方程的解,且符合题意.
答:D型车的平均速度是100千米/时.
高频考点·疑难突破
【考点一】分式方程的解法及解的应用
一题多问·多题归一
例1　已知分式方程+1=(a为常数且a≠0).
问题1　若x=1是分式方程的解,求a的值.
【解析】把x=1代入分式方程+1=,得+1=,解得a=3.
【提分要点】
已知分式方程的解,求未知字母的值,一般采用代入法.
问题2　当a=4时,求分式方程的解.
【解析】当a=4时,分式方程为+1=,去分母,得x-3+x-2=-4,移项,得2x=-4+2+3,合并同类项,得2x=1,系数化为1,得x=.
检验,当x=时,x-2=-≠0,
∴原分式方程的解为x=.
【易错警示】去分母时切记要给常数项或整式乘最简公分母,且验根是解分式方程必不可少的步骤.
问题3　若分式方程无解,求a的值.
【解析】去分母,得x-3+x-2=-a,
解得a=5-2x.
∵分式方程+1=无解,则x=2.
把x=2代入a=5-2x,解得a=1.
【问题3变式1】关于x的分式方程-=1有增根,则m的值为( )
A.2 B.1 C.3 D.-3
D
【提分要点】
已知方程有增根求系数的步骤
(1)确定原分式方程的公分母;
(2)令公分母为0,求出x的值;
(3)将原分式方程转化为整式方程;
(4)将步骤(2)中x的值代入整式方程中求出系数的值.
【问题3变式2】(变换条件和结论)若关于x的分式方程+=2m无解,则m的值为________.
【易错警示】分式方程的增根与无解并非同一个概念,分式方程无解,可能是解为增根,也可能是去分母后的整式方程无解;分式方程的增根不仅是去分母后的整式方程的根,也是使分式方程的分母为0的根.
或1　
问题4　若分式方程的解为正数,求a的取值范围.
【解析】去分母,得x-3+x-2=-a.解得x=.因为分式方程的解为正数,则>0,解得a<5.
又∵x≠2,则≠2,解得a≠1.
∴a的取值范围是a<5且a≠1.
【提分要点】
根据方程的解的性质讨论字母的取值,其解题策略是化分式方程为整式方程,用含有字母的代数式表示方程的解,根据题意列不等式求出字母的取值范围,注意考虑满足分母不等于零的限制条件.
【考点二】分式方程的应用
例2　(2025·山西中考)我国自主研发的HGCZ-2000型快速换轨车,采用先进的自动化技术,能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务.一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍,它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时.求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里
【解析】设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里.
根据题意,得-=22.
解得x=2.
经检验,x=2是原方程的解,且符合题意.
答:一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里.
例3　(2024·威海中考)某公司为节能环保,安装了一批A型节能灯,一年用电16 000千瓦时.后购进一批相同数量的B型节能灯,一年用电9 600千瓦时.一盏A型节能灯每年的用电量比一盏B型节能灯每年用电量的2倍少32千瓦时.求一盏A型节能灯每年的用电量.
【解析】设一盏B型节能灯每年的用电量为x千瓦时,则一盏A型节能灯每年的用电量为(2x-32)千瓦时,
根据题意,得=,解得x=96,
经检验,x=96是所列方程的解,且符合题意,
∴2x-32=2×96-32=160(千瓦时).
答:一盏A型节能灯每年的用电量为160千瓦时.
例4　(2025·怒江州模拟)云南某茶园引入自动化采茶设备,原计划每天采摘固定数量的鲜叶,启用新设备后,实际每天采摘量比原计划多300 kg.实际完成2 200 kg采摘任务所需时间与原计划完成1 000 kg采摘任务所需时间相等.求实际每天采摘鲜叶多少千克
【解析】设实际每天采摘鲜叶x kg,则原计划每天采摘鲜叶(x-300)kg,
根据题意,得=,解得x=550,
经检验,x=550是分式方程的解.
答:实际每天采摘鲜叶550 kg.
【提分要点】
工程问题中常用的关系式:=工作时间,特别地,有时工作总量可以看作整体“1”,这时,=工作效率.
【易错警示】列分式方程解应用题必须验根,既要检验是否为分式方程的根,又要验证是否符合实际意义.
