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(共16张PPT)
第三讲　分式
知识清单 主干回顾
高频考点·疑难突破
知识清单 主干回顾
知识要点
1.分式的概念
(1)一般地,如果A,B表示两个__________,并且B中含有__________,那么式子叫做分式.
(2)分式有意义的条件:_________.
(3)分式值为0的条件:______________.
　整式　
　字母　
　B≠0　
　A=0且B≠0　
1.(1)在代数式,xyz,,3-,中,分式有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
(2)(教材再开发·人教八上P128例1改编)若分式有意义,则x的取值范围是( )
A.x≥2 B.x≠2且x≠-1
C.x≠2 D.x≠-1
对点练习
B
C
2.分式的基本性质
(1)分式的分子与分母同乘(或除以)同一个不等于0的__________,分式的值
__________.
用式子表示:=_______=_______(其中M为不等于0 的整式).
(2)约分:把一个分式的分子与分母的____________约去,叫做分式的约分.
(3)通分:把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.
知识要点
　整式　
　不变　
　
　
　公因式　
2.(1)(教材再开发·人教八上P133T4变式)下列分式变形中,一定正确的是( )　　　　　　　
A.= B.=
C.= D.=
(2)如果把分式中的a和b都扩大为原来的两倍,那么分式的值( )
A.变为原来的4倍　　
B.变为原来的
C.不变
D.变为原来的2倍
对点练习
B
B
3.分式的运算
(1)分式的加减:
①同分母的分式:±=_______.
②异分母的分式:±=±______=_________.
(2)分式的乘法:·= .
(3)分式的除法:÷=·= .
(4)分式的乘方:= .
知识要点
　
　
　
　
　
　
3.先化简,再求值: (1-)÷,其中x=2.
【解析】(1-)÷=x+1,
当x=2时,原式=3.
对点练习
高频考点·疑难突破
【考点一】分式的性质及运算
一题多问·多题归一
例1　仔细观察下列各式,解答以下问题.
①;②;③x-3.
问题1　以上三个式子,是分式的是　　　;是最简分式的是　　　　(填序号);请把不是最简分式的化为最简分式.
【解析】根据分式和最简分式的概念,①②的式子是分式,③中的式子是整式;②中的式子是最简分式.==.
【易错提醒】判断一个式子是否为分式,不需将其化简后再判断,只要看原式的本来“面目”是否符合分式的概念.
【提分要点】
约分的关键和步骤
(1)约分的关键:找公因式.
(2)约分的步骤:①分子、分母能分解因式的,先分解因式;②取分子、分母中的相同因式的最低次幂(数字因式取它们的最大公因数)的积作为公因式.
问题2　分式有意义的条件是__________;分式 有意义的条件是
_________.
问题3　分式值为零的条件是_________.
问题4　化简下列各式:
(1)-.　 (2)-x-3.
(3)·(x-3). (4)÷.
【解析】(1)原式=.　(2)原式=.
(3)原式=1.　(4)原式=.
　x≠±3　
　x≠3　
　x=0　
【考点二】分式的化简求值
例2　(2024·苏州中考)先化简,再求值:(+1)÷,其中x=-3.
【解析】(+1)÷
=·
=· =,
当x=-3时,原式==.
【变式】(2024·达州中考)先化简:(-)÷,再从-2,-1,0,1,2之中选择一个合适的数作为x的值代入求值.
【解析】原式=·
=·
=·=,
∵x-2≠0且x+2≠0且x≠0且x+1≠0,
∴x可以取1,当x=1时,原式==2.
【提分要点】
分式化简求值时需注意的问题
(1)化简求值,一般是先化简为最简分式或整式,再代入求值.化简时不能跨度太大,而缺少必要的步骤,代入求值的模式一般为“当……时,原式=……”.
(2)代入求值时,有直接代入法、整体代入法等常用方法.解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法.当未知数的值没有明确给出时,所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义,且除数不能为0.
