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(共25张PPT)
第十二讲　反比例函数(5年5考,2~4分)
知识清单 主干回顾
云南5年真题
高频考点·疑难突破
知识清单 主干回顾
知识要点
1.反比例函数解析式的三种形式
(1)y= (k≠0,k为常数).
(2)y=k________(k≠0,k为常数).
(3)xy=_______(k≠0,k为常数).
　
　x-1　
　k　
1.若点A(1,5)是反比例函数y=(k≠0)图象上一点,则常数k的值为( )
A.5　 B.-5　 C.　 D.-
对点练习
A
2.反比例函数的图象与性质
(1)反比例函数y=(k为常数,k≠0)的图象是____________,且关于__________对称.
(2)反比例函数y=(k为常数,k≠0)的图象和性质:
知识要点
函数 图象 所在象限 性质
y=(k为常数,k≠0) k>0 ________象限(x,y同号) 在每个象限内,y随x增大而_____
k<0 ________象限(x,y异号) 在每个象限内,y随x增大而_____
　双曲线　
　原点　
一、三
减小
二、四
增大
2.(1)若点A(-5,y1),B(1,y2),C(5,y3)都在反比例函数y=-的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是( )
A.y1C.y1(2)(教材再开发·人教九下P9T8改编)在同一直角坐标系中,函数y=kx-k与y=(k≠0)的大致图象是( )
A.①② B.②③
C.②④ D.③④
对点练习
B
B
3.k的几何意义
(1)S=|k|
知识要点
(2)S=
3.(1)已知反比例函数y=的图象如图所示,若矩形OABC的面积为3,则k的值是( )
A.3 B.-3 C.6 D.-6
对点练习
B
(2)反比例函数y=-(x<0)的图象如图所示,则△ABC的面积为( )
A. B. C.3 D.6
B
云南5年真题
1.(2025·云南中考)若点(1,2)在反比例函数y=(k为常数,且k≠0)的图象上,则k=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.(2022·云南中考)反比例函数y=的图象位于( )
A.第一、三象限 B.第一、四象限
C.第二、三象限 D.第二、四象限
3.(2023·云南中考)若点A(1,3)是反比例函数y=(k≠0)图象上一点,则常数k的值为( )
A.3　 B.-3　 C.　 D.-
B
A
A
4.(2024·云南中考)已知点P(2,n)在反比例函数y=的图象上,则n=_______.
5.(2021·云南中考)若反比例函数的图象经过点(1,-2),则该反比例函数的解析式(解析式也称表达式)为_________.
　5　
　y=-　
高频考点·疑难突破
【考点一】反比例函数的图象与性质
一题多问·多题归一
例1　已知反比例函数y= .
问题1　m的取值范围是_________.
问题2　若反比例函数y=的图象经过点(3,4),则反比例函数的解析式为
_________.
问题3　当m=3时,反比例函数y=的图象在第____________象限,且在每一个象限内,y随x的增大而__________(填“增大”或“减小”).
　m≠2　
　y=　
　一、三　
　减小　
问题4　反比例函数y=的图象如图所示,则m的取值范围为_________.
问题5　若点A(-3,2),B(a,6)在反比例函数y=的图象上,则a的值为_______.
　m<2　
　-1　
【提分要点】
确定反比例函数的解析式的方法
常用方法 待定系数法
步骤 ①设函数解析式为y=(k≠0 );②列方程;
③解方程确定 k的值;④确定解析式
问题6　若点P(x,y)在反比例函数y=的图象上,则点Q(-x,-y)________反比例函数y=的图象上(填“在”或“不在”).
【提分要点】
因为正比例函数和反比例函数的图象都关于原点对称,故在同一平面直角坐标系中正比例函数与反比例函数若有两个交点,则这两个交点关于原点对称.
　在　
问题7　若m=-1,点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)在反比例函数y=的图象上,且x1<0【解析】∵m=-1,∴y=-,在每个象限内,y随x的增大而增大,∵0又∵x1<0,∴y1>0.∴y2问题8　在反比例函数y= 中,当m=4,y>-2时,求x的取值范围.
【解析】∵m=4,∴y=.图象位于第一、三象限,当图象在第一象限时满足y>0>-2,此时x>0;当图象在第三象限时,令y=-2,解得x=-1,∵y随x的增大而减小,
∴当x<-1时,y>-2,
∴x的取值范围为x<-1或x>0.
问题9　图中反比例函数y=与一次函数y=(m-2)x-(m-2)在同一直角坐标系中的大致图象是( )
B
【提分要点】
解决含有字母系数的不同函数在同一直角坐标系内的图象问题的两种方法
(1)根据图象确定所含字母的取值范围,看字母系数的取值在不同函数中是否一致.
(2)先假设字母系数的取值,确定不同函数的图象的位置,再看在同一直角坐标系内不同函数的图象与之是否对应.
【考点二】一次函数与反比例函数的综合
例2 (2025·达州中考)如图,直线y=kx+b(k≠0)与双曲线y=(m≠0)交于点A(2,2),点B(-4,a).
(1)求一次函数与反比例函数的解析式;
(2)点P在x轴上,S△AOP=3,求点P的坐标.
【解析】(1)∵双曲线y=(m≠0)经过点A(2,2),B(-4,a),∴2=,a=,∴m=4,a=-1,∴B(-4,-1),反比例函数解析式为y=.
∵直线y=kx+b(k≠0)经过点A(2,2),点B(-4,-1),
∴,解得,
∴一次函数的解析式为y=x+1.
(2)∵点P在x轴上,S△AOP=3,∴OP×yA=3,
∴OP×2=3,
∴OP=3,∴点P的坐标为(3,0)或(-3,0).
【提分要点】
对于一次函数与反比例函数的综合题,常涉及以下几个方面
1.求交点坐标:联立一次函数与反比例函数构建方程组,方程组的解即为交点坐标.
2.确定函数解析式:当两个函数解析式均未知时,将交点坐标代入y=可求得k;由y= 确定另一交点的坐标,由两交点坐标并利用待定系数法可求y=ax+b.
3.与不等式结合:
(1)找交点;
(2)分区:过两函数图象的交点分别作y轴的平行线,连同y轴,将
平面分为四部分,如图,即Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ;
(3)观察函数图象找答案:根据函数图象上方的函数值总比函数图象下方的函数值大,在各区域内找相应的x的取值范围.
①Ⅰ,Ⅲ区域内:>ax+b,自变量的取值范围为x②Ⅱ,Ⅳ区域内:ax+b>,自变量的取值范围为xBxA.
