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(共19张PPT)
第二十四讲　圆的有关计算(5年6考,2~4分)
知识清单 主干回顾
云南5年真题
高频考点·疑难突破
知识清单 主干回顾
知识要点
1.正多边形和圆
(1)定义:各边__________,各角也都__________的多边形是正多边形.
(2)正多边形和圆的关系:把一个圆___________,依次连接____________可作出圆的内接正n边形.
　相等　
　相等　
　n等分　
　各分点　
1. 如图,正五边形ABCDE内接于☉O,连接AC,则∠ACD的度数是( )
A.72°　　　　　　B.70°
C.60°　　　　　　D.45°
对点练习
A
2.圆中的弧长与扇形面积
(1)半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为l=_______.
(2)扇形面积:
①半径为R的圆中,圆心角为n°的扇形面积为S扇形= .
②半径为R,弧长为l的扇形面积为S扇形=.
知识要点
　
　
lR
2.(教材再开发·人教九上P115T1改编)(1)用一张半圆形铁皮,围成一个底面半径为4 cm的圆锥形工件的侧面(接缝忽略不计),则圆锥的母线长为( )
A.4 cm B.8 cm
C.12 cm D.16 cm
(2)已知圆心角为135°的扇形面积为24π,则扇形的半径为_______.
对点练习
B
　8　
3.圆柱和圆锥
(1)设圆柱的高为l,底面半径为R,则有:
①S圆柱侧=_________;
②S圆柱全=_______________;
③V圆柱=_________.
(2)设圆锥的母线长为l,底面半径为R,高为h,则有:①S圆锥侧=________;
②S圆锥全=_____________;
③V圆锥=πR2h.
知识要点
　2πRl　
　2πR2+2πRl　
　πR2l　
　πRl　
　πRl+πR2　
3.(1)已知圆锥的母线长为8 cm,底面圆的直径为6 cm,则这个圆锥的侧面积是( )
A.96π cm2　　　　　 B.48π cm2
C.33π cm2 D.24π cm2
(2)底面半径为3,母线长为5的圆锥的高是_______.
(3)若圆锥的底面圆半径为2 cm,母线长是5 cm,则它的侧面展开图的面积为
_________cm2.
对点练习
D
　4　
　10π　
云南5年真题
1.(2025·云南中考)若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90°,母线长为40 cm,则该圆锥的底面圆的半径为( )
A.9 cm B.10 cm
C.11 cm D.12 cm
2. (2021·云南中考)如图,等边△ABC的三个顶点都在☉O上,AD是☉O的直径.若OA=3,则劣弧BD的长是( )
A.　　　　　　　　 B.π
C. D.2π
B
B
3.(2024·云南中考)某校九年级学生参加社会实践,学习编织圆锥形工艺品.若这种圆锥的母线长为40厘米,底面圆的半径为30厘米,则该圆锥的侧面积为( )
A.700π平方厘米
B.900π平方厘米
C.1 200π平方厘米
D.1 600π平方厘米
4.(2023·云南中考)数学活动课上,某同学制作了一顶圆锥形纸帽.若圆锥的底面圆的半径为1分米,母线长为4分米,则该圆锥的高为________分米.
5.(2022·云南中考)某中学开展劳动实践,组织学生到教具加工厂制作圆锥.他们制作的圆锥,母线长为30 cm,底面圆的半径为10 cm,这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是
_________.
C
　
　120°　
高频考点·疑难突破
【考点一】正多边形和圆的有关计算
例1 (2024·甘孜州中考)如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,OA=1,则AB的长为( )
A.2 B. C.1 D.
C
【提分要点】
有关正多边形边的计算的常用公式
(1)r2+=R2(r表示边心距,R表示半径,a表示边长).
(2)l=na(l表示周长,n表示边数,a表示边长).
(3)S正n边形=lr(l表示周长,r表示边心距).
