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(共26张PPT)
第四单元　三角形
第十五讲　图形初步知识(5年4考,2~4分)
知识清单 主干回顾
云南5年真题
高频考点·疑难突破
知识清单 主干回顾
知识要点
1.线和角
(1)两个基本事实:
①经过两点有且只有__________直线.
②两点之间,__________最短.
(2)互余的性质:同角(或等角)的余角__________.
(3)互补的性质:同角(或等角)的补角__________.
(4)对顶角的性质:对顶角__________.
　一条　
　线段　
　相等　
　相等　
　相等　
1.(1)如图,两直线交于点O,若∠1+∠2=76°,则∠1为________度.
(2)70°的余角是________°.
(3)若∠A=34°,则∠A的补角为_________.
对点练习
　38　
　20　
　146°　
2.垂直及其性质
(1)点到直线的距离:直线外一点到这条直线的____________的长度.
(2)垂直的基本性质:
①在同一平面内,过一点______________一条直线垂直于已知直线.
②连接直线外一点与直线上各点的线段中,____________最短.
知识要点
　垂线段　
　有且只有　
　垂线段　
2.如图,斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路.小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理,这一想法体现的数学依据是( )
A.垂线段最短
B.两点确定一条直线
C.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
对点练习
A
3.平行线的性质及判定
(1)平行公理
公理:经过直线外一点,有且只有________条直线与这条直线平行
推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相__________
(2)性质和判定
①两直线平行 同位角__________
②两直线平行 内错角__________
③两直线平行 同旁内角__________
知识要点
　一　
　平行　
　相等　
　相等　
　互补　
3.(教材再开发·人教七下P15习题5.2T4改编)如图,直线l1,l2,l3被直线l4所截,若l1∥l2,l2∥l3,∠1=126°32',则∠2的度数是 ___________.
对点练习
　53°28'　
4.立体图形的展开图
知识要点
几何体 立体图形 表面展开图 侧面展开图
圆柱
圆锥
三棱柱
4.如图是一个正方体的展开图,则与“昆”字一面相对的字是( )
A.四 B.季 C.如 D.春
对点练习
D
云南5年真题
1.(2025·云南中考)如图,已知直线c与直线a,b都相交.若a∥b,∠1=50°,则∠2=( )
A.53° B.52° C.51° D.50°
D
2.(2023·云南中考)如图,直线c与直线a,b都相交.若a∥b,∠1=35°,则∠2=( )
A.145°　 B.65°　 C.55°　 D.35°
D
3.(2022·云南中考)如图,已知直线c与直线a,b都相交.若a∥b,∠1=85°,则∠2=( )
A.110° B.105° C.100° D.95°
D
4.(2021·云南中考)如图,直线c与直线a,b都相交.若a∥b,∠1=55°,则∠2=( )
A.60° B.55° C.50° D.45°
B
高频考点·疑难突破
【考点一】立体图形的展开图
例1 (2025·内江中考)如图是正方体的表面展开图,与“共”字相对的字是( )
A.安　　　　 B.全
C.校 D.园
B
【变式】(2025·德阳中考)下列图形中可以作为正方体的展开图的是( )
A
【提分要点】
判断正方体表面展开图上的相对面、相邻面
(1)相间“Z”端是对面.
①相间的两个小正方形(中间隔着一个小正方形)是正方体的两个对面;
②“Z”字型“ ”两端处的小正方形是正方体的对面.
(2)间二拐角是邻面.
①中间隔着两个小正方形的面是正方体的邻面;
②拐角型“ ”的三个面是正方体的邻面.
【考点二】平行线的性质与判定
一题多问·多题归一
例2　如图①,直线AB,CD分别交直线CE于点F,C.
问题1　如图①,∠1的同位角是_________,内错角是_________,同旁内角是
_________.
问题2　若∠1=20°17',则∠1的余角为___________,补角为____________.
　∠4　
　∠2　
　∠5　
　69°43'　
　159°43'　
【提分要点】
同一个锐角的补角比它的余角大90°.
问题3　如图①,下列条件不能判定直线AB∥CD的是( )
A.∠1=∠2 B.∠1=∠4
C.∠1+∠5=180° D.∠1=∠5
问题4　如图①,若直线AB∥CD,∠1=25°,则∠2=________,∠3=_________,
∠4=________.
D
　25°　
　155°　
　25°　
问题5　若FG和FH分别平分∠AFE和∠BFE,则FG和FH有什么样的位置关系
说明理由.
【解析】FG⊥FH.理由:如图,∵FG和FH分别平分∠AFE和∠BFE,
∴∠GFE=∠AFE,∠HFE=∠BFE.
∵∠AFE+∠BFE=180°,
∴∠GFE+∠HFE=(∠AFE+∠BFE)=90°.即∠GFH=90°,∴FG⊥FH.
　【提分要点】
一对邻补角的平分线互相垂直,如图.
问题6　若AB∥CD,FM和CM分别平分∠BFC和∠DCF,FM和CM相交于点M,则FM和CM有什么样的位置关系 说明理由.
【解析】FM⊥CM.
理由如下:
∵FM和CM分别平分∠BFC和∠DCF,
∴∠CFM=∠BFC,∠FCM=∠DCF.