【考点三】反比例函数的实际应用
例3 (2024·山西中考)机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置,其最快移动速度v(m/s)是载重后总质量m(kg)的反比例函数.已知一款机器狗载重后总质量m=60 kg时,它的最快移动速度v=6 m/s;当其载重后总质量m=90 kg时,它的最快移动速度v=_______m/s.
　4　
本课结束(共26张PPT)
第十四讲　二次函数的应用
知识清单 主干回顾
高频考点·疑难突破
知识清单 主干回顾
知识要点
1.二次函数最值的两种形式
(1)顶点式y=a(x-h)2+k,其顶点坐标为_____.当a>0,x=___时,函数有最小值为___;当a<0,x=___时,函数有最大值为___.
(2)一般式y=ax2+bx+c,顶点为.
当a>0,x=____时,函数有最小值为;
当a<0,x=____时,函数有最大值为.
(h,k)
h
k
h
k
-
-
2.利用二次函数解决实际问题的步骤
(1)根据题意,写出二次函数的________.
(2)考虑自变量的__________.
(3)根据二次函数的性质,结合自变量的__________,给出实际问题的答案.
解析式
取值范围
取值范围
【自我诊断】(填“√”或“×”)
某服装店购进单价为15元童装若干件,销售一段时间后发现:当销售价为25元时平均每天能售出8件,而当销售价每降低2元,平均每天能多售出4件,当每件的定价为22元时,该服装店平均每天的销售利润最大.( )
对点练习
√
高频考点·疑难突破
【考点一】应用二次函数解决抛物线形实际问题
【类型一】隧道和拱桥问题
例1 (2025·新疆中考)天山胜利隧道预计于2025年建成通车,它将成为世界上最长的高速公路隧道,能大大提升区域交通效率,促进经济发展.如图是隧道截面图,其轮廓可近似看作是抛物线的一部分.若隧道底部宽12米,高8米,按照如图所示的方式建立平面直角坐标系.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)该隧道设计为单向双车道通行,车辆顶部在竖直方向上与隧道的
空隙不少于0.5米,当两辆车在隧道内并排行驶时,需沿中心线两侧行
驶,且两车至少间隔2米(中心线宽度不计).若宽3米、高3.5米的两辆
车并排行驶,能否安全通过 请说明理由.
【解析】(1)由题意得,顶点坐标为(,8),即(6,8),设抛物线的解析式为y=a(x-6)2+8(a≠0),代入点(12,0)得a(12-6)2+8=0,
解得a=-,∴抛物线解析式为y=-(x-6)2+8(0≤x≤12);
(2)能安全通过,理由如下:
如图,
由题意得:xA=--3=2,
将x=2代入y=-(x-6)2+8,
得y=-×(2-6)2+8=,
∵-3.5=>0.5,∴能安全通过.
【类型二】运动轨迹问题
例2　(2025·山西中考)综合与实践
问题情境:青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线.我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人,其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合.
实验数据:仿青蛙机器人从水平地面起跳,并落在水平地面上,其运动路线的最高点距地面60 cm,起跳点与落地点的距离为160 cm.
数学建模:如图,将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线,其顶点为N,对称轴为直线l,仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O,落地点为M.以O为原点,OM所在直线为x轴,过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴,建立平面直角坐标系.
(1)请直接写出顶点N的坐标,并求该抛物线的函数解析式.
问题解决:已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变,即抛物线的形状不变.
(2)如图1,若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳,落地点为Q,点P的坐标为(0,75),点Q在x轴的正半轴上.求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长.
(3)实验表明:仿青蛙机器人在跃过障碍物时,与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于3 cm,才能安全通过.如图2,水平地面上有一个障碍物,其纵切面为四边形ABCD,其中∠ABC=∠BCD=90°,AB=57 cm,BC=40 cm,CD=48 cm.仿青蛙机器人从距离AB左侧80 cm处的地面起跳,发现不能安全通过该障碍物.若团队人员在起跳处放置一个平台,仿青蛙机器人从平台上起跳,则刚好安全通过该障碍物.请直接写出该平台的高度(平台的大小忽略不计,障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内).
【解析】(1)由题意,得抛物线的对称轴为直线x=80,顶点纵坐标为60,∴顶点坐标为(80,60),
设抛物线的函数解析式为y=a(x-80)2+60,∵图象过原点,∴a(0-80)2+60=0,解得a=-,
∴y=-(x-80)2+60.
(2)∵抛物线的形状不变,且过点(0,75),
故第二次的函数图象可以看作是由(1)的抛物线向上平移75个单位长度得到的,
∴新的抛物线的解析式为y=-(x-80)2+60+75=-(x-80)2+135,
当y=0时,-(x-80)2+135=0,
解得:x1=200,x2=-40(舍去),故起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长为200 cm.
(3)设该平台的高度为k cm,由题意,设新的函数解析式为y=-(x-80)2+60+k,
由题可知A(80,57),B(80,0),C(120,0),D(120,48),
设线段AD的解析式为y=mx+n,根据题意得,解得,
∴线段AD的解析式为y=-x+75(80≤x≤120),
设线段AD上的点与新的抛物线上的点的竖直距离为h,则h=-(x-80)2+60+
k-(-x+75)=-x2+x+k-75,
∵-<0,对称轴为直线x=92,80≤x≤120,
又∵120-92>92-80
∴当x=120时,h有最小值,且最小值为3,
∴-×1202+×120+k-75=3,
解得k=6,故该平台的高度为6 cm.
【提分要点】此类问题一般涉及抛球、投篮、隧道、拱桥、喷泉水柱等.解决此类问题的关键是理解题目中的条件所表示的几何意义.最高点为抛物线的顶点,抛出点为抛物线中的c值,落地点为抛物线与x轴的交点,落地点到抛出点的水平距离是此落地点横坐标的绝对值.
(1)判断投篮是否能投中即判断篮网是否在球的运动轨迹所在的抛物线图象上;
(2)判断货车是否能通过隧道即判断两端点的坐标是否在抛物线的下方;
(3)判断船是否能通过拱桥即判断船的高度是否比船自身的宽度对应的y值小;
(4)判断人是否会被喷泉淋湿即判断人所处位置的水的高度是否比人的身高小.
【考点二】利润最大化问题
【类型一】顶点处取最值
例3　(2025·内江中考)2025年春节期间,我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录,商家推出A,B两款“哪吒”文旅纪念品.已知购进A款200个,B款300个,需花费14 000元;购进A款100个,B款200个,需花费8 000元.
(1)求A,B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元
(2)根据网上预约的情况,如果该商家计划用不超过12 000元的资金购进A,B两款“哪吒”纪念品共400个,那么至少需要购进B款纪念品多少个
(3)在销售中,该商家发现每个A款纪念品售价60元时,可售出200个,售价每增加1元,销售量将减少5个.设每个A款纪念品售价a(60≤a≤100)元,W表示该商家销售A款纪念品的利润(单位:元),求W关于a的函数表达式,并求出W的最大值.