本课结束(共39张PPT)
第一单元　数与式
第一讲　实数
(5年12考,8~13分)
知识清单 主干回顾
云南5年真题
高频考点·疑难突破
知识清单 主干回顾
知识要点
1.数轴
规定了原点、正方向、______________的直线.
　单位长度　
1.下列数轴的画法中,正确的是( )
对点练习
D
2.相反数
a的相反数是_______.互为相反数的两个数的和是_______.
知识要点
对点练习
2.若a与b互为相反数,则代数式2 025a+2 025b-5=_______.
　-a　
　0　
　-5　
3.倒数
乘积为_______的两个数互为倒数,a(a≠0)的倒数是_____,_______没有倒数.
知识要点
对点练习
3.的倒数是( )
A.2 025 B.-2 025 C. D.-
A
　1　
　
　0　
4.绝对值
(1)从“数”的角度看:|a|=
(2)从“形”的角度看:一个数的绝对值就是在数轴上表示这个数的点到________
的距离.
知识要点
原点
对点练习
4.(1)-2 025的绝对值是__________.
(2)0的绝对值是_______.
(3)若|x|=2 025,则x=____________.
　2 025　
　0　
　±2 025　
5.科学记数法:a×10n(1≤|a|<10,n为整数)
(1)当原数的绝对值大于等于10时,n为正整数,且等于原数的整数位数减1;
(2)当原数的绝对值大于0且小于1时,n为负整数,|n|等于原数左起第一个非零数字前所有0的个数(包括小数点前的0).
知识要点
对点练习
5.(教材再开发·人教七上P45练习T3变式)2025年元旦期间,小南一家来到昆明旅游,与好友比拼“某App运动”步数,小南查到的步数是16 000步.将数据16 000用科学记数法表示为( )
A.0.16×106 B.1.6×105
C.1.6×104 D.16×103
C
6.实数的大小比较
(1)数轴比较法:数轴上两个点表示的数,右边的数总比左边的数________.
(2)类别比较法:__________>0>负数;两个负数比较大小,____________大的数反而小.
(3)作差比较法:①a-b>0 a>b;
②a-b<0 a_______b;③a-b=0 a_______b.
知识要点
　大　
　正数　
　绝对值　
　<　
　=　
对点练习
6.(1)在实数,,0,-1中,最小的数是( )
A.-1 B.0 C. D.
(2)若a=,b=,c=2,则a,b,c的大小关系为( )
A.bC.aA
C
7.常用运算律(用字母表示)
(1)加法交换律:a+b=_________.
(2)加法结合律:(a+b)+c=____________.
(3)乘法交换律:ab=________.
(4)乘法结合律:(ab)c=__________.
(5)乘法分配律:a(b+c)=___________.
知识要点
　b+a　
　a+(b+c)　
　ba　
　a(bc)　
　ab+ac　
对点练习
7.(教材再开发·人教七上P33例4变式)计算:(-+)÷.
【解析】原式=11
8.实数的分类及性质
(1)实数分类
实数
(2)性质:__________与数轴上的点一一对应
知识要点
　实数　
对点练习
8.下列说法错误的是( )
A.0不是正数也不是负数
B.3.14是正有理数
C.-是负无理数
D.有理数与无理数统称为实数
C
9.算术平方根、平方根、立方根的概念
(1)算术平方根:若一个__________x的平方等于a,即x2=a,那么这个__________x叫做a的算术平方根,记作:_______.特别地,0的算术平方根为_______.
(2)平方根:如果一个数x的平方等于a,即x2=a(a≥0),则x叫做a的____________,记作:
__________.
(3)立方根:如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那么x叫做a的立方根(或三次方根),记作:_______.
知识要点
　正数　
　正数　
　
　0　
　平方根　
　±　
　
对点练习
9.(1)的平方根是( )　　　　　　　　
A.±2 B.2 C.±8 D.8
(2)16的算术平方根是_______.
