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北师大（2024）版数学七年级上册
第二章 有理数及其运算
2.3.2 有理数乘法的运算律
有理数乘法法则是什么？
第 1 页：封面
标题：2.3.2 有理数乘法的运算律
副标题：北师大版七年级上册数学
配图：乘法运算律直观示意图（交换律 a×b=b×a、结合律 (a×b)×c=a×(b×c)、分配律 a×(b+c)=a×b+a×c）+ 简便运算场景
底部标注：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
理解并掌握有理数乘法的交换律、结合律和分配律，确认运算律在有理数范围内的适用性
能熟练运用乘法运算律简化有理数乘法运算（如凑整、凑 1、去括号）
掌握多个有理数相乘的符号判定规律，提高运算效率
体会 “转化思想” 和 “简化思想”，感受数学法则的一致性和实用性
第 3 页：情境导入 —— 从 “整数乘法” 到 “有理数乘法”
左侧：回顾衔接（配小学知识图）
小学阶段：整数、小数乘法的运算律
交换律：a×b = b×a（例：3×5 = 5×3）
结合律：(a×b)×c = a×(b×c)（例：(2×7)×3 = 2×(7×3)）
分配律：a×(b+c) = a×b + a×c（例：4×(6+3) = 4×6 + 4×3）
右侧：问题链引导
这些运算律在有理数乘法中还成立吗？（含负数、分数、小数）
多个有理数相乘时，如何快速判定积的符号？
运用运算律能解决哪些复杂的有理数乘法问题？
结语：整数乘法的 “简便法宝” 在有理数乘法中依然生效！今天我们就验证这些运算律，并解锁它们的应用技巧！
第 4 页：新知探究 1—— 乘法交换律（a×b = b×a）
上方：特例验证（分类型举例，配计算过程）
乘法类型
算式 1（a×b）
结果
算式 2（b×a）
结果
结论
正数 × 正数
3×4
12中间：规律总结（重点标注）
有理数乘法交换律：两个有理数相乘，交换因数的位置，积不变
字母表示：a×b = b×a（a、b 为任意有理数）
下方：几何意义（辅助理解）
长方形面积：长 × 宽 = 宽 × 长，如长 5、宽 (-3)（方向相反），面积 5×(-3) = (-3)×5 = -15，验证交换律的合理性
第 5 页：新知探究 2—— 乘法结合律（(a×b)×c = a×(b×c)）
上方：特例验证（分类型举例，配计算过程）
同号结合：[(+2)×(+3)]×(+4) = 6×4 = 24；(+2)×[(+3)×(+4)] = 2×12 = 24 → 相等
异号结合：[(-2)×(+5)]×(-3) = (-10)×(-3) = 30；(-2)×[(+5)×(-3)] = (-2)×(-15) = 30 → 相等
含小数结合：[(+1.5)×(-2)]×(+4) = (-3)×4 = -12；(+1.5)×[(-2)×(+4)] = 1.5×(-8) = -12 → 相等
中间：规律总结（重点标注）
有理数乘法结合律：三个有理数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变
字母表示：(a×b)×c = a×(b×c)（a、b、c 为任意有理数）
下方：核心作用
凑整简化：将能凑成整数、1 或 0 的因数先结合，减少计算量（例：先结合 25×4、125×8 等）
第 6 页：新知探究 3—— 乘法分配律（a×(b+c) = a×b + a×c）
上方：特例验证（分类型举例，配计算过程）
正数 ×(和)：2×[(+3)+(-5)] = 2×(-2) = -4；2×(+3) + 2×(-5) = 6 - 10 = -4 → 相等
负数 ×(和)：(-3)×[(+4)+(-2)] = (-3)×2 = -6；(-3)×(+4) + (-3)×(-2) = -12 + 6 = -6 → 相等
分数 ×(和)：(-1/2)×[(+6)+(-4)] = (-1/2)×2 = -1；(-1/2)×(+6) + (-1/2)×(-4) = -3 + 2 = -1 → 相等
逆用分配律：5×(-7) + 5×(-3) = 5×[(-7)+(-3)] = 5×(-10) = -50（简化同因数运算）
中间：规律总结（重点标注）
有理数乘法分配律：一个有理数与两个有理数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加
字母表示：a×(b+c) = a×b + a×c（正向）；a×b + a×c = a×(b+c)（逆向）