【考点二】弧长与面积的相关计算
一题多问·多题归一
例2 如图,已知半径为1的☉O上有三点A,B,C,OC与AB交于点D,∠ADO=85°,
∠CAB=20°.
问题1　求劣弧的长度.
【解析】∵∠CAB=20°,
∴∠BOC=2∠CAB=40°.
∵☉O的半径为1,
∴劣弧的长为=.
问题2　求扇形AOC的面积.
【解析】∵∠ADO=85°,由问题1知∠BOC=40°,∴∠OBA=∠ADO-∠BOC=45°.
∵OA=OB,∴∠OAB=45°,
∴∠AOB=90°,∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=50°,∴S扇形AOC==.
问题3　求弓形ACB的面积.
【解析】由问题2得∠AOB=90°,∴△AOB为等腰直角三角形.∴S弓形ACB=S扇形AOB-S△AOB=-×1×1=-.
问题4　用大于半圆的扇形AOB围成一个圆锥,求圆锥底面圆的半径.
【解析】设圆锥底面圆的半径为r,
由问题2可得∠AOB=90°,则优弧的长为=.则2πr=,解得r=.
【提分要点】
(1)圆锥的母线长等于其侧面展开图扇形的半径;
(2)圆锥底面圆的周长等于其侧面展开后所得扇形的弧长;
(3)α为圆锥侧面展开图扇形的圆心角,l既为圆锥母线长,又为圆锥侧面展开图扇形的半径,r为圆锥底面圆的半径,则α=×360°.
问题5　问题4中围成的圆锥的侧面积是______.
问题6　问题4中围成的圆锥的高是______.
π　
　
本课结束(共23张PPT)
第六单元　圆
第二十二讲　圆的认识(5年6考,2~4分)
知识清单 主干回顾
云南5年真题
高频考点·疑难突破
知识清单 主干回顾
知识要点
1.圆的定义及圆的轴对称性
(1)定义:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转__________,另一个端点A所形成的图形.
(2)轴对称性:圆是________________,任何一条__________________都是它的对称轴.
1.判断:(填“√”或“×”)
圆有无数条对称轴.( )
对点练习
　一周　
　轴对称图形　
　直径所在直线　
√
2.垂径定理及推论
(1)垂径定理:垂直于弦的直径____________, 并且平分弦所对的____________.
(2)推论:平分弦(不是直径)的直径___________, 并且平分弦所对的___________.
知识要点
　平分弦　
　两条弧　
　垂直于弦　
　两条弧　
2. (教材再开发·人教九上P83练习T1改编)如图,在直径为10 cm的☉O中, AB=8 cm,弦OC⊥AB于点C,则OC等于_______cm.
对点练习
　3　
3.圆周角定理及推论
(1)定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角__________,都等于这条弧所对的圆心角的__________.
(2)推论:
①半圆(或直径)所对的圆周角是_________,90°的圆周角所对的弦是________.
②在同圆或等圆中,如果两个圆周角__________,它们所对的弧一定__________.
知识要点
　相等　
　一半　
　直角　
　直径　
　相等　
　相等　
3.如图,AB是半圆的直径,C,D是半圆上的两点,∠ADC=106°,则∠CAB等于( )
A.10° B.14° C.16° D.26°
对点练习
C
4.圆心角、弧、弦之间的关系
知识要点
名称 内容 表示形式
定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧______,所对的弦______. 如图,
∵∠AOB=∠COD,
∴=,AB=CD.
相等
相等
　名称 内容 表示形式
推论 (1)在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等; (1)如图,∵=,
∴∠AOB=________,
AB=________.
(2)在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的优弧和劣弧分别相等. (2)如图,∵AB=CD,
∴∠AOB=________,
=.