A
　4　
10.实数的运算
知识要点
实数的 运算 种类 实数的运算包括加、减、乘、除、__________、__________
乘方 =_______,其中a是底数,n是指数
零指数幂 和负整数 指数幂 a0=_______(a≠0),
a-p=______(a≠0)
实数的 运算顺序 先算________________,再算__________,最后算__________,如果有括号,先算括号里边的
　乘方　
　开方　
　an　
　1　
　
　乘方、开方　
　乘除　
　加减　
对点练习
10.计算:(-6)×-()-2+[(-3)+(-1)].
【解析】(-6)×-()-2+[(-3)+(-1)]
=(-6)×-()-2+(-3-1)
=(-6)×-()-2-4
=-2-4-4
=-10.
云南5年真题
1.(2025·云南中考)中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家.若收入10元记作+10元,则支出5元可记作( )
A.-5元 B.5元 C.-10元 D.10元
2.(2025·云南中考)地球绕太阳公转的速度约是110 000 km/h.110 000用科学记数法可以表示为( )
A.1.1×102 B.11×103
C.1.1×105 D.11×107
3.(2024·云南中考)中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家.若向北运动100米记作+100米,则向南运动100米可记作( )
A.100米 B.-100米
C.200米 D.-200米
A
C
B
4.(2024·云南中考)某市今年参加初中学业水平考试的学生大约有57 800人,
57 800用科学记数法可以表示为( )
A.5.78×104 B.57.8×103
C.578×102 D.5 780×10
5.(2023·云南中考)中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家.若向东走60米记作+60米,则向西走80米可记作( )
A.-80米　 B.0米
C.80米　 D.140米
A
A
6.(2022·云南中考)中国是最早采用正负数表示相反意义的量,并进行负数运算的国家.若零上10 ℃记作+10 ℃,则零下10 ℃可记作( )
A.10 ℃ B.0 ℃
C.-10 ℃ D.-20 ℃
7.(2023·云南中考)云南省矿产资源极为丰富,被誉为“有色金属王国”.锂资源方面,滇中地区被中国科学院地球化学研究所探明拥有氧化锂资源达340 000吨.
340 000用科学记数法可以表示为( )
A.340×104　 B.34×105
C.3.4×105　 D.0.34×106
C
C
8.(2021·云南中考)某地区2021年元旦的最高气温为9 ℃,最低气温为-2 ℃,那么该地区这天的最低气温比最高气温低( )
A.7 ℃ B.-7 ℃
C.11 ℃ D.-11 ℃
9.(2022·云南中考)赤道长约为40 000 000 m,用科学记数法可以把数字40 000 000表示为( )
A.4×107 B.40×106
C.400×105 D.40 000×103
C
A
10.(2025·云南中考)计算:(π-2)0-+|-6|+()-1-2cos 60°.
【解析】原式=1-3+6+5-2×
=1-3+6+5-1
=8.
11.(2024·云南中考)计算:70+()-1+|-|-()2-sin 30°.
【解析】原式=1+6+-5-
=2.
12.(2023·云南中考)计算:|-1|÷(-2)2-(π-1)0+()-1-tan 45°.
【解析】原式=1÷4-1+3-1
=-1+3-1
=.
13.(2021·云南中考)计算:(-3)2++(-1)0-2-1+×(-6).
【解析】原式=9++1--4=6.
高频考点·疑难突破
【考点一】与数轴有关的计算
一题多问·多题归一
例1　如图,数轴的单位长度为1 cm,有四个点A,B,C,D在数轴上,点A,C表示的数互为相反数.
问题1　数轴的原点是点_______.
问题2　点B表示的数的相反数为_______,绝对值为_______,倒数为_______.
问题3　点A表示的数为_______,点C表示的数为_______,A,C之间的距离为
_______ cm.
　D　
　-1　
　1　
　1　
　-3　
　3　
　6　
【提分要点】
相反数的几何意义
数轴上表示互为相反数(不为 0)的两个点分别位于原点两侧,且到原点的距离相等.
问题4　若点E是点C关于点A的对称点,求点E表示的数.
【解析】∵点C表示的数为3,A,C之间的距离为6 cm,∴点C关于点A的对称点点E表示的数为-3-[3-(-3)]=-9.