【解析】(1)设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元,B款“哪吒”纪念品每个进价为y元,
由题意得,
解得,
答:A款“哪吒”纪念品每个进价为40元,B款“哪吒”纪念品每个进价为20元;
(2)设需要购进B款纪念品m个,则需要购进A款纪念品(400-m)个,
由题意得,40(400-m)+20m≤12 000,
解得m≥200,
∴m的最小值为200,
答:至少需要购进B款纪念品200个;
(3)由题意得,W=(a-40)[200-5(a-60)]
=(a-40)(200-5a+300)
=(a-40)(500-5a)
=500a-20 000-5a2+200a
=-5(a-70)2+4 500,
∵-5<0,60≤a≤100,
∴当a-70=0,即a=70时,W最大,最大值为4 500.
【类型二】不在顶点处取最值
例4　(2025·南充中考)学校计划租用客车送师生到某红色基地,参加主题为“缅怀先烈,强国有我”的研学活动,请阅读下列材料,并完成相关问题.
材料一 租车公司有A,B两种型号的客车可供租用,在每辆车满员情况下,每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人;用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同.
材料二 A型客车租车费用为3 200元/辆;B型客车租车费用为3 000元/辆.
优惠方案:租用A型客车m辆,租车费用(3 200-50m)元/辆;
租用B型客车,租车费用打八折.
材料三 租车公司最多提供8辆A型客车;
学校参加研学活动师生共有530人,租用A,B两种型号客车共10辆.
(1)A,B两种型号的客车每辆载客量分别是多少
(2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少
【解析】(1)设A型客车每辆载客量为x人,则B型客车每辆载客量为(x-15)人,
根据题意得:=,解得:x=60,
经检验,x=60是所列方程的解,且符合题意,
∴x-15=60-15=45.
答:A型客车每辆载客量为60人,B型客车每辆载客量为45人;
(2)设租用A型客车m辆,则租用B型客车(10-m)辆,
根据题意得:60m+45(10-m)≥530,解得:m≥,
设本次研学活动学校的租车总费用为w元,则w=(3 200-50m)m+3 000×0.8(10-m)=
-50m2+800m+24 000,
∵抛物线的对称轴为直线m=-=8,
∴m≤8时,w随着m的增大而增大,
∵m取正整数,且m≥,
∴当m=6时,w取得最小值,最小值为-50×62+800×6+24 000=27 000(元).
答:本次研学活动学校的最少租车费用是27 000元.
【提分要点】
求二次函数的最值的两种方法
(1)可直接利用公式法求顶点的纵坐标,即y=ax2+bx+c的最大值为(a<0)或最小值为(a>0).
(2)若顶点在已知给定的自变量取值范围内,则函数在顶点处取得最大值或最小值;若顶点不在已知给定的自变量取值范围内,则根据二次函数的性质判断所给自变量取值范围的两端点处对应的函数值大小,从而确定最值.
【考点三】几何图形面积问题
例5　(2024·湖北中考)如图,某校劳动实践基地用总长为80 m的栅栏,围成一块一边靠墙的矩形实验田,墙长为42 m,栅栏在安装过程中不重叠、无损耗,设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位:m),与墙平行的一边长为y(单位:m),面积为S(单位:m2).
(1)直接写出y与x,S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围).
(2)矩形实验田的面积S能达到750 m2吗 如果能,求x的值;如果不能,请说明理由;
(3)当x的值是多少时,矩形实验田的面积S最大 最大面积是多少
【解析】(1)∵2x+y=80,∴y=-2x+80,
∵S=xy,∴S=x(-2x+80)=-2x2+80x;
(2)∵y≤42,∴-2x+80≤42,
∴x≥19,∴19≤x<40,
当S=750时,-2x2+80x=750,
x2-40x+375=0,(x-25)(x-15)=0,
∴x=25,
∴当x=25时,矩形实验田的面积S能达到750 m2;
(3)∵S=-2x2+80x=-2(x2-40x)=-2(x2-40x+400-400)=-2(x-20)2+800,
∴当x=20时,S取得最大值,即最大面积是800 m2.
【提分要点】解决此类问题一般是根据几何图形的性质,先找变量,再确定变量与该图形周长或面积之间的关系,用变量表示出其他边的长,从而确定二次函数的解析式,再根据题意及二次函数的性质解题即可.
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第十讲　一次函数
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云南5年真题
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知识要点
1.一次函数的图象
(1)正比例函数:
是经过点(0,0)和点(1,_______)的一条直线.
(2)一次函数:
是经过点(0,_______)和点的一条直线.
(3)图象关系:
一次函数y=kx+b的图象可由正比例函数y=kx的图象平移得到.b>0,向________移动_______个单位;b<0,向________移动_______个单位.
　k　
　b　
　上　
　b　
　下　
　-b　
1.(1)(教材再开发·人教八下P87练习T1改编)下列函数中,y是x的正比例函数的是( )
A.y=2x-1　 B.y=　 C.y=2x2　 D.y=
(2)下列函数中,表示y是x的一次函数的是( )
A.y=kx+b B.y=2x2
C.y2=4x D.y=-2x+1
(3)将直线y=2x+1向上平移2个单位,相当于( )
A.向左平移2个单位 B.向左平移1个单位
C.向右平移2个单位 D.向右平移1个单位
对点练习
B
D
B
2.一次函数y=kx+b(k≠0)的性质
知识要点
k的 符号 增减性 b的 符号 所在 象限 图象
k>0 y随x的增大而 _____ b>0 ____________
b<0 ___________
增大
一、二、三
一、三、四
k的 符号 增减性 b的 符号 所在 象限 图象
k<0 y随x的增大而 _____ b>0 ____________
b<0 ___________
减小
一、二、四
二、三、四
2.(1)一次函数y=(k-3)x+2的函数值y随x增大而减小,则k的取值范围是( )
A.k>0 B.k<0
C.k>3 D.k<3
(2)一个函数过点(1,3),且y随x的增大而增大,请写出一个符合上述条件的函数解析式:______________________.
对点练习
D
　y=x+2(答案不唯一)　
3.待定系数法求一次函数解析式
(1)正比例函数,设y=kx(求k只需一个非原点坐标);
(2)一次函数,设y=kx+b(求k,b需2个点坐标).
知识要点
3.(1)经过原点和点(2,1)的直线的解析式为_________.