∵AB∥CD,∴∠BFC+∠DCF=180°,
∴∠CFM+∠FCM=(∠BFC+∠DCF)=90°.
∴∠CMF=90°,∴FM⊥CM.
【提分要点】
两直线平行,一对同旁内角的平分线互相垂直,如图.
【变式1】(2024·甘孜州中考)如图,AB∥CD,AD平分∠BAC,∠1=30°,则∠2=( )
　　　　　　　　　　　　　　 　
A.15° B.30° C.45° D.60°
B
【变式2】(2024·通辽中考)将三角尺ABC按如图位置摆放,顶点A落在直线l1上,顶点B落在直线l2上,若l1∥l2,∠1=25°,则∠2的度数是( )
A.45° B.35° C.30° D.25°
B
本课结束(共40张PPT)
第十七讲　全等三角形(5年8考,6~10分)
知识清单 主干回顾
云南5年真题
高频考点·疑难突破
知识清单 主干回顾
知识要点
1.全等三角形的概念
能够______________的两个三角形.
1.下列说法正确的是( )
A.全等三角形的周长和面积分别相等
B.全等三角形是指形状相同的两个三角形
C.全等三角形是指面积相等的两个三角形
D.所有的等边三角形都是全等三角形
对点练习
A
　完全重合　
2.全等三角形的性质
全等三角形的对应边__________,对应角__________.
知识要点
2. 如图,点B,F,C,E在同一条直线上,△ABC≌△DEF,若∠A=65°,则∠D=________.
对点练习
　相等　
　相等　
　65°　
3.全等三角形的判定定理
(1)三边分别__________的两个三角形全等(简写成“边边边”或“_________”).
(2)两边和它们的夹角分别__________的两个三角形全等(简写成“边角边”或“_________”).
(3)两角和它们的夹边分别__________的两个三角形全等(简写成“角边角”或“__________”).
(4)两角和其中一个角的对边分别__________的两个三角形全等(简写成“角角边”或“__________”).
(5)斜边和一条直角边分别__________的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“________”).
知识要点
　相等　
　SSS　
　相等　
　SAS　
　相等　
　ASA　
　相等　
　AAS　
　相等　
　HL　
3.(教材再开发·人教八上P42例5改编)如图,在△ABC和△DCB中,∠ACB=∠DBC,添加一个条件,不能证明△ABC和△DCB全等的是( )
A.∠ABC=∠DCB B.AB=DC
C.AC=DB D.∠A=∠D
对点练习
B
4.角平分线的性质与判定
(1)性质:角平分线上的点到角两边的__________相等.
(2)判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的____________上.
知识要点
　距离　
　平分线　
4. (1)如图,AD是∠BAC的平分线,点P在AD上,PM⊥AB于点M,PM=3,则点P到AC的距离是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)到角的两边距离相等的点,在______________________,所以,如果点P到∠AOB两边的距离相等,那么射线OP是____________________.
对点练习
C
　这个角的平分线上　
　∠AOB的平分线　
5.线段垂直平分线的性质与判定
(1)性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离__________.
(2)判定:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的________________上.
知识要点
　相等　
　垂直平分线　
5. 如图,在△ABC中,以A为圆心,AC长为半径作弧,交BC于C,D两点,分别以点C和点D为圆心,大于CD长为半径作弧,两弧交于点P,作直线AP,交CD于点E.若AC=5,
CD=6,则AE=_______.
对点练习
　4　
云南5年真题
1. (2022·云南中考)如图,OB平分∠AOC,D,E,F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点,D,E,F与O点都不重合,连接ED,EF.若添加下列条件中的某一个,就能使△DOE≌△FOE.你认为要添加的那个条件是( )
A.OD=OE
B.OE=OF
C.∠ODE=∠OED
D.∠ODE=∠OFE
D
2.(2025·云南中考)如图,AB与CD相交于点O,AC=BD,∠C=∠D.
求证:△AOC≌△BOD.
【证明】在△AOC和△BOD中,
∴△AOC≌△BOD(AAS).
3.(2023·云南中考)如图,C是BD的中点,AB=ED,AC=EC.求证:△ABC≌△EDC.
【证明】∵C是BD的中点,
∴BC=DC,
在△ABC和△EDC中,
∴△ABC≌△EDC(SSS).
4.(2021·云南中考)如图,在四边形ABCD中,AD=BC,AC=BD,AC与BD相交于点E.求证:∠DAC=∠CBD.
【证明】略
5.(2024·云南中考)如图,在△ABC和△AED中,AB=AE,∠BAE=∠CAD,AC=AD.
求证:△ABC≌△AED.
【证明】∵∠BAE=∠CAD,
∴∠BAE+∠CAE=∠CAD+∠CAE,即∠BAC=∠EAD,
在△ABC与△AED中,
∴△ABC≌△AED(SAS).
高频考点·疑难突破
【考点一】全等三角形的性质与判定
例1　(2025·昆明西山区三模)如图,AB∥FD,BD=CE,∠A=∠F,求证:△ABC≌△FDE.
【证明】∵BD=CE,∴BD+DC=DC+CE,
∴BC=DE.∵AB∥FD,∴∠B=∠FDE.
在△ABC和△FDE中,
∴△ABC≌△FDE(AAS).