问题5　一个动点P从点A出发以3 cm/s的速度向右运动,一个动点Q从点C出发以1 cm/s的速度向右运动,点P,Q在点F处相遇,求点A与点F之间的距离.
【解析】设点P的运动时间为t,则可得t+6=3t,解得t=3,
∴3t=3×3=9,
∴点A与点F之间的距离为9 cm.
【考点二】科学记数法
例2　(2025·凉山州中考)2025年五一假期,西昌市以“蓝花笑盈楹”为主题,推出一系列文化旅游体验活动.相关部门数据显示,五一假日期间,全市共接待游客117.93万人次.将数据117.93万用科学记数法表示为( )
A.117.93×104 B.1.179 3×105
C.1.179 3×106 D.0.117 93×107
C
【变式1】(变换条件)(2023·武汉中考)十年来,我国建成了世界上规模最大的社会保障体系,其中基本医疗保险的参保人数由5.4亿增加到13.6亿,参保率稳定在95%.将数据13.6亿用科学记数法表示为1.36×10n的形式,则n的值是_______(备注:
1亿=100 000 000).
【变式2】(2025·河南中考)通电瞬间,导线中的电流以接近光速形成,但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有0.000 074 m/s,比蜗牛爬行的速度还慢.数据“0.000 074”用科学记数法表示为( )
A.0.74×10-4 B.7.4×10-4
C.7.4×10-5 D.74×10-6
C
　9　
【提分要点】
对于含计数单位的数字用科学记数法表示时,首先判断是否需要转化,若表示前后的单位一致,则不需转化,直接用科学记数法表示;若表示前后的单位不一致,则需转化,可先把计数单位转化为数字,然后用科学记数法表示.常考的计数单位有:
“1万”可表示为“104”,“1亿”可表示为“108”.
【考点三】平方根、算术平方根、立方根
例3　(2025·江西中考)化简:=_______.
【变式1】(2024·内江中考)16的平方根是( )
A.2 B.-4 C.4 D.±4
【变式2】(2023·滨州中考)一块面积为5 m2的正方形桌布,其边长为_________.
【易错警示】只有非负数才有平方根,而一个非负数的算术平方根仍是非负数,负数没有平方根和算术平方根,但是负数有立方根.
D
　2　
m　
【考点四】实数大小比较及无理数的估算
例4　(2025·福建中考)下列实数中,最小的数是( )
A.-1 B.0 C. D.2
例5　(2025·广安中考)公元前5世纪,毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数.他的发现,在当时的数学界掀起了一场巨大风暴,导致西方数学史上的“第一次数学危机”.请估计的值在( )
A.1和2之间 B.2和3之间
C.3和4之间 D.4和5之间
A
A
【提分要点】
若一组数据中有正数、0、负数,求最大值时,一般在正数中找,求最小值时,一般在负数中找.
【考点五】实数的混合运算
例6　(2025·连云港中考)计算:(-2)×(-5)--()0.
【解析】(-2)×(-5)--()0
=10-3-1
=7-1
=6.
【变式1】(2025·苏州中考)计算:|-5|+32-.
【解析】原式=5+9-4
=14-4
=10.
【变式2】(2025·成都中考)计算:()-1-+2cos 45°+|-2|.
【解析】原式=4-3+2×+2-
=4-3++2-
=3.
【提分要点】
实数混合运算的顺序
(1)先计算每一小项的值;
(2)再根据实数的运算顺序计算:先乘除,后加减,有括号时先计算括号里面的,同级运算按照从左到右的顺序进行运算.
【易错警示】若绝对值符号里有两个数,先比较两个数的大小,再利用绝对值性质去绝对值符号;若绝对值符号前有负号,先去绝对值符号,并加上括号,再去括号,去括号时注意变号.
本课结束(共25张PPT)
第二讲　整式、因式分解(5年18考,6~13分)
知识清单 主干回顾
云南5年真题
高频考点·疑难突破
知识清单 主干回顾
知识要点
1.整式的有关概念
整式
1.(教材再开发·人教七上P59习题2.1T3改编)
(1)单项式-3xy2的系数是_______,次数是_______.