∠COD
　CD　
∠COD
4.(1)(教材再开发·人教九上P88T5改编)如图,四边形ABCD内接于☉O, AB=CD,
A为的中点,∠BDC=60°,则∠ADB等于( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
对点练习
A
(2)如图,四边形ABCD的外接圆为☉O,BC=CD,∠DAC=35°,∠ACD=45°,则∠ADB的度数为( )
A.55° B.60° C.65° D.70°
C
5.圆内接四边形的性质
圆内接四边形的对角__________.
知识要点
5. 如图所示,四边形ABCD是圆内接四边形,其中∠A=75°,则∠C=_________°.
对点练习
　互补　
　105　
云南5年真题
1.(2024·云南中考)如图,CD是☉O的直径,点A,B在☉O上.若=,∠AOC=36°,则∠D=( )
　　　　　　　　　　　　　　　
A.9° B.18° C.36° D.45°
B
2.(2023·云南中考)如图,AB是☉O的直径,C是☉O上一点.若∠BOC=66°,则
∠A=( )
　　　　　　　　　　　　　　　
A.66°　 B.33°
C.24°　 D.30°
B
3.(2022·云南中考)如图,已知AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为E.若AB=26,CD=24,则∠OCE的余弦值为( )
A. B. C. D.
B
高频考点·疑难突破
【考点】圆基本性质的相关计算
一题多问·多题归一
例 如图,点A,B,C,D在☉O上,AC是☉O的直径.连接AB,BC,CD, AD,DB,OD,OB.
AC与BD交于点F,请回答下列问题:
问题1　若∠ACB=30°,则∠BOC=_________,∠BDC=________,∠AOB=________,
∠ADB=________.
问题2　若∠BAC=40°,则∠OBC=________.
　120°　
　60°　
　60°　
　30°　
　50°　
【提分要点】
在解决与圆有关的角度的相关计算时,一般先判断角是圆周角还是圆心角,再转化成同弧所对的圆周角或圆心角,利用同弧所对的圆周角相等,同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解.
问题3　 若☉O的半径为2,∠AOB=∠AOD=60°,则AB=_______,AD=_______.
问题4　若=,∠BOC=100°,则∠AOB=________,∠COD=________.
问题5　若∠BOC=∠DOC,∠BCD=60°,BC=3,则BD=_______.
【提分要点】
在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,则它们所对应的其余各组量也相等.
　2　
　2　
　80°　
　80°　
　3　
问题6　若AC⊥BD,垂足为点F,BD=8,AF=2,求☉O的半径.
【解析】设☉O的半径为r,
∵AC⊥BD,BD=8,∴BF=4.
∵AF=2,则OF=r-2.
在Rt△OBF中,OB2=BF2+OF2,
即r2=16+(r-2)2,
解得r=5.
∴☉O的半径为5.
问题7　若AC⊥BD,垂足为点F,BD=8,☉O的直径为10,求AF的长.
【解析】∵AC⊥BD,BD=8,∴BF=4,
∵☉O的直径为10,∴☉O的半径OB=5.
由勾股定理得OF==3,
∴AF=5-3=2.即AF的长为2.
【提分要点】
垂径定理基本图形计算中的“四变量”“两关系”
1.四变量:如图,设弦长为a,圆心到弦的距离(弦心距)为d,半径为r,弧的中点到弦的距离(弓形高)为h,这四个变量中,知任意两个即可求其他两个.
2.两关系:①()2+d2=r2;②h+d=r.
注意:计算时常通过作半径或过圆心作弦的垂线段来构造直角三角形.
问题8　已知∠BOD=130°,则∠BAD=_________.
问题9　已知∠ACB=30°,若点E是圆上异于A,B,C的另一点,则∠AEB的度数是
______________.
【易错警示】当点在圆上的位置不确定时,一定要考虑圆的优弧或劣弧两种情况,避免因忽略一种情况而漏解.