【解题宝典】平移型中的基本模型及总结
图 示
模 型 总 结 有一组边共线,另两组边分别平行,常要在移动方向上加(减)公共线段,构造线段相等,并利用平行线性质找到对应角相等
例2 (2025·湖北中考)如图,AB=AD,AC平分∠BAD.求证:∠B=∠D.

【证明】∵AC平分∠BAD,
∴∠BAC=∠DAC,
∵在△ABC和△ADC中,
∴△BAC≌△DAC(SAS),
∴∠B=∠D.
【解题宝典】对称型中的基本模型及总结
图示 模型总结
所给图形可沿某一直线折叠,直线两旁的部分能完全重合,重合的顶点就是全等三角形的对应顶点,解题时要注意其隐含条件,即公共边或公共角相等
例3　(2025·内江中考)如图,点B,F,C,E在同一条直线上,AC=DF,∠A=∠D,
AB∥DE.
(1)求证:△ABC≌△DEF;
(2)若BF=4,FC=3,求BE的长.
【解析】(1)∵AB∥DE,
∴∠B=∠E,
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(AAS);
(2)由(1)可知:△ABC≌△DEF,∴BC=EF,
∴BF+CF=EC+CF,∴BF=EC,
∵BF=4,∴EC=4,∵FC=3,
∴BE=BF+FC+EC=4+3+4=11.
【解题宝典】不共点旋转型的基本模型及总结
图示
模型 总结 所给图形是一个中心对称图形,一个三角形绕中心对称点旋转180°,可得到另一个三角形,两个三角形有一组边共线,构造线段相等,并利用平行线性质找到对应角相等
例4 (2025·昆明盘龙区模拟)如图,∠1=∠2,∠A=∠B,AE=BE,点D在边AC上,AE与BD相交于点O.求证:△AEC≌△BED.
【证明】∵∠1=∠2,∴∠1+∠AED=∠2+∠AED,∴∠AEC=∠BED,
在△AEC和△BED中,
∴△AEC≌△BED(ASA).
【解题宝典】共点旋转型的基本模型及总结
图示1 (无重叠)
图示2 (有重叠)
模型 总结 此模型可看成是由三角形绕着公共顶点旋转一定角度所构成的,在旋转过程中,两个三角形无重叠或有重叠,找等角或运用角的和差得到等角.注:遇到共顶点、等线段时,考虑用旋转
例5　(1)如图①,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,P是BC上一点,PA=PD,
∠APD=90°.求证:AB+CD=BC.
(2)如图②,在四边形ABCD中,∠B=∠C=45°,P是BC上一点,PA=PD,∠APD=90°.求的值.
【解析】(1)∵∠B=∠APD=90°,
∴∠BAP+∠APB=90°,∠APB+∠DPC=90°,
∴∠BAP=∠DPC,
又PA=DP,∠B=∠C=90°,
∴△BAP≌△CPD(AAS),
∴BP=CD,AB=PC,
∴BC=BP+PC=AB+CD;
(2)如图②,过点A作AE⊥BC于E,过点D作DF⊥BC于F,
由(1)可知,EF=AE+DF,
∵∠B=∠C=45°,AE⊥BC,DF⊥BC,
∴∠B=∠BAE=45°,∠C=∠CDF=45°,
∴BE=AE,CF=DF,AB=AE,CD=DF,
∴BC=BE+EF+CF=2(AE+DF),
∴==.
【解题宝典】三垂直型的基本模型及总结
图示
模型 总结 有三个直角,常利用同角(等角)的余角相等证明角相等
【考点二】角的平分线的性质与判定
例6 (2023·随州中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,D为AC上一点,若BD是∠ABC的平分线,则AD=_______.
　5　
【变式】(2025·昆明模拟)在Rt△ABC中,∠C=90°,以顶点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC,AB于点E,F;再分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP交BC于点D.若CD=6,则点D到AB的距离是_______.
　6　
【解题宝典】与角平分线有关的辅助线
(1)点在角平分线上,可向角两边作垂线.
①若已知OP为∠MON的平分线,PA⊥OM,PB⊥ON,由角平分线上的点到角两边的距离相等,得PB=PA,Rt△POA≌Rt△POB;
②若只有角平分线,可以向角的一边或两边作垂线,构造边的垂线,得到两个全等三角形.
(2)角平分线+平行线→等腰三角形.
①若点P是∠MON的平分线上一点,且PQ∥ON,
可得等腰△OPQ,利用等腰三角形的性质解题;
②有角平分线、无平行线时,构造平行线,可简记为“角平分线+平行线,等腰必呈现”.
【考点三】线段垂直平分线的性质与判定
例7 (2025·连云港中考)如图,在△ABC中,BC=7,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点F,G,则△AEG的周长为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
C
【变式】如图,∠AOB内一点P,P1,P2分别是P关于OA,OB的对称点,P1P2交OA于M,交OB于N,若P1P2=5 cm,则△PMN的周长是_______cm.
　5　
【提分要点】
线段垂直平分线的性质与判定的应用
线段垂直平分线的性质与判定在几何证明中应用广泛.利用尺规作出线段垂直平分线可用来作一条直线的垂线或找线段的中点等.
【考点四】尺规作图
例8　(2024·绥化中考)已知:△ABC.
