资源简介

(共18张PPT)
第3章 勾股定理
3.2 勾股定理的逆定理
课堂小结
归纳总结
问题引入
随堂演练
获取新知
我们知道，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
这个命题的逆命题是什么呢？ 它是真命题吗？　
问题引入
逆命题：如果一个三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
操作1： 请你以3cm、4cm、5cm为三条边画三角形，再用量角器量出这个三角形各角的度数，与你的同桌交流一下，你发现了什么？
操作2：以6cm、8cm、10cm呢？这些三角形的三边之间有什么关系？
获取新知
问题1：3cm、4cm、5cm； 6cm、8cm、10cm这两组数在数量关系上有什么相同点？
问题2：你有什么猜想？
思考：从上述问题中，能发现什么结论吗？
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,
那么这个三角形是直角三角形.
有同学认为测量结果可能有误差,不同意
这个发现.你觉得这个发现正确吗 你能给
出一个更有说服力的理由吗
A
B
C
a
c
b
A'
B'
C'
a
b
∟
已知：如图，△ABC中，三角形的三边a，b，c满足 a2＋b2＝c2.能否证明△ABC是直角三角形.
证明：
作Rt△A'B'C',
使 ∠C'=90°，B'C'= a，A'C'=b.
由勾股定理得：A'B'2 =a2 +b2.
∵ AB2=a2 +b2
在△ABC与△A'B'C’中,
BC=B'C'
AC=A'C'
AB=A'B'
∴△ABC≌△A'B'C'（sss）
∴ AB2=A'B'2 , 即 AB=A'B'
∴∠C= ∠C'=90°
即△ABC是直角三角形.
如果三角形的三边长分别为a、b、c，且a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形.
A
B
C
a
b
c
几何语言：
∵
∴ ∠C=90°
归纳总结
勾股定理的逆定理
四千多年前,古埃及人在建造金字塔时就已经知道如何构造一
个直角三角形 .他们在一根绳子上打上距离相等的结,然后由三人
拉成一个三角形,使得每条边被结点分成3段、4段、5段 .这样
得到的三角形一定是直角三角形．
∵32+42=52 ，∴这个三角形是直角三角形．
阅读·思考
定义：如果三个正整数a、b、c满足 关系a2+b2=c2 ，则称a、b、c称为勾股数．
知识要点
练一练
下列各组数是勾股数吗？为什么？
(1) 3、4、5；　　 (2) 6、8、10；　　
9、12、15；　 (4) 15、20、25；
(5) 0.3、0.4、0.5.
√
√
√
√
√
例1.
已知：a，b，c为正整数，且a2+b2=c2.
求证：对于任意的正整数k，正整数ka，kb，kc构成勾股数.
例题讲解
证明：∵a2+b2=c2，
∴（ka）2+（kb）2 =k2a2+k2b2
=k2（a2+b2）
=k2c2
∵a，b，c，k为正整数，
∴ka，kb，kc为正整数，
∴ka，kb，kc构成勾股数.
例2. 如图,AD是ΔABC的中线，AD=24，AB=26，BC=20.求AC的长.
解: ∵AD是ΔABC的中线，BC=20，
∴BD=DC=BC=10.
A
B
C
D
∵AD=24，AB=26，
∴AD2+BD2=242+102=676.
AB2=262=676.
∴AD2+BD2=AB2.
∴∠ADB=90°（勾股定理的逆定理）
∴AD垂直平分BC.
∴AC=AB=26.
例3. 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形
(1) a=7，b=25，c=24; (2) a=13，b=11，c=9.
解:(1)最长边为25，
∵a2+c2=72+242=49+576=625,
b2=252=625，
∴a2+c2=b2.
∴以7, 25, 24为边长的三角形是直角三角形.
(2)最长边为13，
∵b2+c2=112+92=121+81=202,
a2=132=169，
∴b2+c2≠a2.
∴以13, 11, 9为边长的三角形不是直角三角形.
1. 下面四组数中是勾股数的一组是(　　)
A．6，7，8　　 B．5，8，13　　
C．1.5，2，2.5　　 D．21，28，35
D
随堂演练
2.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形 ( )
A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形
A
3. 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
(1)a=15，b=8，c=17；
(2)a=13，b=14，c =15.
解：(1)因为 152+82=225+64=289,172 = 289，
所以152 +82 =172 ，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形.
(2)因为132+142=169+196=365，152=225，
所以132+142≠152，
根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形.
4.如图,在正方形网格中,小正方形的边长均为1,△ABC的顶点在格点上.
判断△ABC是不是直角三角形,并说明理由.
解：∵ AC2= 22+32=4+9=13,
AB2= 42+62=16+36=52,
BC2= 12+82=1+64=65,
∴AC2 +AB2 =BC2 ，
∴ △ABC是直角三角形.
5. 已知△ABC，AB=n -1，BC=2n，AC=n +1（n为大于1的正整数）.试问△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由.
解：∵AB +BC =(n -1) +(2n)
=n4 -2n +1+4n
=n4 +2n +1
=(n +1)
=AC ，
∴△ABC直角三角形，边AC所对的角是直角.
为什么选择AB2 + BC2 ？AB、BC、CA的大小关系是怎样的？
课堂小结
勾股定理
的逆定理
内容
作用
从三边数量关系判定一个三角形是否是直角三角形.
如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
注意
最长边不一定是c，∠C也不一定是直角
勾股数一定是正整数

展开更多......

收起↑