本课结束(共32张PPT)
第七讲　一元二次方程(5年8考,2~6分)
知识清单 主干回顾
云南5年真题
高频考点·疑难突破
知识清单 主干回顾
知识要点
1.一元二次方程的概念
(1)定义:只含有_______个未知数,并且未知数的最高次数是_______的整式方程.
(2)一般形式:____________________.
1.下列方程中是一元二次方程的是( )　　　　　
A.(x-2)2+4=x2　　 B.x2+2x+2=0
C.x2+-3=0 D.xy+2=1
对点练习
B
　1　
　2　
　ax2+bx+c=0(a≠0)　
2.一元二次方程的解法
知识要点
解法 形式 方程的根
直接开平方法 x2=p(p≥0) x=__________
(mx+n)2=p(p≥0,m≠0) x=_______
配方法 (x-m)2=n(n≥0) x=___________
公式法 ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0) x=
因式分解法 (x-x1)(x-x2)=0 x=_______
　±　

　m±　
x1或x2
2.(教材再开发·人教九上P7例1改编)一元二次方程x2+4x-8=0的解是( )
A.x1=2+2,x2=2-2
B.x1=2+2,x2=2-2
C.x1=-2+2,x2=-2-2
D.x1=-2+2,x2=-2-2
对点练习
D
3.根的判别式与一元二次方程的根的情况
(1)Δ=b2-4ac>0 方程______________的实数根.
(2)Δ=b2-4ac=0 方程________________的实数根.
(3)Δ=b2-4ac<0 方程__________实数根.
知识要点
有两个不相等
　有两个相等　
　没有　
3.(教材再开发·人教九上P17T4变式)下列一元二次方程无实数根的是( )
A.x2+x-2=0 B.x2-2x=0
C.x2+x+5=0 D.x2-2x+1=0
对点练习
C
4.根与系数的关系
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=_______, x1·x2= .
知识要点
4.已知实数x1,x2是方程x2+x-1=0的两根,则x1x2=_______.
对点练习
　-　
　
　-1　
5.一元二次方程的应用
常考类型及公式:
(1)面积问题:S矩形=长×宽,S△=×底×高;
(2)增长率问题:原量×(1+x)2=新量;
(3)互赠、握手、比赛赛制问题:
x人互赠:x(x-1),x人两两握手:x(x-1);
单循环赛:n支球队,总比赛次数为;
双循环赛:n支球队,总比赛次数为n(n-1).
(4)营销问题:总利润=一件利润×销售量.
知识要点
5.某电动自行车厂四月份的产量为1 000辆,由于市场需求量不断增大,六月份的产量提高到1 210辆,则该厂五、六月份的月平均增长率为( )
A.10% B.11%
C.12.1% D.21%
对点练习
A
云南5年真题
1.(2025·云南中考)某书店今年3月份盈利6 000元,5月份盈利6 200元.设该书店每月盈利的平均增长率为x.根据题意,下列方程正确的是( )
A.6 000(1+x)2=6 200
B.6 000(1-x)2=6 200
C.6 000(1+2x)=6 200
D.6 000x2=6 200
A
2.(2024·云南中考)两年前生产1千克甲种药品的成本为80元,随着生产技术的进步,现在生产1千克甲种药品的成本为60元.设甲种药品成本的年平均下降率为x,根据题意,下列方程正确的是( )
A.80(1-x2)=60　　　 B.80(1-x)2=60
C.80(1-x)=60 D.80(1-2x)=60
3.(2021·云南中考)若一元二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围是( )
A.a<1 B.a≤1
C.a≤1且a≠0 D.a<1且a≠0
B
D
4.(2024·云南中考)若一元二次方程x2-2x+c=0无实数根,则实数c的取值范围为
_________.
5.(2022·云南中考)方程2x2+1=3x的解为______________.
　c>1　
　x1=1,x2=　
高频考点·疑难突破
【考点一】一元二次方程的解法及根的判别式
一题多问·多题归一
例1　已知关于x的方程(k-3)x2-3x+2=0,请回答下列问题:
问题1　若方程是一元二次方程,则k的取值范围为_________.
【提分要点】若方程的二次项系数含有字母,则必须注意只有当这个字母的取值使二次项系数不为0时,该方程才是一元二次方程.
　k≠3　
问题2　当k=4时,请用三种方法解一元二次方程.
【解析】当k=4时,原方程为x2-3x+2=0.
(1)公式法:b2-4ac=(-3)2-4×1×2=9-8=1,∴x===,∴x1=2,x2=1.