拓展：分配律的推广（a×(b+c+d) = a×b + a×c + a×d）
示例：(-2)×[(+3)+(-5)+(+1)] = (-2)×(-1) = 2；(-2)×3 + (-2)×(-5) + (-2)×1 = -6 + 10 - 2 = 2 → 相等
第 7 页：核心技能 1—— 多个有理数相乘的符号规律
标题：多个因数相乘，符号快速判定！
规律探究（配算式 + 符号分析）
算式（含负数个数）
负数个数（n）
积的符号
结果
规律总结
(-2)×(-3)×(+4)多个有理数相乘，先看是否有因数为 0，若有，积为 0；
若无因数为 0，积的符号由负数的个数决定：负数个数为偶数，积为正；负数个数为奇数，积为负；
积的绝对值等于所有因数绝对值的乘积。
口诀记忆
多个因数来相乘，先看有无零因数；
有零则积等于零，无零再看负因数；
偶数个负得正数，奇数个负得负数；
绝对值相乘定大小，符号绝对值相结合！
第 8 页：核心技能 2—— 运算律的综合应用（巧算技巧）
标题：运算律巧算，四招搞定复杂乘法！
核心技巧（配示例演示）
凑 1 法（利用倒数）：将互为倒数的因数先结合（积为 1）
示例：(-3/4)×(+8)×(-4/3) = [(-3/4)×(-4/3)]×8 = 1×8 = 8
凑整法：将能凑成整十、整百的因数先结合
示例：(+25)×(-17)×(-4) = [(+25)×(-4)]×(-17) = (-100)×(-17) = 1700
分配律正向（去括号简化）：a×(b+c) = a×b + a×c
示例：(-12)×[(1/4)+(-1/6)+(1/3)] = (-12)×(1/4) + (-12)×(-1/6) + (-12)×(1/3) = -3 + 2 - 4 = -5
分配律逆向（提取公因数）：a×b + a×c = a×(b+c)
示例：(-7)×(+5) + (-7)×(-3) + (-7)×(+2) = (-7)×[(+5)+(-3)+(+2)] = (-7)×4 = -28
第 9 页：核心应用 —— 运算律解决实际问题
标题：运算律让实际问题计算更高效！
例题解析（配情境图）
购物问题：某超市促销，每件商品降价 3 元（记为 - 3 元），小明买了 2 件文具、3 本笔记本、1 支钢笔，共节省多少钱？
解答：节省的总金额 = 每件节省金额 × 总件数 = (-3)×(2+3+1) = (-3)×6 = -18（元）
答：共节省 18 元（结果为负，对应 “节省” 的实际意义）
工程问题：某工程队 3 天修路，每天修的长度分别为 (+120 米)、(+150 米)、(+130 米)，若每米修路成本为 (-20 元)（成本为负），总施工成本是多少？
解答：总长度 = 120+150+130=400（米），总成本 = (-20)×400 = -8000（元）
或用分配律：(-20)×120 + (-20)×150 + (-20)×130 = (-20)×(120+150+130) = -8000（元）
答：总施工成本为 8000 元
温度问题：某地区每天的气温变化量为 (-2℃)，连续 5 天的气温总变化量是多少？若第 6 天气温变化量为 (+3℃)，6 天的总变化量是多少？
解答：5 天总变化量 = (-2)×5 = -10（℃）；6 天总变化量 = (-2)×5 + 3 = -10 + 3 = -7（℃）
答：5 天总变化量为下降 10℃，6 天总变化量为下降 7℃
第 10 页：易错辨析 —— 运算律应用常见错误
标题：这些 “巧算陷阱” 要避开！
分题展示（错误示例 + 纠正 + 理由）
错误 1：分配律漏乘（例：-2×(3+4) = -2×3 + 4 = -2）
纠正：-2×(3+4) = -2×3 + (-2)×4 = -6 - 8 = -14
理由：分配律要求 “分别相乘再相加”，不能漏乘后一个加数
错误 2：多个因数相乘符号判定错误（例：(-1)×(-2)×(-3)×(-4) = -24）
纠正：(-1)×(-2)×(-3)×(-4) = 24（负数个数 4 为偶数，积为正）
理由：多个因数相乘，符号由负数个数决定，偶数个负得正
错误 3：结合律破坏符号（例：(-3)×(4×(-5)) = (-3×4)×5 = -60）
纠正：(-3)×(4×(-5)) = (-3)×(-20) = 60 或 [(-3)×4]×(-5) = (-12)×(-5) = 60
理由：结合时不能随意改变因数的符号，需保持每个因数的原始符号