(2)已知一次函数的图象过点(3,5)与点(2,3),则这个一次函数的解析式为_____
_______.
对点练习
　y=x　
　y=
2x-1　
4.一次函数与一元一次方程(或不等式)的联系
对于一次函数y=kx+b:
(1)当y=0时,kx+b=0,转化成方程;
(2)当y>0时,kx+b>0,转化成不等式;
(3)当y<0时,kx+b<0,转化成不等式.
知识要点
4.如图,已知一次函数y=mx+n的图象经过点P(-2,3),则关于x的不等式mx+n<3的解集为_________.
对点练习
　x>-2　
高频考点·疑难突破
【考点】一次函数的图象与性质
一题多问·多题归一
例　已知一次函数y=(m-2)x+m+4(m≠2).
问题1　若y是关于x的正比例函数,则m的值为_______.
问题2　若m=3,则该一次函数经过第________________象限.
问题3　若该一次函数经过第一、二、四象限,则m的取值范围为____________.
问题4　若该一次函数不经过第三象限,则m的取值范围为____________.
【易错警示】一次函数不经过第三象限,那么可能经过第一、二、四象限或者经过第二、四象限.
问题5　若该一次函数经过点(-3,2),则该函数图象不经过第________象限.
　-4　
　一、二、三　
　-4　-4≤m<2　
　四　
【提分要点】
若一次函数解析式中只有一个未知系数或为正比例函数时,只需代入该函数图象上一个点的坐标即可求出解析式.
问题6　当m=1时,若A(x1,y1),B(x2,y2)是该一次函数图象上的两点,且x1>x2,则y1
_______y2(填“>”“<”或“=”).
问题7　若A(x1,y1),B(x2,y2)是该一次函数图象上的两点,当x1　<　
　m>2　
问题8　若该一次函数的图象与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,求△AOB的面积.
(O为坐标原点)
【解析】将点A(3,0)代入y=(m-2)x+m+4中得3(m-2)+m+4=0,解得m=,
∴该一次函数的解析式为y=-x+,
当x=0时,y=,即该一次函数与y轴交于点B,
∴S△AOB=OA·OB=×3×=.
问题9　若该一次函数图象与直线y=2x平行,将该函数图象先向下平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度后,求得到的新的一次函数图象的解析式.
【解析】∵该一次函数的图象与直线y=2x平行,∴m-2=2,m=4, ∴原一次函数为y=2x+8.将该一次函数图象先向下平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度后得到新的一次函数图象的解析式为y=2(x-2)+8-3,即y=2x+1.
【提分要点】
一次函数图象的平移规律
平移前的解析式 要领 平移方向 (m>0) 平移后的 解析式 规律
y=kx+b (k≠0) 左、右平移变x 向左平移m个单位长度 y=k(x+m)+b 左加
向右平移m个单位长度 y=k(x-m)+b 右减
上、下平移变等号右边整体 向上平移m个单位长度 y=kx+b+m 上加
向下平移m个单位长度 y=kx+b-m 下减
问题10　若该一次函数的图象与x轴交于点A(3,0),则方程(m-2)x+m+4=0的解为
_________.
【提分要点】
利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤:
(1)转化:将一元一次方程转化为一次函数;
(2)画图象:画出一次函数的图象;
(3)找交点:找出一次函数图象与x轴的交点,则交点的横坐标即为一元一次方程的解.
　x=3　
问题11　若该一次函数的图象与x轴交于点A(3,0),则不等式(m-2)x+m+4>0的解集为_________.
问题12　若该一次函数的图象与直线y=x-3交于(3,0),则关于x的不等式x-3>(m-2)x+m+4的解集为_________.
　x<3　
　x>3　
问题13　若该一次函数的图象与坐标轴只有一个交点,过点A(-2,4)的直线 l2与该一次函数图象交于点B(-1,b),求直线l2的解析式.
【解析】∵该一次函数的图象与坐标轴只有一个交点,则m+4=0,即m=-4,
∴该一次函数的解析式为y=-6x.
设直线l2的解析式为y=kx+c,
∵B(-1,b)在该一次函数的图象上,
∴将点B(-1,b)代入y=-6x中,得b=6,即B(-1,6),将点A(-2,4),B(-1,6)代入y=kx+c中,
得解得
∴直线l2的解析式为y=2x+8.
【提分要点】
一次函数y=k1x+b1(k1≠0)和y=k2x+b2(k2≠0):
(1)当k1=k2,b1≠b2时,它们的图象是两条平行的直线;
(2)当k1=k2,b1=b2时,它们的图象是两条重合的直线;
(3)当k1≠k2时,它们的图象是两条相交的直线;
(4)当k1·k2=-1时,它们的图象是两条垂直的直线.
以上结论在做选择、填空时可直接使用.
本课结束(共24张PPT)
第十一讲　一次函数的应用(5年5考,3~8分)
云南5年真题
高频考点·疑难突破
云南5年真题
1.(2025·云南中考)请你根据下列素材,完成有关任务.
背景 某校计划购买篮球和排球,供更多学生参加体育锻炼,增强身体素质.
素材一 购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等;
素材二 购买2个篮球和5个排球共需800元;
素材三 该校计划购买篮球和排球共60个,篮球和排球均需购买,且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍.
请完成下列任务:
任务一 每个篮球、每个排球的价格分别是多少元
任务二 给出最节省费用的购买方案.
【解析】任务一:设每个篮球的价格是x元,每个排球的价格是y元,
根据题意得,解得.
答:每个篮球的价格是150元,每个排球的价格是100元;
任务二:设购买m个篮球,则购买(60-m)个排球,该校购买篮球和排球共花费w元,
根据题意,得w=150m+100(60-m)=50m+6 000,∵k=50>0,∴w随m的增大而增大,
又∵60-m≤2m,解得m≥20,
∴当m=20时,w取得最小值,此时60-m=60-20=40(个).
答:当购买20个篮球,40个排球时,总费用最低.
2.(2024·云南中考)A,B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意,深受大家喜欢.某超市销售A,B两种型号的吉祥物,有关信息见下表:
项目 成本(单位:元/个) 销售价格(单位:元/个)
A型号 35 a
B型号 42 b
若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物,则一共需要670元;购买4个A种型号吉祥物和5个B种型号吉祥物,则一共需要410元.
(1)求a,b的值.
(2)若某公司计划从该超市购买A,B两种型号的吉祥物共90个,且购买A种型号吉祥物的数量x(单位:个)不少于B种型号吉祥物数量的,又不超过B种型号吉祥物数量的2倍.设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为y元,求y的最大值.
注:该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差.
【解析】(1)根据题意,得,
解得,
∴a的值是40,b的值是50.
(2)购买B种型号吉祥物的数量为(90-x)个.