　115°　
　30°或150°　
本课结束(共57张PPT)
第二十三讲　与圆有关的位置关系
(5年5考,8~12分)
知识清单 主干回顾
云南5年真题
高频考点·疑难突破
知识清单 主干回顾
知识要点
1.点与圆的位置关系
(1)设圆O的半径为r,点P到圆心的距离为OP=d.则:
点P在圆外 ________;点P在圆上 ________;点P在圆内 ________.
(2)确定圆的条件:不在同一直线上的三个点确定__________圆.
(3)三角形的外心:三角形外接圆的圆心,三角形三边的________________的交点.
　d>r　
　d=r　
　d　一个　
　垂直平分线　
1.(1)若☉O的半径是4,点A在☉O内,则OA的长可能是( )
A.2 B.4 C.6 D.8
(2)给定下列条件可以确定唯一的一个圆的是( )
A.已知圆心
B.已知半径
C.已知直径
D.不在同一直线上的三个点
(3)△ABC的三边长分别为6,8,10,则△ABC的外接圆的半径为_______.
对点练习
A
D
　5　
2.直线与圆的位置关系
(1)三种位置关系:__________、__________、__________.
(2)切线的定义、性质与判定:
①定义:和圆有__________公共点的直线.
②性质:圆的切线____________过切点的直径.
③判定:经过半径的外端,并且__________于这条半径的直线是圆的切线.
(3)切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长__________,这一点和圆心的连线__________两条切线的夹角.
知识要点
　相交　
　相切　
　相离　
　唯一　
　垂直于　
　垂直　
　相等　
　平分　
2.(1)已知☉O的直径为5,设圆心O到直线l的距离为d,当直线l与☉O相交时,d的取值范围是____________.
(2) (教材再开发·人教九上P101T6改编)如图,P是☉O外一点,PA,PB分别和☉O切于A,B,C是上任意一点,过C作☉O的切线分别交PA,PB于D,E,若△PDE的周长为20 cm,则PA长为___________.
对点练习
　0≤d<2.5　
　10 cm　
3.三角形的外接圆与内切圆
知识要点
名称 三角形的外接圆 三角形的内切圆
图形
圆心 三角形的__________,三角形三条边的垂直平分线的交点 三角形的内心,三角形三条_____
__________的交点
性质 三角形的外心到三角形三个顶点的距离__________ 三角形的内心到三角形三边的距离__________
　外心　
　角
平分线　
　相等　
　相等　
3. 如图,O是△ABC的内心,∠BOC=100°,则∠A=________°.
对点练习
　20　
云南5年真题
1.(2025·云南中考)已知☉O的半径为5 cm.若点P在☉O上,则点P到圆心O的距离为_______cm.
　5　
2.(2025·云南中考)如图,☉O是五边形ABCDE的外接圆,BD是☉O的直径.连接AC,BE,CE,∠AEC=∠ACF.
(1)若CE=CB,且∠CBE=60°,求∠BCE的度数.
(2)求证:直线CF是☉O的切线.
(3)探究、发现与证明:
已知AC平分∠BAE,是否存在常数a,b,使等式AC2=aBC·CE+bAB·AE成立 若存在,请直接写出一个a的值和一个b的值,并证明你写出的a的值和b的值,使等式AC2=aBC·CE+bAB·AE成立;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)∵CE=CB,且∠CBE=60°,
∴△CBE是等边三角形,
∴∠BCE=60°;
(2)延长CO交☉O于点M,连接EM,如图,
∵CM是☉O的直径,
∴∠CEM=90°,
∴∠AEC+∠AEM=90°,
∵∠AEM=∠ACM,∠AEC=∠ACF,
∴∠ACF+∠ACM=90°,
∴∠MCF=90°,
∴OC⊥CF,
∵OC是☉O的半径,
∴直线CF是☉O的切线;
(3)存在常数a=1,b=1,使等式AC2=aBC·CE+bAB·AE成立.证明如下:
如图,设AC与BE交于点N,
∵AC平分∠BAE,
∴∠EAC=∠BAC,
∵∠EAC=∠EBC,∠BEC=∠BAC,
∴∠EAC=∠EBC=∠BAC=∠BEC,
∴CE=CB,
∵∠BCN=∠ACB,∠CBE=∠BAC,
∴△BCN∽△ACB,
∴=,
∴BC2=AC·CN①,
∵∠AEN=∠ACB,∠EAN=∠CAB,
∴△AEN∽△ACB,
∴=,
∴AE·AB=AC·AN②,
①+②得:BC2+AE·AB=AC·CN+AC·AN=AC(CN+AN)=AC2,
∵CE=CB,
∴AC2=BC·CE+AB·AE,
∴此时a=1,b=1.