(2)多项式2x-5xy3-1是________次________项式,其中一次项为________,一次项系数为_______.
对点练习
　-3　
　3　
　四　
　三　
　2x　
　2　
2.同类项
所含字母______,且相同字母指数也______的单项式.
知识要点
2.若单项式3xmy与-2x6y是同类项,则m=_______.
对点练习
相同
相同
　6　
3.幂的运算性质
知识要点
运算 性质或法则
幂的运算 (m,n为正整数, 且m>n) 同底数幂相乘 am·an =_________
同底数幂相除 am÷an =_________(a≠0)
幂的乘方 (am)n =_________
积的乘方 (ab)n=__________
　am+n　
　am-n　
　amn　
　an bn　
3.计算:
(1)a3·a2=_______;
(2)(a3)2=_______;
(3)(3a)2=________;
(4)x7÷x2=_______;
(5)(a-1)0=_______(a≠1);
(6)a-2=______(a≠0).
对点练习
　a5　
　a6　
　9a2　
　x5　
　1　
　
4.加减运算
(1)实质:合并同类项.
(2)合并同类项:把同类项的__________相加,字母和字母的__________不变.
(3)去括号法则:
①a+(b+c)=a_______b_______c;
②a-(b+c)=a______b______c.
知识要点
　系数　
　指数　
　+　
　+　
　-　
　-　
4.(1)计算2a-3a,结果正确的是( )　　　
A.-1 B.1 C.-a D.a
(2)计算(1-2a)-(2-2a)=_______.
对点练习
C
　-1　
5.整式的乘法
(1)单项式乘单项式:
________________________分别相乘,只在一个单项式中出现的字母,连同它的
__________一起作为积的一个因式.
(2)单项式乘多项式:m(a+b+c)=_______________.
(3)多项式乘多项式:
(a+b)(m+n)=______________.
平方差公式:(a+b)(a-b)=__________.
完全平方公式:(a±b)2=_______________.
知识要点
　系数、相同字母的幂　
　指数　
　ma+mb+mc　
am+an+bm+bn
　a2-b2　
　a2 ±2ab+b2　
5.计算:(1)3a3·a2=________;
(2)-2a·8a2=__________;
(3)3a2(a+2b2)=______________;
(4)(6ab+4a2)÷2a=___________;
(5)(a+2b)(a-b)=______________;
(6)(x+3)(x-3)=_________;
(7)(2x-1)2=_____________.
对点练习
　3a5　
　-16a3　
　3a3+6a2b2　
　3b+2a　
　a2+ab-2b2　
　x2-9　
　4x2-4x+1　
6.因式分解的定义
把一个多项式化成几个整式的________的形式,这种变形叫做多项式的因式分解.
知识要点
　积　
6.下面各式从左到右的变形,属于因式分解的是( )
A.x2-x-1=x(x-1)-1　
B.x2-1=(x-1)2
C.x2-x-6=(x-3)(x+2)
D.x(x-1)=x2-x
对点练习
C
7.因式分解的方法和步骤
(1)提公因式法:am+bm+cm=__________.
(2)运用公式法:平方差公式:a2-b2=__________;
完全平方公式:a2±2ab+b2=___________.
(3)步骤(一提,二套,三检查):
①若多项式的各项有公因式,则应先________________,首项是负的,可将负号一并提取.
②若多项式的各项没有公因式,则可以考虑用__________法来因式分解.
③检查因式分解是否彻底.
知识要点
m(a+b+c)
(a+b)(a-b)
　(a±b)2　
　提取公因式　
　公式　
7.(1)分解因式:x2-9y2=________________.
(2)分解因式:a2+4a+4=___________.
(3)分解因式:x2-2x+1=__________.
(4)分解因式:2 022x2-4 044x+2 022=______________.