根据题意,得,
解得≤x≤60;
y=(40-35)x+(50-42)(90-x)=-3x+720,
∵-3<0,
∴y随x的减小而增大,
∵≤x≤60且x为整数,
∴当x=52时,y的值最大,y最大=-3×52+720=564,
∴y的最大值是564.
3.(2023·云南中考)蓝天白云下,青山绿水间,支一顶帐篷,邀亲朋好友,听蝉鸣,闻清风,话家常,好不惬意.某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神,需要购买A,B两种型号的帐篷.若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶,则需5 200元;若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶,则需2 800元.
(1)求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格;
(2)若该景区需要购买A,B两种型号的帐篷共20顶(两种型号的帐篷均需购买),购买A种型号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的,为使购买帐篷的总费用最低,应购买A种型号帐篷和B种型号帐篷各多少顶 购买帐篷的总费用最低为多少元
【解析】(1)设每顶A种型号帐篷m元,每顶B种型号帐篷n元,
根据题意得,解得,
∴每顶A种型号帐篷600元,每顶B种型号帐篷1 000元;
(2)设购买A种型号帐篷x顶,总费用为w元,则购买B种型号帐篷(20-x)顶,
∵购买A种型号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的,
∴x≤(20-x),解得x≤5,
根据题意得,w=600x+1 000(20-x)
=-400x+20 000,
∵-400<0,∴w随x的增大而减小,
∴当x=5时,w取最小值,最小值为-400×5+20 000=18 000(元),
∴20-x=20-5=15,
答:购买A种型号帐篷5顶,购买B种型号帐篷15顶时,总费用最低,最低总费用为
18 000元.
4.(2022·云南中考)某学校要购买甲、乙两种消毒液,用于预防新型冠状病毒.若购买9桶甲消毒液和6桶乙消毒液,则一共需要615元;若购买8桶甲消毒液和12桶乙消毒液,则一共需要780元.
(1)每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分别是多少元
(2)若该校计划购买甲、乙两种消毒液共30桶,其中购买甲消毒液a桶,且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5桶,又不超过乙消毒液数量的2倍.怎样购买才能使总费用W最少 并求出最少费用.
【解析】(1)设每桶甲消毒液的价格为x元,每桶乙消毒液的价格为y元,
由题意可得:
解得
答:每桶甲消毒液的价格为45元,每桶乙消毒液的价格为35元;
(2)由题意可得,
W=45a+35(30-a)=10a+1 050,
∴W随a的增大而增大,
∵甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5桶,又不超过乙消毒液数量的2倍,
∴,解得17.5≤a≤20,
∵a为整数,∴当a=18时,W取得最小值,此时W=1 230,30-a=12.
答:购买甲消毒液18瓶,乙消毒液12瓶时,才能使总费用W最少,最少费用是1 230元.
5. (2021·云南中考)某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案.
方案一:没有底薪,只付销售提成;
方案二:底薪加销售提成.
如图中的射线l1、射线l2分别表示该鲜花销售公司每月按
方案一、方案二付给销售人员的工资y1(单位:元)和y2(单位:
元)与其当月鲜花销售量x(单位:千克)(x≥0)的函数关系.
(1)分别求y1,y2与x的函数解析式(解析式也称表达式).
(2)若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过70千克,但其3月份的工资超过2 000元.这个公司采用了哪种方案给这名销售人员付3月份的工资
【解析】(1)设y1=k1x,
根据题意得40k1=1 200,
解得k1=30,∴y1=30x(x≥0);
设y2=k2x+b,
根据题意,得
解得∴y2=10x+800(x≥0);
(2)当x=70时,y1=30×70=2 100>2 000,
y2=10×70+800=1 500<2 000,
∴这个公司采用了方案一给这名销售人员付3月份的工资.
高频考点·疑难突破
【考点】一次函数的应用
例1 (2025·河南中考)为助力乡村振兴,支持惠农富农,某合作社销售某省西部山区出产的甲、乙两种苹果.已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元;
4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元.
(1)求甲、乙两种苹果每箱的售价.
(2)某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱,且
乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数.求该公司最少需
花费多少元
【解析】(1)设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为x元、y元,
则
解得
答:甲、乙两种苹果每箱的售价分别为100元、80元.
(2)设购买甲种苹果a箱,则购买乙种苹果(12-a)箱,则12-a≤a,
解得a≥6,
设该公司需花费w元,则w=100a+80(12-a)=20a+960,
∵20>0,∴w随a的增大而增大,
∴当a=6时,w有最小值,最小值为20×6+960=1 080,
即该公司最少需花费1 080元.
例2　(2025·上海中考)某品牌储水机的容量是200升,当加水加满时,储水机会自动停止加水,已知加冷水量y(升)和时间x(分钟)的图象如图所示,加水过程中,水的温度t(摄氏度)和x(分钟)的关系:t=.
(1)求y与x的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(2)求储水机中的水加满时,储水机内水的温度.
【解析】(1)每分钟加水量为(160-80)÷2=40(升),则y=40x+80,
当40x+80=200时,解得x=3,
∴y与x的函数关系式为y=40x+80,自变量的取值范围为0≤x≤3.
(2)当x=3时,t==32,
∴储水机中的水加满时,储水机内水的温度为32摄氏度.
【变式】(2025·陕西中考)研究表明,一定质量的气体,在压强不变的条件下,气体体积y(L)与气体温度x(℃)成一次函数关系.某实验室在压强不变的条件下,对一定质量的某种气体进行加热,测得的部分数据如表:
(1)求y与x的函数关系式;
(2)为满足下一步的实验需求,本次实验要求气体体积达到700 L时停止加热.求停止加热时的气体温度.
气体温度x(℃) … 25 30 35 …
气体体积y(L) … 596 606 616 …
【解析】(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b,
则解得
故y与x的函数关系式为y=2x+546.
(2)令y=700,则2x+546=700,解得x=77,
答:停止加热时的气体温度为77℃.
【提分要点】
应用一次函数知识解决实际问题常见的两种方法
1.建立函数模型,然后借助方程或不等式或函数图象来解决问题.
2.利用一次函数图象的性质,如增减性等来解决生活中的最优化问题,它常与方程(组)或不等式(组)一起考查.
本课结束(共37张PPT)
第十三讲　二次函数的图象与性质
(5年5考,4~9分)
知识清单 主干回顾
云南5年真题
高频考点·疑难突破
知识清单 主干回顾
知识要点
1.二次函数的概念及其解析式
(1)二次函数的概念:形如_______________(a,b,c是常数,a≠0)的函数.
(2)二次函数的解析式:
①一般式:____________________.
②顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其顶点坐标是_________.