∴存在常数a=1,b=1,使等式AC2=aBC·CE+bAB·AE成立.
3.(2024·云南中考)如图,AB是☉O的直径,点D,F是☉O上异于A,B
的点.点C在☉O外,CA=CD,延长BF与CA的延长线交于点M,点N
在BA的延长线上, ∠AMN=∠ABM,AM·BM=AB·MN.点H在直径
AB上,∠AHD=90°,点E是线段DH的中点.
(1)求∠AFB的度数;
(2)求证:直线CM与☉O相切;
(3)看一看,想一想,证一证:以下与线段CE,EB,CB有关的三个结论:
CE+EBCB,你认为哪个正确 请说明理由.
【解析】(1)∵AB是☉O的直径,
∴∠AFB=90°;
(2)∵AM·BM=AB·MN,
∴=,
∵∠AMN=∠ABM,
∴△AMN∽△ABM,
∴∠NAM=∠MAB.
∵∠NAM+∠MAB=180°,
∴∠NAM=∠MAB=90°,
∴OA⊥CM.
∵OA为☉O的半径,
∴直线CM与☉O相切;
(3)正确的结论为CE+EB=CB.理由:连接OC,OD,过点B作☉O的切线,交CD的延长线于点K,设BC与DH交于点G,如图所示.
在△OAC和△ODC中,
,
∴△OAC≌△ODC(SSS),
∴∠OAC=∠ODC.
由(2)知:OA⊥CM,
∴∠OAC=∠ODC=90°,
∴OD⊥CD.
∵OD为☉O的半径,
∴CK为☉O的切线.
∵BK为☉O的切线,
∴DK=BK,BK⊥AB.
∵DH⊥AB,CA⊥AB,
∴AC∥DH∥BK,
∴△BHG∽△BAC,△CDG∽△CKB,=.
∴=,=,
∴=,==,
∴=.
∵CA=CD,∴GH=GD,
∴点G是线段DH的中点,
∵点E是线段DH的中点,
∴点G与点E重合.
∴线段BC经过点E,
∴CE+EB=CB.
4.(2023·云南中考)如图,BC是☉O的直径,A是☉O上异于B,C的点.☉O外的点E在射线CB上,直线EA与CD垂直,垂足为D,且DA·AC=DC·AB.设△ABE的面积为S1,
△ACD的面积为S2.
(1)判断直线EA与☉O的位置关系,并证明你的结论;
(2)若BC=BE,S2=mS1,求常数m的值.
【解析】(1)AE与☉O相切,证明如下:
如图,连接OA,
∵DA·AC=DC·AB,
∴=,
∵BC是☉O的直径,
∴∠BAC=90°=∠ADC,
∴△ABC∽△DAC,
∴∠ACB=∠ACD,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠ACB=∠ACD,
∴OA∥CD,
∴∠OAE=∠CDE=90°,
∴OA⊥DE,
又∵OA为半径,
∴AE与☉O相切;
(2)如图,∵OA∥CD,
∴△AOE∽△DCE,
∴=,
设BO=OC=OA=a,则BC=2a,
∵BC=BE=2a,
∴S△ABE=S△ABC,EO=3a,EC=4a,
∴=,∴CD=a,
∵△ABC∽△DAC,
∴=,
∴AC2=BC·CD=a2,
∵△ABC∽△DAC,
∴=()2==,
又∵S△ABE=S△ABC=S1,
∴S2=S1,∴m=.