对点练习
　(x-3y)(x+3y)　
　(a+2)2　
　(x-1)2　
2 022(x-1)2
云南5年真题
1.(2025·云南中考)下列计算正确的是( )
A.x+2x=3x2 B.x2·x3=x5　　
C.x6÷x2=x D.(xy)2=xy2
2.(2024·云南中考)下列计算正确的是( )
A.x3+5x3=6x4
B.x6÷x3=x5
C.(a2)3=a7
D.(ab)3=a3b3
B
D
3.(2023·云南中考)下列计算正确的是( )
A.a2·a3=a6 B.(3a)2=6a2
C.a6÷a3=a2 D.3a2-a2=2a2
4.(2022·云南中考)下列运算正确的是( )
A.+= B.30=0
C.(-2a)3=-8a3 D.a6÷a3=a2
5.(2025·云南中考)按一定规律排列的代数式:a,3a,5a,7a,9a,…,第n个代数式是( )
A.(2n-1)a B.(2n+1)a
C.(n+1)a D.2 025a
D
C
A
6.(2024·云南中考)按一定规律排列的代数式:2x,3x2,4x3,5x4,6x5,…,第n个代数式是( )
A.2xn B.(n-1)xn
C.nxn+1 D.(n+1)xn
7.(2023·云南中考)按一定规律排列的单项式:a,a2,a3,a4,a5,…,第n个单项式是( )
A.　 B.an-1　
C.an　 D.an-1
D
C
8.(2022·云南中考)按一定规律排列的单项式:x,3x2,5x3,7x4,9x5,…,第n个单项式是( )
A.(2n-1)xn B.(2n+1)xn
C.(n-1)xn D.(n+1)xn
9.(2021·云南中考)按一定规律排列的单项式:a2,4a3,9a4,16a5,25a6,…,第n个单项式是( )
A.n2an+1 B.n2an-1　
C.nnan+1 D.(n+1)2an
A
A
10.(2024·云南中考)分解因式:a3-9a=( )
A.a(a-3)(a+3) B.a(a2+9)
C.(a-3)(a+3) D.a2(a-9)
11.(2025·云南中考)分解因式:x2+x=___________.
12.(2023·云南中考)分解因式:x2-4=______________.
13.(2021·云南中考)分解因式:x3-4x=_______________.
A
　x(x+1)　
　(x+2)(x-2)　
　x(x+2)(x-2)　
高频考点·疑难突破
一题多问·多题归一
例　仔细观察下列各式,请回答以下问题.
①-4;②4x;③4x3y2;④-xmyn(m,n是正整数);⑤4x2+4x+1.
问题1　单项式有______________,多项式有________(填序号).
问题2　4x3y2的系数是_______,次数是_______.
问题3　若4x3y2与-xmyn是同类项,则m=_______,n=_______.
问题4　计算4x·4x3y2的结果是___________.
　①②③④　
　⑤　
　4　
　5　
　3　
　2　
　16x4y2　
问题5　下列运算结果正确的是( )
A.(4x)3=12x3
B.4x3y2-4x=x2y2
C.4x-(-4x)=8x
D.4x3y2÷(-4x)2=y2
问题6　分解因式:4x2+4x+1=____________.
问题7　分解因式:4x3y2-4x=__________________.
C
　(2x+1)2　
　4x(xy+1)(xy-1) 　
【提分要点】
公因式的确定
(1)系数:取各项系数的最大公约数;
(2)字母:取各项相同的字母;
(3)指数:取各相同字母的最低次数.
问题8　先化简整式,再求值:(4x2+4x+1)+4x×(-4),其中x=-2.
【解析】原式=4x2+4x+1-16x=4x2-12x+1.
当x=-2时,原式=4×(-2)2-12×(-2)+1=41.
本课结束(共22张PPT)
第四讲　二次根式
(5年6考,3~4分)
知识清单 主干回顾
云南5年真题
高频考点·疑难突破
知识清单 主干回顾
知识要点
1.二次根式形如_______(_________)的代数式.
1.要使代数式有意义,则x的取值范围是_________.
对点练习
　
　a≥0　
　x≥9　
2.二次根式的性质
(1)(a≥0)是__________数.
(2)=_______.
(3)()2=_______(a≥0).