③交点式:y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标.
　y=ax2+bx+c　
　y=ax2+bx+c(a≠0)　
　(h,k)　
1.(1)下列函数解析式中,一定为二次函数的是( )
A.y=2x-5　　 B.y=ax2+bx+c
C.h= D.y=x2+
(2)(教材再开发·人教九上P36例4改编)已知二次函数的图象的顶点是(1,-2),且经过点(0,-5),则二次函数的解析式是( )
A.y=-3(x+1)2-2　 B.y=3(x+1)2-2
C.y=-3(x-1)2-2 D.y=3(x-1)2-2
(3)二次函数解析式为y=(m+1)+4x+7,则m的取值是_______.
对点练习
C
C
　2　
2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质
(1)当a>0时:
①开口方向:向上.
②顶点坐标:.
③对称轴:直线__________.
④增减性:当x<-时,y随x的增大而______;当x>-时,y随x的增大而_______.
⑤最值:当x=-时,y最小值=_________.
知识要点
　x=-　
减小
　增大　
　
(2)当a<0时:
①开口方向:向下.
②顶点坐标:.
③对称轴:直线__________.
④增减性:当x<-时,y随x的增大而_________;
当x>-时,y随x的增大而__________.
⑤最值:当x=-时,y最大值=_________.
　x=-　
增大
　减小　
　
2.(1)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数)关于直线x=1对称.下列五个结论:①abc>0;②2a+b=0;③4a+2b+c>0;④am2+bm>a+b;⑤3a+c>0.其中正确的有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
(2)关于二次函数y=2(x-4)2+6的最大值或最小值,下列说法正确的是( )
A.有最大值4 B.有最小值4
C.有最大值6 D.有最小值6
对点练习
B
D
3.二次函数图象的平移
知识要点
平移前的解析式 移动方向 (m,n>0) 平移后的 解析式 规律
y=a(x-h)2+k 向左平移m个单位 y=a(x-h+m)2+k 给x______右减
向右平移m个单位 y=a(x-h-m)2+k
向上平移n个单位 y=a(x-h)2+k+n 给等号右边整体上加_____
向下平移n个单位 y=a(x-h)2+k-n
左加
下减
3.(1)将抛物线y=-x2-2x+3的图象向右平移1个单位,再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过( )　
A.(-2,2) B.(-1,1)
C.(0,6) D.(1,-3)
(2)把抛物线y=2x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的抛物线的解析式为_____________.
对点练习
B
　y=2x2+4x　
云南5年真题
1.(2025·云南中考)已知a是常数,函数y=(x+4)(x-a2+a-3)+1,记T=+.
(1)若x=-4,a=1,求y的值;
(2)若x=3a+2,y=1,比较T与3的大小.
【解析】(1)把x=-4,a=1代入函数y=(x+4)(x-a2+a-3)+1,得y=(-4+4)(-4-12+1-3)+1=1,
∴y的值为1;
(2)将x=3a+2,y=1代入函数解析式,
得(3a+2+4)(3a+2-a2+a-3)+1=1,
整理得:-3(a+2)(a2-4a+1)=0.
①当a+2=0,即a=-2时,
T=+=<3;
②当a2-4a+1=0时,a≠0,
则有a2=4a-1,a2+1=4a,∴a+=4,
∴T=+=a-+=4-
=>3.综上可知:当a=-2时,T<3;当a2-4a+1=0时,T>3.
2.(2024·云南中考)已知抛物线y=x2+bx-1的对称轴是直线x=.设m是抛物线y=x2+bx-1与x轴交点的横坐标,记M=.
(1)求b的值;
(2)比较M与的大小.
【解析】(1)∵抛物线y=x2+bx-1的对称轴是直线x=.∴-=.解得b=-3;
(2)由(1)知,b=-3,∴抛物线y=x2-3x-1,当y=0时,0=x2-3x-1,解得x=,
∵m是抛物线y=x2+bx-1与x轴交点的横坐标,∴m=,当m=时,
M===,
∴-=>0,即M>;
当m=时,M==<0,∴M<.由上可得,当m=时,M>;当m=时,M<.
3.(2021·云南中考)已知抛物线y=-2x2+bx+c经过点(0,-2),当x<-4时,y随x的增大而增大;当x>-4时,y随x的增大而减小.设r是抛物线y=-2x2+bx+c与x轴的交点(交点也称公共点)的横坐标,m=.
(1)求b,c的值;
(2)求证:r4-2r2+1=60r2;
(3)以下结论:m<1,m=1,m>1,你认为哪个正确 请证明你认为正确的那个结论.
【解析】(1)∵y=-2x2+bx+c经过点(0,-2),当x<-4时,y随x的增大而增大,当x>-4时,y随x的增大而减小,即对称轴为直线x=-4,∴解得
(2)由题意,抛物线的解析式为y=-2x2-16x-2,∵r是抛物线y=-2x2-16x-2与x轴的交点的横坐标,
∴2r2+16r+2=0,∴r2+8r+1=0,
∴r2+1=-8r,∴(r2+1)2=(-8r)2,
∴r4+2r2+1=64r2,∴r4-2r2+1=60r2;
(3)m>1正确,理由如下:
由(2)知:r4-2r2+1=60r2;
∴r4-62r2+1=0,∴r7-62r5+r3=0,
而m-1=-1
=
==,
由(2)知:r2+8r+1=0,∴8r=-r2-1,
∵-r2-1<0,∴8r<0,即r<0,∴r9+60r5-1<0,∴>0,即m-1>0,∴m>1.
4.(2023·云南中考)数和形是数学研究客观物体的两个方面,数(代数)侧重研究物体数量方面,具有精确性,形(几何)侧重研究物体形的方面,具有直观性.数和形相互联系,可用数来反映空间形式,也可用形来说明数量关系.数形结合就是把两者结合起来考虑问题,充分利用代数、几何各自的优势,数形互化,共同解决问题.
同学们,请你结合所学的数学知识解决下列问题.
在平面直角坐标系中,若点的横坐标、纵坐标都为整数,则称这样的点为整点.设函数y=(4a+2)x2+(9-6a)x-4a+4(实数a为常数)的图象为图象T.
(1)求证:无论a取什么实数,图象T与x轴总有公共点.
(2)是否存在整数a,使图象T与x轴的公共点中有整点 若存在,求所有整数a的值;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)当a=-时,函数表达式为y=12x+6,令y=0,得x=-,
∴此时函数y=(4a+2)x2+(9-6a)x-4a+4(实数a为常数)的图象与x轴有交点;
当a≠-时,y=(4a+2)x2+(9-6a)x-4a+4为二次函数,∵Δ=(9-6a)2-4(4a+2)(-4a+4)=100a2-140a+49=(10a-7)2≥0,
∴函数y=(4a+2)x2+(9-6a)x-4a+4(实数a为常数)的图象与x轴有交点.