5.(2021·云南中考)如图,AB是☉O的直径,点C是☉O上异于A,B的点,连接AC,BC,点D在BA的延长线上,且∠DCA=∠ABC,点E在DC的延长线上,且BE⊥DC.
(1)求证:DC是☉O的切线;
(2)若=,BE=3,求DA的长.
【解析】(1)连接OC,
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠OBC,
∵∠ABC=∠DCA,
∴∠OCB=∠DCA,
又∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠ACO+∠OCB=90°,
∴∠DCA+∠ACO=90°,即∠DCO=90°,
∴DC⊥OC,
∵OC是☉O的半径,
∴DC是☉O的切线;
(2)∵=,且OA=OB,
设OA=OB=2x,OD=3x,
∴DB=OD+OB=5x,
∴=,
又∵BE⊥DC,DC⊥OC,
∴OC∥BE,∴△DCO∽△DEB,
∴==,
∵BE=3,∴OC=,
∴2x=,∴x=,
∴AD=OD-OA=x=,即AD的长为.
6. (2022·云南中考)如图,四边形ABCD的外接圆是以BD为直径的☉O,P是☉O的劣弧上的任意一点.连接PA,PC,PD,延长BC至E,使BD2=BC·BE.
(1)试判断直线DE与☉O的位置关系,并证明你的结论;
(2)若四边形ABCD是正方形,连接AC.当P与C重合时,或当P与B
重合时,把转化为正方形ABCD的有关线段长的比,可得
=.当P既不与C重合也不与B重合时,=是否成立
请证明你的结论.
【解析】(1)DE与☉O相切,证明如下:
∵BD为☉O的直径,∴∠BCD=90°,
∵BD2=BC·BE,∴=,
∵∠CBD=∠DBE,
∴△BCD∽△BDE,
∴∠BDE=∠BCD=90°,
∵点D在圆上,
∴DE是☉O的切线,
即DE与☉O相切;
(2)如图,=仍然成立,证明如下:
作FD⊥PD,交PC的延长线于点F,
∴∠FDP=90°,
∵四边形ABCD是正方形,
∴CD=AD,∠ADC=90°,AC⊥BD,
∴∠COD=∠AOD=90°,∠ADC=∠FDP,
∴∠ADC-∠PDC=∠FDP-∠PDC,
即∠ADP=∠CDF,
∵=,∴∠CPD=∠COD=45°,
同理可得:∠APD=∠AOD=45°,
∴∠F=90°-∠DPF=90°-45°=45°,
∴∠F=∠FPD,sin F==,
∴=,∴=,
在△PAD和△FCD中,
∴△PAD≌△FCD(SAS),
∴PA=CF,∴=.
高频考点·疑难突破
【考点一】点与圆、直线与圆的位置关系
一题多问·多题归一
例1 如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=3 cm,BC=4 cm.O为AB的中点.
问题1　以C为圆心,2.5 cm为半径作☉C,则O与☉C的位置关系为( )
A.O在☉C内 B.O在☉C上
C.O在☉C外 D.无法确定
问题2　以B为圆心,R为半径作圆,使得点C在圆内,点A在圆外,则R的值可以是( )
A.4 B.4.6 C.5 D.5.6
问题3　以C为圆心,2 cm为半径作☉C,直线AB与☉C的位置关系是__________.
问题4　以C为圆心,以r为半径作圆.若此圆与线段AB只有一个交点,则r的取值范围为________________.
B
B
　相离　
　3【考点二】切线的判定
【类型一】切点不确定,作垂直,证半径
例2 如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,腰AB与☉O相切于点D.求证:
AC是☉O的切线.