知识要点
　非负　
　|a|　
　a　
2.下列各组实数中,互为相反数的一组是( )
A.与 B.与
C.|-|与 D.与
对点练习
B
3.最简二次根式
最简二次根式要同时具备下列两个条件:
(1)被开方数不含__________.
(2)被开方数中不含________________的因数或因式.
知识要点
　分母　
　能开得尽方　
3.(教材再开发·人教八下P10练习T2改编)下列二次根式中,是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
对点练习
D
4.同类二次根式
几个二次根式化简成最简二次根式后,如果它们的__________________,那么这几个二次根式叫做同类二次根式.
知识要点
　被开方数相同　
4.下列各式中与是同类二次根式的是( )
A. B. C. D.
对点练习
B
5.二次根式的运算
(1)二次根式的乘除:
①·= (a≥0,b≥0);
②= (a≥0,b>0).
知识要点
　
　
(2)积、商平方根的性质:
①=__________(a≥0,b≥0);
②=______(a≥0,b>0).
(3)二次根式的加减:先将二次根式化成__________________,再将___________
相同的二次根式合并.
·　
　
　最简二次根式　
被开方数
5.计算:
(1)-+;
(2)÷-×+;
(3)-+;
(4)(-)2-(2+)(2-).
【解析】(1)原式=3-4+=0;
(2)原式=4-+2=4+;
(3)原式=2-+5=+5;
(4)原式=3-6+6-(4-5)=3-6+6+1=10-6.
对点练习
云南5年真题
1.(2024·云南中考)若在实数范围内有意义,则实数x的取值范围为( )
A.x≥0 B.x≤0 C.x>0 D.x<0
2.(2025·楚雄模拟)使有意义的x的取值范围是( )
A.x>3 B.x<3
C.x≥3 D.x≤3
3.(2022·云南中考)若有意义,则实数x的取值范围为_________.
4.(2021·云南中考)已知a,b都是实数.若+(b-2)2=0,则a-b=_______.
A
A
　x≥-1　
　-3　
高频考点·疑难突破
【考点】二次根式的概念、性质及运算
一题多问·多题归一
例　仔细观察下列式子,回答以下问题.
(1),(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8),(9),(10),(11),(12),(13).
问题1　上面式子中,一定是二次根式的是_______________________________　(填序号).
　(1)(2)(5)(6)(7)(8)(10)(11)(12)(13)
【提分要点】
二次根式必须同时满足以下两个条件:
(1)含有二次根号“”;(2)被开方数是非负数.
问题2　①式子 有意义的a的取值范围是_________,
②式子有意义的a的取值范围是______________,
③式子有意义的a的取值范围是_________.
　a≥2　
　a≥-3且a≠2　
　a>2　
【提分要点】
判断二次根式有无意义时需注意的两个问题
(1)如果一个式子中含有多个二次根式,那么它们有意义的条件是:各个二次根式中的被开方数都必须是非负数.
(2)如果所给式子中含有分母,则除了保证被开方数为非负数外,还必须保证分母不为零.
问题3　以上二次根式中是最简二次根式的是　　　　,将不是最简二次根式的化简为最简二次根式.
【解析】∵=3,=2,=6,=2,=2,=3,=2,
=,∴是最简二次根式的是,.
答案:,
【提分要点】
判定一个二次根式是否是最简二次根式的方法就是看是否同时满足最简二次根式的两个条件.
问题4　计算:=_______,=_______.
【提分要点】
理解二次根式的性质需注意的两个问题
(1)(a≥0)的双重非负性:
①被开方数a非负;②本身非负.
(2)与()2的异同:中的a可以取任何实数,而()2中的a必须取非负数,只有当a取非负数时,=()2才成立.
　3　
　6　
问题5　与可以进行合并的是____________;与可以进行合并的是________;与可以进行合并的是____________.
问题6　(2024·天津中考)计算(+1)(-1)的结果为________.
【提分要点】
在二次根式的运算中,多项式乘法法则和乘法公式仍然适用.
和　
　
和　
　10　
本课结束

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