错误 4：逆向分配律提取符号错误（例：3×(-5) + 3×(-7) = 3×(5+7) = 36）
纠正：3×(-5) + 3×(-7) = 3×[(-5)+(-7)] = 3×(-12) = -36
理由：提取公因数后，括号内的加数符号需保持不变
第 11 页：互动练习 1—— 基础巧算题
用运算律计算下列各题：
(-5)×(-8)×(-2) = ________（答案：-80）
(+125)×(-3)×(-8) = ________（答案：3000）
(-4)×[(1/2)+(-3/4)+(5/8)] = ________（答案：-1）
7×(-3) + 7×(-5) + 7×(+8) = ________（答案：0）
填空题：
运用乘法交换律：(-6)×(+9) = ×
运用乘法结合律：[(-3)×(+4)]×(-5) = (-3)×[×]
运用分配律：(-5)×(a+b) = ________ + ________
第 12 页：互动练习 2—— 提高题与应用题
复杂巧算题：
(-1/3)×(+6)×(-9)×(-1/2) = ________（答案：-9）
(-2023)×0×(-3.5)×(+1/7) = ________（答案：0）
(-3)×(+4) - (-3)×(+6) + (-3)×(-2) = ________（答案：-12 + 18 + 6 = 12）
应用题：
问题：某公司 5 名员工的月奖金变化如下（单位：元，增加为正）：+200、-150、+300、-100、+250，若公司需按奖金总额的 10% 缴纳个人所得税（税率记为 - 10%），员工共需缴纳多少税？
解答：奖金总额 = 200 - 150 + 300 - 100 + 250 = 500（元），应纳税额 = 500×(-10%) = -50（元）
答：员工共需缴纳 50 元税
第 13 页：实践活动 ——“运算律巧算大比拼”
活动准备：每组发放 5 道复杂乘法题（含多个因数、分数、小数，需用运算律巧算）、答题纸
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，积仍为0
问题1
在小学里，我们都知道，数的乘法满足乘法交换律、乘法结合律和乘法对加法的分配律，
3×5=5×3
引入负数后，在有理数的乘法运算中，这三种运算律是否还能成立呢？
(3×5)×2=3×(5×2)
3×(5+2)=3×5+3×2
问题2
我们知道两个有理数相乘，同号得正，异号得负，那么如果是超过两个有理数相乘呢？
比如(-3)×5×(-2)，它的积的符号是什么呢
例1 计算：
(4 )×5×(- 0.25) (2) (-) ×(-) × (-2)
解：(-4)×5×(- 0.25)
= [-(4×5)]×(- 0.25)
= (-20) ×(- 0.25)
= +(20×0.25)
= 5
=-1
解：
问题1
对例1(1)式子进行改编，得到下面一些式子，
观察这些式子，判断它们的积的符号。
式子 积的符号 负因数的个数
4×5×(-0.25)×1
(-4)×(-5)×0.25×1
(-4)×(-5)×0.25×(-1)
(-4)×(-5)×(-0.25)×(-1)
(-4)×(-5)×(-0.25)×(-1)×0
负
1
正
2
负
3
正
4
0
4
问题2
几个有理数相乘，因数都不为 0 时，积的符号怎样确定？有一个因数为 0 时，积是多少？
几个不等于零的数相乘，积的符号由___________决定。
当负因数有______个时，积为负；
当负因数有______个时，积为负。
奇负偶正
几个数相乘，如果其中有因数 0 ，积等于________。
负因数的个数
奇数
偶数
0
练一练
【课本P52 随堂练习 第1题】
1.计算：
(1) ×(- ) ×(-) ； (2) (- )×(- ) ×0× ；
解:
= 0
解:
(3) ×(-1.2) ×(-) ； (4) (- )×(- )×(- ) 。
有理数乘法的运算律
探究点2
问题1
下面有三组引入了负数的算式，请你计算它们的结果，验证乘法运算律的适用范围。
① 5×(-6)=_____
(-6) ×5=_____
② [(-3)×5]×(-2)=_____
(-3)× [5×(-2)]=_____
③ 5×[3+(-7)]=_____
5×3+5× (-7) =_____
乘法的运算律在有理数范围内仍然成立。
-30
-30
30
30
-20
-20
请你用字母表示乘法的相关运算律。
问题2
乘法交换律：_________________;
乘法结合律：_________________;