(1)尺规作图:画出△ABC的重心G.(保留作图痕迹,不要求写作法和证明)
(2)在(1)的条件下,连接AG,BG.已知△ABG的面积等于5 cm2,则△ABC的面积是
　　　　cm2.
【解析】(1)分别作出AB边和BC边的垂直平分线,与AB和BC边分别交于点N和点M,连接AM和CN,交点为点G.
如图所示,点G即为所求作的点.
(2)∵点G是△ABC的重心,
∴AG=2MG,
∵△ABG的面积等于5 cm2,
∴△BMG的面积等于2.5 cm2,
∴△ABM的面积等于7.5 cm2.
又∵AM是△ABC的中线,
∴△ABC的面积等于15 cm2.
答案:15
本课结束(共20张PPT)
第十六讲　三角形
知识清单 主干回顾
云南5年真题
高频考点·疑难突破
知识清单 主干回顾
知识要点
1.三角形中的三条重要线段
(1)中线:三角形的三条中线的交点在三角形的________部,这个交点叫做三角形的__________.
(2)角平分线:三角形的三条角平分线的交点在三角形的________部.
(3)高:__________三角形的三条高的交点在三角形的内部;直角三角形的三条高的交点是______________;__________三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部.
　内　
　重心　
　内　
　锐角　
　直角顶点　
　钝角　
1.下列说法正确的是( )
①三角形的角平分线是射线;
②三角形的三条角平分线都在三角形内部;
③三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分;
④三角形的三条高都在三角形内部.
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
对点练习
B
2.三角形的三边关系
三角形的两边之和__________第三边,三角形的两边之差__________第三边.
知识要点
2.(教材再开发·人教八上P8习题11.1T2改编)用一根小木棒与两根长度分别为
3 cm,5 cm的小木棒组成三角形,则这根小木棒的长度可以是( )
A.9 cm B.7 cm C.2 cm D.1 cm
对点练习
B
　大于　
　小于　
3.三角形的内角和定理及其推论
(1)定理:三角形三个内角的和等于_________.
(2)推论:①三角形的一个外角等于和它______________________的和.
②直角三角形的两个锐角__________.
知识要点
　180°　
　不相邻的两个内角　
　互余　
3. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=56°,则∠A的度数为( )
A.34° B.44°
C.124° D.134°
对点练习
A
4.多边形
(1)内角和定理:n边形的内角和是___________.
(2)外角和定理:任意多边形的外角和为_________.
(3)正多边形:各个角__________,各条边__________的多边形.
知识要点
4.若一个正多边形的一个外角是45°,则这个正多边形的边数是( )
A.7 B.8 C.9 D.10
对点练习
B
(n-2)×180°
　360°　
　相等　
　相等　
云南5年真题
1.(2025·云南中考)一个六边形的内角和等于( )
A.360° B.540° C.720° D.900°
2.(2024·云南中考)一个七边形的内角和等于( )
A.540° B.900°
C.980° D.1 080°
3.(2021·云南中考)一个十边形的内角和等于( )
A.1 800° B.1 660°
C.1 440° D.1 200°
4.(2023·云南中考)五边形的内角和等于_________°.
C
B
C
　540　
高频考点·疑难突破
【考点一】三角形的三边关系
例1　(2025·连云港中考)下列长度(单位:cm)的3根小木棒能搭成三角形的是( )
A.1,2,3 B.2,3,4
C.3,5,8 D.4,5,10
【提分要点】判断三条边(a,b,c,0c,则能构成三角形;反之,不能构成三角形.
B
【变式1】(2022·金华中考)已知三角形的两边长分别为5 cm和8 cm,则第三边的长可以是( )
A.2 cm B.3 cm C.6 cm D.13 cm
【变式2】已知a,b,c是△ABC的三边长,a,b满足|a-7|+(b-1)2=0,c为奇数,则c=
_______.
【提分要点】已知两边求第三边:设三角形的两边长分别为a,b(a>b),则第三边长c必须满足条件:a-bC
　7　
【考点二】　三角形的内角和及三角形重要线段的计算
一题多问·多题归一
例2　如图,在△ABC中,BE与CF相交于点D,点E在AC上,点F在AB上.
问题1　若BE,CF分别是∠ABC,∠ACB的平分线,∠A=50°.求∠BDC的度数.
【解析】∵BE,CF分别是∠ABC,∠ACB的平分线,∴∠EBC=∠ABC,
∠FCB=∠ACB.∵∠A=50°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°.
∴∠EBC+∠FCB=(∠ABC+∠ACB)=×130°=65°.
∴∠BDC=180°-(∠EBC+∠FCB)=180°-65°=115°.
问题2　若CF,BE分别是AB,AC边上的中线,AE=2,AF=3,且△ABC的周长为15,求BC的长.
【解析】∵CF,BE分别是AB,AC边上的中线,
∴AF=BF,AE=CE.
∵AE=2,AF=3,∴AB=2AF=6,AC=2AE=4.
∵△ABC的周长为15,∴AB+AC+BC=15,∴BC=5.
问题3　若CF,BE分别是AB,AC边上的中线,连接EF.
(1)EF=　　　.(用字母表示)
(2)若∠A=50°,∠AEF=60°,求∠ABC的度数.