【思路点拨】过点O作OE⊥AC于点E,连接OD,OA,根据切线的性质得出AB⊥OD,根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是∠BAC的平分线,根据角平分线的性质得出OE=OD,从而证得结论.
【证明】过点O作OE⊥AC于点E,连接OD,OA,∵AB与☉O相切于点D,
∴AB⊥OD,
∵△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,∴AO是∠BAC的平分线,
∴OE=OD,即OE是☉O的半径,
∵AC经过☉O的半径OE的外端点且垂直于OE,∴AC是☉O的切线.
【提分要点】当切点不确定时,常用的方法有:
(1)当有角平分线时,可利用角平分线的性质,来证明所作垂线等于半径;
(2)当存在线段相等、角相等等条件时,通过构造直角三角形,利用全等三角形的性质,来证明所作垂线等于半径.
【类型二】切点确定,连半径,证垂直
(1)利用平行证垂直
例3　(2024·广西中考)如图,已知☉O是△ABC的外接圆,AB=AC.点D,E分别是BC,
AC的中点,连接DE并延长至点F,使DE=EF,连接AF.
(1)求证:四边形ABDF是平行四边形;
(2)求证:AF与☉O相切;
(3)若tan∠BAC=,BC=12,求☉O的半径.
【解析】(1)∵点D,E分别是BC,AC的中点,
∴BD=DC,AE=EC,
在△EDC和△EFA中,,
∴△EDC≌△EFA(SAS),
∴DC=AF,∠EDC=∠F,
∴BC∥AF,BD=AF,
∴四边形ABDF是平行四边形;
(2)连接AD,如图,
∵AB=AC,BD=DC,
∴AD⊥BC,
∴AD垂直平分BC,
∴AD经过圆心O,
由(1)知:AF∥BC,∴DA⊥AF,
∵OA为☉O半径,
∴AF与☉O相切;
(3)连接OB,OC,OD,如图,
∵OB=OC,BD=CD=BC=6,
∴OD⊥BC,∠BOD=∠BOC,
∵∠BAC=∠BOC,∴∠BOD=∠BAC.
∵tan∠BAC=,∴tan∠BOD=,
∵tan∠BOD=,∴=,
∴OD=8,∴OB==10,
∴☉O的半径为10.
【提分要点】当题干中有与“要证的切线垂直”的直线,则连接圆心与切点,证明半径与该直线平行.
(2)利用等角转换证垂直
例4　(2025·广安中考)如图,☉O是△ABC的外接圆,BC是☉O的直径,点E在BC的延长线上,连接AE,∠ABE=∠CAE.
(1)求证:AE是☉O的切线.
(2)过点C作CD⊥AE,垂足为D,若△ABC的面积是△ADC的面积的3倍,CE=12,求AE的长.
【解析】(1)连接OA,
∵BC是☉O的直径,∴∠BAC=90°,
∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,
∵∠ABE=∠CAE,
∴∠OAE=∠CAE+∠OAC=∠ABE+∠OCA=90°,∴OA⊥AE,
∵OA是☉O的半径,
∴AE是☉O的切线.
(2)∵S△ABC=3S△ADC,∴=3,
∵CD⊥AE,∴∠ADC=90°,
∴∠BAC=∠ADC,∵∠ABC=∠DAC,
∴△ABC∽△DAC,∴=()2=3,
∴=或=-(不符合题意,舍去),
∴BC=AC,
∴BA===AC,
∵∠ABE=∠CAE,∠E=∠E,CE=12,
∴△ABE∽△CAE,
∴===,
∴AE=CE=12.
(3)利用三角形全等证垂直
例5 (2025·威海中考)如图,PA是☉O的切线,点A为切点.点B为☉O上一点,射线PB,AO交于点C,连接AB,点D在AB上,过点D作DF⊥AB,交AP于点F,作DE⊥BP,垂足为点E.AD=BE,BD=AF.
(1)求证:PB是☉O的切线;
(2)若AP=4,sin C=,求☉O的半径.