乘法对加法的分配律：_____________________。
(注意：这里a，b，c分别表示任一有理数。)
a×b=b×a
(a×b)×c=a×(b×c)
a×(b+c) = a×b +a×c
例2 计算：
解：
　　在应用乘法对加法的分配律时，括号外的因数与括号内各项相乘，各项应包含前面的符号。
解：
下面是计算(+-)×24的两种解法。
问题3
比较两种解法，说说它们有什么区别？
练一练
【课本P52 随堂练习 第2题】
1.计算：
例 计算：
(1) 49×(-4) ×(-) ×(-)；
(2) 3×(-11) ×(-) ×(-0.3)；
(3) -9×62 。
(1) 49×(-4) ×(-) ×(-)
= -14
(2) 3×(-11) ×(-) ×(-0.3)
=-1×15
=-15
(3) -9×62
= -620+2
= -618
练一练
【课本P56 习题2.3 第7题】
1.请在下列括号里填写运算的依据：
10×(- )×( - + )
= (- )×10×( - + )
= (- )×[10×( - + )]
= (- )×[10× +10×( )+10× ]
= (- )× (25-12+1)
= (- )×14
= -6 。
( )
( )
( )
乘法交换律
乘法结合律
乘法对加法的分配律
知识点1 多个有理数相乘
1.［2025太原月考］若的运算结果为正数，则 内的数字
可以为( )
D
A.2 B.1 C.0 D.
2.计算 的结果是( )
B
A. B.1 C. D.
3.［教材习题 变式］3个有理数相乘，积为负数，则其中负因数有
( )
D
A.1个 B.2个 C.3个 D.1个或3个
4.（12分）计算：
（1） ；
解：原式 。
（2） ；
解：原式 。
（3） 。
解：原式 。
知识点2 有理数的乘法运算律
5.在 中运用了( )
A
A.乘法交换律、乘法结合律
B.乘法结合律、乘法对加法的分配律
C.乘法交换律、乘法对加法的分配律
D.三种乘法运算律
6.在 的运算过程中，运用了( )
D
A.加法结合律 B.乘法结合律
C.乘法交换律 D.乘法对加法的分配律
7.写出下列运算中每一步所依据的运算律或法则：
（第一步）
（第二步）
（第三步）
。
第一步：________________；
第二步：____________；
第三步：____________。
有理数乘法法则
乘法交换律
乘法结合律
8.（16分）计算：
（1） ；
解：原式 。
（2） ；
解：原式 。
（3） ；
解：原式
。
（4） 。
解：原式
。
9.［2025长沙期末］若，则 可以表示为
( )
B
A. B. C. D.
10.［教材复习题 变式］绝对值小于4且大于1的所有整数的积是
( )
D
A.0 B.6 C. D.36
11.如图，，两点在数轴上表示的数分别为， ，则下列式子不成立
的是( )
C
A. B.
C. D.
12.［2025温州月考］从， ，0，3，5中任取三个数相乘，所得积
的最大值是____。
30
13.（12分）计算：
（1） ；
解：原式 。
（2） ；
解：原式 。
（3） 。
解：原式 。
14.（8分） 学习了有理数的乘法后，老师给同学们出
了这样一道题目：
计算 ，看谁算得又快又对。有两名同学的解法如下：
小明：
解：原式 ；
小军：
解：原式 。
（1）上面两种解法中，______的解法较好；
小军
（2）你还有更好的解法吗？如果有，请把它写出来。
解：有，原式
。
15.（4分） 在学习有理数的乘法时，李老师和全班39
名同学一起做了这样一个游戏：李老师将2 025这个数说给第一名同学，
第一名同学将2 025减去它的 的结果告诉第二名同学，第二名同学再将
听到的数减去它的 的结果告诉第三名同学，第三名同学再将听到的数
减去它的 的结果告诉第四名同学……照这样的方法，直到最后一名同
学将听到的数按此规律运算后的结果告诉李老师。你知道最后的结果是
多少吗？
解：由题意，可得最后的结果为 。
有理数的乘法
因数中含0
因数中不含0
积为0
由负因数的个数确定，奇负偶正
乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律
乘法法则
乘法运算律
多个有理数相乘积的符号的确定
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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