综上所述,无论a取什么实数,图象T与x轴总有公共点.
(2)存在整数a,使图象T与x轴的公共点中有整点,理由如下:当a=-时,不符合题意;当a≠-时,在y=(4a+2)x2+(9-6a)x-4a+4中,令y=0得,0=(4a+2)x2+(9-6a)x-4a+4,解得x=-(舍去)或x=.
∵x==2-,a是整数,
∴当2a+1是6的因数时,是整数,
∴2a+1=-6或2a+1=-3或2a+1=-2或2a+1=-1或2a+1=1或2a+1=2或2a+1=3或2a+1=6,
解得a=-或a=-2或a=-或a=-1或a=0或a=或a=1或a=.
∵a是整数,∴a=-2或a=-1或a=0或a=1.
5.(2022·云南中考)已知抛物线y=-x2-x+c经过点(0,2),且与x轴交于A,B两点.设k是抛物线y=-x2-x+c与x轴交点的横坐标,M是抛物线y=-x2-x+c上的点,常数m>0,S为△ABM的面积.已知使S=m成立的点M恰好有三个,设T为这三个点的纵坐标的和.
(1)求c的值;
(2)直接写出T的值;
(3)求的值.
【解析】(1)把点(0,2)代入抛物线
y=-x2-x+c中得:c=2;
(2)由(1)知:y=-x2-x+2=-(x+)2+,∴顶点的坐标为(-,),
∵使S=m成立的点M恰好有三个,常数m>0,S为△ABM的面积,
∴其中一个点M就是抛物线的顶点,
∴T=-×2+=-;
(3)当y=0时,-x2-x+2=0,x2+x-2=0,
∵k是抛物线y=-x2-x+c与x轴交点的横坐标,即x=k是x2+x-2=0的解,
∴k2+k-2=0,∴k2=2-k,
∴k4=(2-k)2=4-4k+3k2=4-4k+3(2-k)=10-7k,
∵k8+k6+2k4+4k2+16
=(10-7k)2+(2-k)(10-7k)+2(10-7k)+4(2-k)+16
=100-140k+147k2+20-24k+21k2+20-14k+8-4k+16
=164-182k+168(2-k)
=500-350k,
∴==.
高频考点·疑难突破
【考点一】二次函数的图象与性质
一题多问·多题归一
例1　已知抛物线y=-x2+x+3,请回答以下问题:
问题1　抛物线的开口方向__________.
问题2　将y=-x2+x+3化为顶点式.
【解析】y=-x2+x+3=-(x2-4x)+3=-(x2-4x+4-4)+3=-(x-2)2+4.
　向下　
【提分要点】将二次函数一般式化为顶点式的一般步骤
(1)一化:将二次项系数化为1;
(2)二配:将含有x的项配成完全平方式;
(3)三化:化为顶点式.
问题3　抛物线的对称轴为_____________.
【提分要点】求抛物线的对称轴的两种方法
(1)直接运用公式x=-求解.
(2)利用x=(其中x1,x2为关于对称轴对称的两点的横坐标)求解.
问题4　当x=_______时,y有最________值为_______.
问题5　若y随x的增大而增大,则x的取值范围是_________.
　直线x=2　
　2　
　大　
　4　
　x≤2　
问题6　设抛物线y=-x2+x+3与x轴的交点为A,B,与y轴的交点为C,顶点坐标为D.求四边形ABDC的面积.
【解析】令y=0,则-x2+x+3=0,
解得x1=-2,x2=6,
∴y=-x2+x+3与x轴的交点为A(-2,0),B(6,0).令x=0,则y=3,
∴y=-x2+x+3与y轴的交点为C(0,3).
y=-x2+x+3=-(x-2)2+4,
∴顶点坐标为D(2,4).
如图,过点D作DE⊥x轴于点E.
则S四边形ABDC=S△AOC+S四边形OCDE+S△DEB=×2×3+×(3+4)×2+×4×4=18.
【提分要点】求顶点坐标的三种方法
(1)直接运用顶点坐标公式(-,)求解.
(2)运用配方法将一般式转化为顶点式y=a(x-h)2+k,则顶点坐标为(h,k).
(3)将x0(对称轴为x=x0)代入函数解析式求得对应的y0.
问题7　将抛物线y=-x2+x+3向下平移3个单位,再向左平移1个单位,求所得新的抛物线的解析式.
【解析】y=-x2+x+3=-(x-2)2+4.
将抛物线y=-x2+x+3向下平移3个单位,再向左平移1个单位,则y=-(x-2+1)2+4-3=-(x-1)2+1=-x2+x+.
∴所得新的抛物线的解析式为y=-x2+x+.
【提分要点】二次函数图象的平移,其实质是图象上点的整体平移(一般研究顶点坐标),平移过程a保持不变,因此可先求出其顶点坐标,根据顶点的平移求得函数解析式.
问题8　若抛物线y=-x2+x+3上有A(-1,y1),B(3,y2),C(4,y3)三点,试比较y1,y2,y3的大小.
【解析】抛物线的对称轴为直线x=2.
∵A(-1,y1),
∴A点关于x=2的对称点为A'(5,y1),
∵a=-<0,
∴在x=2的右侧y随x的增大而减小,
∵A'(5,y1),B(3,y2),C(4,y3),5>4>3,
∴y1问题9　对于抛物线y=-x2+x+3,当0≤x≤8时,求y的最大值和最小值.
【解析】∵抛物线y=-x2+x+3的开口向下,且对称轴为直线x=2,
∴当x<2时,y随x的增大而增大.
当x>2时,y随x的增大而减小.
结合函数图象(图象略),当x=2时,y的最大值为4;当x=8时,y取最小值,最小值为
-×82+8+3=-5.
【易错警示】求二次函数在某一范围内的最值时,若对称轴在该范围内,则最值为二次函数的顶点纵坐标;若对称轴不在该范围内,则最值一般在该范围的两端点处取得,可根据增减性来确定.
问题10　直接写出-x2+x+3<0的解集:______________.
问题11　若抛物线y=-x2+x+3的解析式修改为y=(m-)x2+x+3,若抛物线y=(m-)x2
+x+3与x轴有交点,则m的取值范围是_______________.
问题12　若问题11修改为“若函数y=(m-)x2+x+3与x轴有交点”,则m的取值范围是_________.