【解析】(1)连接OB,
∵DF⊥AB,DE⊥BP,
∴∠ADF=∠DEB=90°,
在Rt△BDE与Rt△AFD中,,
∴Rt△BDE≌Rt△AFD(HL),
∴∠DBE=∠FAD,
∵PA是☉O的切线,点A为切点,
∴∠CAP=90°,∴∠OAB+∠FAD=90°,
∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA,
∴∠OBA+∠ABE=90°,∴∠OBE=90°,
∵OB是☉O的半径,∴PB是☉O的切线;
(2)∵∠CAP=90°,AP=4,sin C=,
∴PC==6,
∴AC==2,
∵∠CBO=∠CAP=90°,∠C=∠C,
∴△CBO∽△CAP,∴=,
∴=,∴OB=,
即☉O的半径为.
【考点三】切线的性质
例6 (2025·陕西中考)如图,点O在△ABC的边AC上,以OC为半径的☉O与AB相切于点D,与BC相交于点E,EF为☉O的直径,FD与AC相交于点G,∠F=45°.
(1)求证:AB=AC;
(2)若sin A=,AB=8,求DG的长.
【解析】(1) 如图,连接OD,
∵以OC为半径的☉O与AB相切于点D,
∴OD⊥AB,
∵∠F=45°,∴∠DOE=2∠F=90°,即EF⊥OD,∴AB∥EF,∴∠OEC=∠B,
∵OE=OC,∴∠C=∠OEC,
∴∠B=∠C,∴AB=AC;
(2)∵AB=8,AB=AC,∴AC=8,
设☉O的半径为r,∴AO=8-r,OD=r,
∵∠ADO=90°,sin A=,∴==,
解得r=3,
∴OF=OD=3,AO=5,AD==4,∵OD⊥EF,∴∠DOF=90°,
∴DF==3,
∵EF∥AB,∴△OFG∽△ADG,
∴==,
∴DG=DF=×3=.
【提分要点】在利用切线的性质解题时,常连接圆心和切点,构造直角三角形,利用直角三角形的性质解题.
【考点四】三角形的外接圆与内切圆
例7　(2023·陕西中考)如图,△ABC内接于☉O,∠BAC=45°,过点B作BC的垂线,交☉O于点D,并与CA的延长线交于点E,作BF⊥AC,垂足为M,交☉O于点F.
(1)求证:BD=BC;
(2)若☉O的半径r=3,BE=6,求线段BF的长.
【解析】(1)如图,连接DC,
则∠BDC=∠BAC=45°,∵BD⊥BC,
∴∠BCD=90°-∠BDC=45°,
∴∠BCD=∠BDC,∴BD=BC;
(2)如图,∵∠DBC=90°,
∴CD为☉O的直径,∴CD=2r=6.
∴BC=CD·sin∠BDC=6×=3,
∴EC===3,
∵BF⊥AC,∴∠BMC=∠EBC=90°,∠BCM=∠BCM,
∴△BCM∽△ECB,
∴==,
∴BM===2,CM===,
连接CF,则∠F=∠BDC=45°,∠MCF=45°,∴MF=MC=,
∴BF=BM+MF=2+.
【变式】(2024·滨州中考)刘徽(今山东滨州人)是魏晋时期我国伟大的数学家,中国古典数学理论的奠基人之一,被誉为“世界古代数学泰斗”.刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解,其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导,他给出了内切圆直径的多种表达形式.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB,BC,CA的长分别为c,a,b.则可以用含c,a,b的式子表示出△ABC的内切圆直径d,下列表达式错误的是( )
A.d=a+b-c
B.d=
C.d=
D.d=|(a-b)(c-b)|
D
【提分要点】(1)在Rt△ABC中,若两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,则内切圆半径为r= ,外接圆半径为R=;
(2)若△ABC的三边长分别为a,b,c,内切圆的半径为r,则= (a+b+c)r.
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