(3)当S△ABC=6时,求S△BDC的值.
【解析】(1)BC
(2)∵点E,F分别为AC,AB的中点,
∴EF为△ABC的中位线,
∴EF∥BC,∴∠ACB=∠AEF=60°,
∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB=180°-50°-60°=70°.
(3)∵EF∥BC,EF=BC,∴==,
∴DB=BE,∴S△BDC=S△BCE.
∵BE是△ABC的中线,S△ABC=6,
∴S△BCE=S△ABC=×6=3,
∴S△BDC=S△BCE=×3=2.
问题4　若CF,BE分别是AB,AC边上的高,∠ABC=66°,∠ACB=54°,求∠BDC的度数.
【解析】∵∠ABC=66°,∠ACB=54°,∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-66°-54°
=60°.
又∵CF是AB边上的高,
∴∠AFC=90°.∴∠ACF=180°-∠A-∠AFC=180°-60°-90°=30°.
∵BE是AC边上的高,
∴∠BEC=90°.
∴∠BDC=∠BEC+∠ACF=90°+30°=120°.
【考点三】多边形的内角和与外角和
例3　(2025·遂宁中考)已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍,则该多边形的边数为( )
A.10 B.11 C.12 D.13
A
【变式1】(2025·甘肃中考)如图,一个多边形纸片的内角和为1 620°,按图示的剪法剪去一个内角后,所得新多边形的边数为( )
A.12 B.11 C.10 D.9
【变式2】(2025·扬州中考)若多边形的每个内角都是140°,则这个多边形的边数为_______.
A
　9　
本课结束(共35张PPT)
第十八讲　等腰三角形和直角三角形
(5年5考,4~6分)
知识清单 主干回顾
云南5年真题
高频考点·疑难突破
知识清单 主干回顾
知识要点
1.等腰三角形
(1)定义:有__________相等的三角形
(2)性质:①轴对称性:等腰三角形是轴对称图形,____________________________
__________________________是它的对称轴
②定理:(i)等腰三角形的两个底角__________(简称:________________)
(ii)等腰三角形的顶角____________、底边上的中线和底边上的________相互重合(简称“三线合一”)
(3)判定:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也______(简写为“____________”)
　两边　
　底边上的中线(或底边上的高
或顶角平分线)所在的直线　
　相等　
　等边对等角　
　平分线　
　高　
相等
等角对等边
1.(1)(教材再开发·人教八上P8T7改编)已知等腰三角形的两边长分别为4 cm和
8 cm,则此三角形的周长为________cm.
(2)等腰三角形的顶角度数为70°,则它的底角度数为________.
(3)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,若BC=4,则BD=_______.
对点练习
　20　
　55°　
　2　
2.等边三角形
(1)定义:__________相等的三角形
(2)性质:①等边三角形的三个内角都__________,并且每一个角都等于________
②等边三角形是轴对称图形,并且有________条对称轴
(3)判定:①三个角都__________的三角形
②有一个角是60°的__________三角形
知识要点
　三边　
　相等　
　60°　
　相等　
　等腰　
　三　
2. 如图,在等边△ABC中,AD⊥BC,AB=5 cm,则DC的长为________.
对点练习
cm　
3.直角三角形的性质与判定
(1)性质:①直角三角形的两个锐角__________
②在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的__________
③在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的__________
(2)判定:①定义法:有一个角是__________的三角形
②两个内角__________的三角形
知识要点
　互余　
　一半　
　一半　
　直角　
　互余　
3.(1)已知:在一个直角三角形中,30°角所对的直角边为3 cm,则斜边长为
__________.
(2)直角三角形斜边上的中线长为5 cm,则斜边长为________cm.
对点练习
　6 cm　
　10　
4.勾股定理及其逆定理
(1)勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么
_____________.
(2)勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足_________,那么这个三角形是直角三角形.
知识要点
4.若一个直角三角形的两边长分别是4 cm,3 cm,则第三条边长是__________cm.
对点练习
　a2+b2=c2　
a2+b2=c2
　5或　
5.命题、定理
(1)互逆命题:如果两个命题的__________和__________正好相反,我们把这样的两个命题叫做互逆命题,如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的_____
________.
(2)互逆定理:若一个定理的逆命题是正确的,那么它就是这个定理的逆定理,称这两个定理为__________定理.
知识要点
　题设　
　结论　
　逆
命题　
　互逆　
5.(1)把命题“同位角相等”改写成“如果……那么……”的形式为_______________
__________________________.
(2)命题“等边三角形是锐角三角形”的逆命题是________(填“真”或“假”)命题.
对点练习
　如果两个角是
同位角,那么这两个角相等　
　假　
云南5年真题
1.(2024·云南中考)已知AF是等腰△ABC底边BC上的高,若点F到直线AB的距离为3,则点F到直线AC的距离为( )
A. B.2 C.3 D.
2.(2022·云南中考)已知△ABC是等腰三角形.若∠A=40°,则△ABC的顶角度数是
______________.
C
　40°或100°　
高频考点·疑难突破
【考点一】等腰三角形的性质与判定
一题多问·多题归一
例1　如图,已知△ABC中,AB=AC.
问题1　若AB=3,BC=4,则△ABC的周长为________.