(2)配方法:x2-3x+2=0,x2-3x=-2,
∴x2-3x+=-2+,∴=,
∴x-=±=±,∴x1=2,x2=1.
(3)因式分解法:因式分解得(x-1)(x-2)=0,
∴x-1=0或x-2=0,∴x1=1,x2=2.
【特别提醒】
配方时易出现的错误
(1)移项忘记变号.
(2)系数化为1时漏项.
(3)方程两边没有同时加上一次项系数一半的平方.
问题3　若关于x的一元二次方程(k-3)x2-3x+2=0的一个根为2,则k的值为_______.
【提分要点】若已知方程的一根,求代数式或待定系数的值时,则可根据一元二次方程的根的定义,把根代入原方程,得到一个关于某个字母的方程,通过方程求代数式的值或解方程求字母的值.
　4　
问题4　若关于x的一元二次方程(k-3)x2-3x+2=0有实数根,求k的取值范围.
【解析】∵一元二次方程有实数根,
∴
解得k≤且k≠3.
【提分要点】根据一元二次方程有实数根的情况列出方程或不等式,解方程或不等式求出字母的值或取值范围.
(1)若二次项系数中含有字母,则要加上二次项系数不为零这个限制条件.
(2)若未指明方程类型,则需分情况讨论.
问题5　若关于x的方程(k-3)x2-3x+2=0有实数根,求k的取值范围.
【解析】当k-3=0,即k=3时,方程为-3x+2=0,解得x=.方程有解满足题意.
当k-3≠0,即k≠3时,方程为一元二次方程(k-3)x2-3x+2=0,此方程有实数根,则(-3)2-4×2×(k-3)≥0,解得k≤.
综上所述,k的取值范围是k≤.
问题6　若关于x的一元二次方程(k-3)x2-3x+2=0无实数根,则k的取值范围是
_________.
　k>　
【考点二】一元二次方程的应用
例2　(面积问题)(2025·威海中考)如图,某校有一块长20 m、宽14 m的矩形种植园.为了方便耕作管理,在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路(图中阴影部分).小路把种植园分成面积均为24 m2的9个矩形地块,请你求出小路的宽度.
【解析】设小路的宽度为x m,则9块矩形地块可合成长为(20-4x) m,宽为(14-4x) m的矩形,
根据题意,得(20-4x)(14-4x)=24×9,
整理,得2x2-17x+8=0,
解得x1=,x2=8(不符合题意,舍去).
答:小路的宽度为 m.
【变式1】(2025·新疆中考)如图,小明在数学综合实践活动中,利用一面墙(墙足够长)和24 m长的围栏围成一个面积为40 m2的矩形场地.设矩形的宽为x m,根据题意可列方程( )
A.x(24-2x)=40 B.x(24-x)=40
C.2x(24-2x)=40 D.2x(24-x)=40
A
【变式2】(2022·泰州中考)如图,在长为50 m、宽为38 m的矩形地面的四周修筑同样宽的道路,余下的铺上草坪.要使草坪的面积为1 260 m2,道路的宽应为多少
【解析】设道路的宽应为x m,
根据等量关系列方程得:
(50-2x)(38-2x)=1 260,
解得:x=4或40,
x=40不合题意,舍去,所以x=4.
答:道路的宽应为4 m.
【变式3】(2023·东营中考)如图,老李想用长为70 m的栅栏,再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD,并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处,另用其他材料).
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时,能围成一个面积为640 m2的羊圈
(2)羊圈的面积能达到650 m2吗 如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由.
【解析】设矩形ABCD的边AB=x m,
则边BC=70-2x+2=(72-2x)m.
(1)根据题意,得x(72-2x)=640,
化简,得x2-36x+320=0,
解得x1=16,x2=20.
当x=16时,72-2x=72-32=40;
当x=20时,72-2x=72-40=32.
答:当羊圈的长为40 m,宽为16 m或长为32 m,宽为20 m时,能围成一个面积为
640 m2的羊圈.
(2)不能,
理由:由题意得x(72-2x)=650,
化简,得x2-36x+325=0,
Δ=(-36)2-4×325=-4<0,
∴一元二次方程没有实数根.
∴羊圈的面积不能达到650 m2.
【提分要点】方程的解不仅仅要满足方程,更要符合实际.