【易错警示】若没有明确函数类型,注意要分类讨论.
　x<-2或x>6　
　m≤且m≠　
　m≤　
【考点二】二次函数图象与系数的关系
例2 (2025·达州中考)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(1,0),点B(3,0).下列结论:①abc<0;②4a+b=0;③b2-4ac>0;④a-b+c>0.正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
D
【考点三】确定二次函数解析式
例3　(2024·包头中考)将抛物线y=x2+2x向下平移2个单位后,所得新抛物线的顶点式为( )
A.y=(x+1)2-3 B.y=(x+1)2-2
C.y=(x-1)2-3 D.y=(x-1)2-2
【变式】(2025·上海中考)抛物线y=3x2向下平移两个单位长度所得的抛物线解析式为____________.
A
　y=3x2-2　
【提分要点】求二次函数解析式时设法技巧
所给条件 解析式设法(a≠0)
顶点在原点 y=ax2
对称轴是y轴(或顶点在y轴上) y=ax2+c
顶点在x轴上 y=a(x-h)2
抛物线过原点 y=ax2+bx
已知顶点(h,k) 顶点式y=a(x-h)2+k
已知抛物线与x轴的两交点坐标为(x1,0),(x2,0),或已知对称轴及与x轴的一个交点(x1,0),利用对称轴可求出另外一个交点的坐标(x2,0) 交点式y=a(x-x1)(x-x2)
本课结束(共16张PPT)
第三单元　函数
第九讲　函数初步
(5年3考,2~4分)
知识清单 主干回顾
云南5年真题
高频考点·疑难突破
知识清单 主干回顾
知识要点
1.平面直角坐标系
(1)各象限点的坐标的符号特征:
第一象限(+,+);第二象限_________;
第三象限(-,-);第四象限_________.
(2)坐标轴上点的坐标特征:x轴上的点____________为0;y轴上的点____________为0;原点的坐标为_________.
　(-,+)　
　(+,-)　
　纵坐标　
　横坐标　
　(0,0)　
1.(1)(教材再开发·人教七下P84T1改编)下面各点在第二象限的是( )
A.(-2,0) B.(-2,4)
C.(2,4) D.(2,-4)
(2)在平面直角坐标系中,若点P(m+3,-2m)在y轴上,则m的值为( )
A.-1 B.1 C.-3 D.0
对点练习
B
C
2.函数的定义
(1)常量与变量:在某一变化过程中,始终保持不变的量叫做__________,数值变化的量叫做__________.
(2)函数:在一个变化过程中,如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值,y都有__________确定的值与其对应,那么就说_______是自变量,______是______
的函数.
如果当x=a时,y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的____________.
知识要点
　常量　
　变量　
　唯一　
　x　
　y　
　x
　函数值　
2.(1)(教材再开发·人教八下P71练习改编)在圆的面积公式S=πr2中,变量是( )
A.S,π B.S,r C.π,r D.只有r
(2)下列说法正确的是( )
A.变量x,y满足y=x+1,则y是x的函数
B.变量x,y满足y2=x,则y是x的函数
C.变量x,y满足|y|=x,则y是x的函数
D.在V=πr3中,是常量,r是自变量,V是r的函数
对点练习
B
A
云南5年真题
1.(2025·云南中考)函数y=的自变量x的取值范围为( )
A.x≠4　　　　　　　　B.x≠3　　　　　　　　C.x≠2　　　　　　　　D.x≠1
2.(2023·云南中考)函数y=的自变量x的取值范围是__________.
D
　x≠10　
高频考点·疑难突破
【考点一】平面直角坐标系中点的坐标特征
一题多问·多题归一
例1　在平面直角坐标系中,已知点P(a,x2+1).请解答下列问题:
问题1　当a=-3时,点P在第________象限.
问题2　若点P在第一象限,则a的取值范围为_________.
问题3　若点P在y轴上,则a的值为_______.
问题4　当a=-3,x=2时,点P到y轴的距离为_______,点P到原点的距离为_______.
　二　
　a>0　
　0　
　3　
　
问题5　若点P的坐标更改为(3,b),点P到x轴的距离为3,则点P的坐标为_________
________.
问题6　若点Q(a+2,x2+1),则直线PQ与x轴的位置关系为__________,线段PQ的长为_______.
问题7　若点P的坐标更改为 (3,b),点P在第四象限的角平分线上,则b的值为
_______.
　(3,3)或
(3,-3)　
　平行　
　2　
　-3　
【考点二】函数自变量的取值范围
例2　(2024·齐齐哈尔中考)在函数y=+中,自变量x的取值范围是_______
_________.
【变式1】(2025·德阳中考)函数y=的自变量x的取值范围是_________.
【变式2】(2024·龙东中考)在函数y=中,自变量x的取值范围是_________.
　x>-3
且x≠-2　
　x≠3　
　x≥3　
【提分要点】
常见的自变量取值范围的求法
函数表达式 自变量 x的取值范围
含有分式 使分母不等于0的实数
含有二次根式(y=) 使被开方数大于或等于0的实数
含有分式与二次根式 (y=或y=) 使分母不等于0,且被开方数大于或等于 0的实数
【考点三】用函数图象描述事物变化的规律
例3　(2023·烟台中考)如图1,在△ABC中,动点P从点A出发,沿折线AB→BC→CA匀速运动至点A后停止.设点P的运动路程为x,线段AP的长度为y,图2是y与x的函数关系的大致图象,其中点F为曲线DE的最低点,则△ABC的高CG的长为_______.
　
【提分要点】
以几何图形中动点问题为背景,判断函数图象的题目,一般的解题思路有两种情形:
(1)找因变量与自变量x(或t)之间存在的函数关系,用含x(或t)的式子表示,再找出相对应的函数图象,要注意是否分类讨论自变量x(或t)的取值范围.
(2)不需要列函数关系式,直接根据几何量的变化趋势判断函数图象;根据题目中自变量与因变量对应的几何量及动点的运动轨迹,先确定转折点,然后判断每个转折点前后区间内相关量的增减性,最后判断函数图象.
【考点四】函数图象信息综合分析及应用
例4　(2025·成都中考)小明从家跑步到体育馆,在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书,然后步行回家(小明家、书店、体育馆依次在同一直线上),如图表示的是小明离家的距离与时间的关系.下列说法正确的是( )
A.小明家到体育馆的距离为2 km
B.小明在体育馆锻炼的时间为45 min
C.小明家到书店的距离为1 km
D.小明从书店到家步行的时间为40 min
C
【提分要点】
分析函数图象的步骤
(1)分清图象的横、纵坐标代表的量及函数自变量的取值范围;
(2)找出分段函数的转折点、函数增减性发生变化的点以及函数图象与坐标轴的交点,根据这些特殊点的坐标求出几何运动特殊位置上的几何量,从而解决问题.
本课结束

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