问题2　若△ABC的一边长为3,周长为12,则AB=_____.
　10　
　
【提分要点】在已知等腰三角形的两边长求其周长或已知周长和一边长求等腰三角形三边长时,需注意:
(1)利用分类讨论思想列举出三角形的三边长;
(2)利用三角形的三边关系检验是否能构成三角形.
问题3　如图,AD是∠BAC的平分线,且△ABC的周长为20,AD=6.求△ACD的周长.
【解析】∵AB=AC,AD是∠BAC的平分线,∴BD=CD.
∵△ABC的周长为20,
∴AB+AC+BC=20,
∴AC+CD=10.
又∵AD=6,
∴△ACD的周长为AC+CD+AD=16.
问题4　若点D在BC的延长线上,连接AD,∠ACD=110°,求∠BAC的度数.
【解析】∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.
∵∠ACD=110°,
∴∠ACB=180°-110°=70°,∴∠B=70°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=40°.
问题5　如图,若D在BC的延长线上,连接AD,AC=DC,∠BAC=40°,求∠D的度数.
【解析】∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.
∵∠BAC=40°,
∴∠B=∠ACB=×(180°-40°)=70°.
∵AC=DC,∴∠CAD=∠D,
∴∠ACB=∠CAD+∠D=2∠D,
∴∠D=35°.
问题6　如图,BE是△ABC的中线,且BE把△ABC的周长分为12和15两部分,求△ABC的三边长.
【解析】分为两种情况:
若AB+AE=12,BC+CE=15,
∵BE是△ABC的中线,∴AE=CE=AC.
又∵AB=AC,∴ AB=12,BC+AC=15,∴AB=AC=8,BC=11.
若AB+AE=15,BC+CE=12,
∵AB=AC,AE=CE=AC,
∴ AB=15,BC+AC=12,∴AB=AC=10,BC=7.
综上所述,三角形的三边长分别是8,8,11或10,10,7.
问题7　如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,则∠A=________度.
　36　
问题8　如图,若BD是∠ABC的平分线,交AC于点D,∠A=36°.
求证:△BDC是等腰三角形.
【证明】略
【提分要点】等腰三角形的判定方法
(1)证明三角形有两条边相等;
(2)证明三角形有两个角相等(等角对等边).
【考点二】等边三角形的性质与判定
一题多问·多题归一
例2　已知,△ABC为等边三角形,D为AC边上的一点,连接BD.
问题1　若BD为AC边上的中线,且BD=6,则∠ABD_______∠CBD (填“>”“<”或“=”),BD与AC的位置关系为__________,△ABC的面积=__________.
　=　
　垂直　
　12　
问题2　如图,BD为AC边上的中线,且BD=6.延长BC至点E,使CE=CD,求DE的长.
【解析】∵△ABC为等边三角形,BD为AC边上的中线,∴∠ABD=∠CBD=30°.
∵CD=CE,∴∠CDE=∠E.
∵∠ACB=60°,∴∠E=∠CDE=∠ACB=30°,∴∠E=∠CBD,
∴DE=BD=6.
问题3　如图,BD为AC边上的中线,过点D作DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为点E,F.求证:AE=CF.
【证明】略
问题4　如图,作∠ACE=∠ABD,截取CE=BD,连接AE,DE.求证:△ADE为等边三角形.
【证明】略
【提分要点】等边三角形判定的三种思路
(1)证明三角形的三条边相等;
(2)证明三角形的三个角相等;
(3)先证明三角形的一个角为60°,再证明有两条边相等.
【考点三】与直角三角形性质有关的计算
一题多问·多题归一
例3　在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D为BC上的点.
问题1　若AD⊥BC,当∠B=55°时,∠CAD=________.
问题2　若AD⊥BC,当BC=4,AB=2时,AD=_______.
【提分要点】直角三角形的面积公式
(1)面积:S=ab=ch,其中a,b为两条直角边,c为斜边,h为斜边上的高;
(2)公式应用:一般已知直角三角形的三边,求斜边上的高时,常用等面积法,利用公式h=进行求解.
　55°　
　
问题3　若AD⊥BC,BC=8,∠C=30°时,BD=_______.
【提分要点】含30°角的直角三角形的性质
(1)在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半;
(2)三个角之比为1∶2∶3;
(3)三边之比为1∶∶2.
　2　
问题4　当∠B=45°,BC=10时,求S△ABC.
【解析】∵∠B=45°,∠BAC=90°,
∴AB=AC.
∵在Rt△ABC中,AB2+AC2=102,
∴AB=AC=5,
∴S△ABC=AB·AC=25.
问题5　如图,若点D为BC的中点,连接AD,BC=4,求AD的长.
【解析】∵点D为BC的中点,
∴AD为BC边上的中线.
∵∠BAC=90°,
∴AD= BC=2.
问题6　如图,若AB=AC=4,CD=2,BD=6,求∠ACD的度数.
【解析】∵AB=AC=4,
∴在Rt△ABC中,BC ==4,∠ACB=45°.
∵CD=2,BD=6,BC2+CD2=BD2,
∴△BDC为直角三角形,且∠DCB=90°,
∴∠ACD=∠DCB-∠ACB=45°.