例3　(2025·泸州中考)某超市购进甲、乙两种商品,2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元,随着生产成本的降低,甲种商品每件的进价年平均下降25元,乙种商品2024年每件的进价为80元.
(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率;
(2)2024年该超市用不超过7 800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件,求最少购进多少件甲种商品
【解析】(1)设乙种商品每件进价的年平均下降率为x,
根据题意,得125(1-x)2=80,
解得x1=0.2=20%,x2=1.8(不符合题意,舍去).
答:乙种商品每件进价的年平均下降率为20%.
(2)设购进y件甲种商品,则购进(100-y)件乙种商品,
根据题意,得(125-25×2)y+80(100-y)≤7 800,
解得y≥40,
∴y的最小值为40.
答:最少购进40件甲种商品.
【提分要点】牢记平均变化率的公式:变化后的量=基数×(1±平均变化率)n,n为变化的次数.
本课结束(共24张PPT)
第八讲　一元一次不等式(组)(5年4考,3~4分)
知识清单 主干回顾
云南5年真题
高频考点·疑难突破
知识清单 主干回顾
知识要点
1.不等式的性质
(1)性质1:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向__________.
即如果a>b,那么a±c_______b±c.
(2)性质2:不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向__________.
即如果a>b,c>0,那么ac_____bc.
(3)性质3:不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向__________.
即如果a>b,c<0,那么ac_____bc.
　不变　
　>　
　不变　
　>
　改变　
　<
1.(教材再开发·人教七下P117例1改编)若-3a>1,两边都除以-3,得( )
A.a<-　　　 B.a>-
C.a<-3 D.a>-3
对点练习
A
2.一元一次不等式组的解集的四种类型(设a知识要点
不等式组 数轴表示 解集 一般规律(口诀)
(1) _________ 同大取大
(2) _________ 同小取小
(3) ______ 大小小大中间找
(4) __________ 大大小小无解了
　x>b　
　xa　无解　
2.(教材再开发·人教七下P128例1改编)解不等式组:并把它的解集在数轴上表示出来.
【解析】不等式组的解集为-2在数轴上表示其解集如下:
对点练习
3.一元一次不等式的实际应用
(1)用不等式解决实际问题的一般步骤:
知识要点
(2)关键词:
解答不等式的实际应用问题时常见关键词与符号的对应关系:
①大于,多于,超过,高于,用_______表示;
②小于,少于,不足,低于,用_______表示;
③至少,不低于,不小于,不少于,用_______表示;
④至多,不超过,不高于,不大于,用_______表示.
　>　
　<　
　≥　
　≤　
3.某品牌衬衫进价为120元,标价为240元,商家规定可以打折销售,但其利润率不能低于20%,则这种品牌衬衫最多可以打几折 ( )　　　　　　　　
A.八 B.六
C.七 D.九
对点练习
B
云南5年真题
1.(2025·玉溪易门县一模)不等式组的解集是( )
A.x<2 B.x<3
C.x≤5 D.22.(2025·昆明三模)解不等式组:
【解析】解不等式3x≤-2(1-x),得x≤-2,
解不等式>-3,得x>-5,
∴原不等式组的解集为-5A
高频考点·疑难突破
【考点一】解一元一次不等式(组)及解集表示
一题多问·多题归一
例1　已知一元一次不等式-≤1与3(x+1)>5x-3.
问题1　解不等式:-≤1,并把解集在数轴上表示出来.
【解析】去分母,得2×(2x-1)-3×(5x+1)≤6,去括号,得4x-2-15x-3≤6,
移项,得4x-15x≤6+3+2,
合并同类项,得-11x≤11,
系数化为1,得x≥-1.
在数轴上表示不等式的解集如图:
问题2　求不等式3(x+1)>5x-3的正整数解.
【解析】去括号得:3x+3>5x-3,移项合并得2x<6,解得x<3,
则不等式的正整数解为1,2.
问题3　将不等式-≤1与3(x+1)>5x-3组成不等式组,解不等式组,并求出其整数解.
【解析】根据题意得
解-≤1得x≥-1,
解3(x+1)>5x-3得x<3,
所以不等式组的解集为-1≤x<3,
在数轴上表示为:
不等式组的整数解为-1,0,1,2.
【提分要点】
求一元一次不等式组的特殊解的两个步骤
(1)求出一元一次不等式组的解集.
(2)根据所求特殊解的要求(求整数解、正整数解、负整数解等),在不等式组的解集的范围内确定不等式组的特殊解.