【考点四】命题与定理
例4　(2025·成都中考)下列命题中,假命题是( )
A.矩形的对角线相等
B.菱形的对角线互相垂直
C.正方形的对角线相等且互相垂直
D.平行四边形的对角线相等
D
【提分要点】判断命题真假的方法
只有对一件事情作出判断的语句才是命题,其中正确的命题是真命题,错误的命题是假命题.对于命题的真假(正误)判断问题,一般只需根据熟记的定义、公式、性质、判定定理等相关内容直接作出判断即可,有的则需要经过必要的推理与计算才能进一步确定真与假.
本课结束(共30张PPT)
第十九讲　解直角三角形(5年8考,4~8分)
知识清单 主干回顾
云南5年真题
高频考点·疑难突破
知识清单 主干回顾
知识要点
1.特殊角的三角函数值
α 30° 45° 60°
sin α ___ ____ ____
cos α ____ ____ ___
tan α ____ _______ _____







　1　

1.(1)2sin 45°的值等于( )　
A.1 B. C. D.2
(2)在△ABC中,若+(cos B-)2=0,则∠C的度数是________.
对点练习
B
　90°　
2.直角三角形中的边角关系
(1)三边之间的关系:_________.
(2)两锐角之间的关系:_________________.
(3)边角之间的关系:sin A=cos B=_____,sin B=cos A=_____,tan A=_____,
tan B=_____.
(4)解直角三角形:由直角三角形中的__________,求出其余__________的过程,叫做解直角三角形.
知识要点
a2+b2=c2
　∠A+∠B=90°　
　
　
　
　
已知元素
未知元素
2.(教材再开发·人教九下P65例2改编)
在Rt△ABC中,若∠C=90°,AC=5,BC=12,则sin A的值为______.
对点练习
　
3.解直角三角形的应用
(1)仰角和俯角:如图1,在同一铅垂面内视线和水平线间的夹角,视线在水平线
__________的叫做仰角,在水平线__________的叫做俯角.
知识要点
图1
　上方　
　下方　
(2)坡度(坡比)和坡角:如图2,通常把坡面的铅直高度h和__________之比叫做坡度(或叫做坡比),用字母__表示,即i=;坡面与________的夹角叫做坡角,记作α.所以i==tan α.
(3)方向角:指北或指南的方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角.
图2
水平宽度l
i
水平面
3.如图所示,有一天桥高AB为5米,BC是通向天桥的斜坡,∠ACB=45°,市政部门启动“陡改缓”工程,决定将斜坡的底端C延伸到D处,使∠D=30°,则CD的长度约为(参考数据:≈1.414,≈1.732)( )
A.1.59米 B.2.07米
C.3.55米 D.3.66米
对点练习
D
云南5年真题
1.(2025·云南中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.若AB=13,BC=5,则sin A=( )
　　　　　　　　　　　　
A. B. C. D.
D
2.(2024·云南中考)如图,在△ABC中,若∠B=90°,AB=3,BC=4,则tan A=( )
A. B. C. D.
3.(2021·云南中考)在△ABC中,∠ABC=90°.若AC=100,sin A=,则AB的长是( )
A. B. C.60 D.80
C
D
高频考点·疑难突破
【考点一】直角三角形的边角关系
一题多问·多题归一
例1　已知,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=3.
问题1　sin A= ,cos A=______, tan A=______.
sin B= ,cos B= ,tan B=_______.
　
　
　
　
　
　
【提分要点】
根据定义求三角函数值的方法
(1)分清直角三角形中的斜边与直角边.
(2)正确地表示出直角三角形的三边长,常设某条直角边长为k(有时也可以设为1),在求三角函数值的过程中约去k.
(3)正确应用勾股定理求第三条边长.
(4)应用锐角三角函数定义,求出三角函数值.
(5)求一个角的三角函数值时,若不易直接求出,也可把这个角转化成和它相等且位于直角三角形中的角.
问题2　∠A=________,∠B=________.
问题3　如图,过点C作CD⊥AB于点D,
求:(1)CD的长;(2)AD的长.
【解析】(1)由问题2知,∠A=30°,
在Rt△ACD中,CD=AC=.
(2)在Rt△ADC中,∵cos A=,
∴AD=AC·cos A=3×=.
　30°　
　60°　
【提分要点】在直角三角形中,由三角形的面积公式可得:直角三角形两直角边的积等于斜边与其高的乘积.
问题4　如图,作AB的垂直平分线DE,分别交AB,AC于点D,E,连接BE ,求BE的长.
【解析】∵DE垂直平分AB,∴AE=BE.∴∠ABE=∠A.
由问题2得∠A=30°,∴∠ABE=∠A=30°,
∴∠BEC=30°+30°=60°,
∴BE===2.
问题5　如图,点D为AC边上一点,且∠DBC=45°,过点D作DE⊥AB于点E,求AE的长.
【解析】∵∠DBC=45°,∠ACB=90°,
∴∠CDB=45°,∴CD=BC=3,
∴AD=AC-CD=3-3.
∵由问题2知,∠A=30°,DE⊥AB,
∴在Rt△ADE中,AE=AD·cos 30°
=(3-3)×=.