问题4　若问题3中不等式组的最大整数解是不等式3x-a-4<0的一个解,则a可取的最小整数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【提分要点】
若一个数是不等式的一个解,则将其代入不等式时不等式是成立的,由此可以得出一个关于待定字母的不等式.
C
问题5　已知关于x的不等式(m-4)x<6与问题3中不等式组的非负整数解相同,则m的取值范围是___________.
问题6　若不等式组的解集是x<3,那么m的取值范围是( )
A.m>3 B.m≥3
C.m<2 D.m≤2
【提分要点】
根据不等式(组)的解集确定未知系数的值或取值范围
(1)用含字母系数的式子表示出不等式(组)的解集;
(2)根据要求列出关于字母的不等式(组),求解即可.
B
　6≤m<7　
问题7　若不等式组无解,那么m的取值范围是( )
A.m>3　 B.m≥3　 C.m<2　 D.m≤2
【提分要点】
根据不等式组解集的“口诀法”,当不等式组中的不等式解集符合“大大小小找不到”时,不等式组无解,此时要注意待定字母的取值是否包括界点数.
B
【考点二】一元一次不等式(组)的应用
例2　(2025·湖南中考)同学们准备在劳动课上制作艾草香包,需购买A,B两种香料.已知A种材料的单价比B种材料的单价多3元,且购买4件A种材料与购买6件B种材料的费用相等.
(1)求A种材料和B种材料的单价;
(2)若需购买A种材料和B种材料共50件,且总费用不超过360元,则最多能购买A种材料多少件
【解析】(1)设A种材料的单价为x元,则B种材料的单价为(x-3)元,由题意,得4x=6(x-3),解得x=9,∴x-3=6,
答:A种材料的单价为9元,B种材料的单价为6元;
(2)设购买A种材料m件,则购买B种材料(50-m)件,
由题意,得9m+6(50-m)≤360,
解得m≤20,
答:最多能购买A种材料20件.
例3　(2025·遂宁中考)为了建设美好家园,提高垃圾分类意识,某社区决定购买A,B两种型号的新型垃圾桶.现有如下材料:
材料一:已知购买3个A型号的新型垃圾桶和购买2个B型号的新型垃圾桶共380元;购买5个A型号的新型垃圾桶和购买4个B型号的新型垃圾桶共700元.
材料二:据统计该社区需购买A,B两种型号的新型垃圾桶共200个,但总费用不超过
15 300元,且B型号的新型垃圾桶数量不少于A型号的新型垃圾桶数量的.
请根据以上材料,完成下列任务:
任务一:求A,B两种型号的新型垃圾桶的单价.
任务二:有哪几种购买方案
任务三:哪种方案更省钱 最低购买费用是多少元
【解析】任务一:设A型号的新型垃圾桶的单价是x元,B型号的新型垃圾桶的单价是y元,
根据题意,得解得
答:A型号的新型垃圾桶的单价是60元,B型号的新型垃圾桶的单价是100元.
任务二:设购买m个A型号的新型垃圾桶,则购买(200-m)个B型号的新型垃圾桶,
根据题意,得
解得≤m≤120,
又∵m为正整数,∴m可以为118,119,120,∴共3种购买方案,
方案1:购买118个A型号的新型垃圾桶,82个B型号的新型垃圾桶;
方案2:购买119个A型号的新型垃圾桶,81个B型号的新型垃圾桶;
方案3:购买120个A型号的新型垃圾桶,80个B型号的新型垃圾桶.
任务三:选择方案1所需费用为60×118+100×82=15 280(元);
选择方案2所需费用为60×119+100×81=15 240(元);
选择方案3所需费用为60×120+100×80=15 200(元),∵15 280>15 240>15 200,
∴方案3:购买120个A型号的新型垃圾桶,80个B型号的新型垃圾桶更省钱,最低购买费用是15 200元.
【提分要点】
列不等式(组)解应用题的“三点注意”
(1)在设未知数和写答案时,一定要写清单位,列不等式时两边所表示的量应相同,并且单位要统一.
(2)不等关系的给出总是以“至少”“小于”“不超过”“最多”等关系词语作为标志,列不等式时一定要准确使用数学符号.
(3)检验一个解是否为应用题的解时,必须满足:
①是不等式(组)的解;
②符合实际问题的意义,如求得的人数必须是正整数等.
本课结束

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