【提分要点】
解直角三角形的规律
解直角三角形的方法可概括为:“有斜(斜边)用弦(正弦、余弦),无斜用切(正切),宁乘勿除,取原避中.”即当已知斜边时,就用正弦(或余弦),无斜边时,就用正切;当求值可用乘法也可用除法时,则用乘法,不用除法;当可用已知数据也可用中间数据求解时,则用已知数据,尽量避免用中间数据.
【考点二】解直角三角形的应用
【类型一】与实际生活有关的问题
例2　(2025·凉山州中考)某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时,货物M与点O的连线MO恰好平行于地面,BM=3米,∠BOM=18.17°.(参考数据:sin 18.17°≈0.31,
cos 18.17°≈0.95,tan 18.17°≈0.33,sin 36°≈0.59,cos 36°≈0.81,tan 36°≈0.73,结果精确到1米)
(1)求直吊臂OB的长;
(2)直吊臂OB与BM的长度保持不变,OB绕点O逆时针旋转,
当∠OBM=36°时,货物M上升了多少米
【解析】(1)由题意得,BM⊥OM,
∵∠BOM=18.17°,BM=3米,
∴在Rt△BOM中,OB==≈10(米),
答:直吊臂OB的长为10米;
(2)如图,记旋转后的点B,M的对应点为B',M',
延长B'M'交OM于点F,过点B作BE⊥B'F于点E,
则∠BEF=90°,
由题意得B'M'=BM=3米,OB'=OB=10米,
∴∠BEF=∠EFM=∠BMF=90°,
∴四边形EFMB为矩形,
∴EF=BM=3米,
在Rt△B'OF中,B'F=OB'·cos ∠OB'M≈10×0.81=8.1(米),
∴M'F=B'F-B'M'=8.1-3=5.1≈5(米),
∴货物M上升了5米.
【类型二】视角类问题
例3　(2025·遂宁中考)在综合实践活动中,为了测得摩天轮的高度CF,在A处用高为1.6米的测角仪AD测得摩天轮顶端C的仰角α=37°,再向摩天轮方向前进30米至B处,又测得摩天轮顶端C的仰角β=50°.求摩天轮CF的高度.(结果精确到0.1米)
(参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75,sin 50°≈0.77,cos 50°≈0.64,
tan 50°≈1.19)
【解析】连接DE,延长线交CF于点G,∴DG⊥CF,
∵DA⊥AF,BE⊥AF,CF⊥AF,
∴四边形DEBA和四边形EGFB是矩形,
∴DE=AB=30米,BE=GF=1.6米,
设CG=x米,在Rt△CEG中,tan ∠CEG=tan β=,∴EG=≈,
∴DG=DE+EG=30+,
在Rt△CDG中,tan ∠CDG=tan α=,
∴CG=DG·tan α,即x≈(30+)×0.75,解得x≈60.85,
∴CF=CG+GF=60.85+1.6=62.45≈62.5(米),
答:摩天轮CF的高度约为62.5米.
【类型三】坡角类问题
例4 (2022·遂宁中考)数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度.
如图所示,塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面,在台阶底部点
A处测得塔楼顶端点E的仰角∠GAE=50.2°,台阶AB长26米,台
阶坡面AB的坡度i=5∶12,然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰
角∠EBF=63.4°,则塔顶到地面的高度EF约为多少米
(参考数据:tan 50.2°≈1.20,tan 63.4°≈2.00,sin 50.2°≈0.77,sin 63.4°≈0.89)
【思路点拨】延长EF交AG于点H,作BP⊥AG于点P,得到四边形BFHP是矩形,设EF=a米,BF=b米,构建方程组求解.
【解析】如图,延长EF交AG于点H,
则EH⊥AG,作BP⊥AG于点P,
则四边形BFHP是矩形,
∴FB=PH,FH=PB,
由i=5∶12,可以假设BP=5x,AP=12x,
∵PB2+PA2=AB2,∴(5x)2+(12x)2=262,
∴x=2或-2(舍去),
∴PB=FH=10,AP=24,
设EF=a米,BF=b米,
∵tan∠EBF=,∴=2,∴a=2b①,
∵tan∠EAH===,
∴=1.2②,由①②得a=47,b=23.5.
答:塔顶到地面的高度EF约为47米.
【类型四】方位角(方向角)类问题
例5 (2025·连云港中考)如图,港口B位于岛A的北偏西37°方向,灯塔C在岛A的正东方向,AC=6 km,一艘海轮D在岛A的正北方向,且B,D,C三点在一条直线上,
DC=BD.
(1)求岛A与港口B之间的距离;
(2)求tan C.
(参考数据:sin 37°≈,cos 37°≈,tan 37°≈)
【解析】(1) 如图,过点B作BM⊥AD,垂足为M,
∵AC⊥AD,∴BM∥AC,
∴△BDM∽△CDA,
∴=,
∵DC=BD,AC=6 km,
∴=,得BM= km,
在Rt△ABM中,由sin ∠BAD=sin 37°==≈,∴AB=4 km,
答:岛A与港口B之间的距离为4 km;
(2)在Rt△ABM中,AM=AB·cos 37°≈4×=,
∵△BDM∽△CDA,∴==,
∴AD=AM=×=,
∴在Rt△ADC中,tan C===.
本课结束

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